IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA 1 Pertemuan ketiga
UKURAN PEMUSATAN DATA
Karakteristik suatu kumpulan data adalah : (1). Memusat pada nilai tertentu dari suatu distribusi, yang disebut nilai pusat (middle of data set), dan (2). Menyebar/berpencar (spread of data set). Termasuk dalam ukuran tendensi sentral (measures of central tendency) : rata-rata hitung, rata-rata geometric, rata-rata harmonic, median dan modus. Jenis ukuran penyebaran (measures of dispersion) yaitu penyebaran mutlak dan penyebaran relative. Termasuk dalam penyebaran adalah : range, deviasi kuartil, simpangan rata-rata, varians, simpangan baku. A. Rata-rata Hitung (Mean)
Rata-rata hitung merupakan jumlah dari seluruh nilai data dibagi dengan banyaknya data. Rumus rata-rata hitung untuk data kuantitatif tanpa pengelompokkan, dimana datanya x1, x2, x3, x4, …, xn dengan data n buah, adalah :
Contoh
Cari mean dari 5 orang mahasiswa hasil ujian mata kuliah statistik, jika x1 = 70, x2 = 65, x3 = 30, x4 = 45, dan x5 = 60 !
Solusi
Rumus rata-rata hitung untuk data kuantitatif yang sudah dikelompokkan, dihitung dengan rumus :
Dimana :
xi adalah titik tengah masing-masing kelas fi adalah frekuensi masing-masing kelas Contoh
Cari mean dari data distribusi frekuensi berikut :
No. Kelas Interval Frekuensi (fi) xi fi.xi
1 53 – 58 2 55,5 111 2 59 – 64 12 61,5 738 3 65 – 70 10 … … 4 71 – 76 23 5 77 – 82 14 6 83 – 88 10 7 89 – 94 5 8 95 - 100 4 Σfi = 80 Σfi.xi = ……
Maka meannya adalah :
IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA 2 Mencari mean dengan cara coding, rumusnya :
Dimana :
Ci adalah pengkodean (mulai dari 0)
Xo adalah nilai tengah kelas yang memakai kode 0 P = panjang kelas/interval
Contoh
No. Kelas Interval Frekuensi (fi) ci fi.ci x0
1 53 – 58 2 -3 -6 55,5 2 59 – 64 12 -2 -24 61,5 3 65 – 70 10 -1 … … 4 71 – 76 23 0 5 77 – 82 14 1 6 83 – 88 10 … 7 89 – 94 5 8 95 - 100 4 Σfi = 80 Σfi.ci = ……
Maka nilai rata-ratanya :
B. M o d u s
Modus adalah nilai yang mempunyai frekuensi terbesar dalam suatu kumpulan data. Modus berguna untuk mengetahui tingkat seringnya terjadi suatu peristiwa. Jika nilai yang tampil dengan frekuensi tertinggi ada dua disebut bimodal, kalau ada tiga disebut trimodal, kalau ada banyak disebut multimodal. Modus dapat digunakan untuk semua skala pengukuran data mulai dari nominal hingga ratio.
Contoh
Dari data 10 orang mahasiswa yang mengikuti tes statistika sebgai berikut : 50, 40, 37, 50, 50, 60, 80, 80, 70, 90. Maka modusnya (Mo) adalah : 50.
Untuk menentukan modus dari data kuantitatif dengan data distribusi frekuensi, rumus yang dipakai :
Dimana :
b = Tepi batas bawah kelas modus P = Panjang kelas/interval
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya b2 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas berikutnya
IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA 3 Contoh
Diketahui distribusi frekuensi dibawah ini : Kelas interval f 31 – 40 1 41 – 50 2 51 – 60 5 61 – 70 15 71 – 80 20 81 – 90 25 91 – 100 5 Σf = … Solusi
Berdasarkan tabel di atas, didapat : b1 = 25 – 20 = 5
b2 = 25 – 5 = 20
b = (81 + 80) : 2 = 80,5 P = 10
Sehingga modusnya adalah :
C. M e d i a n
Median merupakan nilai tengah dari nilai-nilai pengamatan yang disusun secara teratur menurut besarnya data. Median membagi nilai pengamatan yang ada pada gugus data sehingga 50% terletak dibawah median dan 50% di atas median. Median dapat dipergunakan bila skala pengukuran datanya minimal ordinal, sehingga terhadap nilai-nilai pengamatan dapat dilakukan pemeringkatan untuk menemukan nilai pengamatan yang berlokasi di tengah.
Contoh
Median dari data berikut : 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10 adalah 7 (untuk data ganjil). Dan median dari data 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11 adalah (7 + 8) /2 = 7,5 (untuk data genap)
Untuk menentukan median dari data yang dikelompokkan dalam data distribusi frekuensi menggunakan rumus :
Dimana :
b = tepi batas bawah kelas median P = panjang kelas/interval
F = Jumlah frekuensi sebelum kelas median f = Frekuensi kelas median
n = jumlah seluruh frekuensi Contoh
Diketahui tabel distribusi frekuensi di bawah ini : Kelas interval f 31 – 40 1 41 – 50 2 51 – 60 5 61 – 70 15 71 – 80 20 81 – 90 25 91 – 100 5 Σf = … Solusi Kelas modus Kelas median
IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA 4 Berdasarkan tabel di atas :
Kelas median adalah : 72/2 = 36,5 (angka 36,5 terletak di kelas interval 5) sehingga didapat : b = 70,5; p = 10; F = 23; f = 20; n = 73. Dengan demikian nilai mediannya adalah :
D. Hubungan Mean, Median dan Modus
Hubungan antara mean, median dan modus dari suatu distribusi frekuensi adalah sebagai berikut :
Bila nilai mean, nilai median dan nilai modus sama besar ( = Me = Mo), artinya nilai mean, median dan modus terletak pada satu titik dari kurva distribusi frekuensi, dan kurva/data tersebut berbentuk simetris (symmetrical curve)
Bila nilai mean lebih besar dari nilai median dan nilai modus (
>
Me > Mo ), artinya nilai mean terletak di sebelah kanan kurva distribusi frekuensi, kemudian median di tengah dan modus dikiri, maka kurva/data tersebut bentunya tidak simetris dan menceng kesebelah kanan (skewed right) Bila nilai mean lebih kecil dari nilai median dan nilai modus ( = Me = Mo), artinya nilai mean terletak disebelah kiri kurva distribusi frekuensi, kemudian median di tengah dan modus di kanan, maka kurva/data tersebut bentuknya tidak simetris dan menceng ke sebelah kiri (skewed left)
E. K u a r t i l
Kuartil merupakan nilai-nilai yang membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama, sehingga dalam suatu gugus data didapati 3 kuartil (kuartil 1, kuartil 2 atau median, dan kuartil 3). Untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut :
Gugus data dalam kuartil
Untuk menentukan nilai kuartil perlu diperhatikan langkah-langkah berikut, yaitu : 1. Susun data tersebut menurut nilainya,
2. Tentukan letak kuartil, dan 3. Tentukan nilai kuartil
Letak kuartil : Dimana : Qk = Kuartil ke-k k = 1, 2, 3 N = Banyak data/observasi Contoh
Tentukan letak Q1, Q2, dan Q3 serta nilainya dari data berikut : 35, 40, 70, 80, 91, 50, 61, 25, 95. Solusi 25, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95
Q
1Q
2Q
3Lowes
observation
¼ of items
¼ of items
¼ of items
¼ of items
1 st quartile 2
ndquartile
(median)
1 rd quartile
highest
observation
IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA 5 Letak kuartil 1 (Q1) adalah : Q1 = 1(9 + 1) : 4 = 2,5. Jadi kuarti ke 1 terletak diantara data ke 2 dan ke 3. Maka nilai kuartil 1 adalah data ke 2 + ½ (data ke 3 – data ke 2) = 35 + ½(40 – 35) = 35 + ½(5) = 37,5
Letak kuartil 2 (Q2 adalah Q2 = 2(9 + 1) : 4 = 5. Jadi kuartil ke 2 terletak pada data ke 5 yaitu 61 (nilai kuartil 2 adalah 61)
Letak kuartil 3 (Q3) adalah Q3 = 3(9 + 1) : 4 = 7,5. Jadi kuartil ke 3 terletak di antara data ke 7 dan data ke 8, maka kuartil 3 adalah data ke 7 + ½(data ke 8 – data ke 7) = 80 + ½(91 – 80) = 80 + ½(11) = 85,5.
Rumus untuk mencari nilai kuartil untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi frekuensi adalah :
Dimana :
Qk = kuartil ke k k = 1, 2, 3
B1 = batas bawah kelas yang mengandung Qk i = interval kelas
Cfb = jumlah frekuensi sebelum kelas yang mengandung Qk fQ = frekuensi kelas yang mengandung Qk
n = banyak observasi Contoh
Cari letak dan nilai Q1, Q2, dan Q3 dari data sebagai berikut : Kelas interval f 31 – 40 1 41 – 50 2 51 – 60 5 61 – 70 15 71 – 80 20 81 – 90 25 91 – 100 12 Σf = 80 Solusi
Berdasarkan tabel di atas didapat : Letak Qi = (k/4) . N
Letak Q1 = (1/4). 80 = 20 Letak Q2 = (2/4) . 80 = 40 Letak Q3 = (3/4) . 80 = 60
Untuk Q1 = k = 1, cfb = 8, B1 = 60,5; i = 10, fQ = 15, N = 80. Nilai kuartil 1 nya adalah :
Untuk Q2 = k = 2, cfb = 23, B1 = 70,5; i = 10, fQ = 20, N = 80. Nilai kuartil 2 nya adalah :
Untuk Q3 = k = 3, cfb = 43, B1 = 80,5; i = 10, fQ = 25, N = 80. Nilai kuartil 3 nya adalah : Letak Q2
Letak Q3 Letak Q1
IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA 6 F. D e s i l
Jika kelompok suatu data dapat dibagi menjadi 10 bagian yang sama didapat 9 pembagi dan tiap pembagi disebut desil.
Rumus mencari letak desil untuk data yang tidak dikelompokkan dalam distribusi frekuensi adalah : Letak desil : Dimana : Dk = Desil ke-k k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 N = Banyak data/observasi Contoh
Cari letak dan nilai D2, D4, D6 dari data sebagai berikut : 30, 46, 47, 50, 35, 25, 40, 40, 55, 60, 70, 80, 90 !
Solusi
Rumus mencari nilai desil untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi frekuensi adalah :
Dimana :
Dk = Desil ke k
k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
B1 = batas bawah kelas yang mengandung Dk i = interval kelas
Cfb = jumlah frekuensi sebelum kelas yang mengandung Dk fD = frekuensi kelas yang mengandung DK
n = banyak observasi Contoh
Cari letak nilai D2, D4, D6 ,D8 dari data sebagai berikut : Kelas interval f 31 – 40 1 41 – 50 2 51 – 60 5 61 – 70 15 71 – 80 20 81 – 90 25 91 – 100 12 Σf = 80 Letak D4 Letak D6 dan D8 Letak D2
IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA 7
Solusi
Misal kita ambil D8
Letak D8 = (8 x 80)/10 = 64 Maka nilai
Misal kita ambil D2
Letak D2 = (2 x 80)/10 = … Maka nilai
Misal kita ambil D4
Letak D4 = (4 x 80)/10 = … Maka nilai
Misal kita ambil D6
Letak D6 = (6 x 80)/10 = … Maka nilai
G. P e r s e n t i l (Percentile)
Jika suatu data dibagi menjadi 100 bagian yang sama didapat 99 pembagi, dan setiap pembagi disebut persentil.
Letak persentil : Dimana : Dk = Persentil ke-k k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 99 N = Banyak data/observasi Contoh
Tentukan letak P20 serta nilainya dari data berikut ini : 35, 40, 70, 80, 91, 50, 61, 25, 95
Solusi
25, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95
Letak persentil 20 (P20) adalah : P20 = 20(9 + 1)/100 = 2. Jadi persentil ke 20 terletak pada data ke 2, yaitu 35.
Rumus mencari nilai persentil untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi frekuensi adalah :
Dimana :
Pk = Persentil ke k
k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
B1 = batas bawah kelas yang mengandung Pk i = interval kelas
Cfb = jumlah frekuensi sebelum kelas yang mengandung Pk fD = frekuensi kelas yang mengandung PK
IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA 8 Contoh
Cari letak nilai P50 dan P75 dari data sebagai berikut : Kelas interval f 31 – 40 1 41 – 50 2 51 – 60 5 61 – 70 15 71 – 80 20 81 – 90 25 91 – 100 12 Σf = 80 Solusi Letak P50 = (50 x 80) / 100 = 40 Letak P75 = … L A T I H A N
1. Dari 100 orang mahasiswa Program Studi FE Universitas Wijaya Putra Surabaya yang mengikuti ujian akhir semester mata kuliah statistic, diambil sampel secara acak 10 orang mahasiswa untuk nilai ujiannya. Setelah diteliti, didapat data sebagai berikut : 60, 70, 75, 80, 55, 100, 90, 65, 70, 85. Hitunglah rata-rata hitung nilai mahasiswa tersebut ! 2. Apa yang akan anda tuliskan tentang modus dalam suatu percobaan bila :
a. dari 10 percobaan tidak ada nilai yang sama b. dari 6 percobaan semua nilai sama
c. dari 6 percobaan, nilainya 1, 2, 3, 3, 4, dan 4
3. Hitunglah nilai rata-rata, median dan modus dari distribusi frekuensi berikut : Kelas Frekuensi 21 – 30 7 31 – 40 12 41 – 50 21 51 – 60 18 61 - 70 12
4. Sampel acak 50 orang karyawan perusahaan, setelah diteliti mengenai besar pengeluaran per bulannya, diperoleh data sebgai berikut :
Pengeluaran Per Bulan
(dalam ribuan rupiah) Banyak Pegawai (orang)
500 – 599 4 600 – 699 6 700 – 799 12 800 – 899 15 900 – 999 10 1000 – 1099 3 Diminta Letak P50
IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA 9 a. Rata-rata hitung besarnya pengeluaran per bulan 50 karyawan tersebut
b. Modus besarnya pengeluaran per bulan 50 karyawan tersebut c. Median besarnya pengeluaran per bulan 50 karyawan tersebut
d. Tunjukkan hubungan rata-rata, modus, dan median di atas dalam bentuk kurva 5. Maju, Inc. adalah distributor barang-barang elektronika. Dalam bisnis ini, kepastian
waktu yang dibutuhkan pelanggan untuk mambayar faktur mereka adalah sangat penting. Berikut adalah sampel dari Maju, Inc. yang menyatakan susunan faktur dari yang terkecil ke yang terbesar, berdasarkan waktu dan hari : 13, 113, 13, 20, 26, 27, 31, 34, 34, 34, 35, 35, 36, 37, 38, 41, 41, 41, 45, 47, 47, 47, 50, 51, 53, 54, 56, 62, 67, 82.
Diminta
a. Tentukan nilai kuartil 1 dan 3 b. Tentukan nilai desil 2 dan 8 c. Tentukan nilai persentil ke 67
