01 Limit fungsi Aljabar tak berhingga

Limit

x Limitx

PENGEMBANGAN LIMIT FUNGSI

A. Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar

Seperti telah diuraikan di muka bahwa nilai limit berhingga suatu fungsi f(x) untuk x

mendekati a didapat dengan cara mensubstitusikan nilai a ke fungsi f(x). Atau ditulis

f(x) = f(a)

Hal ini berlaku pula untukuntuk limit tak hingga suatu fungsi aljabar f(x), sehingga

f(x) = f()

Sebagai contoh (4x2– 3) = 4()2– 3 = 

(6x2 + 3x) = 6()2 + 3() = 

(4x – 2x2) = 4() – 2()2

Namun jika f(x) berbentuk fungsi pecahan, maka nilai substitusinya memungkinkan

hasil tak terdefinisi, yakni bentuk 0 0

atau

 

atau – 

Dengan kata lain :

untuk f(x) = h(x) g(x)

maka f(x) = h(x) g(x)

= ) h(

) g(

 

tak terdefinisi

Dalam hal ini f(x) dimanipulasi dengan cara :

Jika n adalah derajat tertinggi antara g(x) atau h(x) maka g(x) dan h(x) masing-masing

dibagi dengan xn

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Tentukanlah hasil dari :

(a)

x 3 2x 4x

6 x 4 6x

3 2

3

 

 

(b)

2 2

x 6 x 5 2

1 x 6 3x

 

 

Limit 02. Tentukanlah hasil dari :

(a)

(b) Limit fungsi pecahan ini memiliki variable dengan pangkat tertinggi x3, sehingga

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa penyelesaian limit tak hingga fungsi aljabar pecahan ditentukan oleh koefisien dari variable pangkat tertinggi. Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut ini :

03. Tentukanlah hasil dari :

(a)

Limit

x Limitx

Limit x

Limit x

Limit

x Limitx

Limit

x Limitx

Limit x

Limit x =

0 0 6 0

0 0 0 4

  

  

= 6 4

= 3 2

(b)

2 2

4 6

4x) (2x 3x

x x 5 4x

  

=

] ) 4 ( ) 4 )( 2x ( 2 ) [(2x 3x

x 5 4x

2 2

2 2

4 6

x x x

 

 

=

] 16 x 16 [(4x 3x

x 5 4x

2 3

4

4 6

x x

 

 

=

3 4

5

4 6

48 x 48 12x

x 5 4x

x x

 

 

(memiliki variable pangkat tertinggi x6)

=

0 0 0

0 0 4

 

 

= 0 4

= 

04. Tentukanlah hasil dari :

(a) ( 4x3  2x5) (b) ( 3x2  3x4)

Jawab

(a) ( 4x3  2x5) = ( 4x3  2x5) x

5 2 3 4

5 2 3 4

 



 



x x

x x

=

5 2 3 4

) 5 2 ( ) 3 4 (

 



  

x x

x x

=

5 2 3 4

8 2

 

 

x x

x

(memiliki variable pangkat tertinggi x)

=

0 0 0 0

0 2

  



= 0 2

Limit

(memiliki variable pangkat tertinggi x)

=

Dari soal di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa :

(1) ( axb  cxd) =  jika a > c

(2) ( axb  cxd) =  jika a < c

(3) ( axb  cxd) = 0 jika a = c

05. Tentukanlah hasil dari :

(a) ( 4x23x5  4x2 7x2)

Limit x Limit x

Limit x

Limit x

Limit x

Limit x

Limit Limit x

Limit x

Limit x

Limit x

Limit x =

0 0 4 0 0 4

0 10

    



= 2 2

10 

= 2 5

(b) ( 3x2 8x2  3x2 2x5)

= ( 3x2 8x2  3x2 2x5) x

) 5 2 3 2 8 3 (

) 5 2 3 2 8 3 (

2 2

2 2

  

 

  

 

x x x

x

x x x

x

=

) 5 2 3 2 8 3 (

) 5 2 3 ( ) 2 8 3 (

2 2

2 2

  

 

  

 

x x x

x

x x x

x

=

) 5 2 3 2 8 3 (

5 2 3 2 8 3

2 2

2 2

  

 

    

x x x

x

x x x

x

=

) 5 2 3 2 8 3 (

7 6

2

2_{    }



x x x

x

x

(memiliki variable pangkat tertinggi x atau x2 )

=

0 0 3 0 0 3

0 6

    



= 3 2

6 x

3 3

= 3

Dari soal di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa :

(1) ax2 bxc  dx2 exf =  jika a > d

(2) ax2 bxc  dx2 exf = a 2

e b

jika a = d

(3) ax2 bxc  dx2 exf =  jika a < d

06. Tentukanlah hasil dari :

(a) ( (2x1)(3x2)  (2x5)(3x5))

(b) ( (x2)(x1)  2x2 3x4) Jawab

(a) ( (2x1)(3x2)  (2x5)(3x5))

2

Limit x

Limit x

Limit x

Limit x

Limit x

Limit x Limit

x

= ( 6x2 x2  6x2 5x25) =

6 2

) 5 ( 1 

= 6 2

6

x 6 6

= 12

6 6

= 2

6

(b) ( (x2)(x1)  2x2 3x4) = ( x2 x2x2  2x2 3x4) = 

07. Tentukanlah hasil dari: ( 4x25x3  (2x1)) Jawab

( 4x25x3  (2x1)) = ( 4x2 5x3  (2x1)2) = ( 4x2 5x3  4x2 2x1) =

4 2

) 2 ( 5 



= 2(2)

3

