INTEGRAL PARSIAL DENGAN TEKNIK TURIN. Mintarjo SMK Negeri 2 Gedangsari Gunungkidul

262 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, “Integrasi Budaya, Psikologi, dan Teknologi dalam Membangun Pendidikan Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya”.

INTEGRAL PARSIAL DENGAN TEKNIK TURIN

Mintarjo

SMK Negeri 2 Gedangsari Gunungkidul

email : tarjamint@gmail.com

Abstrak

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal. Salah satu cabang

dari ilmu matematika yang dipelajari di sekolah jenjang SMA dan SMK adalah Integral.

Da

lam perhitungan integral, tidak semua fungsi bisa diintegralkan dengan memakai rumus

dasar atau rumus umum dari integral.Untuk menyelesaikan fungsi yang sulit diintegralkan,

harus menggunakan teknik pengintegralan. Salah satu teknik pengintegralan untuk integral

yang tidak bisa diintegralkan dengan cara sesuai definisi maupun substitusi adalah dengan

cara integral parsial. Integral parsial ini memiliki rumus tersendiri dalam perhitungannya.

Rumus tersebut adalah

∫u.dv = u.v - ∫v.du. Akan tetapi, dengan menggunakan rumus ini

dalam perhitungan integral parsial, tidak sedikit peserta didik yang me kesulitan. Diperlukan

teknik lain untuk menyelesaikan integral parsial selain dengan rumus reguler agar peserta

didik lebih mudah memahami dan menerapkan. Teknik tersebut diberi nama teknik TURIN.

Turin singkatan dari Turunan Integral. Dalam teknik ini integral parsial dibagi menjadi dua

bagian, yaitu bagian turunan dan bagian integral. Bagian turunan dipilih bagian dari fungsi

yang mau diintegralkan yang apabila diturunkan secara terus menerus menjadi nol.

Sedangkan bagian integral adalah bagian fungsi lainnya yang telah diambil bagian

turunannya. Bagian turunan dan bagian integral dilitakkan dalam kolom tersendiri. Bagian

turunan diturunkan secara terus menerus sampai nol. Bagian integral diintegralkan secara

terus menerus sampai sebaris dengan turunan yang hasilnya nol. Setelah itu pada baris-baris

bagian turunan semuanya diberi positif (+) dan negatif (-) secara selang seling dimulai

dengan tanda positif (+) pada baris pertama. Setelah pengintegralan pada bgian integral

selesai kemudian dikalikan antara hasil turunan dengan hasil pengintegralan, dimulai dari

baris pertama pada kolom turunan dengan baris kedua pada kolom integral, kemudian

dilanjutkan dengan perkalian baris kedua pada kolom turunan dengan kolom ketiga pada

kolom integral. Begitu seterusnya sampai barus terakhir pada kolom integral dikalikan

dengan baris di atas nol pada kolom turunan. Dengan demikian hasil pengintegralan parsial

dengan teknik turin sudah selesai.

Keywords : Integral, Parsial, Teknik, Turin

PENDAHULUAN A. Latar Belakang

Integral merupakan salah satu cabang kalkulus yang diajarkan di sekolah jenjang SMA dan SMK. Dalam menghitung nilai dari integral biasa maupun substitusi belum ada kerumitan yang berarti. Akan tetapi setelah memasuki materi integral parsial, sebagian siswa sudah mulai banyak yang merasa kesulitan karena tingkat kerumitan yang meningkat dari integral substitusi. Meskipun sudah ada rumus khusus untuk menghitung integral

parsial, namun pada penerapannya ternyata tidak sesederhana rumusnya. Rumus umum untuk menghitung integral parsial adalah



u

dv

= uv -



v

du

. Kalau diamati sekilas rumus integral parsial tersebut tampak begitu simple. Akan tetapi pada penerapannya bisa menjadi sangat rumit dan cukup membingungkan bagi sebagian siswa.. Kebingungan yang dialami siswa diantaranya dalam menentukan atau memisalkan yang mana “u” nya dan

Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo, Ruang Seminar UMP, Sabtu, 12 Mei 2018

263 yang mana “dv” nya. Guru perlu

memberikan alternatif lain dalam menghitung nilai integral parsial. Sebab dalam menyelesaikan soal-soal matematika, termasuk hitung integral tentunya bisa diselesaikan tidak hanya dengan satu cara, yaitu cara yang ada dalam buku teks. Akan tetapi sangat dimungkinkan, alternatif penyelesaian dari suatu soal matematika bisa lebih dari satu atau bahkan beberapa cara. Untuk itu sebagai guru matematika perlu menguasai dan mengenalkan lebih dari satu cara/banyak cara dalam menyelesaikan soal-soal matematika pada pembelajarannya. Seorang guru matematika perlu menggunakan banyak sumber belajar. Tidak hanya berdasarkan buku paket saja. Guru matematika harus brani keluar dari buku teks atau buku paket (out of the book).Tujuannya, agar wawasan guru semakin luas dan bisa membelajarakan siswa yang memiliki kemampuan dan cara berfikir yang beraneka ragam. Khusus untuk hitung integral parsial, selain dengan rumus yang sudah ada di banyak buku paket, salah satu alternatif yang ditawarkan di dalam makalah ini adalah hitung integral parsial dengan teknik TURIN. TURIN adalah akronim dari Turunan dan Integral. Teknik ini merupakan alternatif lain untuk mengatasi kerumitan dalam penerapan rumus integral parsial. Sebenarnya hampir sama dengan cara rumus biasa dari integral parsial, karena teknik TURIN ini juga merupakan pengembangan dari cara rumus biasa. Hanya saja dalam teknik ini disajikan sedimikian rupa sehingga penghitungan nilai integral parsial tidak lagi rumit, akan tatapi menjadi lebih sederhana, sehingga diharapkan lebih mudah difahami oleh seluruh siswa.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan rumusan masalah sebagai berikut,

Bagaimana menghitung integral parsial dengan teknik TURIN ?

C. Tujuan Makalah

Sejalan dengan rumusan masalah di atas, makalah ini disusun dengan tujuan untuk lebih memudahkan bagi siswa dalam mempelajari integral parsial. D. Manfaat Makalah

Makalah ini disusun dengan harapan memberikan manfaat baik untuk penulis sebagai pengajar matematika maupun pembaca , yaitu sebagai wahana dan media informasi penambah pengetahuan tentang teknik penyelesaian integral parsial

E. Prosedur Makalah

Data teoritis dalam makalah ini dikumpulkan dengan menggunakan teknik studi pustaka, artinya penulis mengambil data melalui kegiatan membaca berbagai artikel dan literatur yang berhubungan erat dengan integral parsial.

PEMBAHASAN

A. Landasan Theoritis

Antara integral, limit, dan deferensial merupakan bagian yang tidak dapat dipisahkan dan saling berhubungan. Pengertian limit digunakan dalam pengertian dasar hitung deferensial dan integral. Berkaitan dengan pengertian limit , integral dapat diartikan sebagai limit dari jumlah luas bagian-bagian yang sangat kecil di bawah kurva. Sedangkan integral jika dikaitkan dengan deferensial, maka pengintegralan merupakan invers (kebalikan) dari pendiferensialan. Karena itu integral disebut pula anti deferensial (anti turunan). Suatu fungsi F dkatakan sebagai integral dari f apabila F’(x) = f(x) untuk setiap x dalam domain F. Karena turunan konstanta adalah nol, maka setiap bentuk F(x) + C dengan C sembarang konstanta , juga merupakan integral dari f(x). Jadi jika diketahui fungsi turunannya, maka dapat

264 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, “Integrasi Budaya, Psikologi, dan Teknologi dalam Membangun Pendidikan Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya”.

dicari fungsi awalnya dengan menggunakan integral.

Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi dimana matematikawan harus berfikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang dari integral adalah ∫ yang dibaca integral. Jika ditelisik lebih dalam lagi, maka Integral dapat dibagi menjadi dua macam yaitu Integral tak tentu dan integral tertentu. Pada perhitungan integral tak tentu maupun integral tentu sering dijumpai suatu pengintegralan yang tidak bisa diselesaikan dengan cara biasa maupun dengan cara substitusi.Namun harus diselesiakan dengan cara bagian per bagian. Perhitungan integral yang seperti ini disebut sebagai integral parsial.

B. Pengertian Integral Parsial

Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, mungkin saja dapat menggunakan substitusi ganda (double subtitution), yang lebih dikenal sebagai integrasi parsial atau integral parsial. Integral parsial adalah kaidah yang mengubah integral perkalian dua fungsi menjadi bentuk lain, yang diharapkan lebih sederhana.

Kaidah ini berasal dari kaidah darab pada kalkulus diferensial. Kaidah darab (Bahasa Inggris: product rule), atau sering disebut hukum Leibniz, adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) dua fungsi yang terdiferensialkan.

Kaidah ini dapat dituliskan sebagai: (f g)’ = f’ g + f g’

atau dalam notasi Leibniz:

dx du v dx dv u uv dx d _{ } ) (

Integral parsial memiliki dua variabel pembantu yaitu (u) dan (v). Variabel (u) dan (v) ini dapat membantu perhitungan nilai dua perkalian bilangan yang akan diintegralkan. Bilangan tersebut memiliki perkalian integral khusus yang tidak dapat digunakan pada integral subtitusi.

Berikut ini adalah penurunan rumus dari integral parsial :

d.(uv) = u.dv + v.du u.dv = d.(uv) – v.du

∫u.dv = ∫d.(uv) - ∫v.du = u.v - ∫v.du

Pada rumus diatas biasanya dalam soal kita memiliki bilangan (u) dan (dv). Bilangan (u) akan diturunkan menjadi (du) sedangkan (dv) akan diintegralkan menjadi bilangan (v). Sehingga akan menemukan empat bilangan yang akan dimasukan kedalam rumus integral parsial. Diperoleh nilai dari integral (u) dikali (dv) sama dengan (u) dikalikan dengan (v) dikurangi integral (v) dikali (du).

Sering kali terdapat banyak pendapat yang menyatakan bahwa integral parsial hampir sama penyederhanaannya seperti integral subtitusi. Padahal dalam konsep penyederhanaan integral parsial lebih rumit dibandingkan integral subtitusi. Integral parsial menyederhanakan fungsi dengan pemilihan fungsi yang akan diturunkan dan yang akan diintegralkan untuk membuat fungsi-fungsi baru yang akan digunakan pada rumus integral parsial.

C. Ciri-Ciri Integral Parsial

Cara paling mudah untuk mengetahui ciri – ciri dari soal integral parsial adalah pemakaian perkalian beda fungsi dalam soal integralnya. Antara lain ; perkalian suku banyak dengan suku banyak, seperti



x2 ( x + 3 )6 dx , perkalian fungsi aljabar dengan fungsi trigonometri, seperti

Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo, Ruang Seminar UMP, Sabtu, 12 Mei 2018

265



4x sin 5x dx, perkalian suku banyak dengan bentuk akar, seperti



x2 x1dx, bahkan perkalian yang melibatkan basis logaritma natural , seperti



ex cos x dx. Integral-integral tersebut tidak bisa diselesaikan dengan cara substitusi biasa, akan tetapi perlu diselesaikan secara parsial.

D. Penerapan Rumus Integral Parsial

Seperti yang telah disebutkan di atas, rumus umum integral parsial adalah ∫u.dv = u.v - ∫v.du. Berdasarkan rumus ini, dalam menentukan hasil pengintegralan hanya sebagian fungsi saja yang diintegralkan, sedangkan yang lain diturunkan atau dideferensialkan.

Adapun contoh penerapan rumus tersbeut adalah sebagai berikut :

a. Penerapan pada integral parsial perkalian suku banyak dengan suku banyak Contoh : Tentukan nilai dari



x2 ( x + 3 )6 dx !

Penyelesaian : Misalkan u = x2 maka du = 2x dx dv = ( x + 3 )6 dx maka v =



( x + 3 )6 dx = ( 3)7 7 1 _ x sehingga



x2 ( x + 3 )6 dx =



u dv = uv -



v du = 2( 3)7 7 1  x x -



x(x3)7dx 7 2

dx

x

x





7

)

3

(

masih merupakan integral parsial, sehingga diselesaikan dengan menggunakan rumus umum integral parsial juga.

Misal u = x maka du = dx dv = (x + 3)7 dx maka v = 7 ( 3)8 8 1 ) 3 (   



x dx x





x

(

x



3

)

7

dx



u

dv

= uv -



v du = ( 3)8 8 1 _ x x -



(x3)8dx 8 1 = ( 3)8 8 1 _ x x - ( 3)9 72 1 _ x Sehingga -



x(x3)7dx 7 2 = - ( 7 2 8 ) 3 ( 8 1  x x - ( 3)9 72 1  x ) = - 8 ( 3)9 252 1 ) 3 ( 28 1    x x x Jadi



x2 ( x + 3 )6 dx = 2( 3)7 7 1  x x - 8 ( 3)9 252 1 ) 3 ( 28 1    x x x + C

b. Penerapan pada integral parsial perkalian suku banyak dengan fungsi trigonometri Contoh : Tentukan hasil dari !

Penyelesaian: Misal :

266 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, “Integrasi Budaya, Psikologi, dan Teknologi dalam Membangun Pendidikan Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya”. sehingga diperoleh,

c. Penerapan pada integral parsial perkalian suku banyak dengan bentuk akar Contoh : 1. Tentukan hasil dari



x

x



1

dx

Penyelesaian : Misal : u = x maka du = dx dv =

x



1

dx maka v =



x



1

dx = ( 1) 1 3 2 _{ } x x



x

x



1

dx = uv -



v du = ( 1) 1 3 2   x x x - 3 2



 2 3 ) 1 (x dx = ( 1) 1 3 2   x x x - 2 5

)

1

(

15

4



x

+ C

Contoh 2 : Tentukan hasil dari



x2 3

₆

_x



₁

_dx

Penyelesaian : Misal u = x2 maka du = 2x dx dv = 3

₆

_x



₁

_{dx maka v =}



3

₆

_x



₁

_{dx =} 3 4

)

1

6

(

8

1

_

x



x2 3

₆

_x



₁

_{dx =}



_{u dv} = uv -



v du = 3 4 2

)

1

6

(

8

1



x

x

- 4 1



x 3 4

)

1

6

(

x



dx



x 3 4

)

1

6

(

x



dx masih merupakan integral parsial, sehingga diselesaikan dengan menggunakan rumus umum integral parsial juga.

Misal u = x maka du = dx dv = 3 4

)

1

6

(

x



dx maka v =



3 4

)

1

6

(

x



dx = 3 7

)

1

6

(

14

1



x

Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo, Ruang Seminar UMP, Sabtu, 12 Mei 2018 267



x 3 4

)

1

6

(

x



dx =



u dv = uv -



v du = 3 7

)

1

6

(

14

1

_

x

x

-



3 7

)

1

6

(

14

1

_

x

dx = 3 7

)

1

6

(

14

1

_

x

x

- 3 10

)

1

6

(

280

1

_

x

- 4 1



x 3 4

)

1

6

(

x



dx = -4 1 ( 3 7

)

1

6

(

14

1

_

x

x

- 3 10

)

1

6

(

280

1

_

x

) = 3 10 3 7

)

1

6

(

1120

1

)

1

6

(

56

1









x

x

x



x2 3

₆

_x



₁

_{dx =} 3 4 2

)

1

6

(

8

1



x

x

3 10 3 7

)

1

6

(

1120

1

)

1

6

(

56

1









x

x

x

+ C

d. Penerapan pada integral parsial yang melibatkan perkalian basis logaritma natural Contoh 1 : Tentukan nilai dari



xe

x

dx

Terlebih dahulu kita misalkan u yang turunannya paling sederhana, misal kita ambil u = x dan ex sebagai dv.

Pada integral parsial juga ada kemungkinan fungsi akan muncul lagi di ruas kanan. Contoh 2 : Tentukan nilai dari



e

x

cos

xdx

Penyelesaian : Misal :

u = ex maka du = ex dx

dv = cos x dx maka v =



cos

xdx

= sin x

xdx

e

x

cos



=



u

dv

= uv -



v

du

= exsin x -



e

x

sin

x

dx



ex sinxdx masih merupakan integral parsial, sehingga diselesaikan dengan menggunakan rumus umum integral parsial juga.

Misal u = ex maka du = ex dx

dv = sin x dx maka v =



sin

x

dx

= -cos x



ex sinxdx =



u dv

= uv -



v

du

= -excos x +

e

x

x

dx

268 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, “Integrasi Budaya, Psikologi, dan Teknologi dalam Membangun Pendidikan Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya”.

-



e

x

sin

x

dx

= excos x -



e

x

cos

x

dx

xdx

e

x

cos



= exsin x + excos x -



e

x

cos

x

dx

2



e

x

cos

xdx

= exsin x + excos x

xdx

e

x

cos



= ex x excosx 2 1 sin 2 1 _ + C E. Menyelesaikan Soal Integral Parsial

Dengan Teknik TURIN

Pembahasan berikut ini dipaparkan masalah bagaimana siswa menyelesaikan soal-soal integral yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan cara biasa dan cara substitusi. Jika persoalan ini telah dicoba namun tidak menemukan jawaban, itu berarti harus menyelesaikan persoalan integralnya dengan menggunakan cara integral parsial (bagian demi bagian). Integral parsial dapat diselesaikan dengan cara panjang dengan mengguankan rumus



u dv = uv -



v du, sebagaimana yang sudah diuraikan pada bagian D.

Namun terkadang siswa mengalami kesulitan dalam mengambil pemisalan u dan dv, bahkan ada siswa yang tidak suka menyelesaikan integral dengan pemisalan-pemisalan. Oleh karena itu ada satu teknik yang dapat membantu siswa dalam menyelesaikan masalah integral parsial ini. Yaitu dengan menggunakan teknik TURIN.

TURIN singkatan dari TURUNAN dan INTEGRAL. Jadi teknik TURIN adalah suatu teknik pengintegralan soal integral parsial dengan cara menurunkan salah satu bagian fungsi secara terus menerus dan mengintegralkan bagian fungsi yang lain secara terus menerus pula. Batas berhenti penurunan atau pendeferensialan bagian fungsi yang diturunkan adalah sampai nol dan batas pengintegralan bagian fungsi yang diintegralkan adalah seiring dengan pendeferensialan. Jadi pada teknik ini, soal integral parsial dibagi menjadi dua

bagian. Bagian pertama yaitu bagian fungsi yang akan diturunkan, dan bagian kedua yaitu bagian yang akan diintegralkan. Bagian yang akan diturunkan adalah bagian dari soal integral parsial yang apabila diturunkan terus menerus nilainya menjadi nol. Sedangkan bagian fungsi yang lain adalah bagian fungsi yang diintegralkan.

Dalam penerapannya untuk mempermudah pemilahan antara bagian fungsi yang diturunkan dan bagian fungsi yang diintegralkan perlu tabel yang terdiri atas tiga kolom. Kolom pertama adalah kolom tanda, diisi berselang-seling atau bergantian dimulai dari tanda positif (+) pada baris yang paling atas. Tanda-tanda yang terletak di kolom pertama ini selanjutnya menunjukkan tanda atau nilai dari hasil masing-masing turunan yang berada di kolom kedua. Kolom kedua adalah kolom turunan, yang mana hasil-hasil turunan dari bagian yang diturunkan dimasukkan pada kolom ini secara berturut-turut sampai turunan terakhir yaitu nol. Kolom ketiga adalah kolom integral. Hasil-hasil pengintegralan dari bagian yang diintegralkan secara berturut-turut dimasukkan ke kolom ini.

Selanjutnya untuk menentukan hasil pengintegralan, tinggal mengalikan secara berturut-turut antara hasil turunan pada baris pertama dengan hasil pengintegralan pada baris kedua, kemudian hasil turunan pada baris kedua dengan hasil pengintegralan pada baris ketiga, begitu seterusnya sampai hasil turunan sebelum nol dikalikan dengan hasil pengintegralan yang sebaris dengan turunan yang nilainya nol . Tentu saja dengan

Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo, Ruang Seminar UMP, Sabtu, 12 Mei 2018

269 mengikutsertakan tanda yang ada di

kolom pertama. Kemudian hasil-hasil perkalian tersebut dijumlahkan. Dengan demikian hasil pengintegralan integral

parsial dengan teknik TURIN telah didapatkan dengan menambahkan huruf C setelah suku terakhir untuk integral tak tentu.

Berikut ini dipaparkan contoh-contoh penerapan hitung integral parsial dengan teknik TURIN :

1. Integral Parsial Perkalian Fungsi Aljabar Contoh 1 : Tentukan nilai dari



2x ( 3x – 2)6 dx ! Penyelesaian :

TANDA TURUNAN INTEGRAL

+ 2x (3x – 2)6 - 2



3 2



7 21 1  x + 0



3 2



8 504 1  x



2x ( 3x – 2)6 dx =



3 2



7 21 2  x x - (3 2)8 252 1  x + C

2. Integral Parsial Perkalian suku banyak dengan bentuk akar Contoh 1 : Tentukan nilai dari



x

x



1

dx !

Penyelesaian :

TANDA TURUNAN INTEGRAL

+ x

_x

_

₁

- 1 ( 1) 1 3 2   x x + 0 ₁₅( 1) 1 4 _ 2 _ x x



x

x



1

dx = 3 2 x ( x – 1)

x



1

- ( 1) 1 15 4 _ 2 _ x x + C

Contoh 2 : Tentukan nilai dari



x2 3

₆

_x



₁

_{dx !}

Penyelesaian :

TANDA TURUNAN INTEGRAL

+ x2 3

₆

_x



₁

- 2x 3 4

)

1

6

(

8

1



x

270 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, “Integrasi Budaya, Psikologi, dan Teknologi dalam Membangun Pendidikan Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya”. + 2 3 7

)

1

6

(

112

1



x

- 0 3 10

)

1

6

(

1120

1



x



x2 3

₆

_x



₁

_{dx =} 3 4 2

)

1

6

(

8

1

_

x

x

- 3 7

)

1

6

(

56

1

_

x

x

+ 3 10

)

1

6

(

560

1

_

x

+ C

3. Integral Parsial perkalian Fungsi Aljabar dan Trigonometri Hitung ∫(x+ 3) cos (2x − π)dx

Penyelsaian :

TANDA TURUNAN INTEGRAL

+ x + 3 cos (2x - ) - 1 ₂ 1 sin ( 2x -



) + 0 -₄ 1 cos (2x -



) ∫(x+ 3) cos (2x − π)dx = 2 1 ( x + 3 ) sin (2x -



) + 4 1 cos (2x -



) + C 4. Integral Parsial Perkalian Suku Banyak dengan Logaritma Natural Contoh : Tentukan nilai dari



x ex dx

Penyelesaian :

TANDA TURUNAN INTEGRAL

+ x ex

- 1 ex

+ 0 ex



x ex dx = +x.ex -1.ex + C = xex – ex + C

5. Integral Parsial Perkalian Logaritma Natural dengan Fungsi Trigonometri Contoh : Tentukan nilai dari



ex cos x dx !

Penyelesaian :

TANDA TURUNAN INTEGRAL

+ ex cos x - ex sin x + ex - cos x . . . . . . . . . ex

Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo, Ruang Seminar UMP, Sabtu, 12 Mei 2018

271 Untuk nilai



ex cos x dx, tidak dapat diselesaikan dengan teknik TURIN. Karena kedua fungsi yang dikaliakn tidak ada yang apabila diturunkan terus menerua hasilnya nol.

Jadi apabila integral parsial itu tidak memuat fungsi yang jika diturunkan terus menerus menjadi nol, maka integral tersebut tidak dapat diselesaikan dengan teknik TURIN. Akan tetapi integral parsial semacam itu harus diselesaikan dengan menggunakan rumus



u dv = uv -



v du. Itulah satu-satunya kelemahan teknik TURIN dalam perhotingan integral parsial.

Jadi apabila ingin menggunakan teknik TURIN, pastikan dulu bahwa integral parsial tersebut mengandung fungsi yang bisa duturnkan terus sehingga menjadi nol.

III. KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Untuk menentukan nilai integral parsial dengan teknik TURIN lebih sederhana jika dibandingkan dengan menggunakan rumus



u dv = uv -



v du. Dengan menggunakan teknik TURIN, siswa tidak perlu lagi memisalkan u dan dv, akan tetapi tinggal memeilih fungsi yang diturunkan dan fungsi yang diintegralkan. Fungsi yang akan diturunkan tentu saja pilih fungsi yang apabila diturunkan terus menerus menjadi nol, sedangkan fungsi yang lain diintegralkan.

Teknik TURIN ini lebih sederhana jika diabndingkan dengan cara rumus. Karena teknik ini lebih sederhana, maka teknik ini diharpakan lebih memudahkan siswa dalam menentukan nilai integral parsial.

B. Saran

Guru matematika perlu selalu berusaha menambah literasi terkait dengan tugas profesioanlannya agar dapat selalu berinovasi dan bervariasi dalam pembelajarannya.

Dalam pembelajaran integral parsial, rekan-rekan guru dan calon guru selain menjelaskan cara rumus, ada baiknya

guru juga menjelaskan teknik TURIN ini, sebab teknik TURIN ini cukup sederhana dan mudah dipahami dalam menyelesaikan soal-soal integral parsial. Namun sebelumnya siswa harus memiliki dasar pengetahuan tentang turunan (derivatif) dan integral (anti turunan). Karena dasar pengetahuan ini yang berperan dalam teknik TURIN ini.

DAFTAR PUSTAKA

Akbar Faizal, “Makalah Integral Parsial”, 20

April 2018,

http://faizprakoso.blogspot.co.id/2013/06/ makalah-integral-parsial.html

Kasmania, Toali, Suhendra, Rianto Acah, Susanti Dewi, Lisbiantari Duin, 2008,

Matematika 3 Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian,

Jakarta, Erlangga

Varberg Dale, J. Purcell Edwin, E. Rigdon Steven, 2011, Kalkulus Edisi Kesembilan

Jilid 2, Jakarta, Erlangga.

_________________, “Integrasi parsial”, 22

April 2018,

https://id.wikipedia.org/wiki/Integrasi_par sial

_______________, “Kaidah darab”, 22 April 2018,