kel. Prinsip ini yang merupakan pangkal dari pengembangan mekanika kuantum
dari Erwin Schrodinger berkebangsaaan Austria (1887 - 1961).
A. Sifat Gelombang Elektron 1. Gelombang de Broglie
de Broglie pada tahun 1924 menyarankan tentang alasan teoritis yaitu ana-logi dualitas gelombang partikel photon. Jika panjang gelombang (λ) serta momen tum elektron (p) besaran tersebut dihubungkan dalam persamaan sebagai
λ = p h juga p = c hf 1 Persamaan (1) λ merupakan panjang gelombang photon (partikel materi atau pan-jang gelombang de Broglie). Menurut de Broglie persamaan (1) berlaku untuk
semua benda tidak hanya elektron saja. Apabila partikel massa m memiliki kece-
patan v atau momentum mv sehingga panjang gelombang de Broglie menjadi λ =
mv h
2a
Makin besar momentum partikel, panjang gelombang de Broglie akan semakin
pendek. Dalam persamaan (2a) dapat berlaku keadaan relativitas untuk massa m = 2 2 o c v 1 m / 3
Dari persamaan (1 atau 2a) h disebut tetapanPlanck dan c kelajuan cahaya dan f
frekuensi photon. Dengan persamaan (3) memberikan bentuk persamaan (2a) men
jadi λ = v m c v 1 h o 2 2 / 2b Contoh 1.
Berapakah panjang gelombang de Broglie dari materi
a. mobil massa 1000 kg bergerak dengan kecepatan 100 m s-1
b. bola golf massa 46 gram berkecepatan 30 m s-1
c. asap rokok 10-6 gram berkecepatan 1 cm s-1 d. elektron berkecepatan 107 m s-1
Penyelesaian menggunakan persamaan (2a) a. mobil λ = 3 1 34 100 ) 10 ( 10 . 63 , 6 ms kg Js = 6,6 .10-39 m b. bola golf λ = 1 34 30 ) 046 , 0 ( 10 . 63 , 6 ms kg Js = 4,8 .10-34 m c. asap λ = 9 2 1 34 10 ) 10 ( 10 . 63 , 6 ms kg Js = 6,6 .10-25 m
Hasil perhitungan panjang gelombang mobil, bola golf dan asap terlalu kecil apabila dibanding dengan ukuran bola sehingga sebagai akibat perilaku gelom-bang yang diharapkan tidak terlalu tampak.
d. Panjang gelombang elektron karena kecepatan elektron v << c maka nilai massa bukan massa relativitas yaitu 9,1 .10-31 kg
λ = 31 7 1 34 ms 10 kg 10 1 9 Js 10 63 6 ) . , ( . , = 7,3 .10-11 m
Karena kecilnya nilai h sehingga hanya partikel ukuran atom (inti atom) yang berperilaku gelombangnya dapat teramati. Hasil perhitungan (d) panjang
gelom-bang hampir mendekati ukuran elektron. Misal ukuran jari-jari atom H2 5,3 .10-11
m sehingga dilihat dari perbandingan ukurannya tampak dapat berperilaku sebagai gelombang.
Contoh 2.
Berapa panjang gelombang de Broglie elektron yang memiliki energi ki-netik 1 eV ?
Penyelesaian menggunakan persamaan (2).
Contoh soal ini bukan masalah relativitas karena nilai energi diam elektron 5,1 .105 eV (diketahui 1 eV merupakan nilai yang sangat kecil bila dibanding energi diamnya). Persamaan (2) λ =
Ek m 2
h
dari pernyataan momentum (p = mv) sehingga p2 = m2 v2 → p = 2 mEk.
p = 2m(Ek)= 2(9,1)(1031kg)(1eV)(1,6)[1019J(eV)1]= 5,4 .10-25 kg m s-1
Panjang gelombangnya menjadi λ = 25 1
34 ms kg 10 4 5 Js 10 63 6 . , . , = 1,2 .10-9 m
Jawaban dapat dilakukan dengan p = 2m(Ek)=
c 1 ) ( c2 Ek m 2 sehingga pc = 2(5,1)(105eV)(1eV) = 1,0 .103 eV
Panjang gelombangnya menjadi λ = p h = pc hc = eV 10 0 1 nm eV 1240 3 . , = 1,2 nm Contoh 3.
Sebuah photon dan sebuah elektron memiliki panjang gelombang sama. Ba gaimana perbandingan momentum linier photon dan elektronnya ? Bagimana per-bandingan energi total photon dengan partikel ? Bagaimana perper-bandingan energi kinetik photon dengan partikel ?
Penyelesaian menggunakan persamaan (2) Persamaan (2) λ =
mv h
atau p = h → pph = pp sehingga tinggal
p ph
Energi total photon Eph = hf =
hc
= pc energi partikel Ep = m c2 = p c v c
. Energi total partikel > dari energi photon karena umumnya v << c.
Energi kinetik photon Ekph = Eph = p c partikel Ekp = ½ m v2 = p 2 v
. Ek parti kel < Ek photon karena umumnya v << c.
Hipotesis (de Broglie) menyatakan bahwa elektron mempunyai sifat
gelom-bang. de Broglie menunjukkan bahwa orbit-orbit Bohr, atom H2, dapat diperoleh
berdasarkan keadaan keliling orbit. Keliling orbit elektron merupakan kelipatan bulat panjang gelombang. Bila orbit keliling berupa lingkaran sehingga terjadi hubungan
2 π r = n λ 4 Selanjutnya persamaan (4) sebagai keadaan gelombang berdiri dengan tali pan- jang (2πr ujung terikat). Persamaan (1 dan 4) akan membentuk persamaan
2 π r = n p h atau rp = 2 nh 5
2. Kelajuan Gelombang de Broglie
Apabila kecepatan perambatan gelombang de Borglie (w) sehingga dalam ge
lombang akan terdapat hubungan w = fλ. Energi photon E = hf energi
par-tikel E = mc2 ; (f = h mc2
) dengan menggunakan persamaan (2) kecepatan ge-lombang de Broglie menjadi
w = h mc2 mv h = v c2 6 Karena kecepatan partikel v (nilai v < c) sehingga nilai w persamaan (6) akan le-
bih besar c. Analisis tersebut memberikan hasil yang tidak terduga. Dengan demi- kian kita harus membedakan antara kecepatan fase atau kecepatan gelombang dan kecepatan kelompok.
Bila kita memiliki dua gelombang berjalan dan melakukan superposisi maka hasil superposisinya akan memunculkan pengertian kecepatan kelompok dan fase. Dua gelombang yang memiliki persamaan sebagai berikut
Y1 = A Cos (ωt - kx) 7a
dan Y2 = A Cos [(ω + dω) t - (k + dk) x] 7b
Superposisi gelombang persamaan (7) yaitu Y = Y1 + Y2 hasilnya menjadi
Y = 2A Cos ½ [(2ω + dω) t - (2k + dk) x] Cos ½ (dω t - dk x)
Nilai dω kecil dibandingkan dengan ω juga dk dengan k sehingga dapat diperoleh anggapan 2ω ≈ 2ω + dω juga 2k ≈ 2k + dk. Dengan demikian hasil superposisi menjadi
Y = 2A Cos (ωt - kx) Cos ½ (dω t - dk x) 8 Persamaan. (8) menyatakan gelombang berfrekuensi sudut ω dengan angka ge-lombang k yang termodulasi dengan frekuensi ½ dω dan angka gege-lombang ½ dk Efek dari modulasi menghasilkan kelompok gelombang. Kecepatan fase (w) me-menuhi hubungan (ωt - kx) = tetap dan jika diferensial menjadi ω dt - k dx = 0 dan kecepatan fase didefinisikan sebagai
w = dt dx = k 9
Gelombang pembawa, merupakan kelompok gelombang berjalan dengan meme-nuhi persamaan ½ (dω t - dk x) = tetap atau ½ (dω dt - dk dx) = 0. Dengan de mikian jika kecepatan kelompok u didefinisikan sebagai
u = dt dx = dk d 10 Frekuensi sudut (ω) angka gelombang (k) gelombang de Broglie dari parti-
kel massa diam mo yang bergerak dengan kecepatan v adalah ω = 2 πf. Dengan
memasukkan nilai f = h mc2 sehingga ω = h c m 2 2
. Dengan demikian frekuensi gelombang de Broglie menjadi
ω = 2 2 2 o c v 1 h c m 2 / 11
Angka gelombang k = 2 dan lewat persamaan (2) bentuk k = 2π h mv sehingga menjadi k = 2 2 o c v 1 h v m 2 / 12 Persamaan (10) dibuat u = dv dk dv d / /
serta persamaan (11) dibuat menjadi bentuk
dv d = 2 3 2 2 o c v 1 h v m 2 / ) / ( dan persamaan (12) dv dk = 2 3 2 2 o c v 1 h m 2 / ) / ( . Dengan demi kian nilai kecepatan kelompok persamaan (10) menjadi
u = v 13 Persamaan (12). menyatakan bahwa kecepatan kelompok sama dengan kecepatan partikelnya.
Contoh 4.
Kecepatan fase gelombang permukaan air
2
dengan γ tegangan permu- kaan, ρ kerapatan air. Carilah bentuk kecepatan kelompok gelombang tersebut ! Penyelesaian menggunakan persamaan (9 dan 10)
w = 2 serta λ = k 2 sehingga w = k → ω = k w atau ω = 3 k Kecepatan kelompok u = dk d sehingga u = 3/2 k Contoh 5
Gelombang merambat dengan kecepatan fase w =
2
g
dengan g percepat- an gravitasi bumi. Bagaimana bentuk kecepatan kelompok (u) gelombang ini ? Nyatakan hasil tersebut dalam kecepatan fase !
Penyelesaian menggunakan persamaan (9 dan 10) Kecepatan fase w = k g (karena k = 2 ) dan w = k sehingga k = k g
atau ω = g . Kecepatan kelompok u = k
dk d = ½ k g sehingga u = ½ w. 3. Kecepatan Kelompok, Fase dan Indeks Bias
Kecepatan fase (w = v) dalam ruang hampa berlaku v = (μoεo)-1/2, di dalam
bahan berlaku v = (με)-1/2. Indeks bias dinyatakan sebagai n = (μ
dapat bahan dispersif dan nondipersif. Bahan nondispersif (kecepatan bukan fungsi frekuensi u = w misal ruang hampa). Bahan dispersif (kecepatan sebagai fungsi frekuensi u ≠ w) serta terdapat dua jenis yaitu normal dispersif dan ano-mali dispersif.
Bahan normal dispersif kecepatan fase (w) bertambah dengan bertambah-nya λ, ( d
dw
> 0; u < w). Bahan anomali dispersif d dw < 0 ; u > w). Jika ω = 2π f sehingga ω = k v persamaan (10) u = v + dk dv atau u = v - λ d dv
B. Sifat Gelombang Partikel 1. Partikel dalam Kotak
Gerak terbatas di dalam kotak dengan persyaratan atau anggapan,
-. dinding kotak cukup keras sehingga tumbukan partikel dengan dinding lenting sempurna
ℓ Gambar 1
-. Kecepatan gerak partikel jauh lebih kecil dari kecepatan cahaya. Gerak partikel (sebagai gelombang) di dalam kotak diasumsikan sebagai gelombang berdiri sebagai akibat pantulan gelombang (partikel) dengan dinding kotak dapat dianggap pantulan dalam ujung terikat.
Jika partikel dalam kotak panjang kotak sehingga panjang gelombang de
ℓ Gambar 2
Broglie ( ) yang mungkin adalah n n = n 2 14 Persamaan (14) n merupakan bilangan bulat 1, 2, 3 . . . dan seterusnya. Dari persamaan (1 dan 14) memberikan formulasi momentum lini er yang mungkin dalam kotak menurut de Broglie menjadi
pn = n h = n2 h 15 Energi kinetik Ek = o 2 m 2 p
dari persamaan (12) karena partikel dalam model seper ti ini tidak memiliki energi potensial, sehingga energi yang dimiliki harus bernilai
En = n2 2 o 2 m 8 h 16
kuantum. Persamaan (16) menyatakan bahwa partikel di dalam kotak tidak dapat memiliki energi sembarang seperti partikel bebas. Gelombang partikel dalam ko-tak, panjang gelombang atau energi tertentu pula sehubungan dengan λ.
Contoh 6.
Berapakah energi sebuah elektron di dalam kotak panjang 10-10 m
Penyelesaian menggunakan persamaan (16) En = n2 ) )( . , ( ) . , ( m 10 kg 10 1 9 8 js 10 626 6 10 31 2 34 = 6,0 .10-18 n2 J = 38 n2 eV
Energi minimum yang harus dimiliki elektron yang bersesuaian untuk n = 1, adalah 38 eV , n = 2 adalah 152 eV
Contoh 7.
Benda massa 1,5 μg bergerak diantara dua dinding terpisah 0,1 mm. Benda tersebut menempuh kedua dinding diperlukan waktu 120 detik. Berapa bilangan kuantum yang dimiliki benda dalam gerakan tersebut ?
Penyelesaian menggunakan persamaan (16). v = t s = s 120 m 104
= 8,33 .10-7 m s-1 dengan demikian E = Ek = ½ mv2 se- hingga menjadi E = ½ (1,5 .10-9 kg)( 8,33 .10-7 m s-1)2 = 5,2 .10-22 J Persamaan (14) n = 34 2 2 4 22 9 Js 10 63 6 m 10 J 10 2 5 kg 10 5 1 8 ) , ( ) )( , )( , ( . . . = 3,8 .1014
Bilangan ini sangat besar tidak mungkin terjadi daerah pembicaran kuantun fisik
2. Prinsip Ketidakpastian Heisenberg
Partikel yang bergerak (dipandang memiliki gelombang de Broglie) dan par-tikel dianggap berada pada posisi tertentu di dalam gelombang kelompok. Jika kita ingin mengetahui secara tepat letak partikel maka kita perlu mempersempit kedudukan partikel dalam kelompok gelombangnya. Dengan demikian, keduduk-an partikel tertentu dengkeduduk-an tepat dapat ditemukkeduduk-an, tetapi pkeduduk-anjkeduduk-ang gelombkeduduk-angnya sulit ditentukan keberadaannya. Terdapat hubungan timbal-balik antar ketidakpas- tian posisi yang inheren Δx dari pertikel yang bersangkutan dengan momentum-nya yang inheren Δp. Semakin kecil Δx maka semakin besar nilai Δp dan se-baliknya.
Superposisi dua gelombang serah dengan ω dan k yang sedikit berbeda akan menghasilkan sederet gelombang kelompok. Hubungan antara jarak Δx dan
pe-lebaran Δk bergantung pada bentuk gelombang kelompok serta bergantung pada definisi Δx dan Δk yang diperlukan. Hubungan perkalian ketidakpastian Δx dan Δk dinyatakan sebagai.
Δx Δk ≥ ½ 17 Persamaan (1) memberartikan nilai angka gelombang k = 2 π
h p
sehingga ketidakpastian Δk dalam gelombang de Broglie dengan ketidakpastian momentum Δp dalam partikel menjadi
Δp = Δk
2 h
akibatnya lewat persamaan (17) menjadi Δx Δp ≥
4 h
18 Persamaan (18) menyatakan ketidakpastian yang disampaikan oleh Werner Heisenberg (1901 – 1976) pada tahun 1927. Prinsip ketidakpastian dapat didekati dari berbagai arah.
Photon memiliki sifat gelombang, dengan demikian kedudukan elektron Δx tidak dapat ditentukan dengan ketelitian yang lebih kecil dari panjang gelombang yang dipakai kira-kira nilai λ (dengan kata lain Δx ≈ λ). Δx merupakan nilai ke-tidakpastian dalam nilai x yang dapat diamati. Semakin pendek nilai λ semakin kecil juga nilai ketidakpastian Δx untuk elektron tersebut.
Setiap photon memiliki momentum h/λ dan bila photon tersebut bertumbuk- an terjadi perubahan momentum (perubahan momentumnya Δp = h/λ dan nilai Δp merupakan ketidakpastian dari p). Kedua persamaan di atas menyatakan bila λ pendek akan dihasilkan Δx kecil tetapi Δp besar. Sebaliknya bila λ besar dihasil-kan Δp kecil tetapi Δx besar.
Jika kedua persamaan digabungkan dengan mengingat persamaan (1) akan dihasilkan bentuk
Δp Δx ≈ h 19 Persamaan (19) lebih biasa dipakai dari persamaan (18) karena batas bawah h/2 sangat jarang dipenuhi.
Contoh 8.
Inti atom berjari-jari 5 .10-15 m. Lewat prinsip ketidakpastian, tentukan batas
inti atomik !
Penyelesaian menggunakan persamaan (18)
Dengan mengambil nilai Δx = 5 .10-15 m sehingga nilai ketidak pastian Δp ≥ 4 h x 1 ≥ ( , ) . , 14 3 4 Js 10 63 6 34 m 10 5 1 15 . = 11 .10 -21 kg ms-1
Nilai 11 .10-21 kg ms-1, merupakan ketidakpastian momentum elektron dalam inti.
0rde momentum (p) harus besar paling sedikit sama dengan 11 .10-21 kg ms-1.
Elektron dengan momentum 11 .10-21 kg ms-1 akan memiliki Ek jauh lebih besar
dari energi diamnya (mo c2).
Energi (pc) sehingga E ≥ (11 .10-21 kg ms-1)(3 .108 m) ≥ 33 .10-13 J. Energi elektron agar dapat menjadi partikel dalam inti, harus berenergi > 32 .10-14 J. Dari eksperimen elektron dalam atom mantap tidak memiliki energi kurang dari 32 .10-14 J sehingga dapat disimpulkan tidak ada elektron dalam inti.
Contoh 9.
Atom hidrogen jari-jari 5,3 .10-11 m gunakan prinsip ketidakpastian untuk memperkirakan energi elektron yang dapat dimiliki oleh atom.
Penyelesaian menggunakan persamaan (18)
Persamaan (18) Δp ≥ 4 h x 1 ≥ ( , ) . , 14 3 4 Js 10 63 6 34 m 10 3 5 1 11 . , ≥ 99 .10 -26 kg ms-1
Elektrom yang memiliki momentum 99 .10-26 kg ms-1 (berkelakuan sebagai par-tikel klasik) sehingga Ek = ½ mv2 = ½
m p2 = ½ kg 10 1 9 s m kg 10 99 31 1 26 . . , = 5,4 .10-19 J = 3,4 eV.
Catatan. Ek elektron pada tingkat terendah dalam atom hidrogen 13,6 eV.
3. Pemakaian Prinsip Ketidakpastian
Bentuk ketidakpastian pengukuran energi E yang diradiasikan pada selang
waktu Δt dalam proses atomik. Bila gelombang kelompok dapat dianggap sebagai satu gelombang frekuensi Δf dalam pengukuran Δf ≥
t 1
sehingga ketidakpastian
energi ΔE ≈ h Δf menjadi ΔE ≥
t h
atau ΔE Δt ≥ h 20a
Perhitungan yang teliti persamaan (20a) berdasarkan sifat gelombang kelompok terkoreksi menjadi
ΔE Δt ≥
4 h
20b Persamaan (20b) merupakan bentuk ketidakpastian energi dan waktu
Contoh 10.
Elektron tereksitasi, kelebihan energinya berupa photon. Periode rata-rata
berlangsungnya eksitasi atom dan saat meradiasikannya 10-8 s. Berapakah ketidak
pastian energi dan waktu ?
Penyelesaian menggunakan persamaan (20) ΔE ≥ s 10 4 Js 10 63 6 8 34 ) ( . , = 5,3 .10-27 J. gelombang datang Δy y gelombang bias θ Gambar 3.
Ketidakpastian frekuensi menjadi Δf ≥
h E = Js 10 63 6 J 10 3 5 34 27 . , . , = 8,0 .108 Hz.
Partikel lewat suatu celah, jika lebar ce lah Δy dengan jarah antar celah y. Misal elektron jatuh pada celah, secara tegak lurus
rus,sehingga memiliki ketidakpastian Δy. Pola difraksi minimum pertama terjadi
pada sudut θ yang diberikan sebagai dalam bentuk persamaan Sin θ =
y
. Bila sudut θ kecil sehingga nilai Sin θ = θ serta λ = h/p.
Akhirnya kita dapatkan bentuk persamaan θ =
y p
h
21
Nilai tersebut dihitung ketidakpastian Δp, kita ketahui komponen horisontal elektron. Dalam masalah tersebut komponen momentum vertikal p. Jangkauan mi nimum pertama θ harus
θ =
p p
22 Persamaan (21 dan 22) diperoleh
Δp Δy = h 23 Contoh 11.
Buktikan prinsip ketidakpastian dapat dinyatakan dalam bentuk ΔLΔθ ≥
4 h
ΔL menyatakan ketidakpastian momentum sudut Δθ menyatakan ketidakpastian posisi sudut.
Penyelesaian menggunakan persamaan (18) Δx r Δθ Gambar 4. Δ x = r Δθ, L = m v r serta ΔL = m Δv r. Δx Δp ≥ 4 h atau r x r m Δv ≥ 4 h akhirnya Δθ Δp ≥ 4 h
Posisi sudut akan menjadi tertentu ketika Δθ ≈ 2π dalam hal ini ber-laku Δ L (2π) ≈ 4 h akhirnya ΔL ≈ 2 8 h Contoh 12.
Energi 12 eV elektron dapat ditunjukkan berkecepatan 2,05 .106 ms-1. Asumsikan anda dapat menghitung kelajuan, dengan ketepatan 1,5 %. Dengan ketepatan tersebut anda secara simultan menghitung momentum elektron ?
Penyelesaian menggunakan persamaan (18)
p = mv = (9,11 .10-31 kg)(2,05 .106 ms-1) = 1,87 .10-24 kg m s-1
Ketidakpastian momentum 1,5 % akan sama dengan (1,5 %)(1,87 .10-24 kg m s-1)
atau sama dengan 2,80 .10-26 kg m s-1
Δx = p h = 1 34 10 63 , 6 s m k g Js 26 -10 2,80 . . = 2,4 .10-8 m
