BAB II
METODE INTEGRASI
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami metode-metode dalam integrasi dan sifat-sifat dari masing-masing metode integrasi tersebut.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi dengan menggunakan metode substitusi.
2. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi-fungsi trigonometri.
3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan metode substitusi fungsi trigonometri.
4. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan metode integral parsial.
5. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan metode integral fungsi rasional.
6. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan metode integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.
Bab II dalam buku ini membahas enam hal pokok tentang metode integrasi fungsi, antara lain: (1) metode substitusi, (2) integral fungsi trigonometri, (3) metode substitusi fungsi trigonometri, (4) integral parsial (5) integral fungsi rasional (6) integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.
yang digunakan untuk menentukan integral fungsi dan masing metode mempunyati ciri-ciri tertentu. Metode dalam integrasi dimaksud adalah:
1) Metode substitusi,
2) Integral fungsi trigonometri,
3) Metode subtitusi fungsi trigonometri, 4) Integral parsial
5) Integral fungsi rasional, dan
6) Integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri
2.1 Metode Substitusi
Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Metode ini pada umumnya digunakan untuk memudahkan menentukan antiturunan fungsi sehingga bentuk selesaiannya diubah dalam bentuk rumus dasar integral tak tentu dan rumus dasar yabg diperumum yaitu;
a. ,
1 1
c n
x dx x
n
n
asalkan n
-1b.
( )
'( )
( )
,1
c n
x f dx x f x f
n n
asalkan n
-1Secara lebih khusus dapat dijelaskan bahwa metode substitusi digunakan
jika integrannya berbentuk fungsi berpangkat yaitu
f(x)
n,n 1 atau bentuk lain yaitu variabel yang tidak sejenis dengan tanda diferensialnya atau tandaintegrasinya. Misalnya
sin(2x)dx, variabelnya 2x sedangkan tandaintegrasinya dx.
tan(2x 1)dxvariabelnya (2x-1) sedangkan tandadiferensialnya dx dan jenis yang lainnya.
Jika integrannya berbentuk
f(x)
n, n bilangan bulat maka yangdisubstitusi adalah f(x) selanjutnya gunakan diferensial pada masing-masing
bagian dan lakukan substitusi pada persoalan yang diberikan. Jika integrannya
didiferensialkan dan akhirnya dapat digunakan rumus umum seperti yang telah disebutkan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh di bawah ini.
Tentukan integran berikut ini:
1.
1 x dxJawab
Substitusikan u 1 x
x u 2 1
) 1 ( )
(u2 d x
d
dx du u 2
Substitusi bentuk terakhir ke
1 x dx, diperoleh
u(2u)du 2 u2duDengan rumus integral dasar di dapat
1 xdx2 u2duc u
3 2
3
Karena u 1 x
Sehingga
x dx (1 x)3 c3 2
1
2.
(12x)3dxJawab
Substitusi
23
2
1 x
E
3 2 1 2xE
E2 d
1 2x
3d
x
dx dEE 31 2 (2)
2 2
2 ) 2 1 (
3 x
dE E dx
Sehingga
3
2) 2 1 ( 3 )
2 1 (
x EdE E
4 3 2
3E dE E
dE E
4
5
3 1
c E
9 4 3
1 4
9
c E
4
9
4 3
Karena E
12x
23Sehingga x dx
x
c
49 2 3
3 1 2
4 3 )
2 1
(
x
c
8
27 2 1 4 3
3.
(3x12)11dxSubstitusi A(3x12) ) 12 3 ( )
(
d A d x
dx dA3
3 dA dx
Sehingga
3 )
12 3
( x 11dx A11 dA
A11dA 3
1
c A
)
12 ( 3 1 12
c A
12
36 1
Karena A(3x12)
Sehingga
x dx x c12 ) 12 3 ( )
12 3 (
4. cos22x dx
Jawab
Substitusikan A2x
dx dA2
2 dA dx
Sehingga
2 cos 2
cos2 x dx 2 A dA
cos2 AdA 2
1
AdA
2 2 cos 1 2 1
dA cos2AdA 4
1 4
1
c A A
8 2 sin 4
Karena A2x
c x x
x
cos22 24 sin84Sehingga x dx x xc
cos22 21 sin45.
4x2 4x2 4x dxJawab
Substitusikan A 4x24x
x x
A2 4 2 4
x x
d A
d( 2) 4 24
dx x
AdA (8 4)
2
dx x AdA(4 2)
Sehingga
4x2 4x2 4x dx
A.AdA
c A
3
3 1
Karena A 4x2 4x
Sehingga
x
x2 x dx 3 4x24c3 1 4
4 2
4
6.
3ttdt4Jawab
Substitusi Misal P 3t4
4 3 2 P t
) 4 3 ( ) ( 2
d P d t
dt PdP 3
2
3 2PdP dt
Sehingga
P
dP P P
t
tdt 3
2 3
4
4 3
2
(2P 8)dP 9
1 2
c P
P
9 8 27
2 3
Karena P 3t4
Sehingga
t
t t ct tdt
3 49 8 4 3 4 3 27
2 4
3
7.
22 16 x
dx x
Jawab
Substitusi w 16 x2
2
2 16 x w
xdx
wdw 2
2
dw x w dx
dwSehingga c
x
Akhirnya diperoleh c
c t
t
9 ) 2 (
2 2
5
Sehinggga t t dt t t c
( 2) 2 ( 9 2)2 5 2/ 3
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1. dx
x x
sin2.
1 2 3 t dt
3.
dxx x
2 sin
2 cos 1
2
4.
dt t
t
t t t
1 3
1 3
sin ) 1 6 (
2 2
5.
9 2
2 x
xdx
6.
x(3x2)3/2dx
7.
dx
x x
16 2
8.
x dx3 sin
9.
x
xdx
2
cos 16
sin
10.
cos(2x 4)dx11.
xsin(x2 1)dx12.
x2cos(x31)dx13.
x(x2 3)12/7dx14.
dx x
x x
15.
dx e e
e e
x x
x x
2 2
2 2
16. dt
e e
t t
6 3 4
17.
dx
x x
4
4 2
18.
4
4
x xdx
19.
sinx 1 2cosxdx20.
x dx xdx
2
2 1
21.
x13 12xx2dx2.2 Integral Fungsi Trigonometri
Sebelum membahas metode integrasi pada fungsi trigonometri secara lebih mendetail, berikut ini diberikan beberapa integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan yang akan ditentukan antiturunannya. Bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri adalah:
1)
sinxdx cosxc2)
cosxdxsinxc3)
tanx dxlnsecx c lncosx c4)
cotxdx lncscx c lnsinx c5)
secxdxlnsecxtanx c6)
cscx dxlncscx cotx cBerdasarkan bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri di atas, selanjutnya diberikan beberapa metode integrasi fungsi trigonometri yang masing-masing berbeda cara menyelesaikan. Bentuk integral fungsi trigonometri yang di bahas adalah:
1. Bentuk m x dx m xdx
Integral fungsi trigonometri berbentuk m xdx m x dx
sin , cos dibedakan dalam dua kasus, yaitu:Kasus 1: m adalah bilangan ganjil
Jika m bilangan bulat positip ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan
kesamaan identitas sin2xcos2x1 dan diferensial d(sinx)cosxdxatau xdx
x
d(cos ) sin . Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan
antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga pengintegralan mudah diselesaikan.
Contoh:
Tentukan integral berikut:
1.
sin3 xdxJawab
sin3xdx sin(31)1xdxxdx xsin sin2
(1 cos2x)d( cosx)
1d( cosx) cos2d(cosx) c
x
x
cos3
3 1 cos
Sehingga
3xdx x cos3xc3 1 cos sin
2.
cos5 xdxJawab
dx x dx
x
cos5 cos(51)1xdx xcos cos4
(1 sin2x)2d(sinx)
) (sin ) sin sin
2 1
( 2x 4x d x
1d(sinx) 2 sin2xd(sinx) sin4xd(sinx) c
x x
x
3 sin5
5 1 sin 3 2
sin
Sehingga
5 xdx x 3x sin5xc5 1 sin 3 2 sin cos
3.
sin5(2x)dxJawab:
Karena tanda integrasinya belum sama dengan vaiabel integral maka gunakan substitusi terlebih dahulu.
Substitusikan u 2x dan du2dx atau
2 du dx
sehingga
2 sin )
2 (
sin5 x dx 5udu
sin5udu 2
1
sin usinudu 2
1 4
(1 cos ) ( cos ) 2
1 2u 2d u
(1 2cos cos ) ( cos ) 2
1 2u 4u d u
c u u
u
3 sin5
10 1 sin 3 1 cos 2 1
c x x
x
sin 2
10 1 2 sin 3 1 2 cos 2
1 3 5
Sehingga
x dx x x sin 2xc10 1 2 sin 3 1 2 cos 2 1 )
2 (
sin5 3 5
Kasus 2: m adalah bilangan genap
Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
x x
x cos2 sin2 2
cos sehingga
2 2 cos 1
sin2x x atau
2 2 cos 1
Substitusikan Misal u 2x
Soal-soal
Tentukan pengintegralan berikut ini.
5)
cos43xdx6)
cos41 2xdx7)
sin413xdx8)
x dx 5 2 1 cos2
9)
dx x 5
2 3 sin3
10)
dx x 2
4 1 cos2
b. Bentuk
sinmxcosnxdxIntegral fungsi trigonometri berbentuk
sinmxcosnxdxdibedakan dalam
dua kasus, yaitu:
Kasus 1 : m atau n ganjil
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, pilih yang ganjil m atau n. Jika dipilih m, ubah m menjadi (m-1)+1 demikian pula jika yang dipilih n, ubah n menjadi (n-1)+1. Pemilihan tidak boleh sekaligus. Selanjutnya gunakan kesamaan
identitas sin2 xcos2 x1 dan sifat diferensial d(sinx)cosxdxdan dx
x x
d(cos ) sin dan akhirnya pengintegralan dapat dilakukan dengan cara
sebelumnya. Contoh
Tentukan integral berikut ini.
1.
sin3xcos2xdxJawab
Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi (3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh
sin3xcos2xdx sin(31)1xcos2xdx
sin2xsinxcos2xdx
) cos ( ) cos
(cos2x 4x d x
cos2xd( cosx) cos4xd( cosx)
cos2xd(cosx) cos4xd(cosx) c
x
x
3 cos5
5 1 cos 3 1
c x
x
3 1 cos 5 1
cos3 2
Sehingga x xdx x x c
cos 315 1 cos cos
sin3 2 3 2
2. sin2xcos3xdx
Jawab
Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi (3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh
sin2xcos3xdx sin2xcos2xcosxdx
sin2x(1 sin2x)cosxdx
sin2x(1 sin2x)d(sinx)
sin2xd(sinx) sin4xd(sinx) c
x
x
3 sin5
5 1 sin 3 1
Sehingga
2x 3xdx 3x sin5xc5 1 sin 3 1 cos
sin
3.
sin3xcos3xdxJawab
Karena kedua pangkatnya 3 (ganjil), pilih salah satu pangkat dan diubah menjadi (3-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan identitas diperoleh
sin3xcos3x dx sin3xcos2xcosxdx
sin3x(1 sin2x)d(sinx)
c x
x
4 sin6
6 1 sin 4 1
Atau
dx x x x xdx
x
sin3 cos3 sin2 sin cos3
(1 cos2x)cos3xd( cosx)
(cos3 cos5 ) ( cos )
x d
x x
c x
x
4 cos6
6 1 cos 4 1
Sehingga
3x 3xdx 4 x cos6 xc6 1 cos 4 1 cos
sin
Kasus 2 : m dan n genap sekaligus.
Jika m dan n genap sekaligus, digunakan kesamaan setengah sudut
2 2 cos 1
sin2x x dan
2 2 cos 1
cos2 x x
. Selanjutnya substitusikan kesamaan
pada integran dan akhirnya diperoleh hasil pengintegralannya. Contoh
Tentukan integral berikut ini: 1.
cos2 xsin2x dxJawab
Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:
x x dx
xdx x
2 2 cos 1 2
2 cos 1 sin
cos2 2
(1 cos 2x)dx 4
1 2
x dx
2 4 cos 1 1 4 1
x dx
2 4 cos 2 1 4 1
c x x
c
Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya
c x x
x
sin8
1024 1 4
sin 128
1 128
3
Sehingga
x xdx x x x c1024 8 sin 128 sin 128
3 cos
sin4 4
c. n xdx dan nxdx
tan , cotIntegral fungsi trigonometri berbentuk nxdx dan nxdx
tan , cot dibedakan dalam dua kasus.Kasus 1: n bilangan ganjil
Jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan
x
x 2
2 sec tan
1 atau 1cot2xcsc2x dan sifat diferensial d x 2xdx
sec ) (tan
atau d(cotx) csc2xdx
Contoh
Tentukan integral berikut ini
1.
tan3 xdxJawab
Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya
gunakan kesamaan identitas 1tan2xsec2xdand(tanx) sec2xdx
Sehingga diperoleh
tan3xdx tan2xtanxdx dx x x 1)tan (sec2
sec2xtanxdx tanxdx
tanxsec2xdx tanxdx
tanxd tanx tanxdx
c x
x
tan lnsec 2
1 2
Sehingga
xdx tan x lnsecx c2 1
2.
3 xdxcot
Jawab
Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya
gunakan kesamaan identitas 1cot2xcsc2xdand( cotx)csc2xdx diperoleh
cot3xdx cot2xcotdx dx x 1)cot (csc2
csc2xcotxdx cotxdx
cotxcsc2xdx cotxdx
cotxd cotx cotxdx
c x
x
cot lncsc 2
1 2
Sehingga
xdx cot xlncscx c2 1
cot3 2
Kasus 2: n bilangan genap
Jika n bilangan genap, maka digunakan kesamaan identitas 1tan2xsec2 x dan
x
x 2
2 csc cot
1 . Selanjutnya dengan menggunakan sifat diferensial
xdx x
d(tan ) sec2
atau d(cotx) csc2xdx
Contoh
Tentukan integral berikut ini
1.
cot4 xdxJawab
cot4xdx cot2x 2dx
(csc2 x 1)2dx
dx x x 2csc 1)
(csc4 2
dx x x
xcsc 2csc 1)
(csc2 2 2
(1 cot2x)csc2 x 2csc2x 1dx`
(1 cot2x)d( cotx) 2 d( cotx) dx
c x x x
x
cot 2cot
3 1 ) cot
( 3
c x x
x
cot cot 3
1 3
Sehingga
xdx cot xcotxxc3 1
cot4 3
2.
tan2xdxJawab
tan2xdx sec2x 1dx
sec2xdx 1dx
d(tanx) 1dx c
x x
tan
Sehingga
tan2 xdxtanx xcd.
tanm xsecnxdx, dan
cotmxcscnxdxIntegral fungsi trigonometri berbentuk
tanm xsecnxdxdan
cotm xcscnxdxdibedakan menjadi dua kasus.
Kasus 1: m atau n genap
Jika m atau n genap, pilih salah satu yang genap dan selanjutnya
digunakan kesamaan1tan2xsec2x atau 1cot2xcsc2 x dan sifat diferensial
x x
d 2
sec )
(tan atau d 2x
csc cot) ( Contoh
Jawab
Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan
kesamaan identitas 1+tan2xsec2x, sehingga diperoleh `
sec sec tan sec
tan5x 4 xdx 5 x 2x 2xdx
dx x x
x
tan5 (1 tan2 )sec2
) (tan ) tan
(tan5 x 7 x d x
c x
x
6 tan8
8 1 tan 6 1
Sehingga
5x 4 xdx 6 x tan8 xc8 1 tan 6 1 sec
tan 2.
cot4xcsc4xdxJawab
Karena keduanya genap, pilih salah satu pangkat bilangan genap dan
digunakan kesamaan1tan2xsec2x atau 1cot2 xcsc2x dan sifat
diferensial d x 2x
sec )
(tan atau d 2x
csc cot)
( , sehingga diperoleh
cot4xcsc4xdx cot4x(csc2x)(csc2x)dx) cot ( ) 1 (cot cot4 2
x d
x
) cot ( ) cot
(cot6x 4x d x
c x
x
7 cot5
5 1 cot 7 1
Sehingga
4 x 4 xdx 7 x cot5xc5 1 cot 7 1 csc
cot
Kasus 2: m atau n ganjil
Dalam kasus ini pilih yang ganjil dan gunakan d(secx)secxtanx atau x
x x
d( csc )csc cot dan digunakan kesamaan1tan2xsec2x atau
x
x 2
2 csc cot
1 .
Contoh:
Jawab
xdx x
x x xdx
xsec tan tan sec sec
tan3 3 2 2
tan2xsec2d(secx) ) (sec sec
) 1
(sec2x 2xd x
) (sec ) sec
(sec4x 2x d x
c x
x
7 cot5
5 1 cot 7 1
Sehingga
3x 3 xdx 7 x cot5xc5 1 cot 7 1 sec
tan
2.
3 x 1/2 xdxsec tan
Jawab
xdx x
x x xdx
xsec tan tan sec sec
tan3 1/2 2 32
) (sec sec
) 1
(sec2x 32xd x
c x
x
sec3/2 2sec1/2 3
2
Sehingga x xdx x xc
3 1/2 sec3/2 2sec 1/23 2 sec
tan
e.
sinmxcosnxdx,
sinmxsinnxdx,
cosmxcosnxdxIntegral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
m n x m n x
nxmx sin( ) sin( )
2 1 cos
sin
m n x m n x
nxmx cos( ) cos( )
2 1 sin
sin
m n x m n x
nxmx cos( ) cos( )
2 1 cos
cos
Contoh
1.
sin3xcos4xdxJawab
x xdx sin(34)xsin(3 4)x dx2 1 4
cos 3 sin
sin7x sin( x) dx 2
1
xdx sinxdx
2 1 7
sin 2 1
c x
x
cos
2 1 7 cos 14
1
Sehingga
x xdx x cosxc2 1 7 cos 14
1 4
cos 3 sin
2.
sin3xsin2x dxJawab
x xdx cos(32)x cos(3 2)x dx2 1 2
sin 3 sin
cos5x cosx dx 2
1
xdx cosxdx
2 1 5
cos 2 1
c x
x
sin
2 1 5 sin 10
1
Sehingga
x xdx x sinxc2 1 5 sin 10
1 2
sin 3 sin
3.
y ydy cos(14)y cos(1 4)y dy2 1 4
cos cos
Jawab
y ydy cos(14)y cos(1 4)y dy2 1 4
cos cos
cos(5y) cos( 3y) dy 2
1
ydy cos( 3y)dy 2
1 5
y sin3yc 6
1 5 sin 10
1
Sehingga
y ydy y sin3yc6 1 5 sin 10
1 4
cos cos
Soal-soal
Tentukan hasil integral berikut ini.
1.
sin2(2x)cos4(2x)dx2.
x xdx
5 cos 5
sin3 3
3. sin23xcos33xdx
1
4.
(sin32t) cos2tdt5.
tan6 xdx6. cot4(3x)dx
7.
cotxcsc4 xdx8.
tan2xsec22xdx9.
(tanxcotx)2dx10.
sin3xsinxdx11.
csc4 4ydy12.
4q 2qdqsec tan
13.
cos2xsin3xdx14.
dx x 3 cot4
15. 2z 3 zdz
1 cos sin
16.
tan5xsec3/2xdx18.
x xdx
2 5 sin 2 sin
19.
x xdx
4 5 sin 3 2 cos
20.
x xdx
6 5 cos 4 3 cos
2.3 Metode Substitusi Fungsi Trigonometri
Metode substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-bentuk:
1. a2 x2,areal
2. x2a2 a2x2,areal
3. x2 a2,areal
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya
1. 2
2 2
2
2 x
b a x
b
a
2. 2
2 2
2 x
b a x b
a
3.
2 2
2 2 2
a b x b x a
4. ax2 bxc yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Untuk memudahkan memahami, dalam bab ini dibahas tiap-tiap kasus yang ada.
1. Integrannya memuat a2 x2 atau bentuk lain yang dapat diubah
menjadi sejenisnya.
Selesaiannya menggunakan substitusi
a x t t
a
x sin sin
dengan
2 2
t .
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena xasint maka a2 x2 a2 (asint)2
a2(1 sin2t)
acost
Selanjutnya bentuk a2 x2 ccostdan dxacostdtsubstitusikan ke dalam
integral semula, sehingga dapat ditentukan antiturunannya.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
4 x2dxJawab
substitusi
2 sin sin
2 t t x
x
dt t a
dx cos
t t
x 4 4sin 2cos 4 2 2
Sehingga
4 x2 dx 2cost 2cost dt
4 costcost dt
tdt
t dt2 ) 2 cos 1 ( 4 cos
4 2
dt t
dt
2 2 cos2
c t t t 2 2sin cos
c x x
x
2 4 2 2 2 arcsin
2 2
t
x
a
2
2 x
a
t
x
2
2
Jawab
6 2 25 ( 3)2
16 x
dx x
x dx
Substitusikan (x 3)5sint
5 3
sint x dan dx5costdt
t x 3) 5cos (
25 2
tdt
t x
x dx
cos 5
cos 5 6
16 2
dttc
x c
5 3
arcsin
4.
x2 3 x2dxJawab
Substitusi x 3sint
3 sint x s
dx 3costdt
3 x2 3 ( 3sinA)2
3cosA, sehingga
x2 3 x2dx 3sin2t 3cost 3cotdt
9
sin2tcos2t dt
t t dt
2 2 cos 1 2
2 cos 1 9
(1 cos 2t)dt 4
9 2
t)dt2 4 cos 1 ( 1 4 9
5
2
6 16 x x
3
x
t
x
t 3
2
dt
dt
cos4tdtSoal-soal
Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
9.
2
4x x dx
2. Integrannya memuat a2 x2 x2 a2
atau bentuk lain yang dapat
diubah menjadi sejenisnya.
Selesaiannya menggunakan substitusi xatant atau
a x t
tan sehingga
didapatkan dan dxasec2tdt, dengan
2 2
t
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena xtant maka a2x2 a2(atant)2
a2(1tan2t) asect
Selanjutnya bentuk a2 x2 asect
dan dxasec2tdtsubstitusikan ke
dalam integral semula dan akhirnya dapat ditentukan selesaian integral yang diketahui.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.
1.
2
9 x dx
Jawab
Substitusikan x 3tant
dx3sec2tdt
9x2 3sect , sehingga
2
9x
x
3 t
t
x
2
2 a
x
t
dt t x
dx
sec 3 sec 3 9
2 2
sectdtlnsecttant c
x x c
3 3
9
ln 2
ln 9x2 xc
2.
5 4
) 1 2 (
2 x x
dx x
Jawab
dx
x x x
x x dx
x x
dx
x )
5 4 1 5
4 2 ( 5
4 ) 1 2 (
2 2
2
1 ) 2 ( 1 ) 2 (
2
2
2 x
dx x
xdx
Substitusikan (x2)tant xtant 2
dxsec2tdt
(x2)2 1 = sec t, sehingga
2) 1 ( 2) 1 (
2
2
2 x
dx x
xdx
t tdt t
tdt t
sec sec sec
sec ). 2 (tan
2 2 2
2
tantsectdt 4
sectdt
sectdt2sect 5lnsecttant c
x24x5 5ln x24x5(x2)c
Soal-soal
Kerjakan soal berikut sebagai latihan
5 4
2 x
x
1 t
2
1.
2 29 x dx
2.
3x2dx3.
dxx x2 1
4.
4 13 2 x x
dx
5.
2 5 3
2 x x
xdx
6. dt
t t
4 2
7.
2 y2dy3. Integrannya memuat x2 a2 atau bentuk lain yang dapat diubah
menjadi sejenisnya.
Selesaiannya menggunakan substitusi xasectsehingga dxasect tant dt
, dengan
2 2
t .
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena xasect maka 2 2 2 2
) sec (a t a a
x
) 1 (sec2 2
a t
t atan
Selanjutnya bentuk x2 a2 atantdan dxasecttantdt disubtitsusikan ke
dalam integral semula sehingga dapat ditentukan antiturunannya.
t
2
2 a
x
x
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
dxx x2 9
Jawab
Substitusikan x3sect dx3secttantdt
x2 9 (3sect)2 9 3tant
sehingga
t tdt
t t dx
x x
tan sec 3 sec 3
tan 3 9
2
3
tan2tdt3
(sec2t 1)dt3
sec2tdt 3
dt3tant 3tc
x arc xc
3 sec 3 3
9 3
2
x arc xc
3 sec 3 9 2
2.
2 8 2 x x
dx
Jawab
2 8 ( 1)2 9
2 x
dx x
x dx
Substitusikan (x 1)3sect dx3secttantdt
(x 1)2 9 3tant
Sehingga
9
2
x
8 2
2 x
x
1
x
x
t
tdt t
x dx
sec tan sec 3 9 ) 1
( 2
sectdtlnsecttant c
x x x c
3 8 2 3
1 ln
2
Sehingga x x x c
x x
dx
ln 31 32 8` 8 2
2
2
Soal-soal
Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.
1.
x2 1dx2.
25 2
2 x
dx x
3. dt
t t
3 2 44.
16 65
2 x
x dx
5.
6 2 x x
dx
6.
1 2 2
t t
dt
7.
2 24 2 z z
zdt
8.
y2 3dy2.4 Integral Parsial
Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian integral fungsi yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi
uv
dan) ( ),
(x v g x f
u
t
Karena yuv, maka menurut definisi diferensial dan turunan fungsi yuv diperoleh
) (uv d dy
vdu udv dy
vdu udv uv
d( )
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
d(uv)
udv
vdu
udv
d(uv)
vdu
udvuv
vduBentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi udv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih
sulit dibandingkan dengan
udv tersebut.Contoh
Tentukan integral persial berikut ini
1.
xcosxdxJawab
Bentuk
xcosxdx diubah menjadi
udvmisal
u
x
dan dvcosxdxsehingga dxdu 1 dan v
cosxdxsinxAkibatnya
xcosxdx
xd(sinx) Dengan rumus integral parsial
udvuv
vdu, diperoleh
xd(sinx)x(sinx)
sinxd(x)
x(sinx) sinxdx
x
(sin
x
)
cos
x
c
Sehingga
xcosxdxxsinxcosxc2.
x 1xdxBentuk
x 1xdx diubah menjadi
udvmisal
u
x
dan dv 1x sehinggadx
du 1 dan
2
33 2
1
1 2 1 1
2 1 1
1 xdx x dx x x
v
Sehingga
x 1x dx =
1 )3 2
( 3 x
xd
Berdasarkan rumus integral parsial
udvuv
vdu, diperoleh
3 1
3 2
1 x xd x
x
) ( 1 3 2 1 1 3
2x3 3 xd x
x3 31 x dx
3 2 1 1 3 2
c x x
x
1 )
5 2 ( 3 2 1
3
2 3 5
c x x
3 5 1
15 4 1 1 3 2
Sehingga
x xdx x3 5 1xc15 4 1 1 3 2 1
3. xexdx
sin JawabPilih usinx maka dud(sinx)cosxdx dx
e
dv x , v exdx ex c
, sehingga:
sinxexdx sinx d(ex)
exsinx exd(sinx)
exsinx excosxdx
Diperoleh bentuk
excosxdxyang juga diselesaikan dengan metode
parsial
Pilih
u
cos
x
maka dud(cosx) sinx dxe
dv x , v exdx ex c
cosxexdx cosxd(ex)
excosx exd(cosx)
excosx ex( sinx)dx
excosx exsinxdx, Akhirnya diperoleh
sinxexdxexsinx excosxdx
exsinxdxexsinx excosx exsinxdx xe x e dx e
x x xsin xcos sin
2
e x e x
dx e
x x xsin xcos
2 1
sin
4.
cosn xdxJawab
cosn xdx cosn1xcosxdxPilih u cosn1x maka du d(cosn1 x)(n 1)cosn2 x( sinx)dx dx
dvcos , v
cosxdxsinxc, sehingga:
cosn xdx cosn1xd(sinx)
sinxcosn 1x (sinx)d(cosn 1x)
sinxcosn1x sinx n 1 cosn2x( sinx)dx
sinxcosn 1 x (n 1) sin2 xcosn 2 xdx
sinxcosn 1x (n 1) (1 cos2x)cosn 2xdx
x n x n n xdx n n xdx
cos ) 1 ( cos
) 1 ( cos
sin 1 2
Selanjutnya diperoleh
cosnxdx sinxcosn1x(n 1) cosn2xdx (n 1) cosn xdx
n cosn xdx sinxcosn 1 x (n 1) cosn 2 xdx
xdx
n n n
x x
xdx n n
n sin cos 1 1 cos 2
cos
5.
sinn xdx
sinn xdx sinn1xsinxdxPilih usinn1x maka du d(sinn1 x) (n 1)sinn2 x(cosx)dx
dx
dvsin , v
sinxdx cosxc, sehingga:
sinn xdx sinn1xd( cosx)
cosxsinn 1x ( cosx)d(sinn 1x)
cosxsinn1x cosx n 1sinn 2 x(cosx)dx
cosxsinn 1x (n 1) cos2xsinn 2xdx
cosxsinn 1x (n 1) (1 sin2x)sinn 2xdx
cosxsinn1x (n 1) sinn2xdx (n 1) sinn xdx
Selanjutnya diperoleh
sinn xdx cosxsinn1x(n 1) sinn2xdx (n 1) sin2 xdx
n sinn xdx cosxsinn 1 x (n 1) sinn 2 xdx
xdxn n n
x x
xdx n n
n cos sin 1 1 sin 2
sin
Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.
1.
xsec2 xdx2.
secx tanx dx3.
sin3 xdx4.
x tanx dx5.
arctanx dx6.
xlnxdx7.
x3 2x7dx
9. x2e2xdx
10. dx
x xdx
1211.
cos3xsin3x dx12.
ex 1xdx13.
tan5xsec2xdx14.
(x 2)cos(x 2)dx15. xex dx
2 16. (2x 1)e3xdx17.
sec3 xdx18. x3 4 x2 dx
19.
ln3x dx20.
x2sinx dx21.
x2 1 x dx22.
x2sec2 xdx2.5 Integral Fungsi Rasional.
Fungsi rasional adalah fungsi yang bentuk umumnya dinyatakan dalam
bentuk ( ) (( ))
x g
x f x
F , dimana f(x)dan g(x) adalah fungsi pangkat banyak
(polinomial) dan g(x)0.
Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang secara umum dinyatakan dalam bentuk:
n n o ax a x ax a x
a x
f( ) 1 2 2 3 3 dengan n 1,2,3,... sehingga fungsi
rasional adalah fungsi berbentuk gf((xx)) yang pembilang dan penyebutnya