Rumus Statistik
Rata-rata Hitung (Mean)
Rata-rata atau Mean adalah ukuran statistik kecenderungan terpusat sama halnya
seperti
Median
dan
Modus
.
Rata-rata ada beberapa macam, yaitu rata hitung (aritmatik), rata geometrik,
rata harmonik dan lain-lain. Tetapi jika hanya disebut dengan kata "rata" saja, maka
rata-rata yang dimaksud adalah rata-rata-rata-rata hitung (aritmatik).
Penghitungan
Penghitungan rata-rata dilakukan dengan menjumlahkan seluruh nilai data suatu kelompok
sampel, kemudian dibagi dengan jumlah sampel tersebut. Jadi jika suatu kelompok sampel
acak dengan jumlah sampel n, maka bisa dihitung rata-rata dari sampel tersebut dengan
rumus sebagai berikut.
Jika dinotasikan dengan
notasi sigma
, maka rumus di atas menjadi:
Keterangan:
= rata-rata hitung
x
i= nilai sampel ke-i
n = jumlah sampel
Contoh Penghitungan
Misalkan kita ingin mengetahui rata-rata tinggi badan siswa di suatu kelas. Kita bisa
mengambil sampel misalnya sebanyak 10 siswa dan kemudian diukur tinggi badannya. Dari
hasil pengukuran diperoleh data tinggi badan kesepuluh siswa tersebut dalam ukuran
sentimeter (cm) sebagai berikut.
172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Dari data di atas dapat dihitung rata-rata dengan menggunakan rumus rata-rata :
Dari hasil penghitungan, bisa diambil kesimpulan bahwa rata-rata tinggi badan siswa di kelas
tersebut adalah 170,1 cm. Hasil tersebut bisa dibuktikan dengan menggunakan Microsoft
Excel di halaman
Menghitung Rata Dengan Microsoft Excel
.
Contoh Soal No. 1
Hitunglah rata-rata dari data 6, 6, 4, 6, 2, 5, 5, 6, 7, 6, 8!
Jawab:
Dari data tersebut dapat kita ketahui bahwa jumlah data adalah 11 (n = 11). Dengan
menggunakan rumus kita dapat menghitung rata-ratanya.
Rata-rata dari data tersebut adalah 5,55.
Contoh Soal No. 2
Diberikan data sebagai berikut: 4, 3, 5, 4, 6, 3, 6, 7, 8, 7, 8, 8. Hitunglah rata-ratanya!
Jawab:
Jumlah data di atas adalah sebelas (n = 11). Rata-rata
Rata-rata dari data tersebut adalah 5,75.
Contoh Soal No. 3
Rata-rata nilai ujian matakuliah statistika 29 orang mahasiswa adalah 70. Ketika nilai ujian
matakuliah statistika milik Andi digabungkan dengan nilai-nilai mahasiswa tersebut,
rata-rata nilai naik menjadi 71. Berapakah nilai Andi tersebut?
Soal tersebut dapat diselesaikan dengan menambahkan total keseluruhan nilai mahasiswa
dengan nilai Andi kemudian dibagi dengan jumlah mahasiswa yang nilainya dijumlahkan
(termasuk Andi).
Dari soal diketahui jumlah mahasiswa sebelum nilai Andi dimasukkan adalah 29 (n = 29) dan
rata-ratanya adalah 70 ( = 70). Total keseluruhan nilai mahasiswa sebelum nilai Andi
dimasukkan adalah
Dengan masuknya nilai Andi, jumlah mahasiswa bertambah menjadi 30 (n = 30) dan rata-rata
nilainya naik menjadi 71 ( = 71). Selanjutnya nilai Andi dapat diketahui dengan
memasukkan komponen yang baru tersebut pada rumus rata-rata.
Dengan demikian, nilai rata-rata Andi adalah 100.
Contoh Soal No. 4
Berikut ini adalah data nilai mahasiswa untuk mata kuliah statistika, nilai mahasiswa
diurutkan dari yang terendah ke yang tertinggi: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7,
8, 9. Menurut pertimbangan dosen, mahasiswa harus mengulang ujian kembali untuk
memperbaiki nilai apabila nilai yang mereka dapatkan berada di bawah rata-rata. Berapa
orangkah yang harus memperbaiki nilainya tersebut?
Jawab:
Rata-rata nilai mahasiswa adalah 6, dengan demikian mahasiswa yang harus mengulang ujian
adalah mahasiswa yang nilainya berada di bawah 6. Jumlah mahasiswa yang nilainya di
bawah 6 adalah 8 orang.
Contoh Soal No. 5
Sebuah keluarga memiliki 8 orang anak, yaitu A, B, C, D, E, F, G, H. Umur A adalah 2x + 1
tahun, umur B adalah x + 1 tahun, umur C, D, E, F, G dan H berturut-turut adalah x + 2, x +
3, x + 4, x + 5, x + 6 dan x + 7 tahun. Jika rata-rata umur semua anak tersebut adalah 7.
Berapakah umur A?
Jawab:
Umur A adalah 2x + 1, dimana untuk menghitungnya, nilai x harus kita ketahui terlebih
dahulu. Dari soal diketahui rata-rata umur adalah 7 dan banyaknya data adalah 8 (n = 8). Jika
komponen-komponen yang diketahui dalam soal di atas dimasukkan ke dalam rumus
rata-rata, maka
Varian dan Standar Deviasi (Simpangan Baku)
Varian
dan
standar deviasi (simpangan baku)
adalah ukuran-ukuran
keragaman (variasi) data statistik yang paling sering digunakan.
Standar
deviasi (simpangan baku) merupakan akar kuadrat dari varian
.
Oleh karena itu, jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebut diketahui
maka akan diketahui juga nilai ukuran yang lain.
Penghitungan
Dasar penghitungan varian dan standar deviasi adalah keinginan untuk
mengetahui keragaman suatu kelompok data. Salah satu cara untuk
mengetahui keragaman dari suatu kelompok data adalah dengan
mengurangi setiap nilai data dengan
rata-rata
kelompok data tersebut,
selanjutnya semua hasilnya dijumlahkan.
Namun cara seperti itu tidak bisa digunakan karena hasilnya akan selalu
menjadi 0.
Oleh karena itu, solusi agar nilainya tidak menjadi 0 adalah dengan
mengkuadratkan setiap pengurangan nilai data dan rata-rata kelompok
data tersebut, selanjutnya dilakukan penjumlahan. Hasil penjumlahan
kuadrat (
sum of squares
) tersebut akan selalu bernilai positif.
Nilai varian diperoleh dari pembagian hasil penjumlahan kuadrat (
sum of
squares
) dengan ukuran data (
n
).
Namun begitu, dalam penerapannya,
nilai varian tersebut bias untuk
menduga varian populasi
. Dengan menggunakan rumus tersebut, nilai
varian populasi lebih besar dari varian sampel.
Oleh karena itu, agar tidak bias dalam menduga varian populasi,
Nilai varian yang dihasilkan merupakan nilai yang berbentuk kuadrat.
Misalkan satuan nilai
rata-rata
adalah gram, maka nilai varian adalah
gram kuadrat. Untuk menyeragamkan nilai satuannya maka varian
diakarkuadratkan sehingga hasilnya adalah standar deviasi (simpangan
baku).
Untuk mempermudah penghitungan, rumus varian dan standar deviasi
(simpangan baku) tersebut bisa diturunkan :
Rumus varian
:
Rumus standar deviasi (simpangan baku)
:
Keterangan:
s
2= varian
s
= standar deviasi (simpangan baku)
x
i= nilai
x
ke-
i
=
rata-rata
n
= ukuran sampel
Contoh Penghitungan
Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa orang siswa yang
dijadikan sampel adalah sebagai berikut.
172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Dari tabel tersebut dapat ketahui:
Dengan demikian, jika dimasukkan ke dalam rumus varian, maka hasilnya
adalah sebagai berikut.
Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan 30,32.
Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar deviasi
(simpangan baku) dengan cara mengakarkuadratkan nilai varian.
Hasil tersebut bisa dibuktikan dengan menggunakan Microsoft Excel. Lihat
artikel:
1.
Menghitung Varian Sampel dengan Microsoft Excel
Rata-rata Hitung Data Berkelompok
Data berkelompok adalah data yang disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval. Setiap kelas biasanya memiliki panjang interval yang sama.
Ada tiga cara menghitung rata-rata data berkelompok, yaitu dengan
menggunakan titik tengah, menggunakan simpangan rata-rata sementara dan menggunakan kode (coding). Rumus ketiga cara penghitungan rata-rata data berkelompok tersebut adalah sebagai berikut.
1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)
Rumus yang digunakan adalah
2. Menggunakan simpangan rata-rata sementara
Rumus yang digunakan adalah
dimana
3. Menggunakan pengkodean (coding)
Keterangan:
= rata-rata hitung data berkelompok
= rata-rata sementara
fi = frekuensi data kelas ke-i
xi = nilai tengah kelas ke-i
ci = kode kelas ke-i
p = panjang interval
Contoh Penghitungan
Sebanyak 21 orang pekerja dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Data tinggi badan dibuat dalam bentuk kelas-kelas interval. Hasil pengukuran tinggi badan adalah sebagai berikut.
Jawab:
1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)
Proses penghitungan rata-rata dengan menggunakan titik tengah dibantu dengan menggunakan tabel di bawah ini.
Dari tabel di atas diperoleh
Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut.
2. Dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara
Misalkan rata-rata sementara yang kita tetapkan adalah 160. Selanjutnya kita bisa membuat tabel penghitungan sebagai berikut.
Dari tabel di atas diperoleh
Hasil rata-rata hitung menggunakan simpangan rata-rata adalah
3. Cara coding
Sama dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara, sebelum
menghitung rata-rata dengan cara coding, kita juga harus menetapkan rata-rata
sementara. Namun rata-rata sementara yang kita tetapkan harus sama dengan
salah satu nilai tengah salah satu kelas interval.
Pengkodean dimulai dari angka 0 untuk kelas interval dimana rata-rata sementara ditetapkan. Kemudian dengan kelas sebelumnya berturut-turut menjadi angka negatif (-1, -2, -3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata
sementara. Berikutnya dengan kelas sesudahnya berturut-turut pengkodeannya menjadi angka positif (1,2 3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara tersebut.
Dari tabel di atas diperoleh
Hasil rata-rata hitung menggunakan coding adalah sebagai berikut.
Contoh Soal No. 1
Nilai mahasiswa jurusan statistika untuk mata kuliah statistik deskriptif adalah sebagai berikut.
Hitunglah rata-rata dari nilai mahasiswa tersebut!
Jawab:
Rumus yang digunakan untuk mencari rata-rata data berkelompok di atas adalah
Untuk menyelesaikannya dengan menggunakan rumus tersebut, kita harus
mencari komponen-komponen dari rumus tersebut yaitu komponen ∑ fixi dan
Dari tabel di atas, komponen ∑ fixi dan komponen ∑ fi, yaitu
Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut.
Rata-rata nilai mahasiswa jurusan statistika untuk mata kuliah statistik deskriptif
adalah 64,36.
Median Data Berkelompok
Pada data tunggal, penghitungan median cukup mudah. Data diurutkan berdasarkan nilai datanya mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar.
Kemudian median bisa diketahui langsung dari nilai tengah urutan data tersebut.
Namun pada data berkelompok, cara tersebut tidak bisa digunakan. Data
berkelompok merupakan data yang berbentuk kelas interval, sehingga kita tidak bisa langsung mengetahui nilai median jika kelas mediannya sudah diketahui.
Me = median
xii = batas bawah median
n = jumlah data
fkii = frekuensi kumulatif data di bawah kelas median
fi = frekuensi data pada kelas median
p = panjang interval kelas
Contoh Soal No. 1
Sebanyak 26 orang mahasiswa terpilih sebagai sampel dalam penelitian
kesehatan di sebuah universitas. Mahasiswa yang terpilih tersebut diukur berat badannya. Hasil pengukuran berat badan disajikan dalam bentuk data
berkelompok seperti di bawah ini.
Hitunglah median berat badan mahasiswa!
Jawab:
Selanjutnya adalah menentukan nilai-nilai yang akan digunakan pada rumus.
Jumlah data adalah 26, sehingga mediannya terletak di antara data ke 13 dan 14. Data ke-13 dan 14 ini berada pada kelas interval ke-4 (61 – 65). Kelas interval ke-4 ini kita sebut kelas median.
Melalui informasi kelas median, bisa kita peroleh batas bawah kelas median sama dengan 60,5. Frekuensi kumulatif sebelum kelas median adalah 9, dan frekuensi kelas median sama dengan 5. Diketahui juga, bahwa panjang kelas sama dengan 5.
Secara matematis bisa diringkas sebagai berikut:
xii = 60,5
n = 26
fkii = 9
fi = 5
p = 5
Sehingga median berat badan mahasiswa adalah 64,5 kg.
Contoh Soal No. 2
Berikut ini adalah data berat badan 50 orang mahasiswa jurusan statistika yang telah dikelompokkan ke dalam kelas-kelas interval berat badan. Hitunglah median berat badan mahasiswa tersebut.
Jawab:
Hitung terlebih dahulu frekuensi kumulatif dari data tersebut. Selanjutnya tentukan kelas interval yang memuat median data.
Karena jumlah data (mahasiswa) adalah 50, maka median data terletak pada data ke-25 dan data ke-26.
kelas interval dimana median terletak adalah 15, sedangkan frekuensi kumulatif sebelum kelas interval median adalah 16.
Selain itu dapat kita ketahui juga bahwa panjang interval adalah 5 dan batas bawah kelas median adalah 69,5.
Secara matematis, nilai-nilai tersebut dapat kita tulis dalam notasi sebagai berikut.
Dengan menggunakan rumus median data berkelompok di atas, kita dapat mengetahui median berat badan mahasiswa.
Dengan demikian median berat badan mahasiswa jurusan statistika adalah 72,5 kg.
Rentang (Range)
Dalam sekelompok data kuantitatif akan terdapat data dengan nilai terbesar dan data dengan nilai terkecil. Rentang (range) atau disebut juga dengan jangkauan adalah selisih antara data dengan nilai yang terbesar dengan data denga nilai yang terkecil tersebut.
R = Rentang
xb = nilai data tang terbesar
xk = nilai data tang terkecil
Modus Data Berkelompok
Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi terbanyak dalam seperangkat data. Modus untuk data yang disusun dalam bentuk kelas interval (data berkelompok) bisa ditentukan berdasarkan nilai tengah kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak.
Namun nilai yang dihasilkan dari nilai tengah kelas interval ini adalah nilai yang kasar. Nilai modus yang lebih halus bisa diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini.
Mo = modus
b = batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak
p = panjang kelas interval
b1 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya
b2 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahnya
Contoh:
Berapakah modus nilai statistik mahasiswa tersebut?
Jawab:
Dari tabel di atas, kita bisa mengetahui bahwa modus terletak pada kelas interval keempat (66 – 70) karena kelas tersebut memiliki frekuensi terbanyak yaitu 27. Sebelum menghitung menggunakan rumus modus data berkelompok, terlebih dahulu kita harus mengetahui batas bawah kelas adalah 65,5, frekuensi kelas sebelumnya 14, frekuensi kelas sesudahnya 21. Panjang kelas interval sama dengan 5.
