MODEL ECONOMIC PRODUCTION QUANTITY (EPQ) DENGAN PROSES PENGERJAAN ULANG
Nur Faizin1∗, TP. Nababan2 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
2
Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
∗faizin.math@gmail.com
ABSTRACT
This paper discusses a method developed by Yuan-Shyi Peter Chiu, Singa Wang Chiu and Hong-Dar Lin [1] to solve EPQ model with reworking process. During the reworking process, shortage is not allowed. Therefore the consument demand’s service level is constant. This model considers the reworking cost of defective item and the time during the reworking process. A numerical example is given at the last discussion.
Keywords: Probability Density Function, EPQ, Reworking ABSTRAK
Artikel ini membahas pengembangan metode Yuan-Shyi Peter Chiu, Singa Wang Chiu dan Hong-Dar Lin [1] untuk menyelesaikan model EPQ dengan pengerjaan ulang. Di saat pengerjaan ulang, kekurangan persediaan tidak terjadi, sehingga pelayanan terhadap permintaan konsumen tidak terganggu. Model ini mempertim-bangkan biaya yang dikeluarkan jika barang yang cacat diproses ulang dan mem-pertimbangkan waktu yang dibutuhkan untuk pemrosesan ulang. Sebuah contoh numerik diberikan pada akhir pembahasan.
1. PENDAHULUAN
Dalam sektor produsen (manufacture) proses produksi merupakan faktor penting dalam menjamin tersedianya suatu produk. Produsen memproduksi barang sendiri bukan diperoleh dari luar. Model EPQ digunakan untuk menentukan produksi op-timal yang meminimalkan biaya produksi. Model EPQ sederhana mengansumsikan tingkat produksi dan tingkat permintaan konstan [5]. Namun, dalam proses pro-duksi kerusakan barang tidak dapat dihindari. Barang yang cacat dapat dikerjakan ulang atau diperbaiki dengan tambahan biaya perbaikan dan biaya penyimpanan perusahaan [1, 2].
Menurut Hillier dan Lieberman [3] permintaan tidak akan hilang (backlogging), tetapi akan dipenuhi jika stok berikutnya sudah diproduksi. Produsen yang terlambat memenuhi permintaan konsumennya, biaya kekurangan dapat diartikan hilangnya kepercayaan konsumen dan selanjutnya konsumen tidak akan memesan produk atau bekerja sama dengan produsen tersebut akibat kurangnya pelayanan dari pihak pro-dusen kepada konsumen.
Dalam artikel ini dibahas model EPQ dengan proses pengerjaan ulang. Di saat pengerjaan ulang kekurangan persediaan tidak terjadi. Model ini mempertim-bangkan biaya yang dikeluarkan dan waktu yang dibutuhkan untuk mengerjakan ulang barang yang cacat. Kajian ini merupakan kajian ulang yang mendetailkan kertas kerja Yuan-Shyi Peter Chiu, Singa Wang Chiu dan Hong-Dar Lin sesuai pada pembahasan [1].
2. MODEL EPQ DENGAN PENGERJAAN ULANG DAN SHORTAGE TIDAK TERJADI
Tingkat produksi barang sebesar P , tingkat permintaan barang sebesar λ dan tingkat pengerjaan barang yang cacat sebesar P1 yang konstan selama proses produksi
berlangsung. Tingkat barang yang cacat d dapat dinyatakan sebagai tingkat P kali persentase barang yang cacat x yang diproduksi, sehingga berlaku
d= P x. (1)
Gambar 1 menunjukkan model EPQ dengan barang yang cacat dikerjakan ulang dan kekurangan persediaan (shortage) tidak terjadi [1]
W aktu(t) I(t) 0 H H1 P − d − λ P1− λ −λ t1 t2 t3 T
Gambar 1: Model EPQ dengan Pengerjaan Ulang dan Shortage Tidak Terjadi. Dalam situasi pada Gambar 1, tingkat produksi barang yang bagus harus lebih besar atau sama dengan jumlah dari tingkat permintaan dan tingkat produksi barang yang dikerjakan ulang. Agar tidak akan mengalami kekurangan persediaan, sehingga pelayanan akan permintaan tetap dapat dipenuhi
dengan menggunakan persamaan (1), maka diperoleh P(1 − x) ≥ λ, sehingga nilai x akan berupa interval
0 ≤ x ≤ 1 − λ
P, (2)
dimana x merupakan varibel random dengan distribusi uniform.
Waktu yang diperlukan untuk memproduksi total semua barang sebesar Q unit adalah
t1 =
Q
P. (3)
Waktu yang diperlukan untuk mencapai tingkat inventori maksimum dari barang yang cacat H1 adalah
t1 =
H1
P − d − λ. (4)
Untuk menentukan hubungan antara tingkat inventori maksimum H1pada waktu
t1dengan total barang yang diproduksi sebesar Q unit adalah dengan mensubtusikan
persamaan (3) dengan persamaan (4), maka dapat diperoleh persamaan H1 =(P − d − λ)
Q
P. (5)
Waktu yang diperlukan untuk mengerjakan ulang barang yang cacat setelah memproduksi barang adalah
t2 =
H − H1
P1−λ
, (6)
dengan H1 merupakan tingkat persediaan barang yang cacat diakhir periode
pro-duksi pada waktu t2, H juga merupakan tingkat barang bagus setelah barang yang
cacat sudah dikerjakan ulang.
Jumlah barang yang diproduksi selama t1 pada tingkat d sama dengan jumlah
barang yang dikerjakan ulang selama t2 pada tingkat P1, sehingga dapat ditulis
P1t2 = dt1. (7)
Dari persamaan (7) maka dapat diperoleh persamaan t2 yang baru, yaitu:
t2 = dt1 P1 = dQ P P1 . (8)
Untuk memperoleh hubungan antara H dan Q gunakan persamaan (3),(4),(6) dan (7), sehingga dapat diperoleh
H = 1 − (d + P1) P1P λ Q. (9)
Waktu yang diperlukan untuk menghabiskan barang inventori di gudang atau semua barang yang bagus dan barang yang dikerjakan ulang adalah
t3 = H λ = 1 −(d + P1) P1P λ Q λ. (10)
T merupakan waktu yang diperlukan untuk menghabiskan semua barang Q unit pada tingkat λ selama satu periode produksi. Satu periode produksi merupakan jumlah dari waktu yang diperlukan memproduksi t1, memperbaiki barang yang cacat
t2 dan menghabiskan barang t3
T = t1+ t2+ t3,
dengan mensubsitusikan persamaan (4), (6) dan (10) maka diperoleh T = H1 P − d − λ + H − H1 P1−λ +H λ = Q λ. (11)
Biaya yang sesuai dengan model diatas adalah biaya produksi untuk semua barang cQ dan biaya perbaikan untuk semua barang yang cacat cRQx.
Biaya penyimpanan merupakan biaya yang mencangkup semua biaya barang yang diproduksi, yang bagus dan barang yang cacat. Pada h per unit per satuan waktu dan juga seluruh barang yang dikerjakan ulang pada h1per unit satuan waktu.
Tingkat inventori rata-rata barang yang sempurna per satu periode produksi adalah H1 t1 2 + (H1 + H) t2 2 + H t3 2,
jumlah barang yang cacat selama produksi adalah Qx dan juga sama terhadap tingkat barang yang cacat selama produksi pada selang waktu t1
Qx= dt1,
tingkat inventori rata-rata dari barang yang cacat selama produksi per periode adalah (dt1) t1 2 = dt1 2 2 ,
tingkat inventori rata-rata barang yang cacat dikerjakan ulang per periode adalah dt1t2
2 , jadi biaya penyimpanan adalah
h H1t1 2 + (H1+ H)t2 2 + Ht3 2 + h dt1 2 2 + h1 dt1t2 2 . (12)
Biaya total per periode merupakan jumlah biaya produksi, biaya perbaikan, biaya pengadaan dan biaya penyimpanan. Jadi biaya total per periode adalah
T C = cQ + cRQx+ K + h H1t1 2 + (H1+ H)t2 2 + Ht3 2 +h dt1 2 2 + h1 dt1t2 2 .
Untuk mencari biaya total terhadap jumlah seluruh barang yang di produksi sebanyak Q unit adalah dengan mensubsitusikan persamaan H, H1, t1, t2 dan t3
yang ada pada persamaan (9), (5), (3), (8) dan (10), maka dapat diperoleh T C(Q) = cQ + cRQx+ K + h 2 Q2 P 2 P1−d 2 λ − λP P1 λP2P 1 + h1 2 Q2 d2 P2 P1 . (13)
Biaya total tahunan rata-rata diperoleh dengan membagi biaya total terhadap jumlah seluruh barang yang diproduksi pada persamaan (13) dengan panjang peri-ode T pada persamaan (11), maka diperoleh
T CU(Q) =λ(c + cRx) + Kλ Q + h 2Q 1 − λ P +1 2Q d2 λ P2 P1 (h1−h), dengan d = Px, maka λ 2Q d2 λ P2 P1 (h1−h) = λ 2Q x2 P1 (h1 −h),
jadi biaya tahunan rata-rata adalah T CU(Q) = λ(c + cRx) + Kλ Q + h 2Q 1 − λ P + λ 2 Q P1 (h1−h)x 2 . (14) Dari persamaan (2), variabel random x merupakan fungsi f (x) ≥ 0, yang disebut dengan fungsi densitas probabilitas yang memenuhi
Z 1−Pλ 0
f(x)dx = 1,
dengan x merupakan variabel random yang berdistribusi uniform [4]. Nilai ekspektasi dari x adalah
E[x] = Z 1−Pλ
0
xf(x)dx. Nilai ekspektasi dari f (x), g(x) adalah
E[g(x)] = Z 1−Pλ
0
g(x)f (x)dx.
Ekspekpasi dari biaya total tahunan rata-rata g(x) adalah [1]: E[T CU (Q)] =λ[c + cRE[x]] + Kλ Q + h 2Q(1 − λ P) +λ 2 Q P1 (h1−h)E[x 2 ]. (15)
Untuk mendapatkan produksi optimal, persamaan (15) diturunkan terhadap Q. Lalu, diperoleh d dQ(E[T CU (Q)]) = − Kλ Q2 + h 2 1 − λ P + λ 2P1 (h1−h)E[x 2 ]. Dengan menyamakan d
dQ(E[T CU (Q)]) dengan nol, diperoleh −Kλ Q2 + h 2 1 − λ P + λ 2P1 (h1−h)E[x 2 ] =0 Kλ Q2 = h 2 1 − λ P + λ 2P1 (h1−h)E[x 2 ] Q2 = Kλ h 2 1 − λ P + λ 2P1 (h1−h)E[x2] Q= ± v u u u t Kλ h 2 1 − λ P + λ 2P1 (h1−h)E[x2] .
Karena produksi tidak bernilai negatif, maka dapat diperoleh persamaan per-sediaan optimal Q∗ sebagai berikut [1]:
Q∗ = v u u u t 2Kλ h 1 − λ P + (h1−h) λ P1 E[x2 ] , (16) dengan E[x2 ] = Z 1−Pλ 0 x2f(x)dx. Waktu yang dibutuhkan setiap putaran produksi adalah
t1 =
Q∗
P .
Perusahaan akan memulai putaran produksi berikutnya setelah mengerjakan ulang barang yang cacat pada setiap
T∗ = Q ∗
λ .
Biaya rata-rata yang dikeluarkan per satuan waktu oleh perusahaan untuk mem-produksi barang optimal adalah ekspektasi dari biaya optimum E[T CU (Q∗)]∗
ter-hadap jumlah produksi optimal adalah dengan mensubtitusikan persamaan (16) ke persamaan (15), sehingga E[T CU (Q∗)]∗ =λ(c + c RE[x]) + Kλ Q∗ + h 2 1 − λ P + (h1−h) λ 2P1 E[x2 ] Q∗.
Jika tidak ada barang yang cacat selama produksi, dimana x = 0 dan d = 0, maka Q∗ pada persamaan (16) menjadi
Q∗ = v u u u t 2Kλ h 1 − λ P .
Biaya rata-rata yang dikeluarkan perusahaan per satuan waktu untuk mempro-duksi barang optimal dimana tidak ada barang yang dikerjakan ulang adalah
T CU∗(Q∗) = cλ + s 2Kλh 1 − λ P .
Untuk menunjukkan bahwa Q∗ pada persamaan (16) dapat meminimumkan
E[T CU (Q)] pada persamaan (15), maka turunan kedua dari E[T CU (Q)] terhadap Q harus lebih besar dari pada 0. Yaitu, perlu ditunjukkan bahwa d
2
d2
Q(E[T CU (Q)]) >0. Turunan kedua dari E[T CU (Q)] adalah
d2
E[T CU (Q)] d2Q =
2Kλ Q3 ,
dengan nilai K, λ dan Q positif. Tampak bahwa d
2
d2
Q(E[T CU (Q)]) adalah positif untuk semua Q > 0, sehingga Q∗ dapat berlaku secara umum.
3. CONTOH MASALAH Contoh 1:
Suatu perusahaan dapat memenuhi permintaan pelanggan dengan kecepatan per-mintaan 8000 unit per tahun. Sebetulnya perusahaan mampu memproduksi barang dengan kecepatan produksi 9000 unit per tahun. Perusahaan mengeluarkan biaya pengadaan tetap per tahun sebesar Rp 15.000.000,00. Biaya produksi Rp 180.000,00 dan biaya penyimpanan yang dikeluarkan oleh perusahaan sebesar Rp 36.000,00 per unit per tahun. Barang yang diproduksi oleh perusahaan tidak selamanya bagus. Tetapi, terdapat barang yang cacat disaat proses produksi. Barang yang cacat yang dikerjakan ulang sebanyak 2000 unit per tahun. Biaya untuk mengerjakan ulang Rp 100.000,00 per unit dan biaya penyimpanan barang sempurna setelah barang dikerjakan ulang adalah Rp 40.000,00 per unit per tahun.
Diketahui
P = 9000 unit/tahun; h= 36000; K = 15000000; P1 = 2000 unit/tahun; h1 = 40000; c= 180000;
dengan K,h,h1,c dan cR dalam rupiah.
Nilai x akan berupa interval yaitu:
0 ≤ x ≤ 1 − λ P 0 ≤ x ≤ 0.1, sehingga fungsi densitas probabilitas adalah
f(x) = (
10 untuk 0< x <0.1, 0 untuk yang lainnya. Ekspektasi dari x dan x2
adalah E[x] = Z 0.1 0 10xdx = 0.05 E[x2 ] = Z 0.1 0 10x2 dx= 0.0033 Produksi optimal yang diproduksi oleh perusahaan adalah
Q∗ = v u u u t 2Kλ h 1 − λ P + (h1−h) λ P1 E[x2] = 8106 unit.
Waktu yang dibutuhkan setiap putarann produksi adalah t1 =
Q∗
P = 8106
9000 = 0.901 tahun = 329 hari. Waktu yang dibutuhkan untuk mengerjakan ulang barang yang cacat
t2 =
H − H1
P1−λ
= 649 − 496
2000 − 8000 = 0.026 tahun = 10 hari.
Waktu untuk menghabiskan persediaan barang yang bagus dan barang yang cacat selesai dikerjakan ulang adalah
t3 =
H λ =
649
8000 = 0.081 tahun = 30 hari.
Perusahaan akan memulai putaran produksi berikutnya setelah mengerjakan ulang barang yang cacat pada setiap
T∗ = Q ∗
λ = 8106
Biaya optimum atau biaya rata-rata per tahun yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi jumlah barang yang optimal adalah
E[T CU (Q∗)]∗ = λ(c + c RE[x]) + Kλ Q∗ + h 2 1 − λ P + (h1−h) λ 2P1 E[x2 ] Q∗ =Rp1.509.608.647, 00. Contoh 2:
Dari Contoh 1 diasumsikan tidak ada barang yang tidak sempurna selama proses produksi, dimana x = 0 dan d = 0. Maka diketahui sebagai berikut:
P = 9000 unit/tahun; K = 15000000; h= 36000; λ= 8000 unit/tahun; c= 180000,
dimana K,h dan c dalam rupiah.
Produksi optimal yang diproduksi oleh perusahaan adalah Q∗ = v u u u t 2Kλ h 1 − λ P = 8165 unit.
Waktu yang dibutuhkan setiap putarann produksi adalah t1 =
Q∗
P = 8165
9000 = 0.907 tahun = 332 hari.
Perusahaan akan memulai putaran produksi berikutnya pada setiap T∗ = Q
∗
λ = 8165
8000 = 1.021 tahun = 372 hari.
Biaya optimum atau biaya rata-rata per tahun yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi jumlah barang optimal adalah
T CU∗(Q∗) =cλ + s 2Kλh 1 − λ P =Rp1.454.696.939, 00. 4. KESIMPULAN
Dari pembahasan dapat disimpulkan bahwa model EPQ dengan proses pengerjaan ulang tidak memandang berapa banyak barang yang cacat. Namun, perusahaan akan mempertimbangkan biaya yang dikeluarkan untuk pengerjaan ulang barang yang cacat. Di saat proses pengerjaan ulang kekurangan persediaan tidak terjadi. Produsen akan memproduksi optimal barang yang diproduksi, sehingga produsen akan memperoleh keuntungan optimal dan pelayanan kepada konsumen tidak akan terganggu. Perusahaan juga akan mengerjakan ulang barang yang cacat dengan mempertimbangkan waktu yang dibutuhkan untuk proses pengerjaan ulang.
Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. M. D. H. Gamal, M.Sc yang telah banyak memberi masukan dalam penyelesaian artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Chiu, Y. P. , S. W. Chiu & H. D. Lin. 2006. Solving EPQ model with rework and service level constraint Association for Scientific Researh 11: 75-84. [2] Hayek, P. A. & M. K. Salameh. 2001. Production Lot Sizing with the Reworking
of Imperfect Quality Items Produced. Production Planning and Control: The Management of Operations 12: 584-590.
[3] Hillier, F. S. & G. J. Lieberman. 1995. Pengantar Riset Operasi edisi kelima: Jilid 1. Terj. dari Introduction to Operation Research, Fifth Edition, oleh Gunawan, E. & A. W. Mulia. Penerbit Erlangga. Jakarta.
[4] Hines, W. W. & G. C. Montgomery. 1990. Probabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Managemen: Edisi Kedua. Terj. dari Probability and Statistics in Engineering and Management Science, oleh Rudiansyah. UI-PRESS, Jakarta. [5] Subagyo, P. , M. Asri & H. Hani. 2000. Dasar-dasar Operations Research. Edisi
kedua. Yogyakarta: BBFE Yogyakarta.
[6] Taha, H. A. 1982. Operations Research: An Introduction. Macmillan Publishing, Co. New York.
![Gambar 1 menunjukkan model EPQ dengan barang yang cacat dikerjakan ulang dan kekurangan persediaan (shortage) tidak terjadi [1]](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/4641674.3397643/2.892.191.729.679.938/gambar-menunjukkan-barang-dikerjakan-kekurangan-persediaan-shortage-terjadi.webp)
