Aturan dasar pengintegralan
I ntegral fungsi rasional
I ntegral parsial
I ntegral trigonometri
Substitusi yang merasionalkan
Kemampuan yang diinginkan:
kejelian melihat bentuk soal
sehingga faktor latihan sangat penting
untuk memperoleh hasil yang memuaskan.
Fungsi Pangkat:
k du
=
ku
+
C
∫
11
ln
r ru
C
u du
r
u
C
+
+
=
+
+
∫
Eskponensial:
u
u
e e
du
= +
C
∫
u u,
ln
1,
0
a
a du
C
a
a
a
=
+
≠
>
Misal g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan
F
adalah suatu fungsi antiturunan dari f.
Maka jika u = g(x),
(
)
( )
( )
'
(
)
(
)
)
( )
(
g x
u
u
u
g x d
d
f
f
g
x
F
C
F
x
C
=
=
+ =
+
∫
∫
cos
x
dx
x
∫
Substitusi
u
=
x
dengan1
2
du
dx
x
=
yang termuat dalam integran, maka:
Tentukan
cos
2
cos
2 cos
2 sin
2 si
2
n
x
dx
x
x
udu
u
c
dx
x
x
c
=
=
=
+ =
+
∫
∫
∫
Tentukan
22
1
x
x
dx
x
+
+
∫
2 22
2(
1)
(
1)
1
2(
1)
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
+
=
+
− +
=
+ −
+
+
+
2 22
1
2(
1)
1
1
2
ln(
1)
x
x
dx
x
dx
x
x
x
x
x
c
+
=
+ −
+
+
= +
−
+ +
∫
∫
Ubah penyebut menjadi fungsi rasional sejati:
Fungsi Rasional: pembagian dua polinomial
Fungsi
Rasional Sejati
: derajat/ pangkat polinom
pembilang
lebih
rendah daripada derajat polinom
penyebut.
Akan ditunjukkan proses dekomposisi fungsi rasional menjadi
rasional sejati
yang merupakan bentuk-bentuk yang mudah
untuk diintegrasikan. (
Metode pecahan parsial
)
Contoh:
31
2??
8
16
dx
x
−
x
+
x
=
Faktorisasi penyebut menjadi bentuk linier dan kuadrat yang tidak dapat diuraikan lagi. Contoh:
Apabila pada penyebut ada faktor yang berlainan, misal (x-a)(x-b) didekomposisi menjadi:
Koefisien diperoleh dari penyamaan penyebut. Prosesnya nanti akan diterangkan dengan contoh.
3 2 2
8
16
(
4)
x
−
x
+
x
=
x x
−
1 2
1
(
)(
)
(
)
(
)
A
A
x
−
a x
−
b
=
x
−
a
+
x
−
b
Untuk tiap faktor yang berbentuk dekomposisi menjadi bentuk
Untuk tiap faktor yang berbentuk dekomposisi menjadi bentuk
(
ax
+
b
)
k1 2
2
(
)
(
)
(
)
k k
B
B
B
ax
+
b
+
ax
+
b
+ +
ax
+
b
2
(
ax
+ +
bx
c
)
m1 1 2 2
2 2 2 2
(
)
(
)
(
)
m m
m
D x
E
D x
E
D x
E
ax
bx
c
ax
bx
c
ax
bx
c
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+ +
Tentukan
Faktorisasi penyebut:
3 1 2
2 2
1
(
4)
(
4)
(
4)
A
A
A
x x
−
=+
x
x
−
+
x
−
1
,
2,
3A A A
diperoleh dari proses penyamaan penyebut2
1 2 3
2 2
(
4)
(
4)
1
(
4)
(
4)
A x
A x x
A x
x x
x x
−
+
− +
=
−
−
2 2
1 2 3 1 2 1 2 3 1
1
=
A x
(
−
4)
+
A x x
(
− +
4)
A x
=
(
A
+
A x
)
+ −
( 8
A
−
4
A
+
A x
)
+
16
A
maka 1
1
16
A
=
21
16
A
= −
31
4
A
=
3 2
1
8
16
dx
x
−
x
+
x
∫
3 2 2 2
8
16
(
8
16)
(
4)
x
−
x
+
x
=
x x
− +
x
=
x x
−
3 2 2
1
1
1
1
8
16
dx
16
dx
16(
4)
dx
4(
4)
dx
x
−
x
+
x
=
−
x
x
−
+
x
−
∫
∫
∫
∫
Integran menjadi:
Gunakan substitusi u = x – 4 untuk integral terakhir jadi
2 2
1
1
1
1
(
x
−
4)
dx
=
u
du
= − + = −
u
c
x
−
4
+
c
∫
∫
Jadi hasil integralnya adalah
3 2
1
1
1
1
ln
ln
4
8
16
dx
16
x
16
x
4(
4)
c
x
−
x
+
x
=
−
− −
x
−
+
Fungsi Trogonometri:
cos
sin
1.
∫
u
du
=
−
u
+
C
sin
cos
2.
∫
u
du
=
u
+
C
2
tan
ec
.
s
3
∫
u
du
=
u
+
C
2
cot
sc
.
c
4
∫
u
du
=
−
u
+
C
5.
∫
sec
u
tan
u
du
=
sec
u
+
C
c
csc
c c
.
ot
s
6
∫
u
u
d
u
=
−
u
+
C
7.
∫
t
a
n
−
u
n
du
=
l
+
c s
o
u
C
Fungsi Aljabar:
2 1 2si
1
n
1.
du
C
a
a
u
u
−
=
−
+
∫
2 1 2tan
.
1
1
2
u
a
du
C
a
a
u
−
=
+
+
∫
2 1 1 21
sec
3.
1
1
c s
o
u u
a
a
du
C
C
Fungsi Hiperbolik:
s
i
nh
u
du
=
co
s
h
u
+
C
∫
2 2
cos
1
sin x
+
x
=
2 2
tan
e
1
+
x
=
s c
x
2 2
cot
s
1
+
x
=
c c
x
Setengah sudut:
2
1
(1
sin
c s
2
)
2
o
x
x
=
−
2
1
(1
cos
c
s
2
)
2
o
x
=
+
x
(
)
(
)
(
)
cos
cos
sin
sin
sin
s
cos
cos
cos
1
(
)
(
)
2
cos
co
1
(
)
(
)
2
1
in
sin
(
)
s
(
)
2
m
x
n
x
x
x
x
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
x
m
n
m
n
x
x
x
x
x
x
+
−
+
=+
=
−
−
+
−
−
=
+
2
7
6
25
dx
x
−
x
+
∫
Tentukan
Ubah penyebut menjadi bentuk kuadrat sempurna
2 2 2 2
1
1
1
6
25
(
3)
16
(
3)
4
x
−
x
+
==
x
−
+
x
−
+
Bentuk terakhir merupakan turunan dari
tan
1u
a
−
1
2 2 2
7
7
7
3
tan
6
25
(
3)
4
4
4
x
dx
dx
c
x
x
x
−
−
= =+
−
+
−
+
Ada 2 jenis “radikal” yang biasa muncul:
n
ax
+
b
1. Integran yang memuat
2 2 2 2 2 2
,
,
a
−
x
a
+
x
x
−
a
Tentukan
∫
x x
+
3
dx
Gunakan substitusi
u
=
x
+
3
sehingga 23
u
= +
x
2 u du
=
dx
#
x
= −
u
23
jadi # # 2 3 4 2 2
3 (
3)
(
3 )
1
3
4
2
1
3
(
3)
(
3)
4
2
x x
dx
u
u du
u
u du
u
u
c
x
x
c
Untuk jenis yang kedua dapat dilihat bahw a perubahan bentuk integran akan mengarah pada penggunaan
kesamaan phytagoras.
Gunakan substitusi
x
=
a
sin
t
sehingga diperoleh2 2 2 2 2 2 2
sin
cos
cos
a
−
x
=
a
−
a
t
=
a
t
=
a
t
dengan pembatasan
2
2
π
π
≤
≤
−
t
.
2 2 2 2 2
sin
cos
a
−
a
t
=
a
t
kesamaan yang digunakan
2 2
2 2 2 2 2
tan
sec
a
+
a
t
=
a
t
kesamaan yang dipakai
2 2
a
+
x
Gunakan
x
=
a
tan
t
sehingga diperoleh
2 2 2 2 2 2 2
tan
sec
sec
a
+
x
=
a
+
a
t
=
a
t
=
a
t
dengan pembatasan
2
2
π
π
<
<
−
t
2 2 2 2 2
sec
tan
a
t
−
a
=
a
t
Kesamaan yang dipakai
2 2
x
−
a
Gunakan
x
=
a
sec
t
sehingga diperoleh2 2 2 2 2 2 2
sec
tan
tan
x
−
a
=
a
t
−
a
=
a
t
=
a
t
Tentukan
2 29
x
dx
x
−
∫
Gunakan substitusi
x
=
3sin
t
sehingga diperoleh3cos t
sedangkanx
2=
9 sin
2t
jadi penyebutnya menjadi(
)
(
)
2 2 2 2 1 19 sin
3cos
3cos
9
9
9 sin
1 cos 2
2
9
1
sin 2
2
2
9
1
sin
sin 2 sin
2
3
2
3
x
t
dx
t dt
t
x
t dt
t dt
t
t
c
sin 2
t
=
2 sin cos
t
t
Gunakan substitusidan untuk membalikan proses substitusi dari t ke x, diperlukan
1
1
sin
sin sin
3
3
cos
cos sin
?
3
x
x
t
x
t
−
−
==
==
2 2
a
−
x
Gunakan segitiga berikut ini:
x t a Didapat 2 1
9
cos
cos sin
3
3
x
x
t
==
−
−
Jadi 2 2 1 2 1 29
1
9
sin
2
2
3
2
3
3
9
9
sin
9
2
3
2
− −
−
=
−
+
−
=
−
−
+
∫
x
dx
x
x
x
c
x
x
x
Jika metode substitusi gagal, maka digunakan metode
substitusi ganda
.
Metode ini didasarkan pada pengintegralan rumus
turunan
dari
hasilkali dua fungsi
.
Andaikan u =
u(x)
dan v =
v(x)
maka
( )
( )
(
.
( )
)
.
'
(
)
'( )
.
(
)
x
u
x
v x
v
u x
v x
D
=
u x
x
+
dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh
( )
'(
( )
.
v x
(
)
.
v x
'( )
dx
u x
)
v
(
)
dx
Atau
.
'( )
)
.
'( )
(
)
( )
dx
(
v
( )
u x
u
x
v x
=
u x
x
−
v
x
dx
∫
∫
Untuk menyelesaikan proses dapat dilakukan teknik ini
berulang.
Contoh: Tentukan
∫
x
sin
xdx
, ,
Karena
dv = v’(x)
dan
du = u’(x)
maka
.
v
.
v
.
u
u
d
=
u
−
v
d
∫
∫
Atau
[ ]
.
.
.
b b b a a av
v
u
u
dv
u
=
−
d
Rumus reduksi :
( )
( )
,
)
(
(
)
n k
f
x
g x dx
+
=
h x
f
<
x
dx
k
n
∫
∫
(Pangkat dari f berkurang)
Sangat bermanfaat untuk pengintegralan fungsi trigonometri
berpangkat tinggi.
Contoh: Turunkan suatu rumus reduksi untuk
sin
nx dx
∫
xx e dx
α βAda 5 jenis yang sering muncul:
sin
nx dx
∫
∫
cos
n
x dx
sin
mx
cos x
ndx
∫
1.
sin
cos x , sin
sin x ,
cos
cos x
mx
n dx
mx
n dx
mx
n dx
∫
∫
∫
2.
tan x , cot x
ndx
ndx
∫
∫
tan x sec x
m ndx
, cot x csc x
m ndx
∫
∫
4.
Tipe 1 dan 2: bila pangkat dari fungsi cos atau sin adalah
ganjil,
maka faktorkan jadi fungsi berpangkat
genap
dan fungsi
berpangkat satu. Lalu gunakan identitas
sin x
2+
cos
2x
=
1
5sin
x
dx
=
?
Bila fungsi berpangkat
genap
diubah menggunakan rumus
setengah sudut:
2
1
(1
sin
c s
2
)
2
o
x
x
=
−
cos
21
(1
c
s
2
)
2
o
x
=
+
x
4
os
?
c
x
dx
=
∫
∫
3x
−4x
dx
cos
sin
Tentukan
Faktorkan fungsi sin berpangkat menjadi
sin
2x
dan sin xx
x
22
cos
1
sin
=
−
2 4
sin
x
cos
x dx
∫
Tentukan
2
2 4
1 cos 2
1 cos 2
sin
cos
...
2
2
x
x
x
x dx
==
−
+
dx
Tipe 3: memerlukan kesamaan hasilkali antara fungsi sinus dan cosinus:
(
)
(
)
(
)
cos
cos
sin
sin
sin
s
cos
cos
cos
1
(
)
(
)
2
cos
co
1
(
)
(
)
2
1
in
sin
(
)
s
(
)
2
m
x
n
x
x
x
x
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
x
m
n
m
n
x
x
x
x
∫
cos
y
cos
4
y
dy
Tipe 4: Dalam kasus tangen, faktorkan :
Sedangkan untuk kasus cotangen, faktorkan :
2 2
tan
x
=
sec
x
−
1.
2 2
cot
x
=
csc
x
−
1.
3
ot
?
c
x
dx
=
Tipe 5a: Jika n genap ( n adalah pangkat dari sec x atau csc x) , maka faktorkan seperti tipe 4.
/ 4
3 2
se
?
Tipe 5b: Jika m ganjil ( m adalah pangkat dari tan x atau cot x) , maka masing- masing faktorkan menjadi pangkat satu dan
sisanya.
1/ 2
3
1. Carilah substitusi yang membuat integral berbentuk seperti aturan integral yang baku. Contoh:
2. Kenali situasi perkalian dua fungsi: turunan dari fungsi pertama dan antiturunan dari suatu fungsi kedua berbentuk integral baku, hal ini merupakan proses integral parsial.
2 2
sin 2
xdx
,
xe
−xdx
,
x x
−
1
dx
∫
∫
∫
,
sinh
x
xe dx
x
xdx
3. Substitusi trigonometri.
Jika integran mengandung , gunakan substitusi x= a sin t.
Jika integran mengandung , gunakan substitusi x= a tan t.
Jika integran mengandung , gunakan substitusi x= a sec t.
2 2
a
−
x
2 2
x
−
a
2 2
x
+
a
4. Jika integran adalah fungsi rasional sejati, dekomposisi integran tersebut dengan menggunakan metode pecahan parsial.
