Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part)

Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part)

Kalkulus 2

Nanang Susyanto

Departemen Matematika FMIPA UGM

06 Februari 2017

Mari mengingat

Derivatif∼Integral tak tentu.

Aturan rantai∼Metode substitusi.

Derivatif dari perkalian dua fungsi∼Integral parsial: (uv)⁰ =u⁰v+uv⁰ ⇐⇒ uv⁰ = (uv)⁰−vu⁰.

Mari mengingat

Derivatif∼Integral tak tentu.

Aturan rantai∼Metode substitusi.

Derivatif dari perkalian dua fungsi∼Integral parsial: (uv)⁰ =u⁰v+uv⁰ ⇐⇒ uv⁰ = (uv)⁰−vu⁰.

Mari mengingat

Derivatif∼Integral tak tentu.

Aturan rantai∼Metode substitusi.

Derivatif dari perkalian dua fungsi∼Integral parsial:

(uv)⁰ =u⁰v+uv⁰ ⇐⇒ uv⁰ = (uv)⁰−vu⁰.

Integral parsial

(uv)⁰ =u⁰v+uv⁰ ⇐⇒ uv⁰ = (uv)⁰−vu⁰.

Z

udv =

Z

d(uv)−

Z vdu. l

Z

udv=uv−

Z vdu.

Integral parsial

(uv)⁰ =u⁰v+uv⁰ ⇐⇒ uv⁰ = (uv)⁰−vu⁰. Z

udv =

Z

d(uv)−

Z vdu.

l

Z

udv=uv−

Z vdu.

Contoh: Integral parsial (sekali)

Z

xe^xdx ?

Z x

|{z}

u(x)

e^x

|{z}

v⁰(x)

dx = x

|{z}

u(x)

e^x

|{z}

v(x)

−

Z e^x

|{z}

v(x)

1

|{z}

u⁰(x)

dx =xe^x−e^x+C.

F(x) =

Z

x sin xdx ? Karena sin x = _dx^d (−cos x)maka

F(x) =x(−cos x) −

Z

(−cos x) ·1dx = −x cos x+sin x+C.

Contoh: Integral parsial (sekali)

Z

xe^xdx ? Z

x

|{z}

u(x)

e^x

|{z}

v⁰(x)

dx = x

|{z}

u(x)

e^x

|{z}

v(x)

−

Z e^x

|{z}

v(x)

1

|{z}

u⁰(x)

dx =xe^x −e^x+C.

F(x) =

Z

x sin xdx ? Karena sin x = _dx^d (−cos x)maka

F(x) =x(−cos x) −

Z

(−cos x) ·1dx = −x cos x+sin x+C.

Contoh: Integral parsial (sekali)

Z

xe^xdx ? Z

x

|{z}

u(x)

e^x

|{z}

v⁰(x)

dx = x

|{z}

u(x)

e^x

|{z}

v(x)

−

Z e^x

|{z}

v(x)

1

|{z}

u⁰(x)

dx =xe^x −e^x+C.

F(x) =

Z

x sin xdx ?

Karena sin x = _dx^d (−cos x)maka F(x) =x(−cos x) −

Z

(−cos x) ·1dx = −x cos x+sin x+C.

Contoh: Integral parsial (sekali)

Z

xe^xdx ? Z

x

|{z}

u(x)

e^x

|{z}

v⁰(x)

dx = x

|{z}

u(x)

e^x

|{z}

v(x)

−

Z e^x

|{z}

v(x)

1

|{z}

u⁰(x)

dx =xe^x −e^x+C.

F(x) =

Z

x sin xdx ? Karena sin x = _dx^d (−cos x)maka

F(x) =x(−cos x) −

Z

(−cos x) ·1dx = −x cos x+sin x+C.

The invisible dv

Z

ln xdx ?

Z

ln xdx =

Z ln x

|{z}

u(x)

· 1

|{z}

v⁰(x)

dx

=ln x·x−

Z 1 x ·xdx

=x ln x−

Z 1dx

=x ln x−x+C.

The invisible dv

Z

ln xdx ? Z

ln xdx =

Z ln x

|{z}

u(x)

· 1

|{z}

v⁰(x)

dx

=ln x·x−

Z 1 x ·xdx

=x ln x−

Z 1dx

=x ln x−x+C.

Contoh: Integral parsial (dua kali)

Z

x²e^2xdx ?

Z x²

|{z}

u(x)

e^2x

|{z}

v⁰(x)

dx =x²e^2x 2 −

Z e^2x 2 2xdx

=x²e^2x 2 −^{ e}

2x

4 2x−

Z e^2x 4 2dx



=x²e^2x 2 −^{ e}

2x

4 2x− ^e

2x

8 2+C



= ¹

2x²e^2x− ¹

2xe^2x+¹

4e^2x−C.

Contoh: Integral parsial (dua kali)

Z

x²e^2xdx ?

Z x²

|{z}

u(x)

e^2x

|{z}

v⁰(x)

dx =x²e^2x 2 −

Z e^2x 2 2xdx

=x²e^2x 2 −^{ e}

2x

4 2x−

Z e^2x 4 2dx



=x²e^2x 2 −^{ e}

2x

4 2x− ^e

2x

8 2+C



= ¹x²e^2x− ¹xe^2x+¹e^2x−C.

Contoh: Integral parsial (dua kali)

HitungR

e^2xcos(3x)dx.

Misalkan I =R

e^2xcos(3x)dx , maka I=

Z

cos(3x)

| {z }

u(x)

e^2x

|{z}

v⁰(x)

dx

=1/2e^2xcos(3x) +3/2 Z

e^2xsin(3x)dx =d .s.t

=1/2e^2xcos(3x) +3/2²e^2xsin(3x) − (3/2)²I. Sehingga

Z

e^2xcos(3x)dx =e^2x/13(2 cos(3x) +3 sin(3x)) +C.

Contoh: Integral parsial (dua kali)

HitungR

e^2xcos(3x)dx.

Misalkan I =R

e^2xcos(3x)dx , maka I=

Z

cos(3x)

| {z }

u(x)

e^2x

|{z}

v⁰(x)

dx

=1/2e^2xcos(3x) +3/2 Z

e^2xsin(3x)dx =d .s.t

=_1/2e^2xcos(3x) +_3/2²e^2xsin(3x) − (_3/2)²I.

Sehingga Z

e^2xcos(3x)dx =e^2x/13(2 cos(3x) +3 sin(3x)) +C.

Contoh: Integral parsial (dua kali)

HitungR

e^2xcos(3x)dx.

Misalkan I =R

e^2xcos(3x)dx , maka I=

Z

cos(3x)

| {z }

u(x)

e^2x

|{z}

v⁰(x)

dx

=1/2e^2xcos(3x) +3/2 Z

e^2xsin(3x)dx =d .s.t

=_1/2e^2xcos(3x) +_3/2²e^2xsin(3x) − (_3/2)²I.

Reduksi order

Perhatikan

I_n =

Z

xⁿe^axdx.

dengan a adalah suatu konstanta.

I₀?, I₁?, I₃?, dan I₅?

Untuk semua n≥0, dengan integral parsial: I_n=xⁿ1

ae^ax−

Z

nxⁿ⁻¹1 ae^axdx

= ¹

axⁿe^ax− ⁿ a

Z

xⁿ⁻¹e^axdx.

I_n = ¹

axⁿe^ax− ⁿ aI_n−1.

Reduksi order

Perhatikan

I_n =

Z

xⁿe^axdx.

dengan a adalah suatu konstanta.

I₀?, I₁?, I₃?, dan I₅?

Untuk semua n≥0, dengan integral parsial:

I_n=xⁿ1 ae^ax−

Z

nxⁿ⁻¹1 ae^axdx

= ¹xⁿe^ax− ⁿ

Z

xⁿ⁻¹e^axdx.

I_n = ¹

axⁿe^ax− ⁿ aI_n−1.

Reduksi order

Perhatikan

I_n =

Z

xⁿe^axdx.

dengan a adalah suatu konstanta.

I₀?, I₁?, I₃?, dan I₅?

Untuk semua n≥0, dengan integral parsial:

I_n=xⁿ1 ae^ax−

Z

nxⁿ⁻¹1 ae^axdx

= ¹

axⁿe^ax− ⁿ a

Z

xⁿ⁻¹e^axdx.

I_n = ¹

axⁿe^ax− ⁿ aI_n−1.

Contoh: Reduksi order

Z

x³e^axdx ?

Perhatikan bahwa I₃= ¹

ax³e^ax−³ aI₂= ¹

ax³e^ax− ³ a

 1

ax²e^ax− ² aI₁



= ¹

ax³e^ax−³ a

 1

ax²e^ax−² a

 1

axe^ax− ¹ aI₀

 . Karena I₀= ¹_ae^ax+C maka

Z

x³e^axdx = ¹

ax³e^ax− ³

a²x²e^ax+ ⁶

a³xe^ax− ⁶

a⁴e^ax+C.

Contoh: Reduksi order

Z

x³e^axdx ? Perhatikan bahwa

I₃ = ¹

ax³e^ax−³ aI₂= ¹

ax³e^ax− ³ a

 1

ax²e^ax−² aI₁



= ¹

ax³e^ax−³ a

 1

ax²e^ax−² a

 1

axe^ax− ¹ aI0



. Karena I₀= ¹_ae^ax+C maka

Z

x³e^axdx = ¹

ax³e^ax− ³

a²x²e^ax+ ⁶

a³xe^ax− ⁶

a⁴e^ax+C.

Quiz (maks. 20 menit)

Misalkan

S_n =

Z

xⁿsin xdx.

1 Hitung S₀dan S₁.

2 Tunjukkan bahwa

Sn= −xⁿcos x+nxⁿ⁻¹sin x−n(n−1)S_n−2.

3 Dengan menggunakan nomor 1 dan 2, hitung Z

2

Pembahasan Quiz

1 S₀= −cos x+C dan S₁= −x cos x+sin x+C.

2

S_n= −xⁿcos x+n Z

xⁿ⁻¹cos xdx

= −xⁿcos x+nxⁿ⁻¹sin x−n(n−1)

Z

xⁿ⁻²sin xdx

= −xⁿcos x+nxⁿ⁻¹sin x−n(n−1)S_n−2.

3 Can’t you?

Pembahasan Quiz

1 S₀= −cos x+C dan S₁= −x cos x+sin x+C.

2

S_n= −xⁿcos x+n Z

xⁿ⁻¹cos xdx

= −xⁿcos x+nxⁿ⁻¹sin x−n(n−1)

Z

xⁿ⁻²sin xdx

= −xⁿcos x+nxⁿ⁻¹sin x−n(n−1)S_n−2.

3 Can’t you?

Pembahasan Quiz

1 S₀= −cos x+C dan S₁= −x cos x+sin x+C.

2

S_n= −xⁿcos x+n Z

xⁿ⁻¹cos xdx

= −xⁿcos x+nxⁿ⁻¹sin x−n(n−1)

Z

xⁿ⁻²sin xdx

= −xⁿcos x+nxⁿ⁻¹sin x−n(n−1)S_n−2.

3 Can’t you?

A useful rumus reduksi order

Integral

In =

Z dx

(1+x²)^n,

yang akan muncul di integral fungsi pecah rasional, mempunyai rumus reduksi order

In= ¹ 2(n−1)

x

(1+x²)ⁿ⁻¹ +²ⁿ−3 2n−2I_n−1

A useful rumus reduksi order (lanjutan)

Karena I₁=arctan x +C maka

Z dx

(1+x²)² =I₂=I₁₊₁

= ¹ 2·1

x

(1+x²)¹ +²·1−1 2·1 I₁

= ¹₂ ^x

1+x² +¹₂arctan x+C.

Soal-soal Latihan

1 HitungR

e^axsin bxdx where a²+b²6=0. [Hint: parsial dua kali.]

2 Tunjukkan bahwa Z

xⁿe^xdx =xⁿe^x−n Z

xⁿ⁻¹e^xdx dan gunakan hasilnya untuk menghitungR

x²e^xdx.

3 Tunjukkan bahwa Z

x^m(ln x)ⁿdx = ^x

m+1(ln x)ⁿ

m+1 − ⁿ

m+1 Z

x^m(ln x)ⁿ⁻¹dx,