05 Melukis Grafik Fungsi Pecahan

(1)

PENGEMBANGAN LIMIT FUNGSI

C

.

Melukis Grafik Fungsi Pecahan

Fungsi pecahan adalah fungsi yang dirumuskan oleh f(x) =

Q(x) P(x)

, dengan P(x) dan

Q(x) adalah fungsi polinom dalam x dan Q(x) ≠ 0 pada domainnya.

Terdapat empat macam bentuk fungsi pecahan yang akan dibahas pada bab ini, yaitu:

(1) f(x) =

Langkah- Langkah melukis Grafik Fungsi pecahan adalah sebagai berikut:

1. Menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y (jika mudah ditentukan) 2. Menentukan asimtot tegak, asimtot datar dan asimtot miring

3. Menentukan interval dimana fungsi bernilai positif (grafik terlerak di atas sumbu-x) dan bernilai negatif (grafik terletak di bawah sumbu x)

4. Menentukan titik ekstrim fungsi (bila ada) 5. Menentukan titik-titik bantu (bila diperlukan) 6. Melukis sketsa grafik

Terdapat tiga macam asimtot pada fungsi pecahan, yaitu: 1. Asimtot tegak, diperoleh jika penyebutnya nol

2. Asimtot datar, diperoleh jika x menuju tak hingga (x→∞)

3. Asimptot miring, hanya untuk jenis fungsi rasional yang pembilangnya mempunyai derajat lebih tinggi satu daripada penyebutnya

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Lukislah grafik fungsi pecahan f(x) =

4

Langkah pertama adalah menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat.

Titik potong dengan sumbu-x syaratnya y = 0 maka

4

Titik potong dengan sumbu-y syaratnya x = 0 maka y =

(2)

Limit x

2 y 

x y

0 4

2

Langkah kedua menentukan asimtot tegak dan asimtot datar Asimtot tegak syaratnya: x – 4 = 0 maka asimtotnya x = 4

Asimtot datar syaratnya: y =

4 x

4 2x



y =

x 4 x x

x 4 x 2x

 

y =

0 1

0 2



y = 2, maka asimtotnya adalah y = 2

Langkah ketiga adalah menentukan interval dimana fungsi bernilai positif (diberi tanda +) dan bernilai negative (diberi tanda –)

Sumbu x dibagi menjadi 3 interval oleh titik potong sumbu x dan asimptot tegak, kemudian tentukan tanda f (x) untuk masing-masing interval

+ – +

–2 4

Langkah keempat tidak perlu menentukan titik ekstrim fungsi, karena fungsi bentuk ini tidak memiliki titik ekstrim

(3)

Limit x

2 x

3

 Jawab

2 x

3

 = 0 Tidak diperoleh nilai x

Maka tidak adal titik potong dengan sumbu-x

2 0

3



y = –3/2 Titiknya B(0, –3/2) Langkah kedua menentukan asimtot tegak dan asimtot datar

Asimtot tegak syaratnya: x – 2 = 0 maka asimtotnya x = 2

2 x

3



y =

x 2 x x

x 3



y =

0 1

0



y = 0, maka asimtotnya tegaknya adalah y = 0

Sumbu x dibagi menjadi 2 interval oleh asimptot tegak, kemudian tentukan tanda f (x) untuk masing-masing interval

– +

2

Langkah keempat tidak perlu menentukan titik ekstrim fungsi, karena fungsi bentuk ini tidak memiliki titik ekstrim

(4)

Limit x

Limit

  Gambar grafiknya :

4 5x x

3x

2  

Jawab

4 5x x

3x

2   = 0

3x = 0

x = 0. Titiknya A(0, 0)

4 5(0) (0)

3(0)

2 _ _

y = 0 Titiknya A(0, 0) Langkah kedua menentukan asimtot tegak dan asimtot datar

Asimtot tegak syaratnya: x2 + 5x + 4 = 0 (x + 4)(x + 1) = 0

maka asimtotnya x = –4 dan x = –1

4 5x x

3x

2  

y =

2 2 2 2

2

x 4

x 5x

x x

x 3x

 

y = x

(5)

Sumbu x dibagi menjadi 4 interval oleh titik potong sumbu x dan asimptot tegak, kemudian tentukan tanda f (x) untuk masing-masing interval

– + – –

–4 –1 0

Langkah keempat menentukan titik ekstrim fungsi Misalkan f(x) mempunyai nilai ekstrim p, maka :

p =

4 5x x

3x

2  

p(x2 + 5x + 4) = 3x px2 + 5px + 4p – 3x = 0 px2 + (5p – 3)x + 4p = 0

Syarat supaya persamaan kuadrat mempunyai akar-akar adalah D ≥ 0 sehingga (5p – 3)2– 4(p)(4p) ≥ 0

25p2– 30p + 9 – 16p2≥ 0 9p2– 30p + 9 ≥ 0

3p2– 10p + 3 ≥ 0 (3p – 1)(p –3) ≥ 0

Maka p = y ≤ 1/3 dan p = y ≥ 3

Ini menunjukkan nilai ekstrim maksimum adalah y = 1/3 dan nilai ekstrim minimum adalah y = 3.

Sehingga :

3 1

=

4 5x x

3x

2 _ _

x2 + 5x + 4 = 9x x2– 4x + 4 = 0

(x – 2)(x – 2) = 0 Maka x = 2 Titik maksimumnya B(2, 1/3)

3 =

4 5x x

3x

2 _ _

3x2 + 15x + 12 = 3x 3x2 + 12x + 12 = 0 x2 + 4x + 4 = 0

(6)

x y

0 3)

, 2 (

1/3) , 2 (

4 x 

4

 1

1 x 