Integral Agus Yodi Gunawan

Integral

Agus Yodi Gunawan

1

Teknik pengintegralan.

1. Metode substitusi pada integral tak tentu. Misalkan g(x) suatu fungsi yang terdiferensialkan. Misalkan pula F (x) merupakan antiturunan dari fungsi f (x). Jika

u = g(x), maka

∫

f (g(x))g′(x)dx = ∫

f (u)du = F (u) + C = F (g(x)) + C.

2. Integral parsial. Misalkan u(x) dan v(x) masing-masing fungsi yang terdiferen-sialkan. Maka, _∫

u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)− ∫

v(x)u′(x)dx. 3. Integral fungsi trigonometri.

• Bentuk I: ∫ sinnx dx, ∫ cosn_{x dx .}

(a) Jika n bilangan bulat positif ganjil: Integran dituliskan sebagai perkalian fungsi trigonometri berpangkat genap dan fungsi trigonometri berpangkat satu, kemudian gunakan identitas sin2x + cos2_{x = 1. Contoh,}

∫ cos5x dx = ∫ cos4x cos x dx = ∫ (1− sin2x)2cos x dx.

(b) Jika n bilangan bulat positif genap: Integran disusun ulang dengan meng-gunakan identitas cos 2x = 1− 2 sin2x = 2 cos2_{x− 1. Contoh,}

∫ cos4x dx = ∫ ( 1 + cos 2x 2 )2 dx.

• Bentuk II: ∫ sinmx cosn_{x dx .}

(a) Jika m (atau n) bilangan bulat positif ganjil dan lainnya bilangan bulat: Integran berpangkat ganjil mengikuti aturan bentuk I(a). Contoh,

∫

cos3x sin−4x dx =

∫

cos2x sin−4x cos x dx =

∫

(1−sin2x) sin−4x cos x dx.

(b) Jika m dan n keduanya bilangan bulat positif genap: Masing-masing fungsi trigonometri pada integran disusun ulang dengan menggunakan aturan bentuk I(b). Contoh,

∫ sin2x cos4x dx = ∫ ( 1− cos 2x 2 ) ( 1 + cos 2x 2 )2 dx.

• Bentuk III: ∫ sin mx cos nx dx,∫ sin mx sin nx dx,∫ cos mx cos nx dx . Gunakan identitas:

(a) sin mx cos nx = 1

2[sin(m + n)x + sin(m− n)x]. (b) sin mx sin nx = 1

2[cos(m + n)x− cos(m − n)x]. (c) cos mx cos nx = 1

2[cos(m + n)x + cos(m− n)x].

• Bentuk IV: ∫ tanmx dx,∫ cotmx dx .

Integran disusun ulang sehingga memuat salah satunya bentuk tan2x (atau

cot2x), kemudian gunakan identitas 1 + tan2x = sec2x atau 1 + cot2x = csc2x

sehingga integran yang baru mengandung suku sec2x (atau csc2x). Contoh,

∫ cot4x dx = ∫ cot2x(csc2x− 1) dx ∫ tan4x dx = ∫ tan2x(sec2x− 1) dx • Bentuk V: ∫ tanm_{x sec}n_{x dx,}∫ _cotm_{x csc}n_{x dx .}

(a) Jika n bilangan bulat positif genap: Integran dituliskan sebagai perkalian fungsi-fungsi yang salah satunya memuat bentuk sec2x, kemudian gunakan

identitas sec2x = 1 + tan2x. Contoh,

∫

(tan−3/2x) sec4x dx =

∫

(tan−3/2x) (1 + tan2x) sec2x dx.

(b) Jika m bilangan bulat positif ganjil: Integran dituliskan sebagai perkalian fungsi-fungsi yang salah satunya memuat bentuk sec x tan x, kemudian gu-nakan identitas sec2_{x = 1 + tan}2_{x. Contoh,}

∫

(tan3x) sec−1/2x dx =

∫

(tan2x) (sec−3/2x) sec x tan x dx.

4. Integran yang memuat akar.

• Bentuk √n

ax + b .

Gunakan substitusi u = √n

ax + b untuk menghilangkan bentuk akar. Contoh

∫ x√5 (1 + x)2 _{dx =} ∫ (u5− 1)u2 5u4du, dimana u =√5 1 + x dan dx = 5u4du. • Bentuk √a2− x2_,√_a2_{+ x}2_{, dan} √_x2− a2 _.

√ a2− x2 _{x = a sin t ,} −π/2 ≤ t ≤ π/2 √ a2_{+ x}2 _{x = a tan t ,} −π/2 < t < π/2 √ x2− a2 _{x = a sec t , 0}≤ t ≤ π, t ̸= π/2

Pembatasan nilai t dimaksudkan agar fungsi trigonometri di atas memiliki invers, sehingga kita dapat menyatakan kembali hasil integral dalam peubah

x. Selain itu, untuk menyatakan hasil dari peubah t ke peubah x biasanya

digunakan pula aturan fungsi trigonometri pada sebuah segitiga siku-siku. 5. Integran berupa fungsi rasional. Fungsi rasional adalah fungsi yang dibentuk

sebagai hasil pembagian dua buah sukubanyak. Jika derajat sukubanyak pada pem-bilang lebih kecil dari derajat sukubanyak pada penyebutnya, maka fungsi rasional dikatakan fungsi rasional sejati.

Gagasan: setiap fungsi rasional sejati dapat dituliskan (didekomposisi) sebagai pen-jumlahan fungsi-fungsi rasional sejati sederhana. Fungsi rasional sejati sederhana mempunyai penyebut berupa sukubanyak linear atau sukubanyak kuadratik yang tidak memiliki akar real (disebut sukubanyak kuadratik tak tereduksi).

Untuk mendekomposisi suatu fungsi rasional f (x) = p(x)/q(x), proses yang di-lakukan adalah sebagai berikut:

(a) Jika derajat p(x) (pembilang dari f (x)) lebih besar atau sama dengan derajat

q(x) (penyebut dari f (x)), maka p(x) dibagi q(x) menghasilkan pembagian

dengan sisa sehingga diperoleh

f (x) = suatu sukubanyak +N (x) D(x).

Sekarang N (x)/D(x) merupakan sukubanyak sejati.

(b) Faktorkan D(x) menjadi perkalian faktor linear dan faktor kuadratik tak tere-duksi dengan koefisiennya bilangan real.

(c) Untuk setiap faktor berbentuk (ax + b)k_{, pilih dekomposisinya berbentuk}

A1 (ax + b) + A2 (ax + b)2 +· · · + Ak (ax + b)k.

(d) Untuk setiap faktor berbentuk kuadratik tak tereduksi (ax2 _{+ bx + c)}m_{, pilih} dekomposisinya berbentuk B1x + C1 (ax2_{+ bx + c)} + B2x + C2 (ax2_{+ bx + c)}2 +· · · + Bmx + Cm (ax2_{+ bx + c)}m.

(e) Tuliskan N (x)/D(x) sebagai penjumlahan semua suku-suku yang diperoleh dari (c) dan (d). Banyaknya koefisien yang akan ditentukan harus sama dengan besarnya derajat sukubanyak D(x).

(f) Lakukan perkalian oleh D(x) terhadap kedua ruas persamaan yang diperoleh di (e), kemudian tentukan nilai koefisien-koefisien dengan cara: (i) menya-makan koefisien setiap derajat yang bersesuaian, atau (ii) mensubstitusikan nilai tertentu untuk peubah x.

Contoh: Dekomposisikan f (x) = x

5_{+ 2x}4_{+ 2x}3_{+ 2x}2_{+ x + 1}

x4 _{+ 2x}3_{+ 2x}2_{+ 2x + 1} .

Proses yang dikerjakan:

(a) Diperoleh f (x) = x + 1

x4_{+ 2x}3_{+ 2x}2_{+ 2x + 1}.

(b) Tulis D(x) = x3 + x2+ x + 1 = (x + 1)2(x2+ 1). (c) Untuk faktor linear, tulis A1

x + 1 + A2

(x + 1)2.

(d) Untuk faktor kuadratik tak tereduksi, tulis B1x + C1

x2_{+ 1} . (e) Diperoleh 1 x4_{+ 2x}3_{+ 2x}2_{+ 2x + 1} = A1 x + 1+ A2 (x + 1)2+ B1x + C1 x2_{+ 1} . Sukubanyak

D(x) berderajat 4, koefisien yang akan ditentukan: A1, A2, B1 dan C1.

(f) Diperoleh 1 = A1(x + 1)(x2+ 1) + A2(x2 + 1) + (B1x + C1)(x + 1)2. Dengan

cara (ii):

Untuk x =−1 diperoleh A2 = 1/2.

Untuk x = 0 diperoleh 1 = A1+ 1/2 + C1.

Untuk x = 1 diperoleh 1 = 4A1+ 1 + 4(B1+ C1).

Untuk x =−2 diperoleh 1 = −5A1+ 5/2 + (−2B1+ C1).

Akhirnya diperoleh A1 = 1/2, B1 =−1/2, C1 = 0.

Latihan

1. Hitung integral berikut: π/2∫ 0 sin x 16 + cos2_x dx, 1 ∫ 0 e2x− e−2x e2x _{+ e}−2x dx, ∫ dx √ 16 + 16x− x2, 1 ∫ 0 tan x √ sec2_x− 4 dx. 2. Hitung 2π ∫ 0 x| sin x|

1 + cos2_x dx (gunakan substitusi u = x− π).

3. Misalkan R daerah tertutup yang dibatasi oleh y = sin x, y = cos x, dan−π/4 ≤ x ≤ 3π/4. Hitung volume benda putar jika R diputar dengan sumbu putar x =−π/4.

4. Hitung integral berikut: ∫ t arctan t dt, ∫ ln x √ x dx, ∫ cos(ln x) dx, ∫(ln x)4 _dx, ∫ _x2_{ln x dx.}

5. Gunakan teknik integral parsial untuk menunjukkan formula reduksi berikut: (a) ∫ xα_eβx _{dx =} x α_eβx β − α β ∫ xα−1eβx dx. (b) ∫ xα_{cos βx dx =} x α_{sin βx} β − α β ∫ xα−1sin βx dx. (c) ∫(ln x)α dx = x(ln x)α− α∫(ln x)α−1 dx.

6. Jika f′(x) kontinu di [−π, π], gunakan integral parsial untuk menunjukkan bahwa lim n→∞ 1 π π ∫ −π f (x) sin nx dx = 0. 7. Misalkan Gn = n √ (n + 1)(n + 2)· · · (n + n). Buktikan lim n→∞(Gn/n) = 4/e (tinjau ln(Gn/n), kenali masalah ini sebagai masalah jumlah Riemann).

8. Hitung integral berikut: π/2∫

0

sin6t dt, ∫(sin3t)√cos t dt, ∫ tan−3t sec4t dt, ∫ tan3t sec−1/2t dt

9. Misalkan f (x) = a1sin x + a2sin 2x +· · · + aKsin kx.

(a) Hitung 1

π

π ∫

−π

f (x) sin mx dx (perhatikan untuk m≤ K dan m > K).

(b) Buktikan 1 π π ∫ −π f2(x) dx = a2₁+ a2₂+· · · + a2_k. 10. Buktikan lim

n→∞cos(x/2) cos(x/4)· · · cos(x/2

n_{) = (sin x)/x, dengan mengerjakan} langkah-langkah berikut:

(a) cos(x/2) cos(x/4)· · · cos(x/2n) = [cos(x/2n) cos(3x/2n)· · · cos((2n−1)x/2n)]/(2n−1). (b) Kenali masalah ini sebagai masalah jumlah Riemann, kemudin hitung integral

tentunya.

11. Daerah R adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh y = sin x, x = 0, x = π, dan

y = k, 0≤ k ≤ 1. Daerah R tersebut kemudian diputar dengan sumbu putar y = k.

Tentukan k sehingga volume benda putarnya: (a) minimum, (b) maksimum. 12. Hitung integral berikut:

∫ x √ 1− x2 dx, π ∫ 0 πx− 1 √ π2_{+ x}2 dx, ∫ x √ 4x− x2 dx, ∫ 2x + 1 x2_{+ 2x + 2} dx, ∫ 2x− 1 x2− 6x + 18 dx

13. Dekomposisikan fungsi rasional berikut, tanpa menghitung koefisien-koefisiennya: f (x) = 3− 4x 2 (2x + 1)3, f (x) = 3x + 1 (x2 _{+ x + 10)}2, f (x) = (x + 1)2 (1− x2₎2_(x2− x + 10)2

14. Hitung integral berikut: ∫ x3_{+ x}2 x2_{+ 5x + 6}dx, ∫ x2_{+ 19x + 10} 2x4_{+ 5x}3 dx, 5 ∫ 1 3x + 13 x2_{+ 4x + 3}dx, π/4 ∫ 0 cos x (1− sin2x)(1 + sin2x)2 dx

15. Hitung volume benda padat yang terbentuk jika daerah tertutup yang dibatasi oleh sumbu x dan y = 4x√2− x diputar sepanjang sumbu y.

16. (Optional) Hitung panjang kurva y = x2_{/16, 0≤ x ≤ 4.}

17. Soal tambahan dari buku Calculus 9th edition, D. Varberg et al, Pearson int’l edition (2007):

(a) Problem set 7.2: no. 74.

(b) Problem set 7.4: no. 32, 33, 34, 35. (c) Problem set 7.5: no. 49 sd 54.

2

Bentuk tak tentu dan integral tak wajar

1. Aturan L’Hˆopital untuk bentuk 0/0. Misalkan lim

x→cf (x) = 0 = limx→cg(x). Jika lim

x→c[f

′_(x)/g′_{(x)] ada (dalam arti hingga atau−∞ (+∞), maka}

lim x→c f (x) g(x) = limx→c f′(x) g′(x). 2. Aturan L’Hˆopital untuk bentuk ∞/∞. Misalkan lim

x→c|f(x)| = ∞ = limx→c|g(x)|. Jika lim

x→c[f

′_(x)/g′_{(x)] ada (dalam arti hingga atau −∞ (+∞), maka}

lim x→c f (x) g(x) = limx→c f′(x) g′(x).

3. Bentuk tak tentu lainnya: 0· ∞, ∞ − ∞. Gagasannya: mentransformasikan bentuk tersebut menjadi bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞, kemudian menerapkan aturan L’Hˆopital pada bentuk tak tentu ini.

Contoh: lim

x→π/2tan x·ln(sin x) = limx→π/2

ln(sin x) cot x , limx→1+ x x− 1− 1 ln x = limx→1+ x ln x− x + 1 (x− 1) ln x .

4. Integral dengan batas tak hingga. Integral tak wajar dari fungsi f (x) dengan salah satu batas integralnya tak hingga didefinisikan oleh

∫b −∞f (x) dx = a→−∞lim ∫b af (x) dx ∫_∞ a f (x) dx = _blim_→∞ ∫b af (x) dx

Jika nilai limitnya ada dan bernilai hingga, maka integral tak wajar ini dikatakan konvergen ke nilai tersebut. Jika limitnya tidak ada, maka integral tak wajar ini dikatakan divergen. Jika c ∫ −∞ f (x) dx dan ∞ ∫ c

f (x) dx masing-masing konvergen, maka

∞ ∫ −∞ f (x) dx konver-gen dan ∞ ∫ −∞ f (x) dx = c ∫ −∞ f (x) dx + ∞ ∫ c f (x) dx.

5. Integral dengan integrannya bernilai tak hingga. Misalkan f (x) kontinu di selang [a, b) dan misalkan lim

x→b−|f(x)| = ∞. Maka ∫ b a f (x) dx = lim t→b− ∫ t a f (x) dx

asalkan nilai limitnya ada dan hingga (integral tersebut dikatakan konvergen). Misalkan f (x) kontinu di [a, b] kecuali di titik c, a < c < b dimana lim

x→c|f(x)| = ∞. Maka b ∫ a f (x) dx = c ∫ a f (x) dx + b ∫ c f (x) dx

asalkan masing-masing integral di ruas kanan konvergen.

6. Contoh penggunaan integral tak wajar. Fungsi Padat Peluang f (x) (FPP) dari suatu peubah acak kontinu X mempunyai sifat

(a) f (x) ≥ 0, (b) ∞ ∫ −∞ f (x) dx = 1.

Dengan mengetahui FPP dari suatu peubah acak maka peluang suatu kejadiannya dapat ditentukan melalui proses pengintegralan. Nilai peluang ini biasa disajikan dalam bentuk Fungsi Distribusi Kumulatif F (x) = P (X ≤ x) (FDK), yaitu

F (x) = P (X ≤ x) =    0, x < 0; ∫x −∞f (t) dt, x≥ 0.

Nilai rataan µ dan variansi σ2 _{dari peubah acak ditentukan oleh}

µ = E(X) = ∫_−∞∞ xf (x) dx σ2 _{= V (X) =} ∫∞

−∞(x− µ)2f (x) dx Variansi σ2 dapat dihitung pula melalui σ2 = E(X2)− µ2.

Latihan

1. Hitung limit berikut: lim x→π/2 ln(sin x)3 −x + π/2 , limx→0 ex_{− ln(1 + x) − 1} x2 , _xlim_→0+ 7√x_{− 1} 2√x− 1, _xlim_→0− sin x + tan x ex_{+ e}−x− 2 2. Hitung: lim x→0 x ∫ 0 √ 1 + sin t dt x , xlim→0+ x ∫ 0 √ t cos t dt x2

3. Problem set 8.1: no. 27, 28 [Calculus 9th edition, D. Varberg et al]. 4. Misalkan f (x) =    ln x x− 1 x̸= 1; c, x = 1.

Tentukan nilai c agar f (x) kontinu di x = 1. 5. Tentukan nilai konstanta a, b, dan c sehingga lim

x→1 ax4 _{+ bx}3_{+ 1} (x− 1) sin πx = c. 6. Hitung: lim x→π/2(sin x) cos x_{, lim} x→∞ ( 1 + 1 x )x , lim x→1 ( 1 x− 1− x ln x ) , lim x→1+ x ∫ 1 sin t dt x− 1 .

7. Misalkan c1, c2,· · · , cn konstanta-konstanta positif dengan c1 + c2 +· · · + cn = 1. Misalkan pula x1, x2,· · · , xn bilangan-bilangan positif. Buktikan

lim t→0+ ( _n ∑ j=1 cjxtj )1/t = xc1 1 · x c2 2 · · · x cn n . 8. Hitung ∞ ∫ e ln x x dx, ∞ ∫ 1 xe−x dx, ∞ ∫ −∞ dx (x2 _{+ 16)}2, ∞ ∫ −∞ x e2|x| dx, ∞ ∫ 0 ex e2x_{+ 1} dx

10. Hitung 3 ∫ −3 x dx √ 9− x2, −1 ∫ −3 dx x√ln(−x), 4 ∫ 2 dx √ 4x− x2, 2 ∫ 1 x dx √ x2_{+ x}− 2, π/2 ∫ π/3 tan x (ln cos x)2 dx

11. Perlihatkan bahwa fungsi-fungsi berikut sebuah FPP, kemudian cari nilai rataan µ, variansi σ2, dan FDK-nya.

(a) λ > 0 dan f (x) = {

λe−λx, x≥ 0;

0, x lainnya.

Fungsi ini merupakan PDF dari distribusi eksponensial yang biasa digunakan untuk model waktu hidup suatu komponen mekanik/elektrik.

(b) f (x) =    1 b− a, a < x < b; 0, x≤ a atau x ≥ b.

Fungsi ini merupakan PDF dari distribusi uniform/seragam. (c) β > 1 dan f (x) =    β θ (_x θ )β₋₁ e−(x/θ)β, x > 0; 0, x≤ 0 .

Fungsi ini merupakan PDF dari distribusi Weibull yang biasa digunakan untuk model waktu hidup suatu komponen mekanik/elektrik.

12. Diketahui PDF Pareto mempunyai bentuk

f (x) =    CMk xk+1, x≥ M; 0, x < M .

dimana k dan M masing-masing konstanta positif. (a) Tentukan nilai C agar f (x) suatu PDF.

(b) Untuk nilai C tersebut, tentukan kebergantungan µ terhadap k. (c) Untuk nilai C tersebut, tentukan kebergantungan σ2 _{terhadap k}

13. Berdasarkan teori elektromagnetik, potensial magnetik u di suatu titik pada sumbu suatu kumparan melingkar diberikan oleh

u = αβ ∞ ∫ a dx (β2_{+ x}2₎3/2,

dimana α, β, dan a suatu konstanta. Hitung u.

14. Perhatikan suatu kawat yang sangat panjang yang berhimpit dengan sumbu x posi-tif, dengan rapat massa δ(x) = (1 + x2₎−1_{. Hitung total massa kawat, kemudian}