BAB 3: Sifat Gelombang dari partikel

BAB 3:

Sifat Gelombang dari

partikel

Bab 3

Sifat gelombang dari partikel

Pendahuluan

Einstein memperkenalkan kepada kita sifat partikel dari

gelombang pada thn 1905 (efek photoelektrik). Teori Einstein ini diperkuat oleh hamburan Compton

Tapi, apakah kebalikannya berlaku ? Apakah partikel memiliki sifat gelombang?

1923, ketika masih sebagai mhs pasca sarjana University of Paris, Louis de Broglie

mempublikasikan tulisan ringkas dalam journal Comptes rendus

yang berisi ide yang revolutionor terhadap pemahaman fisika pada level yang paling fundamental: yaitu bahwapartikel memiliki sifat gelombang intrinsic

Prince de Broglie

Werner Heisenberg dan kemudian Erwin Schrödinger mengembangkan teori berdasarkan sifat gelombang dari partikel.

Heisenberg Schrödinger

Pada 1927, Davisson dan Germer mengkonfirmasi sifat gelombang dari partikel dengan diffraksi elektron dari kristal tunggal nikel.

De Broglie mempostulatkan bahwa persamaan diatas berlaku juga untuk partikel. Secara khusus, partikel dengan masa m dan momentum

p

memiliki panjang gelombang de Broglie

h

λ

= .

p

3.1 Gelombang de Broglie

Ingat bahwa photon memiliki energi E=hf, momentum p=h/λ, dan panjang gelombangλ=h/p.

Persamaan diatas untuk gelombang, persamaan dibawah adalah ide baru untuk partikel.

Jika partikel bergerak cukup cepat sehingga perhitungan relativistik diperlukan, maka gunakan persamaan relativistik momentum:

h

λ

=

.

mv

γ

Apa yang diusulkan de Broglie, sepertinya hanya sebuah permulaan bahwa partikel memiliki panjang gelombang?

Partikel dgn momentum linear p Gelombang partikel dgn panjang gelombang de Broglie λ = p/h partikel dgn momentum p Digambarkan sbg gelombang

Usulan sifat gelombang dari partikel keluar dari suatu hipotesis yang berani dari seorang mahasiswa Ph.D fisika yang masih muda.*

h

h

λ

= =

p

γ

mv

Sekarang kita memiliki persamaan yang mengatakan bahwa partikel memiliki panjang gelombang. Lalu kenapa selama ini tdk dapat diamati dan apa yang harus kita lakukan untuk membuktikannya?

Verifikasi dengan Eksperimen!

Agar kita dapat mengamati sifat gelombang dari partikel, panjang gelombang de Broglie harus dapat dibandingkan dengan sesuatu yang berinteraksi dengan partikel; misalnya jarak antara dua slit, atau jarak antara susunan atom dalam kristal.

*Postulat ini membawa dia mendapat 1929 Nobel Prize.

Contoh: cari panjang gelombang 46 g bola yang bergerak dengan kecepatan 30 m/s.

Dengan kecepatan seperti diatas kita dpt menghitung tanpa

relativistik.

_h

_h

λ

=

=

mv mv

γ

non-relativistic: γ=1

(

)

-34 -3

6.63×10 J s

λ

=

(46×10 kg)× 30 m/s

⋅

-34

λ

= 4.8×10 m

Adakah sesuatu yang memiliki dimensi fisik sekitar 10-34_m, dimana gelombang bola golf dapat berinteraksi dengannya? Dapatkah kita melakukan eksperimen yang dapat mendeteksi gelombang bola golf?

Contoh: cari panjang gelombang elektron yang bergerak dengan kecepatan 107_m/s.

Kecepatan elektron sekitar 1/30 c, sehingga perhitungan nonrelativistik sudah cukup.

h

λ

=

mv

(

)

-34 -31 7

6.63×10 J s

λ

=

(9.11×10 kg)× 10 m/s

⋅

-11

λ

= 7.3×10 m

Panjang gelombang cukup kecil dan dapat dibandingkan dengan dimensi atomic, sehingga kita dapat

mempertimbvangkan untuk mengamati sifat gelombang dari elektron jika elektron bergerak cepat melewati zat padat.

Gelombang Matter adalah fenomena quantum

¾ jikah Æ0, λ menjadi sangat kecil sekali yang berarti perilaku gelombang dari partikel secara effektif akan “berhenti” dan akan kehilangan sifat gelombangnya apabila momentum partikel tidak sebanding denganh~ 10-34_Js

¾ Efek gelombang partikel sulit diobservasi secara makroskopik (kecuali jika dibantu alat khusus)

¾ Konstantahyg kecil padaλ= h/pmembuat karakteristik gelombang dari partikel susah untuk diobservasi

¾ Dengan kata lain, sifat gelombang partikel hanya akan muncul jika skala momentum psebanding dengan harga

h

Sesuatu yang harus kita pikirkan :

Tumbukan akan terjadi seketika, shg partikel betul-betul ada disana dan gelombang yang berhubungan dengan partikel bukan partikel yang terhambur.

Lalu kita akan melihat bagaimana gelombang dari partikel memiliki kecepatan fasa yang lebih besar dari kecepatan cahaya, c. Sehingga, kecepatan fasa tidak memiliki interpretasi secara fisik.

Beberapa persamaan yg dapat kita gunakan:

E = hf p = h/λ ω= 2πf k = 2π/λ

ħ= h/2π E = ħω p = ħk

Jika benda memiliki panjang gelombang, maka akan ada suatu fungsi –“fungsi gelombang”—yang menjelaskan sifat

gelombang dari benda tsb.

Apakah anda pikir jika kita dapat menemukan fungsi

gelombang, dan hukum matematika apa yang dia patuhi, lalu kemudian barangkali kita bisa belajar tentang partikel yang dijelaskannya?

Artinya kita akan meluangkan waktu untuk memikirkan tentang matematika gelombang dan fungsi yang menjelaskannya.

3.2 Apa Jenis Gelombang Partikel ?

Dengan kata lain, apa yang secara fisik berubah dalam gelombang partikel?

Gelombang air terdiri dari ketinggian air yang berbeda, gelombang suara terdiri dari perbedaan tekanan didalam medium, gelombang E&M terdiri dari osilasi medan listrik dan magnet. Bagaimana dengan gelombang partikel?

Sesuatu dimana variasinya membentuk gelombang partikel adalah fungsi gelombang function, Ψ ("psi", biasa dibaca "si").

Ψ

Ψ

Ψ

Fungsi gelombang dari partikel bukan sesuatu yang dapat dilihat atau dirasakan. Dia tidak memiliki arti fisik yang “langsung”.

ΨAdalah solusi Schrödinger. Seperti telah disinggung didepan, Schrödinger

mengembangkan teori untuk sifat gelombang partikel. Kita akan mempelajarinya pada bab 5.

Ψadalah pd umunya bilangan komplek, dan tidak dapat diukur secara langsung. Rata-rata waktu dan/atau ruang dariΨ= 0. (ingat- Rata-rata waktu/ruang dr gelombang sinus = 0 tapi gelombang sinus tdk sama dgn 0)

Akan tetapi, Ψdapat mengatakan kepada kita sesuatu tentan partikel yang dia representasikan.

Secara umum, Ψadalah fungsi dari posisi (x,y,z) dan waktu. Probabilitas untuk menemukan objek yang dinyatakan dengan Ψpada posisi (xyz) pada waktu t adalah sebanding dengan hargaΨ*Ψdisana.

Ψ*Ψmengatakan kepada kita probabilitas menemukan benda yang direpresentasikan denganΨ.

jika Ψcomplex, makaΨ*Ψ= Ψ2_{adalah real (dan positif).}

JikaΨ*Ψ=0 pada suatu posisi dan waktu , maka objek tidak ada disana. JikaΨ*Ψ=1 pada suatu posisi dan waktu , objek pasti ada disana. Di bab berikutnya kita akan menemukan bahwa ada batasan yang fundamental pada bagaimana dengan tepat kita dapat meletakan objek.

Secara umum, hargaΨ*Ψadalah antara 0 dan 1. Harga yang kecil pada suatu posisi dan waktu artinya probabilitas

menemukan objek disana kecil; sebaliknya angka yang besar menunjukan probabilitas yang besar.

Catatan : perbedaan antara probabilitas kejadian dan kejadian itu sendiri.

Jika kita mendeteksi elektron, artinya elektron ada disana, tdk berarti 50% ada disana.

Jika kita memiliki koleksi partikel identik, makaΨ*Ψ

proporsional dengan densitas aktual dari partikel. Kita sering menyebut Ψ*Ψsebagai “probability density” meskipun kita bicara tentang satu partikel.*

Jika probabilitas menemukan elektron pada (xyzt) = 50%, tidak berarti bahwa elektron 50% ada disana. Ini berarti ½ dari

pengukuran kita akan menemukan elektron disana, dan ½ nya lagi tidak menemukan elektron.

Mari kita lihat lebih jauh lagi …

Untuk sistem partikel yang dijelaskan oleh fungsi gelombang Ψ, Ψ*ΨdV adalah probabilitas menemukan partikel (atau sistem) dalam elemen volume dV.

Untuk mencari probabilitas menemukan partikel disuatu tempat di dlm ruang, kita integrasikan probabilitas seluruh ruang.

Kita assumsikan bahwa probabilitas menemukan partikel disuatu tempat di dlm ruang adalah 1 , sehingga

* all space

Ψ Ψ

dV = 1 .

∫

Fungsi gelombang yang dinormalisasi.

Ingat, fungsi gelombang menceritakan kepada kita

kemungkinan menemukan partikel pada titik tertentu di dalam ruang dan waktu, tetapi partikel tidak tersebar dalam

beberapa gelombang.

MenentukanΨsecara benar biasanya suatu masalah sulit. Kita akan sering mengasumsikan suatu fungsi gelombang tanpa memasuki bagian detil dari mana itu datang.

Ini menyimpulkan diversi yang ringkas ke dalam dunia mekanika kwantum yang akan kita bahas pada bab 5. Jika kita mengklaim bahwa partikel adalah gelombang (tepatnya, memiliki sifat gelombang) maka kita lebih baik mempelajari gelombang lebih detail.

Berapa kecepatan gelombang de Broglie?

¾ Pada sisi lain, de Broglie mengatakan bahwa benda yang bergerak memiliki momentum dan panjang gelombang yang dihubungkan olehp= h/λ

¾ momentum benda bergerak dihubungkan dengan kecepatan yang terukur lewatp = mv

¾ Maka secara logika kecepatan gelombang de Broglie (sebut sajavp) harus sama denganv

¾ kecepatan gelombang de Broglie dihubungkan dgn frekuensi gelombang dan panjang gelombang lewat

v_p=λ f

Berapa kecepatan gelombang de Broglie?

¾ Dimana panjang gelombang de Broglie λdihubungkan dengan kecepatan benda yang terukur lewatλ= h/(mv) ¾ Energi yang dibawa oleh quantum gelombang de Broglie

adalahE=hf

¾ EnergiEharus sama dengan energi relativistik dari benda bergerak, E= mc2

v_p=(h/mv)(mc2_{/h) =c} 2_/v Sehingga diperoleh, hf= mc 2

⇒f = mc 2_/h

Substitusikan frekuensi de Broglie ke dlmvp=λ f , kita

peroleh

Berapa kecepatan gelombang de Broglie?

v

_p

=

c

2

_/

_v

Ada sesuatu yang salah disini Tapi karena partikel tsb bermasa maka akan selalu c2_{/v > c}

suatu hasil yg secara fisik tdk dapat direalisasikan, yaitu kecepatan gelombang de Broglie v_ptdk hanya tdk sama dgn

vtapi juga > c

Berapa kecepatan gelombang de Broglie?

Persamaan diatas tidak masalah jika partikel adalah photon yang bergerak dgn kecepatan c, sehingga v_p= c

photon: faster than a speeding bullet

matter wave: faster than a speeding photon?

Kita harus memikirkan lagi apa yang dimaksud dengan kecepatan gelombang. Mari kita lihat kembali apa itu gelombang.

Beiser menggunakan getaran tali untuk mendemontrasikan penurunan persamaan gelombang.

Ambil tali, ikat satu ujungnya dan pegang satunya lagi lalu ayunkan.

Jika tangan digerakan ke atas, pulsa dikirimkan ke tali:

pulsa

penjalaran gel tali

refleksi (& inverts) bertemu pulsa lainnya pd perjalanan pulang

Jika kita lakukan terus menggerakan tangan maka akan terbentuk gelombang berdiri.

Beiser menurunkan beberapa bentuk persamaan yg ekivalen untuk gelombang ini, yang memberikan simpangan y pada suatu titik pada tali (i.e., pd suatu posisi x) sepanjang waktu.

p x y = A cos 2 f (t - ) v   π    

f adl frekuensi dan v_padl kecepatan gelombang x y = A cos 2 (f t - ) λ  _π      Dgn menggunakan v_p= f λ, ω= 2πf, and k = 2π/λ, Kita dapatkan y = A cos ( kx - ωt ) , or y = A cos ( k r - r r⋅ ωt ) in 3 dimensions. r r

Pada bagian berikutnya kita akan mendefinisikan arti fisis "group velocity."

vp

Ini adalah gelombang tranversal. Gelombang terpolarisasi pada arah y.

Pada Bab 2 kita menurunkan kecepatan fasa dgn cara yang berbeda, tapi merupakan cara yang ekuivalen.

y x

Gelombang menjalar dgn kecepatan fasa, yg tdk merepresentasikan kecepatan aktual partikel bermasa.

v_p

Gelombang ini menjalar di dalam ruang. Panjang gelombang (and juga momentum) gelombang terdefinisi dengan baik (ada harganya disetiap tempat).

Dimana partikel yang direpresentasikan oleh gelombang tsb? Kita tdk dapat menemukannya. Mungkin berada disuatu tempat disepanjang sumbu x.

Untuk membuat gelombang yg merepresentasikan partikel, kita harus memodulasinya dengan menjumlahkan banyak gelombang dgn panjang gelombang dan/atau frekwensi yang berbeda. Kemudian fungsi gelombang akan mempunyai panjang gelombang dan spatial "length" yg jelas.

y x

3.4 Kecepatan Fasa dan Group

Group gelombang adalah superposisi dari gelombang-gelombang yg berbeda.

Gelobang berinterferensi untuk menghasilkan suatu bentuk dari grup.

Karena kecepatan gelombang de Broglie bervariasi thdλ, maing-masing gelombang bergerak dgn kecepatan berbeda dgn kecepatan group.

Beiser menghitung kecepatan penjalaran, v_g, dari grup sederhana yang dibuat dari dua gelombang sinus.

1 = A cos (ωt - kx)

y

[

]

2 = A cos (ω+dω) t - (k +dk) x

y

Dua gelombang adalah jumlah minimal yang dibolehkan untuk membuat gelombang "paket" atau "grup."

Dengan sedikit trigonometri, dan menggunakan fakta bahwa dωdan dk adalah kecil dibandingωdan k, Beiser

menunnjukan :

[

]

1 2 dω dk + = 2A cos (ωt - kx) cos ( t - x) . y y 2 2       Gelombang dinyatakan oleh y₁+y₂dibangun dari gelombang dgn frekuensi sudutωdan bilangan gelombang k, dan mempunyai superposisi pada suatu modulasi frekwensi dω/2 dan bilangan gelombang dk/2.

y₁ y₂ y₁+y₂

Kecepatan fasa gelombang menjalar adalah v_p=ω/k, sedangkan group (modulasi) bergerak dgn kecepatan v_g=(dω/2)/(dk/2)=dω/dk. p

ω

v =

k

g

d

ω

v =

dk

Gambar ini sedikit tak memuaskan, sebab ini merupakan suatu snapshot pada suatu waktu dari gelombang yang h bergerak pada ruang dan waktu.

Gelombang pd gb adalah y=sin(t) dan y=sin(1.2t).

[ ] 1 2 dω dk + = 2A cos (ωt - kx) cos ( t - x) . y y 2 2      

p

ω

v =

k

g

d

ω

v =

dk

v_gdapat > v_patau < v_p.

Jika kecepatan fasa v_p sama untuk seluruh panjang gelombang, seperti untuk cahaya dlm vacuum, maka kecepatan fasa dan group adalah sama.

Tetapi apa pertalian ini dengan partikel ? Di mana dlm rumus matematis adalah kecepatan partikel? Apakah itu adalah v_g?

Apakah vgkonsisten dengan ide kita tentang kecepatan partikel? Frekuensi sudut : 2 2 2 2 2 mc 2 mc ω = 2 f = = . h _{h 1-v} c πγ π π Bilangan gelombang: 2 2 2 2 mv 2 mv k = = = . λ h _{h 1-v} c π πγ π

Gunakan pers. Diatas untuk menghitung p

ω

v =

k

g

d

ω

v =

dk

Hasilnya: v_p=c2_{/v (kita sudah tahu ini) dan v}

g=v (kecepatan partikel).

(

)

(

)

(

)

2 2 0 2 0 0 3/ 2 2 2 0 3/ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 / 2 2 2 1 / / g g d v dk mc f m c h h m c m v d d dv h dv _{h v c} m mv dk k h dv _{h v c} d d dk v v dk dv dv

ω

π

ω

π

ω

π

γ

π

π

ω

γ

π

π

π

λ

ω

ω

=   = ⇒ = _{ }=     ⇒ = _{ }=   ₋ = = ⇒ = − = = =

Pertanyaan: kita sudah menunjukkan bahwa kecepatan fasa gelombang dapat lebih besar dari c. Apakah ini berarti kita dapat menemukan suatu jalan untuk memancarkan informasi lebih cepat dari kecepatan cahaya c?

Menurut relatifitas: kita tdk dapat mempercepat partikel atau “energi” ke suatu kecepatan lebih cepat dari c. Juga, kita tdk dapat mengamati hasil dari suatu kejadian sebelum kejadian itu terjadi

Relatifitas tdk benar-benar menunjukan transmisi informasi, tetapi dalam penafsiran ini, informasi ada di dalam modulasi, yang menjalar pada suatu kecepatan yang sama dengan v_g, maka kita tidak mentranmisikan informasi pada suatu kecepatan lebih besar dari c

Ini adalah gambar gelombang paket yang terlihat lebih

merepresentasikanpartikel: Gelombang grup de Broglie’ diidentifikasi dengan partikel ygbergerak dgn kecepatanv

Cara lain untuk menuliskan gelombang adalah y=A ej( kx -ωt )_. Ingat relasi Euler mengatakan ejθ_{dibentuk dari sinus dan}

cosinus.

Coba plot gelombang ini menggunakan Mathcad atau yg lainnya : Ψ(x) = exp(-x2_{/0.2) exp(10jπx).}

Coba plot Ψvs. x. Juga perhatikan bagian real dan imajiner. Tidak ada “t” pd fungsi diatas, shg tdk menjalar: Gelombang bervariasi dlm ruang tapi tdk dlm waktu. Untuk membuat dia menjalar, kita harus menambahkan ketergantungan waktu.

ossillasi modulasi

3.5 Diffraksi Partikel

Penjelasan diffraksi partikel dengan menggunakan cara klasik sangatlah sulit. Diffraksi partikel hanya dapat dijelaskan dengan mekanika kuantum. Diffraksi adalah perilaku gelombang.

Eksperimen Davisson and Gremer

¾ DG mengkonfirmasi perilaku

gelombang dari elektron yang mengalami diffraksi Bragg

¾ Elektron Thermionik yang

dihasilkan oleh hot filamen dipercepat dan difokuskan ke target pada kondisi vacuum.

¾ Menurut mekanika klasik

seharusnya elektron akan dihamburkan kesegala arah

¾ Tapi kenyataannya elektron

dihamburkan pada sudutφke detektor yang dapat digerakan

Davisson dan Gremer

Bagaimana menginterpretasikan hasil dari DG?

¾ Elektron didifraksikan oleh atom

pd permukaan (yg bertindak sbg grating) logam seperti elektron berperilaku sebagai gelombang

¾ Elektron berperilaku sebagai

gelombang seperti yang dipostulatkan oleh de Broglie

Puncak yg tajam dr interferensi konstruktif antara gelombang elek-tron yg diham-burkan oleh atom yg berbeda pd permukaan kristal

¾ Elektron didifraksikan oleh atom

pd permukaan (yg bertindak sbg grating) logam seperti elektron berperilaku sebagai gelombang

¾ Elektron berperilaku sebagai

gelombang seperti yang dipostulatkan oleh de Broglie

Diffraksi konstruktif Bragg

¾ Puncak pola diffraksi adalah orde ke 1

interferensi konstruktif : dsinφ = 1λ

¾ dimanaφ= 50ountukV = 54V ¾ Dari eksperimen diffraksi Bragg x-ray

yang dilakukan terpisah, kita mengetahui bahwad = 2.15 A

¾ Sehingga panjang gelombang elektron

adalahλ= dsinθ= 1.65 A

¾ 1.65 A adalah hasil yg diperoleh dari

eksperimen dan harus dicek dengan harga yang diprediksi secara teoritis oleh de Broglie

Nilai teoriti

λ

elektron

¾ Potensial eksternalV mempercepatelektron melalui

EV=EK

¾ Pada percobaan DG energi kinetik elektron diakselerasi ke EK= 54 eV (non-relativistic)

¾ Menurut de Broglie, panjang gelombang elektron yang deakselerasi ke EK= p2_/2m

e= 54 eV memiliki pajang

gelombang ekuivalenλ= h/p= h/(2Km_e)-1/2 _{= 1.67 A} ¾ Dalam bentuk potensial eksternal ,

λ= h/(2EVm_e)-1/2

Prediksi Teori cocok dgn pengukuran

¾ Hasil percobaan DG (1.65 Angstrom) hampir mirip dengan perkiraan de Broglie (1.67 Angstrom) ¾ Perilaku gelombang dari elektron secara eksperimen

telah dikonfirmasi

¾ Sebagai fakta, perilaku gelombang dari partikel

mikroskopik diobservasi tdk hanya dlm elektron saja tapi juga dlm partikel lain (misalnya neutron, proton, molekule dsb)

Applikasi gelombang elektron:

Mikroskop Elektron, Nobel Prize

1986 (Ernst Ruska)

¾ Panjang gelombang elektron de Broglie dapat diatur lewat

λ= h/(2EVm_e)-1/2

¾ Mikroskop elektron dapat memiliki perbesaran sampai x500000 (EV 30kV) resolusi 0.1 nm

Manifestasi lainnya dari perilaku gelombang

elektron

¾ Secara eksperimental juga dapat diperoleh gambar pola diffraksi

3.6 partikel dlm Box

Sekarang kita percaya bahwa partikel memiliki perilaku gelombang

Apa artinya perilaku gelombang dari partikel?

Apakah hanya partikel yang nyata, dan gelombang hanya sesuatu yang ditemukan fisikawan?

Apakah seperti pertama kali yang dipercaya Schrödinger bahwa gelombang itu nyata, bukan partikel?

Apakah elektron itu gelombang atau partikel?

‰ Ini yang disebut sebagai dualitas gelombang-partikel

elektron sbg partikel

elektron sbg gelombang

‰Kedua-duanya ada, tapi tidak simultan.

‰Pada beberapa eksperimen (atau pengamatan empirik) hanya satu aspek gelombang atau partikel saja yang dapat teramati.

‰ Seperti coin dgn dua muka. Tapi kita hanya dapat melihat salah satu sisinya saja pada suatu waktu

Mari kita kembali pada gelombang berdiri yang telah kita bahas didepan.

Kita medapatkan gelombang berdiri pada tali yang diikat kuat pd satu ujung karena interferensi antara gelombang datang dan gelombang pantul yang berbeda fasa 180°ketika mencapai ujung terikat.

Gelombang berdiri terdiri dari deretan pulsa tali yang bergerak naik turun. Ketika pulsa-pulsa bersuperposisi pada fasa yang sama, maka akan kita peroleh gelombang maximum tapi jika berbeda fasa 180° akan diperoleh minimum.

Kita hanya dapat melihat gelombang berdiri pada kecepatan dan panjang gelombang tertentu.

Pada box dgn panjang L diatas, keberadaan partikel direpresentasikan oleh gelombang. Gelombang partikel bergerak “dengan” partikel dan akan dipantulkan ketika mencapai dinding box.

Misalnya gelombang berdiri pada partikel di dalam box sebelah ini.

Jika box cukup kecil (dibandingkan dgn panjang gelombang partikel), gelombang partikel “terlipat dan terlipat lagi" setiap dipantulkan dinding.

Segmen gelombang partikel dan pantulannya akan

berinterferensi. Jika interferensinya konstruktif, maka partikel dapat berada didalam box, jika destruktif maka partikel tdk dapat eksis didalam box.

visualisai

Interferensi konstruktif terjadi bila panjang box adalah kelipatan integer dari ½ panjang gelombang dari gelombang partikel (L=nλ/2), sehingga panjang gelombang Broglie dari partikel yang terkrung adalah :

n

2L

λ = , n = 1,2,3... n

Karena KE = mv2_{/2 danλ= h/mv, batasan padaλjuga} merupakan batasan pada energi partikel yg diijinkan:

2 2

n 2

n h

E = , n = 1,2,3...

8mL

Energi yg diijinkan ini disebut tingkat energi dan n disebut sebagai bilangan kuantum.

n 2L λ = , n = 1,2,3... n 2 2 n 2 n h E = , n = 1,2,3... 8mL

Pikirkan box sebagai sumur potensial, dimana didlmnya terdapat partikel. partikel bebas, diluar box, dapat memiliki sembarang energi dan panjang

gelombang.

Jika kita simpan partikel dlm box, hanya panjang gelombang dan energi tertentu yang diijinkan (0 tdk termasuk energi yd diijinkan). Kita harus mengurangkan atau menambahkan energi untuk dapat meletakan partikel bebas kedalam box.

10 gram marble dlm 10 cm box : 2 2 n 2 n h E = 8mL

(

)

(

)( )

2 2 -34 n _{-3 -1} 2 n 6.63×10 E = 8 10×10 10 -64 2 n E = 5.5×10 n Joules

energi dan kecepatan minimum tdk sama dgn 0, dan marble pd kecepatan tertentu memilki bilangan kuantum pada orde 1030_{. Dengan kata lain, kita tdk dapat merasakan perilaku} kuantum marble dalam box.

CONTOH

elektron dlm 0.1 nm (10-10_{m) (ukuran atom) “box” :} 2 2 n 2 n h E = 8mL

(

)

(

)(

)

2 2 -34 n _{-31 -10} 2 n 6.63×10 E = 8 9.11×10 10 -18 2 2 n E = 6.0×10 n Joules = 38 n eV

energi minimum adalah 38 eV, cukup signifikan, dan tingkat energi cukup terpisah shg dapat terukur.

3.7 prinsip ketidak pastian I – penurunan berdasarkan sifat gelombang partikel Misalkan partikel dinyatakan dgn

grup gelombang disamping ini. Dimana partikel?

Berapa panjang gelombangnya?

Karena itu ada ketidak pastian yang besar pada momentum partikel (ingat-panjang gelombang dan momentum saling berhubungan).

Posisi dapat didefinisikan dgn baik, tapi panjang gelombang tdk terdefinisi dengan baik.

Sekarang partikel dinyatakan dgn grup gelombang disamping ini.

panjang gelombang kelihatannya lebih terdefinisi dibanding posisi partikel. Ada ada ketidak pastian yang besar pada posisi partikel’s.

Untuk mengetahui kuantitas ketidak pastian dalam posisi dan momentum group gelombang, kita perlu melihat lebih detail pada transformasi Fourier dan representasi group gelombang dgn menjumlahkan masing-masing gelombang.

Dimana partikel?

¾ grup gelombang dibentuk oleh penjumlahan banyak gelombang yang berbedaωdan k-nya sebesar∆ωdan ∆k(atau ekuivalen dgn∆λ) ∆x k = 2π/λ, maka ∆k/k = ∆λ/λ A₁, k₁ A4, k4 A3, k3 A₂, k₂

.

.

.

Hubungan ketidak pastian pada gelombang klasik

¾ Paket gelombang harus menuruti prinsip hubungan ketidak

pastian untuk gelombang klasik (yg diturunkan secara matematis dgn beberapa pendekatan)

π

λ

λ

2

~ 2 ~

≡

∆

∆

>

>

∆

∆

x

k

x

∆

t

∆

ν

≥

1

¾ Akan tetapi perlakuan matematis yg lebih kaku (tanpa pendekatan) memberikan relasi yg eksak

2 / 1 4 2 ≥ ∆ ∆ ≡ ≥ ∆ ∆ x k x

π

λ

λ

ν _π 4 1 ≥ ∆ ∆ t

¾ Untuk menjelaskan partikel dgn gelombang paket yang berada pd daerah sempit∆xmemerlukan rentang bilangan gelombang yang besar, yaitu∆kbesar. Kebalikannya, rentang sempit bilangan gelombang tidak dapat menghasilkan paket gelombang pada lokasi jarak yang sempit.

gelombang partikel harus mengikuti relasi

ketidak pastian yg sama

¾ Untuk gelombang partikel, dimana momentum (energi) dan panjang gelombang (frekuensi) dihubungkan olehp= h/λ

(E= hν), hubungan ketidak pastian gelombang klasik di terjemahkan menjadi

2

h

≥

∆

∆

p

_x

x

2

h

≥

∆

∆

E

t

¾ Buktikan sendiri (hint: mulai drp= h/λ, ∆p/p= ∆λ/λ)

π

2

/

h

=

h

dimana

Hubungan Ketidakpastian Heisenberg

2

h

≥

∆

∆

p

_x

x

2

h

≥

∆

∆

E

t

¾

Perkalian ketidakpastian

momentum (energi) dan posisi

(waktu) sedikitnya sebesar

konstanta Planck

Apa artinya

¾

Penetapan batas terendah mungkin ada pada

ketidak-pastian dalam mengetahui nilai-nilai p

_x

dan x, tidak peduli bagaimana baiknya suatu

eksperimen dilakukan.

¾

Adalah mustahil untuk menetapkan secara

serempak dan dengan ketepatan yang tanpa

batas momentum linear dan posisi suatu partikel

yang bersesuaian.

2

h

≥

∆

∆

p

_x

x

_{Apa artinya}

¾

Jika suatu sistem ada dalam keadaan energi E

pada suatu periode terbatas

∆t, maka energi ini

adalah tidak-pasti dengan ketidakpastian

sedikitnya sejumlah

h

/(4π∆

t

)

¾

oleh karena itu, energi suatu objek atau sistem

dapat diukur dengan ketepatan tanpa batas

( ∆E=0) hanya jika objek sistem ada pada suatu

waktu tak batas (∆

t

→

∞

)

2

h

≥

∆

∆

E

t

Variabel Konjugat

¾

{

p

_x

,

x

}, {

E

,

t

} adalah konjugat

variables

¾

Konjugat variabel pada prinsipnya

tidak bisa diukur (atau diketahui)

dengan ketepatan tanpa batas

secara serempak

CONTOH

SOLUSI ¾ v= 5.00 ×103m/s; (∆v)/v= 0.003% ¾ Dart definisi, p= m_ev= 4.56 x 10-27_Ns; ¾ ∆p= 0.003% xp= 1.37x10-27Ns ¾ maka, ∆x≥h/4π∆p= 0.38 nm ∆x p = (4.56±1.37)×10-27_Ns ∆x = 0.38 nm x

¾ Kecepatanelektron diukur dengan tingkat akurasi0.003%.

Memiliki harga 5.00 x 103_{m/s Cari ketidakpastian pada posisi}

CONTOH SOAL

Solusi ¾ E= mπc2 = 140 MeV, ∆τ = 26 ns. ¾ ∆E ≥h/4π∆τ = 2.03×10-27_J = 1.27×10-14 _MeV; ¾ ∆E/E = 1.27×10-14 _{MeV/140 MeV = 9×10}-17 Sekarang kita melihat Sekarang ?? eksis untuk

∆τ

= 26 ns

E ±∆E

¾ Muatan meson πmemiliki energi diam 140 MeV dan lifetime 26 ns. Hitung ketidak pastian energiπmeson, dalam MeV dan juga sbg fungsi energi diamnya

Contoh : estimasi efek quantum pada partikel macroskopik

Solusi

Untuk ∆x ~ 1 m, we have ∆p ≥h/4π∆x = 5.3x10-35_Ns, ¾ Shg ∆_{v = (}∆_p)/m _≥5.3x10-34 m/s

¾ ∆v = 5.3x10-34_{m/s (sangat kecil) adalah kecepatan bola} billard setiap saat yg disebabkan oleh efek kuantum ¾ Dalam teori kuantum, tdk ada partikel yg secara absolut

benar-benar diam akibat dari prinsip ketidak pastian

panjang1 m meja billard

100 g bola billard ukuran ~ 2 cm

∆v = 5.3 x 10-34_m/s

Estimasi ketidakpastian kecepatan minimum dari bola billard (m~ 100 g) yg terkurung pd meja billard ukuran 1 m

partikel yang berada pd daerah tertebatas harus

memiliki minimal EK

Salah konsekuensi yang daramatis dari prinsip

ketidak pastian adalah partikel yang diletakan pada

suatu region yg kecil dgn lebar tertentu tidak dapat

secara eksak pada keadaan diam.

Kenapa ???, karena ………….

Jika dia betul-betul diam, momentumnya harus

secara pasti = 0, artinya

∆

p

= 0, yang menyalahi

prinsip ketidakpastian.

Berapa E

K

_ave

partikel dlm box karena prinsip

ketidak pastian?

( )

2 2 ~ 2 ~ ave 2 ave

8

2

2

m

ma

p

m

p

EK

_

>

∆

>

h











=

p

p

|

≥

∆

|

Kita dapat mengestimasi minimal EK partikel yg berada dlm box

prinsip ketidakpastian mensyaratkan∆p≥(h/4π a)

maka, besarnyap, secara rata-rata, harus sedikitnya sama

dengan∆p

Zero-point energy

( )

2 2 ~ 2 ~ 2 ave

8

2

2

m

ma

p

m

p

EK

av

h

>

∆

>













=

Ini adalah zero-point energy, energi kinetik minimal yang mungkin dimiliki partikel kuantum yg berada pada daerah selebara

Kita akan menurunkan persamaan diatas secara formal ketika membahas persamaan Schrodinger untuk partikel dalam box.

a Solusi :

( )

25

;

;

2

2

1.32 10 m

2

4

p x

p mv

mv

x m v x

h

x

m v

π

m v

−

∆ ∆ ≥

=

∆

∆ = ∆ ∆ ≥

∆ ≥

=

=

×

∆

∆

h

h

h

Misalkan V_xdari benda bermasa 2x10-4_{kg diukur dengan} akurasi±10-6_{m/s. Berapa batas akurasi dimana kita dapat} meletakan partikel sepanjang sumbu x?

LATIHAN SOAL

JAWAB: A

Assumsikan bahwa ketidak pastian dlm posisi partikel sama dengan panjang gelombang de Broglie. Berapa

minimal ketidak pastian kecepatan, vx?

A. vx/4p B. vx/2p C. vx/8p

D. vx E. vx/p

Example 3.6

Pada pengukuran posisi proton dengan akurasi ±1.00x10-11_m. Cari ketidak pastian pd posisi proton 1s kemudian.

Assumsikan v << c.

Pada waktu pengukuran, ketidak pastian posisi adalah∆x₁, dan 1 x ∆x ∆p 2 ≥ h x 1 ∆p 2∆x ≥ h x x x ∆p = ∆(mv ) = m ∆v x x ∆p ∆v = m ≥ 2m h∆x

t detik kemudian, ketidak pastian posisi∆x₂ adalah 2 x 1 t ∆x = t ∆v 2m ∆x ≥ h

( )

(

)

(

) (

)

-34 2 _{-27 -11} 1 1.054×10 ∆x 2 1.67×10 1.00×10 ≥ 3 2 ∆x 3.15×10 m , or 1.96 miles.≥

proton tdk menyebar, krn pasti ada disuatu tempat, tapi gelombangnya pasti menyebar

Contoh 3.7

Typical inti atom memiliki radius 5x10-15_{m. Gunakan prinsip} ketidak pastian untuk mencari batas terendah energy yg harus dimiliki elektron jika dia harus menjadi bagian dari inti atom. Soal menanyakan tentang energi elektron yg diletakan pada daerah ber-radius 5x1015_{m. Maka langkah awal kita adalah}

.

∆E∆t 2

≥ h

Bukan!

Kita hanya punya informasi tentang∆x elektron. Yaitu∆x = 2x5x10-15_{m. Shg kita harus menggunakan}

. x ∆x∆p 2 ≥ h ∆p _x 2 ∆x ≥ h

Jika kita setuju bahwa

,

≥ h

x,min x

p = ∆p

2 ∆x

Maka momentum elektron minimum adalah . x

p = 2 h∆x

Secara klasik, EK = p2 _{/ 2m, sehingga}

( )

( )

= .       h h 2 2 ₂ x 2 p 2 ∆x EK = = 2m 2m 8 m ∆x ∆x

( )

. h2 2 EK = 8 m ∆x

Sehingga minimum energi (kinetik) elektron adalah

(

)

( )

(

) (

)

2 -34 2 -31 -15 1.055×10 EK = . 8 9.11×10 10×10 -11 EK = 1.53×10 joules .

EK=1.53x10-11_{joules. Ada komentar?} Seberapa besar energi ini untuk elektron?

1.53x10-11_{joules x 1 eV / (1.6x10}-19 _{joules) = 9.55x10}7_eV. 9.55x107_{eV = 95.5 MeV.}

Energi elektron “diam” =… 0.511 MeV/c2_.

( )

2

2 2 2 2

E = mc + p c . KE = p2_{/ 2m}

Untuk energi dan kecepatan yg secara ekstrim besar, pc >> mc2_sehingga

( )

2 2 2 2 2 E = mc +p c ≈0 c E = 2 h∆x

(

) (

)

(

)

-34 8 -14 1.055×10 3×10 E = 2 1×10 -12 E = 1.58×10 joules = 9.89 MeV

Untuk energi yang cukup besar, E≈pc.

p

Example 3.9

Atom yang tereksitasi memberikan kembali kelebihan

energinya dengan cara mengemisikan photon. Periode waktu rata-rata antara eksitasi atom dan emisi photon adalah 10-8_s. Cari ketidak pastian frekuensi photon.

Kita punya waktu, yg dicari∆f, tapi E dan f memiliki relasi, shg

E = hf ⇒∆E = h∆f π h ∆E∆t 4 ≥ π h h ∆f ∆t 4 ≥ 1 ∆f ≥

( )

π -8 1 ∆f 4 10 ≥ 6 ∆f 7.96×10 Hz≥

Jika kita mengukur intensitas vs. frekuensi cahaya yang diemisikan oleh atom ini, spektrum akan memiliki sedikitnya intrinsic linewidth seperti dibawah ini.

Applikasi: Biasanya diinginkan garis laser yang sangat tajam, yaitu laser hanya memiliki satu warna. Lebar spektrum laser ditentukan oleh disain laser. Tapi sepandai-pandainya kita mendisain tidak akan pernah dapat lebih sempit dari yang ditentukan oleh prinsip ketidak pastian.

frequency

inte

nsi