Bab II Teknik Pengintegralan

TEKNIK PENGINTEGRALAN

2.1. Penggantian Dalam Integral Tak Tentu

Konstanta, Pangkat: 1.

∫

K d u=KU+C

2.

∫

Ur_du

=U

r+1

r+1+C ; r ≠−1 L n│ U │+C ; r=−1

Eksponen

3.

∫

eud u=eu+C 4.

∫

audu= a

u

Ln a+C ; a ≠1, a0

Fungsi Trigonometri 5.

∫

sinU du=−cosU+C 6.

∫

cosU du=sinU+C 7.

∫

Sec2U du=tanU+C 8.

∫

Csc2U du=−cotU+C 9.

∫

Sec UtanU du=Sec U+C

10.

∫

Csc UcotU du=−Csc U+C 11.

∫

tanU du=−ln│cosU │+C 12.

∫

cosU du=ln│sinU │+C

Fungsi Aljabar

13.

∫

du a2_+u2=

1 atan

−1

(

u a

)

+C

14.

∫

du

√

a2−u2=sin

−1

(

u a

)

+C

15.

∫

du u

√

u2−a2=

1 asec

−1

(

│ u │ a

)

+C=

1 acos

−1

(

a

│ u│

)

+C

Penggantian : Contoh :

1. Tentukan

∫

x cos2

(

_x2

)

dx Penyelesaian

Andai u=X2du=2xdx dx=du

2x

∫

x

cos2

(

x2

)

dx=

∫

x cos2(u)

du 2x=

1 2

∫

x cos2(u)du

¿1

2

∫

Sec 2_{U du}

=1

2tanU+C ¿1

2tan

(

x 2

)

+C

2. Tentukan

∫

3

√

5−9x2dx Penyelesaian ;

Andai, u=3x du=3dx dx=du

3

∫

3

√

5−9x2dx=

∫

3

√

5−u2 du

3 =

∫

du

√

5−u2 ¿sin−1

(

u

√

5

)

+C ¿sin−1

(

3x

√

5

)

+C

3. Hitung

∫

6e 1 x x2 dx Penyelesaian ;

Ingat eu_du =eu

+C

∫

6e

1 x

x2 dx=

∫

6eu

x2

(

−x 2_du)

=−6

∫

eudu

¿−6eu+C

¿−6e 1 x_+C

4.Tentukan

∫

e x 4+9e2xdx Penyelesaian ;

Andai, U=3exdu=3exdx dx= du

3eX¿2 ¿

22+¿

ex

¿

∫

ex

4+9e2xdx=

∫

¿

¿1

3

∫

du 22

+u2+C

¿1

3.½ tan

−1

(

u 2

)

+C ¿1

6 tan

−1

(

3ex 2

)

+C

Tidak ada hukum yang mengharuskan adanya suatu penggantian apabila dapat dilakukan tanpa penggantian, lakukanlah:

5. Tentukanlah

∫

a tant cos2tdt Penyelesaian ;

Dalam ingatan gunakanlah penggantian U=tant atant

cos2t dt=a tant

Sec2t dt

¿atantd

(

tant

)

¿a

tant lna+C Mengubah-ubah Integral

Contoh:

1. Tentukan

∫

7 x2

−6x+25dx Penyelesaian:

∫

7

x2−6x+25dx=

∫

7

x2−6x+9+16dx=

∫

7

(x−3)2+42dx

¿7

∫

1

(x−3)2+42d(x−3)

¿7/4 tan−1 (x−3

4 )+C 2. Tentukan:

∫

x

2 −x

x+1 dx d(x−3)=dx Penyelesaian ;

∫

x_x2₊−₁x = (x+1) (x−2)+2

x+1 = (x-2) + 2 x+1

∫

x2−x

x+1 =



(x-2) dx +

∫

2

(x−1)dx

= x2

2 - 2x + 2

∫

1

= x2

2 - 2x + 2 ln

|

x+1| + C 2.2. Penggantian Dalam Integral Tentu

Contoh:

1. Tentukan

∫

2 5

t

√

t2

−4 dt Penyelesaian ;

y =

∫

2 5

t

√

t2−4 dt  t2_{-4 = u  du = 2t dt}

y =

∫

2 5

√

t2−4 (2t dt) 1

2  t = 2  u = 22 – 4 = 0

t = 5  u = 52_{-4 = 21}

= 1

2

∫

₂ 5

√

t2−4 (2t dt)

= 1 2

∫

₀

21 u1/2

du

= 1 2 .

1 1

2+1 U 3 2

]

21

0 = 1/2 . 2/3 U 3 2

]

21

0

= 1/3 U 3 2

]

21

0

_{= 1/3 (21)}3/2 _{– 1/3 (0)} 3/2 _{= 32,08}

2. Tentukan

∫

0 1

(x−1)4 dx Misal ; u = x-1  du = dx



U4 _{du =  (x-1)}4 _{d (x-1)} = 1

4+1 U5 ¿ 1

5 U5 = 1

5 (x-1)5 y = (x−1)

5

5  y

1 ₌ 1

5 5 (x-1)4 = (x-1) 4 Terbukti

3. Tentukan

∫

x

√

x2

+2  Misal ; u = x2 _{+2  du = 2xdx} dx = du

2x x U1/2 _{du/2x = ½  U} ½ _du

= 1/2 . 2/3 U 3/2 _{= 1/3 (x}2 ₊₂₎ 3/2 _{= 1/3 (x}2₊₂₎

√

x2+2

y =

x2+2¿3/2 ¿ ¿ ¿

= x ( x+x)1/2 _Terbukti

4. Tentukan  x2

x2+1 dx  x 2 ₊

√

x2+1 1-1/ x2 +1

x 2

x2+1 = x2

+1 x2+1 -

1 x2+1 =

x2 x2+1

∫

x2

x2

+1 dx = 1 x2

+1 1−¿

∫

¿

) dx

=



dx -

∫

1

x2+1 dx = X – Tan -1 . X+C 2.3 Beberapa Integral Trigonometri

Jenis I :  sin n _{x dx ,  cos} n _{x dx} n. ganjil

contoh:

1. Tentukan :  sin 5 _{x dx =  sin} 4 _{x sin x dx} =  ( 1-cos2 _x)2 _{sin x dx}

=  ( 1-2 cos2 _{x+ cos}4 _{x )sin x dx} =  ( 1-2 cos2 _{x+ cos x}4 _{) d (cos x )} Dimana ; d (cos x) = sin x dx = - cos x – ₃2 cos3_{x +} 1

5 cos 5 x + C Atau :  u = cos x

du = - sin x dx  sin x dx = - du

maka ; sin x dx = -  ( 1- cos2 _{x+ cos}4 _{x) du} = -  ( 1-2 u2 _{+ u}4 _{) du} = - ( u- 2

3 u3 + u 4

4 ¿+¿ C = - cos x – 2

3 cos3x - 1

4 cos 4 x + C Apabila n positip genap, kita gunakan rumus setengah sudut: sin2_{x =} 1−cos 2x

2 , cos 2 x =

1+cos 2x 2 n genap

 sin 2 _{x dx = } 1−cos2x

2 dx

= 1₂ dx - 1₂  cos 2x dx  u = 2x

= 1 2 x -

1 2 .

1

2  cos 2x du

= 1 2 x -

1

4 ∫ cos u du = 1₂ x - 1₄ sin u + C

= 1 2 x -

1

4 sin 2x + C  cos4 _{x dx =(} 1+cos 2x

2 )2 dx = 1

4  ( 1+2 cos 2x + cos2 2x ) dx = 1

4  dx + 1

4  2 cos 2x dx + 1

4 ∫ cos2 2x dx

= 1₄  dx + 1₄  2 cos 2x du₂ + 1₄  ( 1+cos 4₂ x ) dx

= 1

4  dx + 1

4  cos 2x d (2x) + 1 4 .

1

2  (1 + cos 4x ) dx = 1₄  dx + 1₄ (sin 2x) + 1₈

(

x+sin 4x

4

)

+ C = 1

4 x + 1

4 sin 2x + 1 8 x +

1

32 sin 4x + C

Jenis 2 :  sin m _{x cos}n _{x dx}

Apabila m atau n ganjil positip sedangkan mempunyai eksponen yang lain bilangan

sembarang menggunakan kesamaan sin2 _{x + cos} 2 _{x = 1} contoh: ( m atau n ) ganjil Tentukan :  sin3 _{x cos} -4 _{x dx} Penyelesaian:

 sin3 _{x cos} -4 _{x dx =  ( sin}2 _{x) (cos}-4_{x ) sin x dx} =  ( 1 – cos2 _{x ) (cos} -4 _{x ) sin x dx} = -  ( 1 – cos x ) (cos -4 _{x ) d (cos x )} = -  ( cos-4 _{x -cos} -2 _{x ) d (cos x )} = -

[

cos

−3 x

−3 -

cos−1

−1

]

+C

= 1₃ sec3 _{x + sec x + C}

Apabila m dan n positip genap, kita gunakan rumus setengah sudut untuk

mengurangi derajat integral. Contoh : (m dan n genap )

Tentukan :  sin2 _{x cos} 4 _{x dx  sin}2_{x =} 1−cos2x 2 cos2_{x =} 1+cos 2x

∫

sin x 2 _cos 4 _{x dx} = ( 1 – cos 2x

2 ) ( 1 +

cos 2x

2 )2 dx = 1₈  ( 1 – cos 2x) ( 1 + cos 2x )2 _dx

= 1

8  ( 1 – cos 2x) ( 1 + 2cos 2x + cos2 2x ) dx

= 1₈  ( 1 + 2 cos 2x + cos2 _{2x – cos2x – 2cos}2 _{2x – cos}3 _{2x ) dx}

= 1₈  ( 1 + cos 2x - 1₂ -

1−sin 4x−¿

1 2cos¿

2 _{2x) cos 2x ) dx}

= 1 8  (

1

2 + cos 2x -1 2

4x−cos 2x+¿sin

cos¿ 2x cos 2x ) dx

= 1 8  ( 

1 2dx−

1

2 cos 4x dx +  sin 2 2x cos 2x ) dx = 1₈  1₂ x−1

2 1

4 cos 4x d (4x) + 1 2

1

3

∫

sin 3 2x ]d +C = 1

8  ( 1 2x−

1

8 sin 4x dx + 1

6sin 3 2x  + C

Jenis 3:  tann _{x dx}  cotn _{x dx}

Dalam kasus tangen dipakai

Dalam kasus cotangen dipakai: cot2 _{x = csc}2 _{x - 1}

Contoh :

Tentukan: cot4 _{x dx} Penyelesaian:

 cot4 _{x dx =  cot}2 _{x (csc} 2 _{x – 1) dx} =  cot2 _{x csc} 2 _{x – cot}2 _{x ) dx}

= - ∫ cot2 _{x d (cot x ) -  (csc} 2 _{x – 1) dx} = - 1₃ cot3 _{x + cot x + x + C} Tentukan :  tan5 _{x dx}

Penyelesaian:

 tan5 _{x dx =  tan}3 _{x ( sec}2 _{x-1 ) dx} =  tan3 _{x ( sec}2 _{x- tan}3 _{x ) dx}

=  tan3 _{x d (tanx) -  tanx . ( sec}2 _{x-1 ) dx} =  tan3 _{x d (tanx) -  (tanx . sec}2 _{x - tanx) dx} = 1

4 tan 4 x - 1

2 tan 2 x – ln

|

cosx| + C Jenis 4 :

∫

tanmx secnxdx ,

∫

cotmx cscnxdx

Contoh : (n genap, m sebarang)

Tentukan :

∫

_tan−23_{x sec}4 x dx Penyelesaian :

∫

tan

−3 2 _{x sec}4

x dx  sec2x=1+tan2_x tan

−3

2 _x+tan12_x x tan¿

¿

¿

∫

¿sec2x dx →d¿

tan

−3 2 _x+tan

1 2_x x tan¿

¿ ¿

∫

¿d¿

¿ 1

−3 2 +1

tan

−3

2+1_x+ 1 1 2+1

tan 1 2+1_x+c

¿−2 tan

−1 2 _x+2

3tan 3 2_x+c

Contoh : m ganjil, n sembarang Tentukan :  tan3 _{x sec} -½ _{x dx} Penyelesaian:

 tan3 _{x sec} -½ _{x dx}

=  tan2 _{x tan x sec} -3/2 _{x sec x dx  sec}2 _{x = 1 + tan 2x} tan2 _{x = sec 2 x – 1} =  (sec x – 1) sec -3/2 _{x tan x sec x dx  d (sec) = tan x sec x} =  (sec2 _{x – 1) sec} -3/2 _{x d (sec x )}

=  (sec 1/2 _{x - sec} -3/2 _{x ) d ( sec x )}

= 1 1

2+1 sec x - 1

−3

2 +1 sec

-3/2+1 _{x + C}

= ₃2 sec2/3 _{x + 2 sec} -1/2 _{x + C}

Jenis 5

 sin mx cos nx

dx

 sin mx sin nx dx

sin mx cos nx =

(m+n)x

(m−n)x sin¿+sin¿

¿

1 2¿

sin mx sin nx = - 1₂ ( cos (m + n ) x – cos ( m + n )

x )

cos mx cos nx = 1

2 ( cos (m + n ) x + cos ( m – n )

x )

Contoh:

Tentukan  sin 2x cos 3x dx Penyelesaian :

 sin 2x cos 3x dx  sin mx cos nx = 1₂ (sin ( m + n ) + sin ( m- n ) x )

= 1

2  ( sin (2 + 3 ) x + sin ( 2 – 3 ) x ) dx = 1

2  sin 5x + sin (-x) dx = 1₂ ( −cos 5₅ x + cos x ) + C

= - 1

10 cos 5x + 1

2 cos + C

2.4 Penggantian Yang Merasionalkan 2.4.1 Integral Yang Memuat n

√

ax+b Contoh :

1. Tentukan : dx x−

√

x

Penyelesaian : u=

√

x maka u2 _{= x dan 2u du = dx} dx

x−

√

x = 1 u2

−u 2udu =

2u

u(u−1) du = 2 

1

u−1 du

¿ 2  _u1

−1 d (u- 1 )

¿2 ln│ u−1│ + C = 2 ln │

√

x−1 │ + C

2. Tentukan :  x3

Andaikan u = 3

√

x−4  u 3 _{= x – 4 dan 3u}2 _{du = dx} X = x3 _{+ 4}

 x

√

3 x−4 dx =  (u 3 _{+ 4 ) u . 3u}2 _du = 3  (u 3 _{+ 4 ) u}3 _du = 3 (u6 _{+ 4u}3 _{) du} = 3 u7

7 + 4 u4

4 + C

= 3₇ ( x – 4 )7/3 _{+ ( x – 4 )} 4/3 _{+ C}

3. Tentukan :  x+1¿ 2

¿

x√5¿

dx

Penyelesaian :

Andaikan u = ( x + 1 )1/5 _{ u}5 _{= (x + 1 ) 5u}4 _{du = dx} x = u5 _{– 1}

 x+1¿ 2

¿

x√5¿

dx =  (u5 _{– 1 ) u}2 _{. 5u}4 _du

= 5  (u11 _{– u}6 _{) du} = 5

12 u12 - 5

7 u7 + C = ₁₂5 (x + 1)12/5 _- 5

7 (x + 1 )7/5 + C

2.4.2. Integral Yang Mengandung

√

a2−x2 ,

√

a2+x2 da

n

√

x2−a2

Untuk merasionalkan kita gunakan penggantian: 1. x = a sin t

2. x = a tan t 3. x = a sec t

maka :

1. a2

−x2 _{= a}2

−¿ a2 sin2 t = a2 _{( 1 – sin}2 _{t ) = a}2 _cos2 _t

2. a2

+x2 _{= a}2

+¿ a2 tan2 t = a2 _{( 1 + tan}2 _{t ) = a}2 _sec2 _t

3. x2−a2 = a2 sec2 _{t – a}2 _{= a}2 _{( sec}2 _{t – 1 ) = a}2 _tan2 _t

1.

√

a2−x2 = a cos t = a cos t ( sebab : −π 2 ≤ t ≤

π 2 ) 2.

√

a2

+x2 _{= a sec t = a sec t (sebab:} −π 2 <t<

π 2 ) 3.

√

x−a = a tan t = ± a tan t (sebab: 0 ≤t ≤ ,t=π

2 )

Contoh :

Tentukan :

√

a2−x2 dx

Penyelessaian :

x= a sin t , -/2 ≤ t ≤ /2

Maka ; dx = a cos t dt dan

√

a2−x2 =

√

a2−a2sin2t

=

√

(

1−sin2t

)

a2 =

√

a2_cos2 _t

= a cos t

∫

√

a2−x2 dx =  a cos t a cos dt =  a2 _cos2 _{t dt}

= a2 _{ cos}2 _{t dt}

= a2 _ 1+cos 2t

2 dt

= a2

2  (1 + cos 2 t ) dt

= a 2

2 ( t +

sin2t

2 ) + C

= a2

2 ( t + 1

2 2 sin t cos t ) + C

= a2

2 ( t + sin t cos t ) + C

Maka t = sin -1 ₍ x

a )  cos  sin (x)  =

√

1−x2

cos t = cos  sin -1 ₍ x

a )  = x a 1−¿

√¿

) =

√

1−x 2

a2

=

√

a 2

a2− x2

a2 = 1

a

√

a2−x2

√

a2−x2 dx = a 2

2 ( sin -1 ₍ x

a ) ) + a₂ 2

sin t cos t + C

= a2 2 sin

-1 ₍ x a ) +

a 2

x a

1

a

√

a2−x2 + C

= a2 2 sin

-1 ₍ x a ) +

x 2

√

a

2 −x2

+ C

Tentukan : 4−x 2

x2 dx

Penyelesaian:

Andaikan x = 2 sin t π 2≤ t ≤

π 2

dx = 2 cos t dt dan

√

4−x2 =

√

4−4 sin2 t = 1−sin 2

4(¿t)

√¿

=

√

4 cos2t

= 2 cos t

∫

√

4−x2

x2 dx = 

2cost

2 sin2t ( 2 cos t ) dt

=  cos2t

sin2t dt = cot 2 _dt

=  (csc2 _{t – 1 ) dt}

Sin t = x

2  t = sin-1 ( x

2 ) 

cot t =

√

4−x2 x



√

4−x2

x2 dx = -

√

4−x2

x - sin -1 ₍ x

2¿ + C

Tentukan :  dx

√

9+x2

Penyelesaian :

Andaikan : x = 3 tan t , - /2 t /2 maka dx = 3 Sec2 _{t dt}

√

9+x2 =

√

9+32tan2t

=

√

9+9 tan2_{t =} 1+tan 2

t 9(¿)

√¿

=

√

9sec2t = 3 sec t

 dx

√

9+x2 =  3 sec2_t

3sec t dt =  sec t dt = ln│sec t + tan t│+ C

 dx

√

9+x2 = ln │

√

9+x2

3 dt + x

3 │ + C

= ln │

√

9+x2+x

3 │+ C

Melengkapkan Menjadi Kuadrat Contoh:

Tentukan :  dx

√

x2

+2x+26

Penyelesaian:

Andaikan : u = x + 1 dan du = dx

maka:

 dx

√

x2+2x+26 =

dx

√

(x+1)2+25 =

du

√

u2+25

Andaikan :

U = 5 tan t , /2 ≤ t ≤ /2

du = 5 sec2 _{t dt dan}

√

_u2

+25 =

√

25(tan2 +1)

√

u2+25=5sect

Maka :

du

√

u2

+25 =  1

5sect 5 sec2 t dt

=  sec t dt

=  sec t . sec t_sec +tant

+tant dt

= sec 2

t+sect+tant sec t+tant dt

= ln sec t + tan t + C

= ln │

√

u2+25 5 +

u

5 │+ C

= ln │

√

u2+25 + u │ - ln 5 + C

= ln

|

√

x2+2x+26

|

+ x + 1 │ + K

2.5. Pengintegralan Parsial

2.5.1 Pengeintegralan Parsial Biasa

Jika pengintegralan dengan metode penggantian tidak berhasil, kita coba dengan

Andaikan : u = f (x) dan v = g (x) maka

Dx f (x) g (x) = f (x) g'(x) + g(x) f ' (x)

Maka :

f (x) g (x) =  f (x) g'(x) dx +  g(x) f ' (x) dx

atau :

 f (x) g'(x) dx = f (x) g (x) -  g(x) f ' (x) dx

Karena :

dv = g'(x) dx dan du = f ' (x) dx

maka rumus dapat ditulis :

Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu  u dv = uv -  v

du

Pengintegralan Parsial Integral Tentu

Contoh

1. Tentukan  x cos x dx Penyelesaian:

Misal u = x du = dx

dv = cos x dx v =

∫

cosx dx=sinx

Maka :

∫

u dv=u . v−

∫

v du

∫

xcosx dx=xsinx−

∫

sinx dx

¿xsinx−cosx+c

∫

a b

udv=(uv)b

a−

∫

a b

2. Tentukan

∫

1 e

lnx dx

Penyelesaian :

Misal u = ln x du = ( 1 x ) dx

dv = dx v = x

 u dv = u.v -  v du

∫

1 e

lnx dx = x ln x -  x 1_x dx

¿ x ln x -

∫

1 e

dx

¿ x ln x │ e

1 - x │ e 1

x ln x - x │ e₁

e−e 1−1 1 ln¿ ¿

eln¿−¿ ¿ ¿

= e – e + 1 = 1

3. Tentukan  sin-1 _{x dx} Penyelesaian :

Misal u = sin-1 _{x du =} 1

√

1+x2 dx

x=sinU

1 = cos u du  x2 _{= sin}2_{u  x}2 _{= 1 – cos}2_u

1 = cos (sin-1 _{x ) d (sin}-1 _{x )}

1 =

√

1−x2 _{d (sin}-1 _{x )}

1

√

1−x2 = d (sin-1 x ) = du

dv=dx x = v

u dv = u.v -  v du

sin-1 _{dx = xsin}-1 _{x - } 1

√

1−x2 dx

= xsin-1 _{x - } 1

√

1−x2 dx  a = 1 – x 2

da = -2x dx

= xsin-1 _{x -  x ( 1 – x}2₎ -½_{(-2x dx)}

= xsin-1 _{x -  x (a)}-½ 1

−2x da

= xsin-1 _{x + ½  a}-½ _da

= xsin-1 _{x +} 1 2

1

−½+1 a½ +C

= xsin-1 _{x +} 1 2 .

2

1 a½ +C

= xsin-1 _{x + ( 1 – x}2₎ ½ _{+ C}

= xsin-1 _{x +}

√

₁

−x2 _{+ C}

2.5.2 Pengintegralan Parsial Berulang Contoh :

1. Hitunglah :  x2 _{sin x dx}

dv = sin x dx v =  sin x dx = - cos x dx

 u dv = u.v -  v du

 x2 _{sin x dx = -x}2 _{cos x -  (-cos x) 2x dx}

= -x2 _{cos x +  2x cos x dx}

u = 2x du = 2 dx

dv = cos x dx v =  cos x dx

= sin x

 x2 _{sin x dx = -x}2 _{cos x + 2x sin x -  2 sin x dx}

= -x2 _{cos x + 2x sin x + 2 cos x + C}

2. Tentukan  ex _{sin x dx} Penyelesaian :

Misalnya : u = ex _{du = e}x _dx

dv = sin x dx v =  sin x dx = -cos

 u dv = u. v -  v du

 ex _{sin x dx = -e}x _{ cos x -e}x _dx

= ex _{cos x}

u = ex _{du =e}x _dx

cos x dx =  v v =  cos x dx = sin x

 ex _{sin x dx = -e}x _{cos x + e}x _{sin x -  sin x e}x _dx

 ex _{sin x dx = e}x _{( sin x – cos x ) -  e}x _{sin x dx}

2 ex _{sin x dx = e}x _{( sin x – cos x ) + C}

3. Hitunglah  sec3_{ d} Penyelesaian :

 sec3_{ d =  sec sec}2_{ d}

u = sec du = sec tan d

dv = sec2_{ d v =  sec}2_{ d = tan }

 u dv = u.v -  v du

 sec3_{ d = sec tan -  tan sec tan d}

 sec3_{ d = sec tan -  tan}2_{ sec d}

 sec3_{ d = sec tan -  sec (sec}2_{ - 1 ) d}

 sec3_{ d = sec tan -  ( sec}3_{ - sec ) d}

 sec3_{ d = sec tan -  sec}3_{ d +  sec d}

 sec3_{ d = sec tan -  sec}3_{ d + ln │ sec + tan │+C}

2  sec3_{ d = sec tan -  sec}3_{ d +ln │sec + tan│ + C}

 sec3_{ d =} 1

2 sec tan + 1

2 ln │ sec + tan │+ K

RUMUS REDUKSI

f n _{(x) dx = g (x) + f}k _{(x) dx dan k  n}

Contoh

1. Jabarkan suatu rumus reduksi untuk  sinn _{x dx} Penyelesaian :

Andaikan u = sinn-1 _{x du = (n - 1) sin}n-2 _{x cos x} dv = sin x dx v =  sin dx = - cos x  u dv = u.v -  v du

 sinn _{x dx = - sin}n-1 _{cos x - ( n – 1 )  - sin}n-2 _{x cos x . cos x dx} = - sinn-1 _{cos x + ( n – 1 )  sin}n-2 _cos2 _{x dx}

 sinn _{x dx = - sin}n-1 _{cos x + ( n – 1 )  ( sin}n-1 _{(1 – sin}2 _{x ) ) dx} = - sinn-1 _{cos x + ( n – 1 )  ( sin}n-2 _{– sin}n _{) dx}

 sinn _{x dx + (n – 1 )  sin}n _{x dx = -sin}n-1 _{cos x + ( n – 1 )  sin}n-2 _dx n  sinn _{x dx = - sin}n-1 _{cos x + ( n – 1 )  sin}n-2 _dx

sinn _{x dx =} −sinn−1cosx

n +

(n−1)

n sinn-2 dx

2. Gunakan rumus reduksi di atas untuk menghitung: contoh

sin3 _{x dx}

Penyelesaian : sinn _{dx =} −sinn−1xcosx

n +

(n−1)

n sin n-2 _dx

= -sin n-1 ₍π 2) Penyelesaiannya :

∫

0

¿2

sinn_{x dx}

=

[

−sin

n−1_xcosx

n

]

¿2 0 +

(n−1)

n  sin n-2 _dx

=

[

−sin n−1

(

❑

2

)

cos

(

❑2

)

n

]

+ sin n−1₍

0)cos(0)

n

+ (n−1)

n  sinn-2 x dx = 0 + (n−1)

n  sin n-2 x dx

∫

0

¿2

sin8_{x dx}

= 8−₈1

∫

0

¿2

sin8−2_{x dx}

= 7₈

∫

0

¿2

sin8−2_{x dx}

= 7 8 .

6−1

6

∫

₀ ¿2

sin6−2_{x dx}

= 7 8 .

5

6

∫

₀ ¿2

sin4x dx

= 7 8 .

5 6

4−1

4 sin4-2 dx = 7₈ . 5₆ . 3₄ 2−₂1

∫

0

¿2 sin0_dx

= 7 8 .

5 6 .

3

4 .

1 2

∫

₀

¿2 dx

= 7 8 .

5 6 .

3

4 .

1 2 .

1

2 = 35/256  1.  x ex _dx

3.  x sin 3 x dx 4.  ln 3x dx 5.  t sec2 _{5 t dt} 6.  x

√

x dx 7. 

√

x ln x dx 8.  23 _{ln x dx}

9.

∫

π/4 π/2

csc3 x dx 10. x dx dx

11. x sin3 _{x dx} 12. x2 _{cos x dx} 13. sin (ln x ) dx 14. (lnx)3 _dx

15. Sebarkan rumus reduksi  cos3 _{x dx dengan menggunakan rumus integral parsial} 16. Buktikan rumus reduksi :  x ex _{dx = x}n _ex

2.6 Pengintegralan Fungsi Rasional

2.6.1 Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial (Faktor Linier)

faktor linier berbeda 1. Tentukan :  5x+3

x3−2x2−3x dx Penyelesaian:

5x+3 x3

−2x2

−3x =

5x+3 x(x2−2x−3)=

5x+3 x(x+1)(x−3)

5x+3 x(x+1)(x−3)=

A x +

B

(x+1) +

C

(x−3)

5x + 3 = A ( x + 1 ) ( x – 3 ) + B x ( x – 3 ) + C x ( x + 1 ) didapat:

5x + 3 x2−2x−3

¿A¿ ) + B ( x

2 _{– 3x ) + C ( x}2 _{+ x )} 5x + 3 = ( A + B + C ) C x2 _{+ (-2A – 3B + C ) x + ( -3 A )} 3 = -3 A  A = -1 / - 3A = 3 A = -1

A + B + C = 0  -1 + B + C = 0  B + C = 1

-2A – 3B + C = 5  2 – 3B + C = 5 3B + C = 3 4B = -2 B + C = 1 B = - ½ -½ + C = 1

A=−1 B = - ½ C=3

2

(5x+3)

x(x+1)(x−3) = −1

x +(

−1 2 )

(

1 x+1

)

+

3 2(x−3)

= ln|x –3|− 3 (x−3)+C

= −ln∨x∨−1

2 ln∨x+1∨

+3

2 ln∨x –3∨+C

B. Contoh Faktor Linier Berulang. Hitunglah :

∫

X

(X−3)2 dx

Penyelesaian : X

(x−3)2 =

A x−3 +

B

(x−3)2 x=A(x –3)+B

x=Ax –3A+B

Ax=x A=1 -3A + B = 0 B = 3A

B = 3 A = 1 B = 3

x

(x−3)2 ¿

1 x−3+

3

(x−3)2

∫

x

(x−3)2dx=

∫

1

x−3dx+3

∫

1

(x−3)2dx

¿ln│ x –3│+3

∫

(x−3)−2dx

¿ln│ x –3│+3 1

−2+1(x−3)

−2+1 +C

= ln│ x – 3 │ + 3/(-1) (x -3) -1 _{+ C} 3x2

−8x+13

(x+3)(x−1)2 =

4 x+3−

1 x−1+

2

(x−1)2

( Ada Beberapa Faktor Linier Berbeda Dan Ada Yang Berulang)

Tentukan :

∫

3x−8x+13

(x+3)(x−1)2

Penyelesaian: 3x2−8x+13

(x+3)(x−1)2 =

A x+3+

B

(x−1)+

C

(x−1)2 3x2

−8x+13 = A (x-1) + B (x+3) (x-1) + C (x+3)

3x2−8x+13 = A ( x2 _{- 2x + 1 ) + B ( x}2 _{+2x – 3 ) + C ( x + 3 )} = x (A + B ) + x ( -2A + 2B + C ) + ( A – 3B + 3C ) A + B = 3

-2A + 2B + C = -8 3x -6A + 6B + 3C = 24 A + 3B + 3C = 13 A – 3B + 3C = 13

--7A + 9B = -37

A + B = 3 7x 7A + 7B = 21 + 16B = -16

B = −16 16 =−1

A + B = 3 A + (-1) = 3 A = 4

A – 3B + 3C = 13 4 – 3 (-1) + 3C = 13 4 + 3 - 3C = 13 - 7 3C = 13 – 7 = 6 C = 2

Jadi A = 4, B = -1 , C = 2 Sehingga :

5x+3 x(x+1)(x−3)=

−1 x −

1 2

1 x+1dx+

3 2

1 x−3dx 3x−8x+13

(x+3)(x−2)2=4

1 x+3dx−

1

x−1dx+2 1

(x−1)2

¿4 ln│ x+3│ –ln│ x –1│− 2 (x−1)+C

2.6.2 Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial (Faktor Kuadrat) A.( Faktor Kuadrat Yang Berbeda )

Tentukan : 6x 2

−3x+1

(4x+1)(x2+1)

Penyelesaian : 6x2

−3x+1

(4x+1)(x2

+1) =

A

4x+1 +

Bx+C x2+1

6x2 _{– 3x + 1 = A ( x}2 _{+ 1 ) + ( Bx + C ) (4x + 1 )}

6x2 _{– 3x + 1 = Ax}2 _{+ A + 4Bx}2 _{+ Bx + 4Cx + C}

( A + 4B) = 6 B + 4C = -3 1X B + 4C = -3 A + C = -1 4X 1 = A + C

B + 4C = - 3 4A + 4C = 4 - B - 4A = -7

A + 4B = 6 1X A + 4B = 6 -4A+ B = - 7 4X -16A+ 4B = - 28

17 A = 34 A = 34

17 = 2 A + C = 1 2 + C = 1 C = - 1 B + 4C = - 3

B + 4 (-1) = -3 B - 4 = - 3 B = - 3 + 4 = 1 Jadi: A = 2 , B = 1 , C = - 1

6x2

−3x+1

(4x+1)(x2+1) =

2

4x+1 + x−1 x2

∫

6x 2

−3x+1

(4x+1)(x2

+1) =

∫

2

4x+1 dx +

∫

x−1 x2+1 dx = 1

2

∫

4

4x+1 dx +

∫

x

x2+1 dx -

∫

1

x2+1 dx = 1

2

∫

4

4x+1 dx + 1

2

∫

2x

x2+1 dx -

∫

1 x2+1 = 1₂ ln │ 4x + 1 │ + 1₂ ln │x2 _{+ 1 │ - tan} -1 _{x + C}

B. (Faktor Kuadrat Berulang)

Tentukan :

x2 +2¿2

¿

(x+3)¿

6x2−15x+22

¿

∫

¿

Penyelesaian : x2+2¿2

(x+3)¿

6x2−15x+22

¿

= _xA

+3 +

Bx+C

(x2+2) +

x2+2¿2 ¿

dx+E

¿

6x2

−15x+22 = A ( x4 _{+ 4x}2 _{+ 4 ) + (Bx + C )}

( x3 _{+ 3x}2 _{+2x + 6 ) + (Dx + Ex + 3Dx + 3E)} 6x2

−15x+22 = A ( x4 _{- 4x}2 _{+ 4 ) + (Bx}4 _{+ 3Bx}3 _{+ 2Bx}2 _{+ 6 Bx + Cx}2 _{+ 2Cx}

+ 6C) + (Dx 2_{+ Ex + 3Dx + 3E)} (A+B)X 4 _{= 0 (-4A - 2B + 3C + D ) x}2 _{= 6x}2 ( 3B + C ) x3 _{= 0 (6B + 2C + E + 3D ) x = - 15}

( 4A + 6C + 3E ) = 22

2.7.Rangkuman

A. Penggantian Dalam Integral Tak Tentu Konstanta, Pangkat:

1.

∫

K d u=KU+C

2.

∫

Ur_du

=U

r+1

r+1+C ; r ≠−1 L n│ U │+C ; r=−1

3.

∫

eud u=eu+C 4.

∫

audu= a

u

Ln a+C ; a ≠1, a0

Fungsi Trigonometri 5.

∫

sinU du=−cosU+C 6.

∫

cosU du=sinU+C 7.

∫

Sec2_{U du}

=tanU+C 8.

∫

Csc2_{U du}

=−cotU+C

9.

∫

Sec UtanU du=Sec U+C

10.

∫

Csc UcotU du=−Csc U+C 11.

∫

tanU du=−ln│cosU │+C 12.

∫

cosU du=ln│sinU │+c

Fungsi Aljabar

13.

∫

du

√

a2+u2= 1 atan

−1

(

u a

)

+C

14.

∫

du

√

a2+u2=sin

−1

(

u a

)

+C

15.

∫

du u

√

u2+a2=

1 asec

−1

(

│u │ a

)

+C=

1 acos

−1

(

a

│u │

)

+C

Mengubah-ubah Integral Contoh:

1. Tentukan

∫

7 x2

−6x+25dx Penyelesaian:

∫

7

x2−6x+25dx=

∫

7

x2−6x+9+16dx=

∫

7

(x−3)2+42dx

¿7

∫

1

(x−3)2+42d(x−3)

¿7/4 tan−1 (x−3

4 )+C 2. Tentukan:

∫

x

2 −x

x+1 dx

∫

x_x2₊−₁x = (x+1) (x−2)+2

x+1 = (x-2) + 2 x+1

∫

x2−x

x+1 =



(x-2) dx +

∫

2

(x−1)dx

= x2

2 - 2x + 2

∫

1

x+1 d (x+1) = x2

2 - 2x + 2 ln

|

x+1| + C B. Penggantian Dalam Integral Tentu

∫

0 1

(x−1)4 dx

Misal ; u = x-1  du = dx



U4 _{du =  (x-1)}4 _{d (x-1)}

= ₄1

+1 U5 ¿ 1

5 U5 = 1

5 (x-1)5

y = (x−1) 5

5  y

1 ₌ 1

5 5 (x-1)4 = (x-1) 4 Terbukti C. Beberapa Integral Trigonometri

1. Jenis 1 Apabila n ganjil  sin n _{X dx ,  cos} n _{X dx}

Apabila n positif genap, maka kita gunakan rumus setengah sudut

sin2_{x =} 1−cos2x

2 , cos 2 x =

1+cos 2x 2

2. Jenis 2 Apabila m atau n ganjil positif, sedangkan mempunyai eksponen yang lain bilangan sembarang menggunakan ketidaksamaan

∫

sinm_xcosn_{x dx} m dan n positif genap

 sin2 _{x cos} 4 _{x dx  sin}2_{x =} 1−cos 2x 2 cos2_{x =} 1+cos 2x

2 penyelesaian:

∫

sin x 2 _cos 4 _{x dx}

= ( 1 – cos 2₂ x ) ( 1 + cos 2₂ x )2 _dx

= 1

= 1

8  ( 1 – cos 2x) ( 1 + 2cos 2x + cos2 2x ) dx

= 1₈  ( 1 + 2 cos 2x + cos2 _{2x – cos2x – 2cos}2 _{2x – cos}3 _{2x ) dx}

= 1₈  ( 1 + cos 2x - 1₂ -

1−sin 4x−¿

1 2cos¿

2 _{2x) cos 2x ) dx}

= 1₈  ( 1₂ + cos 2x - ₂1 4x−cos 2_cosx+¿sin

¿ 2x cos 2x ) dx

= 1 8  ( 

1 2dx−

1

2 cos 4x dx + 1

2sin 2 2x cos 2x ) dx = 1₈  1₂x−1

2 1

4 cos 4x d (4x) +  1 2

1

3

∫

sin 2 2x d (sin 2x) = 1

8  ( 1 2 x−

1

8 sin 4x dx + 1

6sin 3 2x  + C 3. Jenis 3

 tann _{x dx}  m nn _{x dx}

 cotn _{x dx}

Dalam kasus tangen dipakai

Dalam kasus cotangen dipakai: cot2 _{x = csc}2

x – 1

m ganjil n sembarang Tentukan :

∫

_tan−23_{x sec}4

x dx Penyelesaian :

∫

tan

−3

2 _{x sec}4_{x dx}  _sec2_x=1+tan2_x

tan

−3

2 _x+tan12_x x tan¿

¿

¿

∫

¿sec2_{x dx →a}

¿

tan

−3

2 _x+tan12_x x tan¿

¿ ¿

∫

¿d¿

¿ 1

−3 2 +1

tan

−3

2+1_x+ 1 1 2+1

tan 1 2+1_x+c

¿−2 tan

−1 2 _x

+2

3tan 3 2_x

+c

4. Jenis 4 (n genap, m sembarang)

∫

tanmx secnx dx ,

∫

cotmx cscnx dx 5. Jenis 5

sin mx cos nx =

(m+n)x

(m−n)x sin¿+sin¿

¿

1 2¿

sin mx sin nx = - 1₂ ( cos (m + n ) x – cos ( m + n )

x )

cos mx cos nx = 1

2 ( cos (m + n ) x + cos ( m – n )

x )

D. Penggantian Yang Merasionalkan n

√

ax+b

Integral yang mengandung

√

a2−x2,

√

a2+x2dan

√

x2−a2

Untuk merasionalkan kita gunakan penggantian: 1. x = a sin t

2. x = a tan t 3. x = a sec t

maka :

1. a2

−x2 _{= a}2

−¿ a2 sin2 t = a2 _{( 1 – sin}2 _{t ) = a}2 _cos2 _t

2. a2

+x2 _{= a}2

+¿ a2 tan2 t = a2 _{( 1 + tan}2 _{t ) = a}2 _sec2 _t  sin mx cos nx dx

 sin mx sin nx dx

3. x2−a2 = a2 sec2 _{t – a}2 _{= a}2 _{( sec}2 _{t – 1 ) = a}2 _tan2 _t

Jadi:

1.

√

a2

−x2 _{= a cos t = a cos t ( sebab :} −π 2 ≤ t ≤

π 2 ) 2.

√

a2+x2 = a sec t = a sec t (sebab: −π

2 <t< π 2 ) 3.

√

x2

−a2 _{= a tan t = ± a tan t (sebab: 0 ≤t ≤ ,t=}π 2 ) E. Pengintegralan Parsial

Andaikan : u = f (x) dan v = g (x) maka

Dx f (x) g (x) = f (x) g'(x) + g(x) f ' (x) Maka :

f (x) g (x) =  f (x) g'(x) dx +  g(x) f ' (x) dx atau:

 f (x) g'(x) dx = f (x) g (x) -  g(x) f ' (x) dx Karena :

dv = g'(x) dx dan du = f ' (x) dx maka rumus dapat ditulis :

1. Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu  u dv = uv -  v

du

2. Pengintegralan Parsial Integral Tentu

3. Pengintegralan Parsial Berulang 1. Hitunglah :  x2 _{sin x dx}

Misal u = x2 _{du = 2x dx}

dv = sin x dx v =  sin x dx = - cos x dx

 u dv = u.v -  v du

 x2 _{sin x dx = -x}2 _{cos x -  (-cos x) 2x dx}

= -x2 _{cos x +  2x cos x dx}

∫

a b

udv=(uv)b

a−

∫

_a b

u = 2x du = 2 dx

dv = cos x dx v =  cos x dx

= sin x

 x2 _{sin x dx = -x}2 _{cos x + 2x sin x -  2 sin x dx}

= -x2 _{cos x + 2x sin x + 2 cos x + C}

F. Rumus Reduksi

f n _{(x) dx = g (x) + f}k _{(x) dx dan k  n}

G. Pengintegralan Fungsi Rasional Faktor Linier Berbeda

1. Tentukan :  5x+3 x3

−2x2

−3x dx Penyelesaian:

5x+3

x3−2x2−3x =

5x+3 x(x2

−2x−3)=

5x+3 x(x+1)(x−3)

¿A

x + B

(x+1) +

C

(x−3)=

5x+3 x(x+1)(x−3)

A ( x + 1 ) ( x – 3 ) + B x ( x – 3 ) + C x ( x + 1 ) = 5x + 3

didapat: x2

−2x−3

¿A¿ ) + B ( x

2 _{– 3x ) + C ( x}2 _{+ x ) = 5x + 3} = ( A + B + C ) C x2 _{+ (-2A – 3B + C ) x + ( -3 A )= 5x + 3} 3 = -3 A  A = 1

A + B + C = 0  -1 + B + C = 0  B + C = 1 -2A – 3B + C = 5  2 – 3B + C = 5 3B + C = 3 4B = -2 B + C = 1 B = - ½

½ + C = 1

C = 3₂

A=−1 B = - ½ C=3

2

(5x+3)

x(x+1)(x−3) = −1

x +(

−1 2 )

(

1 x+1

)

+

= ln|x –3|− 3 (x−3)+C

= −ln∨x∨−1

2 ln∨x+1∨

+3

2 ln∨x –3∨+C

Faktor Linier Berulang

Hitunglah :

∫

X

(X−3)2 dx

Penyelesaian : X

(x−3)2 =

A x−3 +

B

(x−3)2 X=A(x –3)+B

x=Ax –3A+B

Ax=x A=1 -3A + B = 0 B = 3A

B = 3 A = 1 B = 3

x

(x−3)2 ¿

1 x−3+

3

(x−3)2

∫

x

(x−3)2dx=

∫

1

x−3dx+3

∫

1

(x−3)2dx

¿ln│ x –3│+3

∫

(x−3)2dx

¿ln│ x –3│+3 1

−2+1(x−3)

−2+1 +C

= ln│ x – 3 │ + 3/(-1) (x -3) -1 _{+ C}

3x2−8x+13

(x+3)(x−1)2 =

4 x+3−

1 x−1+

2

(x−1)2

H. Contoh Soal Faktor Linier Berbeda Dan Berulang Tentukan :

∫

3x−8x+13

(x+3)(x−1)2

Penyelesaian: 3x2−8x+13

(x+3)(x−1)2 =

A x+3+

B

(x−1)+

C

(x−1)2

3x2−8x+13 = A (x-1) + B (x+3) (x-1) + C (x+3)

3x2−8x+13 = A ( x2 _{-2x + 1 ) + B ( x}2 _{+2x – 3 ) + C ( x + 3 )} = x (A + B ) + x ( -2A + 2B + C ) + ( A – 3B + 3C )

A + B = 3

-2A + 2B + C = -8 3x -6A + 6B + 3C = 24 A + 3B + 3C = 13 A – 3B + 3C = 13

-7A + 9B = -37 -7A + 9B = -37 1x -7A + 9B = -37 A + B = 3 7x 7A + 7B = 21 +

B = −16 16 =−1

A + B = 3 A + (-1) = 3 A = 4

A – 3B + 3C = 13 4 – 3 (-1) + 3C = 13 4 + 3 - 3C = 13 - 7 3C = 13 – 7 = 6 C = 2

Jadi A = 4, B = -1 , C = 2 Sehingga :

5x+3 x(x+1)(x−3)=

−1 3 −

1 2

1 x+1dx+

3 2

1 x−3dx 3x−8x+13

(x+3)(x−2)2=4

1 x+3dx−

1

x−1dx+2 1

(x−1)2

¿4 ln│ x+3│ –ln│ x –1│− 2 (x−1)+C

I. Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial 1. Faktor Kuadrat Yang Berbeda

Tentukan : 6x 2

−3x+1

(4x+1)(x2+1)

Penyelesaian : 6x2

−3x+1

(4x+1)(x2+1) =

A

4x+1 +

Bx+C x2+1 6x2 _{– 3x + 1 = A ( x}2 _{+ 1 ) + ( Bx + C ) (4x + 1 )} 6x2 _{– 3x + 1 = Ax}4 _{+ A + 4Bx}2 _{+ Bx + 4Cx + C}

( A + 4B) = 6 B + 4C = -3 1X B + 4C = -3 A + C = -1 4X

1 = A + C B + 4C = - 3

4A + 4C = 4 -

B - 4A = -7

A + 4B = 6 1X A + 4B = 6 -4A+ B = - 7 4X 16A+ 4B = 28

17 A = 34

A = 34₁₇ = 2 A + C = 1 2 + C = 1

C = - 1 B + 4C = - 3

B + 4 (-1) = -3 B - 4 = - 3 B = - 3 + 4 = 1

6x2−3x+1

(4x+1)(x2

+1) =

2

4x+1 + x−1 x2+1

∫

6x

2

−3x+1

(4x+1)(x2

+1) =

∫

2

4x+1 dx +

∫

x−1 x2+1 dx = 1

2

∫

4

4x+1 dx +

∫

x

x2+1 dx

-∫

1

x2+1 dx

= 1

2

∫

4

4x+1 dx + 1

2

∫

2x

x2+1 dx

-∫

1

x2+1 dx

= 1₂ ln │ 4x + 1 │ + 1₂ ln │x2 _{+ 1 │ - tan} -1

x + C

2. Faktor Kuadrat Berulang

Tentukan :

x2+2¿2 ¿

(x+3)¿

6x2

+15x+22

¿

∫

¿

Penyelesaian : x2+2¿2

(x+3)¿

6x2+15x+22

¿

= A

x+3 +

Bx+C

(x2

+2) +

x2+2¿2 ¿

dx+E

¿

6x2+15x+22 = A ( x4 _{+ 4x}2 _{+ 4 ) + (Bx + C )} ( x3 _{+ 3x}2 _{+2x + 6 ) + (Dx + Ex + 3Dx + 3E)}

6x2+15x+22 = A ( x4 _{+ 4x}2 _{+ 4 ) + (Bx}4 _{+ 3Bx}3 _{+ 2Bx}2 _{+ 6 Bx +}

Cx2 _{+ 2Cx + 6C) + (Dx} 2_{+ Ex + 3Dx + 3E)}