Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
19
(2007), 263–288
Rational approximations to
√
32 and other
algebraic numbers revisited
par
Paul M. VOUTIER
R´esum´e. Dans cet article, nous am´eliorons des mesures effec-tives d’irrationalit´e pour certains nombres de la forme √3n en
utilisant des approximations obtenues `a partir de fonctions hy-perg´eom´etriques. Ces r´esultats sont tr`es proche du mieux que peut donner cette m´ethode. Nous obtenons ces r´esultats grˆace `a des informations arithm´etiques tr`es pr´ecises sur les d´enominateurs des coefficients de ces fonctions hyperg´eom´etriques.
Des am´eliorations de bornes pour les fonctions de Chebyshev
θ(k, l;x) =Pp≡lmodk; p,prime, p≤x
logp.et ψ(k, l;x) =Pn≡lmodk; n≤x
Λ(n) (k= 1,3,4,6) sont aussi pr´esent´es.
Abstract. In this paper, we establish improved effective irra-tionality measures for certain numbers of the form √3
n, using approximations obtained from hypergeometric functions. These results are very close to the best possible using this method. We are able to obtain these results by determining very precise arith-metic information about the denominators of the coefficients of these hypergeometric functions.
Improved bounds for the Chebyshev functions in arithmetic progressionsθ(k, l;x) and ψ(k, l;x) for k= 1,3,4,6 are also pre-sented.
Paul M.Voutier London, UK
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