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Journal de Th´

eorie des Nombres

de Bordeaux

20

_{(2008), 525–530}

Prime factors of class number of cyclotomic fields

par

Tetsuya TANIGUCHI

R´esum´e. _{Soitpun nombre premier impair,rune racine primitive}

modulop et ri ≡ ri (modp) avec 1≤ ri ≤p−1. En 2007, R.

Queme a pos´e la question : leℓ-rang (ℓ premier impair 6=p) du groupe des classes d’id´eaux du p-i`eme corps cyclotomique est-il ´egal au degr´e du plus grand diviseur commun sur le corps finiFℓde x(p−1)/2+1 et du polynˆome de Kummer_f(_x) =Pp−2

i=0r−ix

i_{. Dans}

cet article, nous donnons une r´eponse compl`ete `a cette question en produisant un contre-exemple.

Abstract. _{Letpbe an odd prime,rbe a primitive root modulo}

pand ri ≡ri (mod p) with 1≤ri ≤p−1. In 2007, R. Queme

raised the question whether theℓ-rank (ℓ an odd prime 6=p) of the ideal class group of thep-th cyclotomic field is equal to the degree of the greatest common divisor over the finite fieldFℓ of x(p−1)/2+ 1 and Kummer’s polynomial _f(_x) = Pp−2

i=0r−ix

i_{. In}

this paper, we shall give the complete answer for this question enumerating a counter-example.

TetsuyaTaniguchi

Department of Mathematics, Tokyo University of Science, Noda, Chiba 278-8510, Japan

E-mail:taniguti tetuya@ma.noda.tus.ac.jp URL:http://www.ma.noda.tus.ac.jp/g/tt/