1.
1. MomMomententum suum sudut ddut dideidefinifiniskaskan sebn sebagaagai perki perkaliaaliann sila
silang ng antaantara ra momomenmentum tum linilinier er bebenda nda dendengangan vektor posisinya.
vektor posisinya. L =
L = p p xx r r
2.
2. MoMomemen n gagaya meruya merupakpakan peruan perubabahahan n momomementntumum sudut tiap satuan waktu.
sudut tiap satuan waktu.
dt dt dL dL
==
τ τ 3.3. KeKesesetitimbmbananggan an adadalalah ah kekeadadaaaan n tatak k bebergrgererak ak (k
(kesesetetimimbabangngan an ststatatisis) ) atatau au bebergrgererak ak lulururuss beraturan
beraturan (keset(kesetimbangimbangan dinaan dinamis).mis).
4.
4. momomemen n KoKoppppel adael adalalah h hahasisil l kakali antali antara ra susuatatuu gaya berpasangan yang sama besar dengan jarak gaya berpasangan yang sama besar dengan jarak kedua gaya tersebut.
kedua gaya tersebut.
M = Fd M = Fd
5.
5. SyaSyarat rat keskesetimetimbangbangan an benbenda da tegtegar.ar.
ΣΣ
F F = 0= 0Στ
Στ
= 0= 0 6.6. TiTititik k beberarat t dididedefinfinisisikikan an sesebabagagai i titititik k tatangngkakapp res
resulultan tan gagaya ya beberat rat yayang ng bebekekerja rja papada da susuatuatu benda. benda. w w w w x x x x
==
∑
∑
nn nn ,, w w w w y y y y == ∑∑ nn nn 7 7.. PPuussaat mt maassssaa m m M M x x x x==
∑
∑
nn nn ,, m m M M y y y y==
∑
∑
nn nn 8.8. TenTentuktukan bean besar rosar rotastasi (momi (momen gen gaya) toaya) total sytal systestemm gaya berikut bila prosesnya di
gaya berikut bila prosesnya di OO (tg 37(tg 3700 = 3/4)= 3/4)
Pembaha Pembahasan :san :
Ur
Uraiaikakan n sesemumua a gagaya ya yayang ng adada a dadan n tetentntukukanan panjang
panjang lengan lengan momemomennya.nnya.
ττ
OO == F F 11 x 1,5x 1,5 + + F F 22 xx O + O + F F 33 xx 1,51,5 + + F F 44 xx 11 – F – F 55 cos 37 cos 37 00xx 11 + F + F 55 sinsin 373700xx 00 = 8 x = 8 x 1,5 + 10 1,5 + 10 x 0 + x 0 + 12 x 1,5 12 x 1,5 + 6 x+ 6 x 1 1 – – 15 15 xx 5 5 4 4 x 1 + 0 x 1 + 0 = 12 + 0 + 18 + 6 – 12 = 24 Nm = 12 + 0 + 18 + 6 – 12 = 24 Nm Jadi,
Jadi,
Στ
Στ
00 = 24 Nm (positif), berarti torsi searah= 24 Nm (positif), berarti torsi searah jarum jajarum jam.m.
9.
9. SeSebubuah toah tongngkakat homt homogogen paen panjanjangng ℓ ℓ dan massa m.dan massa m. Bi
Bila la didipuputatar r memelallalui ui popororos s di di tetengngah-ah-tentengagahh
ton
tongkgkat, at, besbesar ar momomenmen I I cc ==
2 2 m m 12 12 1 1
. . TenTentuktukanan
besar
besar momemomen n inersianinersianya ya bila bila poros poros terletak terletak ¼¼ℓ ℓ dari salahsau ujung tongkat yang sejajar dengan dari salahsau ujung tongkat yang sejajar dengan poros
Pembahasan I c = 2 m 12 1 b = ¼ ℓ
Menurut teorema sumbu sejajar I = I c+ mb2 = m 2 12 1 + m(¼ℓ )2 = m 2 12 1 + 2 16 1 m = 2 48 7 m
Jadi, pada poros ¼ℓ momen inersianya menjadi
2 48
7
m
10. Sebuah ember bermassa m = 1 kg di ikat dengan tali yang dililitkan pada kerek (katrol) berbentuk silinder bermassa 4 kg. bila percepatan gravitasi = 10 m/s2, tentukanlah besar percepatan gerak ember ke dalam sumur dan besar tegangan tali bila jari – jari silinder 20 cm.
---Pembahasan : m = 1 kg M = 4 kg g = 10 m/s2 R = 20 cm = 0,2 m
Uraian gaya – gaya pada kerekan silinder
•
Momen gaya penyebab rotasiΣτ
= Iα →α
= 2 R a TR = I R a→
T = I 2 R a ……….. (a)•
Dari hukum II Newton EF =∑
maw – T = ma
mg – T = ma ……… (b)
•
Dari persamaan a dan b didapatmg – I ma R a
=
2 mg = ma + I 2 R a mg = a R m
+
I2 a =
+
I2 R m mg a =
+
=
+
m M mg R MR m mg 2 1 2 1 2 2 =
+
x4 2 1 1 10 x 1 = 3 10 a = 3 10 = 3 1 3 m/s2 dan besar tegangan tali T = I 2 R a T = T ma R a mR 2 1 2 1 2 2→
=
T = ½ x 4 x 3 10 = N 3 2 6 3 20=
Jadi, percepatan ember adalah 3 1
3 m/s dan tegangan tali sebesar N.
3 2 6
11. Sebuah bola pejal bermassa 10 kg dan jari-jari 50 cm ditarik dengan gaya 150 N pada bidang kasar sehingga bola menggelinding. Tentukanlah percepatan linier bola dan besar gaya gesekan.
Pembahasan : m = 10 kg
R = 50 cm = 0,5 m F = 150 N
Momen gaya dengan poros pusat bola :
τ
= Iα
= f k R f k = R a mR R mR 5 2 5 2 R I 2=
=
α α f k = 5 2 ma ……… (a) Dari Hukum II Newton
Σ
F =Σ
maF – f k = ma
dengan mensubstitusikan persamaan F – 5 2 ma = ma 150 – 5 2 x 10a = 10a 150 – 4a = 10a 150 = 14a a = 10,7 / 2 14 150 s m
=
f k = ma 5 2 = 5 2 x 10 x 10,7 = 42,8 N Jadi, percepatan linier bola 10,7 m/s2 dan f k12. Sebuah silinder pejal homogen memiliki massa 8 kg dan jari-jari 0,2m. Silinder beregrak menggelinding dengan kelajuan 24 m/s. Bila g = 10 m/s2, tentukanlah besar energi kinetik totalnya!
Pembahasan :
m = 8 kg v = 24 m/s
R = 0,2 m g = 10 m/s2 Momen inersia silinder adalah
I = ½ mR2 = ½ x 8 x (0,2)2 = 4 (0,04) = 0,16 kgm2 Kecepatan sudutnya
ω
= rad s R v / 120 2 , 0 24=
=
Energi kinetic rotasinya
EK = 2 2 1 mv + 2 2 1 ω I = 2 1 x 8 (24)2+
( )( )
0,16 120 2 2 1 = 2.304 + 1.152 = 3.456 joule Jadi, energi kinetiknya adalah 3.456 J13. Bila dari susunan system benda berikut, besar w3 = 200 N menyebabkan system berada dalam keadaan kesetimbangan statik, berapakah besar w2 , w1, serta T 4?
Pembahasan :
ω
2 = 200 NDengan metode menguraikan gaya dapat ditentukan besar w2 , w1dan T 4sebagai berikut.
Perhatikan titik tangkap A
Σ
F y = 0 T 1sin 370 = w2 200 x 3 1 = w2 w2 = 120 NΣ
F x = 0 T 2 = T1cos 370 T 2 = 200 x 5 4 T 2 = 160 N T 2 = T 3 = 160 N Perhatikan titik tangkap B
Σ
Fx = 0 T 3 = T 4cos 530 160 = T 4 x 5 3 160 = 160 x N 3 2 266 3 5=
Σ
F y = 0 T 4 sin 530 = w1 226 5 4 x 3 2 = w1 5 4 x 3 800 = w1 w1 = N 3 1 213 Jadi, besar w1 = N 3 1 213 , w2 = 120 N dan T4 = 266 3 2 N.1. Besar momen gaya (torsi) pada system beriku bila poros di titik A adalah …. (tg
α
=4 3
)
a. 20 Nm searah jarum jam
b. 20 Nm berlawanan arah jarum jam c. 25 Nm searah jarum jam
d. 25 Nm berlawanan arah jarum jam e. 30 Nm searah jarum jam
2. Besaran momen gaya yang menyebabkan roda berikut berotasi terhadap sumbunya bila R1= 2 R2
= 60 cm adalah … 66 Nm 64 Nm 54 Nm 80 Nm 120 Nm
3. Besar momen inersia sistem benda berikut bila sumbu rotasi garis ℓ adalah …
a. 16 ma2 b. 17 ma2 c. 20 ma2 d. 18 ma2 e. 24 ma2
4. Momen inersia yang melalui pusat massa bola pejal adalah 2
5 2
mR (m = massa bola dan R = jari-jari bola). Bila sumbu rotasi pada tepi bola sejajar maka besar momen inersia bola sekarang adalah … a. mR2 b. 2 2 9 mR c. 5 3 mR2 d. 2 5 7 mR e. 2 5 4 mR
5. Sebuah bola pejal memiliki massa 20 kg dan jari- jari 40 cm. pada tepi bola bekerja gaya 20 N. besar percepatan bola mengitari pusat bola
2
a. 5 d. 5,25
b. 6 e. 12,5
c. 6,25
6. Sebuah silinder pejal dengan massa m dan jari- jari R menggelinding dari puncak bidang miring setinggi h dari tanah. Bila percepatan gravitasi bumi 10 m/s2, kecepatan silinder saat sampai di
dasar bidang miring adalah …
a. 2gh d. gh 3 3 1 b. gh e. gh 3 3 2 c. 3 3 gh
7. Dua buah benda berbentuk bola pejal dan silinder pejal memiliki massa m1 = m2 = m dan jari-jari r 1
= r 2 = r berotasi terhadap sumbunya dengan kecepatan sudut sama. Perbandingan energi kinetiknya adalah ….
a. 5: 4 d. 3: 5
b. 4 : 5 e. 5 : 2
c. 2 : 5
8. Suatu batang AB memiliki panjang 0,9 m dan massanya diabaikan. Di titik A digantung beban 35 kg dan di titik B sebesar 40 kg. agar batang setimbang maka harus diletakkan penumpu pada jarak … dari B. a. 58 cm d. 32 cm b. 48 cm e. 52 cm c. 42 cm
9. Apabila jarak antara dua titik pada batang PQ pada gambar di bawah ini adalah sama dan berat beban di A dan B masing –masing 15 N dan 5 N maka berat beban di C agar system setimbang adalah …
a. 5N d. 20 N
b. 10 N e. 25
N c. 15 N
10. Seorang penari balet dengan tangan terenang berputar di atas lantai yang licin dengan kecepatan sudu 2 putaran per sekon. Momen inersia penari saat tangan terentang adalah 5,25 kgm2. Penari balet beratraksi dengan mendapatkan tangan ke badannya sehingga momen inersiannya 3,14 kgm2. Besar kecepatan sudut saat penari balet merapatkan tangannya adalah …
a. 20 rad/s d. 23 rad/s
b. 21 rad/s e. 24 rad/s
c. 22 rad/s
11. Sebuah batang dengan panjang L dan massa m dapat berputar bebas pada salah satu ujungnya. Batang direnangkan dan membentuk sudut 900 terhadap arah vertikal. Bila batang dilepas tanpa kecepatan awal maka besar percepatan sudutnya saat dilepas adalah …
a. L g 3 2 b. g L 3 2 c. L g 2 3 d. g L 2 3 e. gL 2 3
12. Dua buah roda A dan B dihubungkan dengan tali seperti pada gambar.
Jari – jari kedua roda tersebut masing-masing 20 cm dan 50 cm. Jika momentum sudut kedua roda tersebut sama maka perbandingan momen inersia roda A dan B adalah …
a. 1 : 4 d. 5 :
2
b. 2 : 5 e. 5 :
4 c. 4 : 5
13. Sebuah benda beratnya w digntungkan pada sistem tali seperti gambar di bawah ini.
T 1dan T 2adalah tegangan tali yang bersangkutan. Jika sistem setimbang maka persamaan yang belaku pada sumbu-x adalah …
a. T 1cos
α
= T 2cosβ b. T 1cosα
= T 2sinβ c. T 1cosα
= T 2cosβ d. T 1sinα
= T 2sinβ e. T 1sinα
= T 2cosβ14. Besar tegangan tali P pada gambar di bawah ini adalah … N a. nol b. 210 c. 150 d. 300 e. 400
15. Pada sebuah benda bekerja gaya 8 N seperti tampak pada gambar dibawah ini. Besar momen gaya terhadap titik P adalah …
a. 1,04 Nm b. 0,96 Nm c. 1,60 Nm d. 0,32 Nm e. 1,92 Nm
Bila F = 50 N, d = 2 m dan arah putaran Koppel searah dengan putaran jarum jam (+) maka momen koppelnya adalah …
a. –50 Nm d. +100 Nm
b. +50 Nm e. –200 Nm
c. –100 Nm
17. Resultan kedua gaya sejajar yang terlihat pada diagram di bawah terletak pada …
x = –2,8 m x = +0,6 m x = +1,2 m x = +1,4 m x = +2,1 m
18. Sebuah batang bersandar pada dinding licin dan bertumpu pada lantai kasar seperti gambar di bawah ini.
Bila AC = 5 m, CB = 4 m, dan w = 200 N maka koefisien gesekan di titik A pada saat batang tepat akan bergeser adalah …
a. 4 1 d. 5 3 b. 2 1 e. 5 4 c. 3 2
19. Pada suatu seitiga siku-siku yang sangat ringan dan kuat terdapat m1 = 100 g, m2 = 100 g, m3 = 300 g di titik sudutnya. Gaya 10 N mengenai tegak lurus kerangka m m dengan jarak x dari
m1 dan sebidang dengan kerangka. Agar titik bergerak translasi (tanpa rotasi) beasr x adalah..
a. 8 cm d. 30
cm
b. 12 cm e. 32
cm c. 20 cm
20. Koordinator titik berat bidang yang diarsir adalah … a.
,4 3 2 b.
,4 3 4 c.
,4 3 5 d. (2, 4) e.
,4 3 721. Tentukan besar dan arah momen gaya berikut bila poros di A dan B!
22. Sebuah bidang berbentuk persegi dengan panjang sisi 1,6 m. Tentukanlah besar momen gaya bila poros di titik O dan P dan gaya-gaya bekerja
23. Diketahui gaya-gaya bekerja seperti pada gambar berikut. Tentukan besar momen gaya terhadap poros O dan tentukan arah putarannya!
24. Tentukan bear momen gaya (rotasi) dari suasana gaya-gaya berikut!
25. Dua buah roda sepusat, jari-jari roda yang kecil setengah ari jari roda yang besar. Besar jari- jari roda yang besar 60 cm. hitunglah besar
momen gaya terhadap pusat roda dan tentukan arah perputarannya (sin 300= ½)!
26. Perhatikan gambar dibawah ini.
Tentukan besar momen inersia system benda tersebut bila sudut rotasi melalui :
a. garis ℓ ;
b. benda m2dan m3! (tg
α
= 4 3)
27. Diketahui susunan partikel seperti pada gambar dibawah.
Tentukanlah besar momen inersia bila sumbu rotasi :
a. sumbu–X b. sumby–Y
28. Sebuah ayunan putar bentuknya seperti pada gambar. Jari-jari ayunan 2,5 m, massa ayunan dan beban 30 kg. tentukan besar momen inersia
melalui poros ayunan putar tegak lurus bidang gambar bila jarak antarayunan 450.
29. Sebuah silinder memiliki massa dan jari-jari yang sama besar dengan bola. Tentukanlah perbandingan besar momen inersia silinder
dengan poros sumbu silinder dan poros melalui pusat bola!
30. Sebuah molekul oksigen terdiri atas dua otom oksigen yang massa totalnya 5,3 x 10-26 kg. Bila sumbu rotasi tegak lurus garis penghubung antara kedua otonom oksigen tepat di tengah-tengahnya, ternyata besar momen inersiannya 1,9 x 10-46 kgm2. dari data tersebut, tentukan jarakefektif antara kedua atom tersebut!
31. Sebuah silinder pejal memiliki massa 12 kg dan jari-jari 10 cm berotasi terhadap sumbunya dengan kecepatan sudut 240 rpm. Berapa besar gaya yang dikerjakan pada tepi silinder agar dapat berhenti dalam 10 sekon?
32. Berapa besar momentum sudut dan energi kinetic system yang berotasi pada kecepatan 40 rad/s dengan poros tegak lurus gambar/kertas?
33. Dua buah benda berbentuk bola pejal dan silinder pejal massa dan jari-jarinya sama. Kecepatan
sudut silinder 2 klai kecepatan sudut bola pejal. Tentukanlah perbandingan :
a. momentum sudutnya b. energi kinetiknya!
34. Sebuah bola berongga dengan massa 8 kg dan jari – jari 10 cm mengelinding dari puncak bidan miring dengan sudut kemiringan 350, panjangnya sisi miring 10 m, dan g = 10 m/s2. Hitunglah kecepatan linier dan kecepatan sudut saat bola tiba di dasar bidang miring!
35. Seorang anak berjalan di atas susunan balok homogen. Massa anak tersebut 50 kg. Massa balok AB = 60 kg dan CD = 24 kg. balok-balok
homogen AB dan CD disusun seperti pada gambar berikut.
Hitung jarak yang ditempuh anak dari titik A sampai kedudukan saat kesetimbangan susunan balok terganggu!.
36. Pada gambar berikut sistem berada dalam keadaan kesetimbangan. Benda A berada pada biadng kasar dan benda B tergantung.
Gaya gesekan pada benda A besarnya 12 N.
a. koefisien gesekan antara benda A (m = 6 kg) dan bidang :
b. massa beban B!
37. Sebuah bnatang AB beratnya 600 N disegel pada titik A di lantai dan ujung B ditarik dengan tali untuk menahan beban w = 1.500 N. Jika system berada dalam keadaan setimbang, tentukan besar
tegangan tali T 1, T 2, dan T 3.
38. Tentukanlah letak titik berat benda berikut!
39. Sebuah tangga homogen bersandar pada tembok licin dan ujung yang lain pada lantai kasar dengan koefisien gesekan
µ
s. Panjang tangga ℓ dan membentuk sudutα
dengan lanai seperti pada gambar.Tunjukkan bahwa ketika tangga tepat akan tergelincir, besar koefisien gesekan tangga dengan lantai adalah :
α
cot 2 1 μ
=
40. Dua buah benda bermasa m1 dan m2 dihubungkan dengan tali melalui katrol. Massa katrol M dan jari-jari R.
Jika percepatan gravitasi g dan m2 lebih besar dari m1, tunjukkan bahwa percepatan benda besarnya : g M m m m m a
