UKURAN NILAI PUSAT STATISTIK dan PROBA

UKURAN NILAI

PUSAT

Pengertian

Untuk keperluan penganalisisan data lebih lanjut, di

samping pembuatan tabel dan grafik diperlukan juga ukuran-ukuran yang dapat mewakili data tersebut, sehingga dapat diucapkan secara singkat dan dapat digunakan untuk

membandingkan keadaan berbagai kelompok data.

Nilai tunggal yang dianggap dapat mewakili keseluruhan nilai dalam data dianggap sebagai rata-rata (average),

Jenis-jenis Ukuran Nilai Pusat

1. Rata-rata Hitung (Mean); adalah nilai rata-rata dari

data-data yang ada.

Mean dari populasi diberi simbol  (baca miu).

Mean dari sampel diberi simbolX (baca eks bar) rumus : Rata-rata hitung =

a. Mean untuk data tunggal

Keterangan :

X = mean

X = wakil data n = jumlah data

Latihan : hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 7, 6, 3, 8, 9, 4

data

Jumlah

data

semua

Jumlah

n

X X

X

n X

Keterangan :

X = mean

X = wakil data

f = frekuensi

Latihan : hitunglah rata-rata hitung dari nilai-nilai 3, 4, 3, 2, 5, 1, 4, 5, 1, 2, 6, 4, 3, 6, 1

Keterangan :

X = mean

m = nilai rata-rata hitung

f = frekuensi Latihan :

Sebuah perusahaan memiliki 40 pekerja. Perusahaan memberikan gaji, yaitu 5 orang dengan gaji Rp350.000,00/bulan, 10 orang dengan gaji Rp250.000,00/bulan, dan 25 orang dengan gaji

Rp125.000,00/bulan. Berapa rata-rata rupiah yang dikeluarkan oleh perusahaan itu per bulan untuk setiap pekerja ?

b. Mean untuk data berkelompok

Keterangan :

X = mean

X = titik tengah interval

f = frekuensi pada interval kelas

Latihan : tentukan rata-rata hitung dari tabel berikut

f

fX

X







Berat badan (kg) Banyaknya Mahasiswa (f)

60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74

2. Median; adalah nilai tengah dari data-data yang ada

setelah diurutkan.

Median diberi simbol Me atau Md.

a. Median untuk data tunggal

* jika jumlah data ganjil, mediannya adalah data yang berada paling tengah

* jika jumlah data genap, mediannya adalah hasil bagi jumlah dua data yang berada di tengah

Latihan : tentukan median dari data berikut :

• 4, 3, 6, 2, 7, 5, 8

• 11, 5, 4, 7, 14, 8, 9, 12

b. Median untuk data berkelompok

rumus :

Keterangan :

Me = median

B = tepi bawah kelas median

n = jumlah frekuensi

= jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas median

C = panjang interval kelas

= frekuensi kelas median

Dalam mencari median data berkelompok (distribusi frekuensi) yang perlu dicari terlebih dahulu adalah kelas tempat median berada (kelas median). Kelas median dapat dicari dengan :

 ½ n

C

f

o

f

n

B

Me

Me











2

(

)

1

2

o f ) ( ₂

Me

f

Latihan :

Tentukan median dari distribusi frekuensi berikut

Diameter pipa (mm) Frekuensi (f) 65 – 67

68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82

2 5 13 14 4 2 Penyelesaian :

Jumlah frekuensi (n) = 40 dan ½ n = 20

Kelas median adalah  ½ n ;  20 Jadi, kelas median adalah kelas ke-3

B = 70,5 = 13

= 7 = 73,5

C = 3

o f

)

(



₂ f₁  f₂  f₃

Me

f

3 13 7 20 5 ,

70   



Me

3. Modus; adalah nilai yang paling sering muncul dalam

data.

Modus diberi simbol Mo.

a. Modus untuk data tunggal

* modus dari data tunggal adalah data yang frekuensinya terbanyak.

Latihan : tentukan modus dari data berikut :

• 1, 3, 6, 6, 7, 8, 9

• 1, 4, 7, 8, 9, 12

• 1, 2, 4, 4, 6, 8, 8, 12, 14

b. Modus untuk data berkelompok

C

d

d

d

L

Mo









2 1

2

Keterangan :

Mo = modus

L = tepi bawah kelas

= selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya

= selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya

C = panjang interval kelas

Latihan : tentukan modus dari distribusi frekuensi pada tabel di atas

2

d

1

4. Kuartil (Q); adalah nilai-nilai yang membagi

seperangkat data yang telah terurut menjadi empat bagian yang sama.

= kuartil bawah atau pertama

= kuartil tengah atau kedua = median

= kuartil atas atau ketiga

a. Kuartil untuk data tunggal

nilai ke i = 1, 2, 3

Latihan : tentukan kuartil dari data berikut :

• 3, 6, 10, 4, 8, 9, 14

• 4, 9, 6, 12, 10, 5, 14, 2

4

)

1

(

n



i



i

Q

1

Q

2

Q

3

b. Kuartil untuk data berkelompok

Keterangan :

= tepi bawah kelas kuartil

n = jumlah semua frekuensi

I = 1, 2, 3

= jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil

C = panjang interval kelas

= frekuensi kelas kuartil

C

f

o

f

in

B

Q

Qi i i i











4

(

)

i B

Qi

f

Measures of Variation

Variation

Variance

Standard Deviation

Coefficient

of Variation

Population Variance Sample Variance

Population Standard Deviation

Sample Standard Deviation

Range

•

Measure of Variation

•

Difference Between Largest & Smallest

Observations

:

Range =

•

Ignores How Data Are Distributed

:

The Range

Smallest rgest

La

x

x



7 8 9 10 11 12

Range = 12 - 7 = 5

7 8 9 10 11 12

•

Measure of Variation

• Also Known as Midspread:

Spread in the Middle 50% • Difference Between Third & First

Quartiles: Interquartile Range =

• Not Affected by Extreme Values

Interquartile Range

1

3

Q

Q



Data in Ordered Array: 11 12 13 16 16 17 17 18 21

1 3

Q

•

Important Measure of Variation

•

Shows Variation About the Mean:

•

For the Population:

•

For the Sample:

Variance





N

X

_i

 



2 2









1

2 2









n

X

X

s

i

For the Population: use N in the denominator.

•

Most Important Measure of Variation

•

Shows Variation About the Mean:

•

For the Population:

•

For the Sample:

Standard Deviation





N

X

_i

 





2







1

2









n

X

X

s

i

For the Population: use N in the denominator.

Sample Standard Deviation





1

2









n

X

X

_i For the_denominator.Sample : use n - 1 in the

Data: 10 12 14 15 17 18 18 24

s =

n = 8 Mean =16

1 8 16 24 16 18 16 17 16 15 16 14 16 12 16

10 2 2 2 2 2 2 2

Comparing Standard Deviations





1

2







n

X

X

_i

s =

= 4.2426





N

X

_i









2



= 3.9686

Value for the Standard Deviation is larger for data considered as a

Sample.

Data : _{X :} 10 12 14 15 17 18 18 24 i

Comparing Standard Deviations

Mean = 15.5

s =

3.338

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Data B Data A

Mean = 15.5

s =

.9258

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Mean = 15.5

Coefficient of Variation

•Measure of

Relative Variation

•Always a

%

•Shows Variation Relative to Mean

•Used to

Compare 2 or More Groups

•

Formula ( for Sample):

100%

















Comparing Coefficient of Variation



Stock A:

Average Price last year =

$50



Standard Deviation =

$5



Stock B:

Average Price last year =

$100



Standard Deviation =

$5

100%

















X

S

CV

Coefficient of

Variation:

Stock A:

CV = 10%

Shape

•

Describes How Data Are Distributed

•

Measures of Shape:



Symmetric or skewed

Right-Skewed Left-Skewed Symmetric

Mean = Median = Mode

Mean Median Mod Mode Median Mean

Box-and-Whisker Plot



Graphical Display of Data Using

5-Number Summary

Median

4

6

8

10

12

Q

₃

Distribution Shape &

Box-and-Whisker Plots

Right-Skewed

Left-Skewed Symmetric

Q₁ Median Q₃

Q₁ Median Q₃ Q

Kesimetrisan

 Skewness coefficient (koefisien kemiringan) [ 1/(n-1 ] (x_i –x_rata)3

Kesimetrisan

 Kurtosis coefficient (koefisien keruncingan) [ 1/(n-1 ] (x_i –x_rata)4

Pengertian

Data yang telah diperoleh dari suatu penelitian yang masih berupa data acak atau data mentah dapat dibuat menjadi data yang berkelompok, yaitu data yang telah

disusun ke dalam kelas-kelas tertentu. Daftar yang memuat data berkelompok disebut distribusi frekuensi atau tabel

frekuensi.

Jadi, distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar.

Bagian-bagian Distribusi Frekuensi

1. Kelas-kelas; adalah kelompok nilai data atau variabel.

2. Batas kelas; adalah nilai-nilai yang membatasi kelas yang

satu dengan kelas yang lain.

a. Batas kelas bawah, terdapat di deretan sebelah kiri setiap kelas, b. Batas kelas atas, terdapat di deretan sebelah kanan setiap kelas.

3. Tepi kelas (batas nyata kelas); adalah batas kelas yang

tidak memiliki lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan yang lain

a. Tepi bawah kelas atau batas kelas bawah sebenarnya = batas

bawah kelas – 0,5

b. Tepi atas kelas atau batas kelas atas sebenarnya = batas atas

Bagian-bagian Distribusi Frekuensi

4. Titik tengah kelas; adalah angka atau nilai data yang

tepat terletak di tengah suatu kelas, merupakan nilai yang mewakili kelasnya. Titik tengah kelas = ½ (batas atas + batas bawah) kelas

5. Interval kelas; adalah selang yang memisahkan kelas

yang satu dengan yang lain.

6. Panjang interval kelas atau luas kelas; adalah jarak

antara tepi atas kelas dan tepi bawah kelas.

7. Frekuensi kelas; adalah banyaknya data yang termasuk

contoh

Modal (jutaan Rp) Frekuensi (

f

)

50

–

59

60

–

69

70

–

79

80

–

89

90

–

99

16

32

20

17

15

Jumlah

100

• Banyaknya kelas adalah 5

• Batas bawah kelas-kelas adalah 50, 60, 70, 80, 90

• Batas atas kelas-kelas adalah 59, 69, 79, 89, 99

• Tepi bawah kelas-kelas adalah 49,5; 59,5; 69,5; 79,5; 89,5

• Tepi atas kelas-kelas adalah 59,5; 69,5; 79,5; 89,5; 99,5

• Titik tengah kelas-kelas adalah 54,5; 64,5; 74,5; 84,5; 94,5

• Interval kelas-kelas adalah 50-59; 60-69; ,,, ;90-99

• Panjang interval kelas-kelas masing-masing 10

Penyusunan Distribusi Frekuensi

1. Mengurutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar. 2. Menentukan jangkauan (range) dari data

Jangkauan = data terbesar – data terkecil

3. Menentukan banyaknya kelas (k) dengan rumus sturgess

k = 1 + 3,3 log n k  bulat

Keterangan :

k = banyaknya kelas

Penyusunan Distribusi Frekuensi

4. Menentukan panjang interval kelas (i)

jangkauan (R)

i =

banyaknya kelas (k)

5. Menentukan batas bawah kelas pertama; biasanya dipilih

dari data terkecil atau data terkecil yang berasal dari pelebaran jangkauan (data yang lebih kecil dari data

terkecil) dan selisihnya harus kurang dari panjang interval kelasnya

6. Menuliskan frekuensi kelas secara melidi sesuai banyaknya

Catatan tentang penyusunan distribusi frekuensi

1. Perlu dijaga jangan sampai ada data yang tidak dimasukkan ke dalam kelas atau ada data yang masuk ke dalam dua

kelas yang berbeda.

2. Titik tengah kelas diusahakan bilangan bulat tidak pecahan.

3. Nilai frekuensi diusahakan tidak ada yang nol (0).

4. Dalam menentukan banyaknya kelas (k), diusahakan :

a. tidak terlalu sedikit, sehingga pola kelompok kabur;

b. banyaknya kelas berkisar 5 sampai 15 buah;

Contoh soal

Dari hasil pengukuran diameter pipa-pipa yang dibuat oleh sebuah mesin (dalam mm terdekat), diperoleh data sebagai berikut

78 72 74 79 74 71 75 74 72 68

72 73 72 74 75 74 73 74 65 72

66 75 80 69 82 73 74 72 79 71

70 75 71 70 70 70 75 76 77 67

Buatlah distribusi frekuensi dari data tersebut !

Penyelesaian:

a.Urutan data :

65 66 67 68 69 70 70 70 70 71

71 71 72 72 72 72 72 72 73 73

73 74 74 74 74 74 74 74 75 75

b. Jangkauan (R) = 82 – 65 = 17 c. Banyaknya kelas (k) adalah

k = 1+ 3,3 log 40

= 1+ 5,3 = 6,3  6

d. Panjang interval kelas (i) adalah

i = 17 / 6 = 2,83  3

e. Batas kelas pertama adalah 65 (data terkecil)

f. Tabelnya :

Diameter Turus Frekuensi

65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82

III IIII I IIII IIII II IIII IIII III

Histogram dan Poligon Frekuensi

Adalah dua grafik yang sering digunakan untuk menggam-barkan distribusi frekuensi. Histogram merupakan grafik batang dari distribusi frekuensi dan poligon frekuensi merupakan grafik garisnya.

Histogram = batang-batangnya saling melekat atau berimpitan

digunakan sistem salib sumbu; sumbu x menyatakan interval kelas dan sumbu y menyatakan frekuensi.

contoh

Interval Kelas Frekuensi

(banyak murid)

Tepi Interval Kelas

Titik tengah

140 – 144

145 – 149

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 – 169

170 – 174

2 4 10 14 12 5 3

139,5 – 144,5

144,5 – 149,5

149,5 – 154,5

154,5 – 159,5

159,5 – 164,5

164,5 – 169,5

169,5 – 174,5

142 147 152 157 162 167 172

0 5 10 15

144,5 149,5 154,5 159,5 164,5 169,5 174,5

139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5 169,5

Tinggi Badan F re k u e n s i a. Histogram

b. Poligon frekuensi

0 5 10 15

142 147 152 157 162 167 172

Teknik Grafis (Graphical

Techniques)



Peringkasan data secara visual atau

grafis yang menggunakan

gambar-gambar berdasarkan tabel data yang

telah ada sebelumnya



Teknik Grafis :

- Piktogram

- Pie Chart

- Bar Chart

- Histogram Frekuensi

- Ogive

Pie Chart (Diagram Pia)



Data digambarkan

dengan suatu

Histogram & Poligon

Frekuensi



Data diringkas dalam

bentuk grafik yang

mencerminkan

distribusi frekuensi.

Diperlukan sumbu X

untuk menyatakan

interval kelas dan

sumbu Y untuk

Ogive (Poligon Frekuensi

Kumulatif)



Data diringkas

dalam bentuk grafik

yang merupakan

grafik dari distribusi

frekuensi kumulatif

lebih dari atau

Stem and Leaf Plot

(Diagram Batang dan Daun

)



Diperkenalkan oleh

John Tuckey (1977)



Data dirangkum

dalam bentuk

batang dan

daun

(stem and leaf).



Jika ukuran data

besar maka stem

dapat dibuat

Box Plot (Diagram Kotak

–

Box and

Whisker plot)



Peringkasan data

menggunakan

diagram kotak untuk

menggambarkan

apakah data



Untuk membuat Box Plot, ada beberapa

hal yang harus diketahui :

- Nilai minimum

- Nilai maksimum

- Median (Q

₂

= kuartil ke-2)

- Lower Quartile (Q

₁

= kuartil ke-1)

- Upper Quartile (Q

₃

= kuartil ke-3)

- IQR (Inter Quartile Range ) = Q

₃

-Q

₁

Contoh



Misalkan dimiliki data berikut :

5,3 4,0 12,5 3,0 3,9 6,4 5,2 2,6 15,8, 6,2 4,0 7,1 3,4 4,4 3,5 3,4 3,2 5,6 3,2 3,4 8,6 3,1

n = 22, nilai minimum = 2,6, nilai maksimum = 15,8

Data terurut :



Lokasi Median : (n+1)/2 = 23/2 = 11,5



Median (4,0 + 4,0)/2 = 4,0



Mean = 5,4



Lokasi Q

₁

:

(lokasi median dibulatkan ke bawah + 1)/2

yaitu lokasi ke 6 dari nilai minimum

Q

₁

= 3,4



Lokasi Q

₃

:

(lokasi median dibulatkan ke bawah + 1)/2

yaitu lokasi ke 6 dari nilai maksimum



IQR = Q

₃

-Q

₁

= 6,2

–

3,4 = 2,8



LIF = Q

₁

- 1,5 IQR = 3,4

–

1,5 (2,8) = - 0,8



UIF = Q

₃

+ 1,5 IQR = 6,2 + 1,5 (2,8) = 10,4



LOF = Q

₁

- 3 IQR = 3,4

–

3 (2,8) = - 5



UOF = Q

₃

+ 3 IQR = 6,2 + 3 (2,8) = 14,6

Data yang terletak antara LIF dan UIF bukan

outlier

Boxplot - Contoh



Bila semua data

terletak terletak antara

LIF dan UIF maka data

tidak memiliki outlier



Data terletak antara IF

dan OF disebut

mild

outlier

(tanda bulat)



Data terletak di luar OF

disebut

extreme outlier