sehingga R T, 4 Rumus Bruns menyatakan bahwa R N,

4.5. PENENTUAN UNDULASI GEOID, INTEGRAL STOKES P(q,l) KU F F’ ds(F’,l’) (l’-l) y a

( 

_



(

q

l

 ( 

y

s





l

q

s

g

S

d

R

T

,

4

,

sehingga Q P P T N g 

Rumus Bruns menyatakan bahwa

Karena penentuan anomali potensial dilakukan melalui pendekatan bola, maka

g

_Q



g

sehingga Rumus Bruns menjadi

g



T

N

dan undulasi geoid:

( 

_



(

q

l

 ( 

y

s

g





l

q

s

g

S

d

R

N

,

4

,

Persamaan integral di atas disebut integral Stokes atau rumus Stokes sedangkan y dihitung dari rumus segitiga bola

)

cos(

sin

sin

cos

cos

cos

y



q

q



q

q

l



l

karena f  900– q dan f’ = 900 _– q _{, maka rumus di atas dapat juga ditulis}

)

cos(

cos

cos

sin

sin

cos

y



f

f



f

f

l



l

4.5. PENENTUAN UNDULASI GEOID, INTEGRAL STOKES P(q,l) KU q q’ ds(q’,l’) (l’-l) y a

Unsur luas ds adalah atau

atau dalam koordinat polar dengan P sebagai kutub

a

y

y



s

d

d

d

sin

maka integral Stokes untuk menentukan undulasi geoid

( 

_{ }



(

q

l

 ( 

y

q

q

l

g





l

q

R



g

S

d

d

N

,

sin

4

,

2 0 0

l

q

q



s

d

d

d

sin

l

f

f



s

d

d

d

cos

( 

_{ }



(

f

l

 ( 

y

f

f

l

g





l

f

   

g

S

d

d

R

N

,

cos

4

,

2 0 2 / 2 /

(



_{ }



(

y

a

 ( 

y

y

y

a

g





a

y

R



g

S

d

d

N

,

sin

4

,

2 0 0

dengan radius rata-rata bumi R = 6371 km

1 2 3 4 P (f,l) ₁ L . KU a_ 1 2 3 4 P (f,l) ₁ L . KU 1 2 3 4 P (f,l) ₁ L . 1 2 3 4 1 2 3 4 P (f,l) ₁ L . KU a_ P(q,l) KU q q’ ds(q’,l’) (l’-l) y a

Kontribusi L yang terditi dari d

s



sd d

s

4

pada undulasi di P(

f

,

l

) yang luas masing2

10’ x 10’

( 

2

4

1

0

0

1

cos

4



_













f

y



g



_

_i

_i

_i

L

R

g

S

N







 l     f

l

f

f

y

l

f



g



l

f

2 0 2 / 2 / ' 0

cos

)

,

(

4

)

,

(

R

g

S(

)

d

d

N

( 

_

s

s

y

l

f



g



l

f

R

_g

₍

_,

₎

_S

₍

₎

_d

N

o

4

,

(

l



l



f

f



f

f



y

sin

sin

cos

cos

cos

cos

4.6. PENENTUAN UNDULASI GEOID DARI DATA KOEFISIEN POTENSIAL





 q l q l         l q     n m nm nm nm nm n n m P b m P a r R r V 0 1 0 sin ) (cos cos ) (cos ) , , (

Potensial gravitasi bumi yang mempunyai radius R dalam deret harmonik bola (DHB)

dengan a_nm dan b_nm adalah koefisien potensial gravitasi bumi Potensial gravitasi bumi normal deret harmonik bola (DHB)





  q l  q l         l q      n m nm nm nm nm n n m P b m P a r R r V 0 1 0 sin ) (cos cos ) (cos ) , , (

dengan a’_nm dan b’_nm koefisien adalah koefisien potensial gravitasi bumi normal

Menurut analisa deret harmonik bola, karena bumi normal adalah benda putaran, maka koefisien potensial tidak mempunyai tingkat (orde) m atau m = 0; dan karena bumi normal simetris terhadap ekuator, maka koefiseien potensial hanya derajat n genap.

Karena T = V – V’ , dan karena derajat n dimulai dari n = 2 maka

nm nm nm a a a     b_nm b_nm b_nm dengan dan





  q l  q l         l q     n m nm nm nm nm n n m P b m P a r R r T 0 1 2 sin ) (cos cos ) (cos ) , , (

4.6. PENENTUAN UNDULASI GEOID DARI DATA KOEFISIEN POTENSIAL

Badan antariksa Amerika Serikat telah mempunyai data koefisien potensial yang dikumpulkan dari hasil survei gayaberat di permukaan bumi dan hasil satelit. Koefisien potensial tersebut disebut koefisien potensial model EGM96 singkatan dari Earth Gravitational Model 1996, dan notasi yang digunakan adalah koefisien potensial yang dinormalisir

C

_nm dan

nm

S

sedangkan untuk bumi normal adalah

nm

C



dan

S

_nm



; koefisien potensial ditentukan dengan memperhatikan nilai konstanta gravitasi geosentrik bumi GM dan nilai setengah sumbu panjang a





nm

(

c



n m nm nm n n P m S m C r a r GM V    l l f       

 0 cos sin sin

360 2





nm

(

c



n m nm nm n n P m S m C r a r GM V     l  l f        

 0 cos sin sin

360 2

f_c adalah lintang geosentrik

2 2 1 tan y x z c   f 

x , y dan z adalah koordinat kartesia





nm

(

c



n m nm nm n n P m S m C r a r GM T     l  l f       

 0 cos sin sin

360 2





nm

(

c



n m nm nm n n P m S m C r a r GM N     l l f      g  

 0 cos sin sin

360 2 untuk m = 0 ambil k =1 0  m untuk ambil k =2

( 

(

₍

(

_



P

( 

t m n m n n k t P_{n,m n,m} ! ! 1 2    

4.7. PENENTUAN UNDULASI GEOID DARI DATA LAPANGAN DAN KOEFISIEN POTENSIAL





nm

(

c



n m nm nm n n P m S m C r a r GM T     l  l f       

 0 cos sin sin

360 2 Kita telah mengetahui bahwa

dan

( 

q

,

l





 360 2 n n

T

T

jadi

Kita juga telah mengetahui bahwa gangguan gayaberat

Jadi anomali gayaberat

( 

n





_nm

(

_c



m nm nm n n

C

m

S

m

P

r

a

T







l





l

f













l

f



cos

sin

sin

,

0

Undulasi yang ditentukan dengan data koefisien potensial diberi notasi N_H





nm

(

c



n m nm nm n n H

C

m

S

m

P

r

a

r

GM

N









l





l

f











g





 0

cos

sin

sin

360 2

(







nm

(

c



n n m nm nm n P m S m C r a n r GM r T _{ l  l f} sin sin cos 1 360 2 0 2                

(







nm

(

c



n n m nm nm n H C m S m P r a n r GM g  l  l f

 360 1 cos sin sin

2 0 2             Untuk a = r = R

(







nm

(

c



n n m nm nm H n C m S m P R GM g  l  l f

 360 1 cos sin sin

2 0

2    



4.7. PENENTUAN UNDULASI GEOID DARI DATA LAPANGAN DAN KOEFISIEN POTENSIAL

s₁ s₂ = s – s₁

Bumi s dibagi atas s₁ dan s₂ jadi





y

s

g





s

gS

d

R

N

(

)

4

N₂





y

s

g









y

s

g





s s1 2

)

(

4

)

(

4

gS

d

R

d

gS

R

N₁ N = N₁ + N₂ Jadi





y

s

g





s

g

S

d

R

N

_{H H}

(

)

4

Dalam bentuk integral N_H dapat ditulis seperti





y

s

g









y

s

g





s s1 2

)

(

4

)

(

4

g

S

d

R

d

S

g

R

H H N_H1 NH2 Ambil N₂ = N_H2 , jadi N = N₁ + N_H2

4.7. PENENTUAN UNDULASI GEOID DARI DATA LAPANGAN DAN KOEFISIEN POTENSIAL

N_H dihitung dengan menggunakan data koefisien potensial hingga m = n =360 ( tidak sampai mendekati tak terhingga), jadi N_H harus dikoreksi dengan dN untuk mendapatkan nilai N

dN

N

N



_H



dN

N

N

N

N

₁



₂



_H1



_H2



Karena N₂ = N_H2 maka

N

₁



N

_H1



dN

1 1

N

H

N

dN





( 

_



( 

y

s

g





s





y

g





s s

g

S

d

R

d

gS

R

dN

_H 1 1

4

4

(

 ( 

s









y

g





s

g

g

S

d

R

dN

_H 1

4

(



n





_nm

(

_c



m nm nm n n H

C

m

S

m

P

r

a

n

R

g







l



l

f











 









1

cos

sin

sin

1

0 360 2





nm

(

c



n m nm nm n n

P

m

S

m

C

r

a

r

GM

N









l





l

f











g





 0

cos

sin

sin

360 2

(

 ( 

s









y

g





s

g

g

S

d

R

H 1

4

dengan

1ps

9r

sp

sr

28

7p

95

103

1q5

62

85

71

34

17

10

61

7q

9p

102

5q

58

42

2q

16

-22

42

4s

5q

8p

35

37

16

-1r

-25

-35

17

29

3r

50

18

2p

20

- 28

-47

-68

-2p

7

-18

25

-4p

52

41

2p

-1s

-4q

-18

29

3p

40

1p

3s

35

40

9

-28

1p

20

27

62

3q

27

4p

5q

15

-9

15

2r

sp

5q

45

35

50

60

2r

1p

24

39

22

45

6q

47

6p

9q

40

25

35

45

40

5q

7r

pqrs = 4 angka terakhir dari NRP Angka dalam setiap kotak adalah

nilai g dalam satuan milligal Ukuran kotak adalah 0,10 _{x 0,1}0

P

Posisi P : f = - p0 _dan l _{= 10s}0

Hitung kontribusi daerah yang memuat data di bawah ini terhadap nilai undulasi di P

4.8. PENENTUAN DEFLEKSI VERTIKAL, INTEGRAL VENNING MEINESZ g_Q ellipsoid referensi p Q geoid 0 W W  0 0 W U U   N_P e vertikal normal e -dN ds ds dN   e tan ds dN   e (e dalam radian)

e dan ds diuraikan aras dua komponen: komponen utara-selatan:   e dan Rdf ds R cos f d l ekuator f komponen timur-barat:

f





ds

_f

Rd

ds

h  e dan ds ds_l  Rcosfdl jadi f        f N R ds dN 1 dan

( 

_{ }



(

f

l

 ( 

y

f

f

l

g





l

f

   

g

S

d

d

R

N

,

cos

4

,

2 0 2 / 2 /

Kita telah mengetahui bahwa N

(

 ( 

f f l    f l  _fy g   f     l     f d d S g R N cos , 4 2 0 2 / 2 / maka _dan

(

 ( 

f f l    f l _ly g   l     l     f d d S g R N cos , 4 2 0 2 / 2 / l   f    h l N R ds dN cos 1

4.8. PENENTUAN DEFLEKSI VERTIKAL, INTEGRAL VENNING MEINESZ

( 

( 

f  y  y y  f  y  d dS S dan

( 

( 

l  y  y y  l  y  d dS S

Kita tahu bahwa

(

ll



f f  f f 

y sin sin cos cos cos cos

(

ll



f f  f f  f  y  y

sin cos sin sin cos cos

sehingga

(

ll



f f   l  y  y

sin cos cos sin

P(q,l) KU q q’ ds(q’,l’) (l’-l) y a

Dari rumus cosinus segi-3 bola

a

y

q

y

q

q

cos

cos

sin

sin

cos

cos







(

l l



q q q q

y cos cos sin sin cos 

cos q y q q a y sin cos cos cos cos sin   sedangkan sehngga



₍

_



q l l q q q q q q a y sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin      (1) (2)

(



q l  l q q q  q q  q  a y sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin 2

(  q l  l q q q  q q  q  a y sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin 2

(



(



q l  l q q q  q q   q  sin cos sin sin cos cos sin 1 cos 2

(



q l  l q q q  q q  q  q  sin cos sin sin cos cos sin cos cos 2

(

ll



q q  q q

sin cos cos sin cos

4.8. PENENTUAN DEFLEKSI VERTIKAL, INTEGRAL VENNING MEINESZ

P(q,l) KU q q’ ds(q’,l’) (l’-l) y a karena q 0 f 90 dan q 0 f 90 maka (3)

Dari rumus sinus segi-3 bola : _qa

(

l _yl



sin sin sin sin _  

(

l l



q a

ysin  sin sin 

sin

(

l l



f a

ysin cos sin 

sin ₍₄₎

Bandingkan (1) dengan (3) dan (2) dengan (4), maka didapatkan

a   f  y  cos dan   f a f  y  sin cos

(

ll



f f  f f  a

ycos cos sin sin cos cos sin

4.8. PENENTUAN DEFLEKSI VERTIKAL, INTEGRAL VENNING MEINESZ maka akhirnya didapatkan

(

 ( 

a f f l y y   f l g      l     f d d d dS g , cos cos 4 1 2 0 2 / 2 /

(

 ( 

a f f l y y   f l g   h   l     f d d d dS g , sin cos 4 1 2 0 2 / 2 /

Persamaan di atas adalah persamaan integral Venning Meinesz untuk menentukan komponen defleksi vertikal dari data gayaberat

( 

y y   y  y  y y   y y sin ) 2 / sin( 1 3 ) 2 / cos( 6 sin 8 ) 2 / ( sin 2 ) 2 / cos( 2 d dS



sin( /2) sin ( /2)



ln sin 3 y y  2 y 

( 

y y d dS

Turunan fungsi Stokes _{disebut juga fungsi Venning Meinesz} Dalam koordinat polar (a,y) integral Venning Meinesz menjadi

(

 ( 

a y y a y y   y a g      a     y d d d dS g , cos sin 4 1 2 0 2 / 2 /

(

 ( 

a y y a y y   y a g   h   a     y d d d dS g , sin sin 4 1 2 0 2 / 2 /

( 

_ _      y _ y y  y   y  y  y 2 2 3 5 1 2 6 2 1 2 sin sin ln cos cos sin sin S

REVIEW INTEGRAL STOKES & INTEGRAL VENNING MEINESZ

(

 ( 

a f f l y y   f l g      l     f d d d dS g , cos cos 4 1 2 0 2 / 2 /

(

 ( 

a f f l y y   f l g   h   l     f d d d dS g , sin cos 4 1 2 0 2 / 2 /

( 



(

f l

 ( 

y f f l g   l f     g , S cos d d R , N / / 2 0 2 2 4 a (l’-l) P(F,l) KU F F’ ds(F’,l’) y Fungsi Stokes

Fungsi Venning Meinesz

( 

y y   y  y  y y   y y sin ) 2 / sin( 1 3 ) 2 / cos( 6 sin 8 ) 2 / ( sin 2 ) 2 / cos( 2 d dS





) 2 / ( sin ) 2 / sin( ln sin 3 y y  2 y 

)

cos(

cos

cos

sin

sin

cos

y



f

f



f

f

l



l

y dihitung dari a dihitung dari ) cos( cos sin sin cos ) sin( cos tan l  l f f  f f l  l f  a R = 6371 km

7645

,

979



g

cm. sec-2

dengan

5. REDUKSI GAYABERAT

5.1. RUMUS UMUM

Perhatikan silinder dengan densitas  radius a dan tebal b Titik P di luar silinder, tinggi dari dasar silinder adalah c

Gaya tarik silinder pada P adalah

Titik P pada silinder, tinggi dari dasar silinder adalah c = b Gaya tarik silinder pada P adalah



2 2



0 2 G a b a b

A  π ρ   

Titik P di dalam silinder, tinggi dari dasar silinder adalah c

.

P

1 2

a b

Silinder dibagi menjadi dua bagian, silinder 1 bagian bawah silinder 2 bagian atas

b c

.

P a a b

.

P c = b c



2 2



1 2 G a c a c A  π ρ   

(





₂ 2



2 2 G a b c a b c A  π ρ      2 1 A A A_i  

(





2 2 2 2



2 2 G c b a c a b c A_i  π ρ      

(





2 2 2 2



2 G b a c b a c A_e  π ρ     

5. REDUKSI GAYABERAT

5.1. RUMUS DASAR

Silinder dibagi atas n sektor dengan radius a dan sudut a , sehingga

n

π α 2

Tiap sektor dibagi atas kompartemen dengan radius a = a₁ dan a = a₂

a a

a = a₂ a = a₁

Gaya tarik kompartemen adalah

1 2 A A A  Δ P di luar silinder P di dalam silinder P pada silinder

(



(





2 2



1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 c a c a b c a b c a n G A_e  π ρ          Δ

(



(





2 2



1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 c a c a b c a b c a n G A_i  π ρ          Δ



2 2



2 2 2 1 0 2 b a b a n G A  π ρ    Δ

5.2. REDUKSI FREE AIR DAN BOUGUER

Reduksi gayaberat dari permukaan bumi ke permukaan laut bertujuan untuk: (1) menentukan geoid, (2) interpolasi dan ekstrapolasi nilai gayaberat, (3) penelitian kerak bumi. Hanya butir (1) dan (2) yang terkait dengan geodesi

Yang akan dibahas adalah reduksi free-air, reduksi Bouguer dan reduksi isostasi.

Reduksi free-air

Titik P terletak dalam ruang bebas massa di atas geoid dengan tinggi H_P . Nilai gayaberat g direduksi menjadi g₀ dengan reduksi free-air F

F g g₀   Reduksi Bouguer

.

P H_P geoid g P₀ g₀

.

P H_P geoid g P₀ g₀

Titik P terletak pada silinder dengan tebal b = H dan radius yang disebut lempeng Bouguer dengan densitas massa    a



2 2



0 2 G a b a b A  π ρ   

Gaya tarik silinder bila P pada silinder (rumus dasar): Masukkan a maka gaya tarik lempeng Bouguer

P P H H H F 0,3086     γ P H g g₀  0,3086 P B G H A  2π ρ P B H A  0,1119

.

P H_P geoid g P₀ g₀

Proses reduksi Bouguer

Gayaberat di P : g Lempeng Bouguer dihilangkan : – 0,1119H Reduksi free-air : + 0,3086H

+ Gayaberat di geoid g₀ = g + 0,1967H Reduksi Bouguer (sederhana) 0,1967H

.

P H_P geoid g P₀ g₀ + – B A

Kenyataan permukaan bumi tidak datar seperti

yang diberlakukan pada reduksi Bouguer (sederhana); Oleh karena itu harus diperhitungkan keadaan terain, Sehingga reduksi Bouguer (sederhana) harus dilengkapi dengan koreksi terain (A_t ) .

Untuk mendapatkan lempeng Bouguer daerah kelebihan massa (A) harus dihilangkan, hal ini akan memberikan efek positip, sedangkan daerah kurang massa harus diisi dan memberikan efek positip pula.

Jadi reduksi Bouguer lengkap adalah :  AB  At F

.

P H_P geoid g P₀ g₀ + – B A H

Menentukan koreksi terain, daerah yang terkait dibagi atas kompartemen dan sektor, sehingga

Untuk daerah kelebihan massa (daerah A)



 A

A_t Δ

A dihitung dengan menggunakan rumus yang

digunakan untuk P terletak di dalam/luar silinder

(



(





2 2



1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 c a c a b c a b c a n G A A_e Δ _i  π ρ          Δ P H H b   dan c = 0 Untuk daerah kekurangan massa (daerah B)

H H

c

b  _P  Ingat G adalah konstanta gravitasi Newton

G = 66,7 x 10

-9

_cm

3

_{gr sec}

-2

5.2. REDUKSI FREE AIR DAN BOUGUER

5.3. REDUKSI ISOSTASI

Pada reduksi Bouguer densitas massa diambil konstan yaitu  = 2,67 gr/cm3 _{atau tebal}

kerak bumi sama. Kenyataannya tidak demikian. Pada sebuah titik jaringan truangulasi India, Pratt menemukan adanya defleksi vertikal yang ditentukan dengan penentuan posisi secara astronomis sebesar 5”, sedangkan dari perhitungan tarikan massa Himalaya besarnya defeleksi vertikal adalah 28”.

Pratt kemudian mengembangkan teori, bahwa densitas massa tergantung dari topografi Kerak bumi muncul dari suatu bidang kompensasi yang merupakan

bidang untuk menjaga keseimbangan massa topografi. Teori Pratt ini dikembangkan secara matematis oleh Hayford. Tebal bidang kompensasi dari permukaan laut adalah D = 100 km

Sistem Pratt-Hayford

dengan ₀  2,67 gr/cm3_.

Beban yang dipikul oleh bidang kompensasi oleh massa ₀ adalah D₀ dan oleh massa dengan densitas  yang tingginya H di atas permukaan laut adalah (D +H). Beban yang dipikul bidang kompensasi untuk setiap kolom massa topografi adalah sama, jadi

laut

(

D H



ρ D ρ₀ ρ ρ₀ H D D   D = 100 km H Bidang kompensasi  ’ ₀

Untuk massa dibawah permukaan laut sedalam H’ , bidang kompensasi mendapat beban 0 0 ρ ρ ρ ρ Δ H D H     

(

DH'



ρ'H'ρ_laut  Dρ₀ ' ' ' 0 H D H D _laut    ρ ρ ρ

(

_laut



H D H ρ ρ ρ ρ ρ Δ       _{0 0} ' ' dengan _laut = 1,027 gr/cm3

5.3. REDUKSI ISOSTASI Sistem Pratt-Hayford laut H 0 D

(

ρ₀ Δρ'



Dρ₀H ρ₀D Δρ' ρ₀ D H  

Koreksi isostasi ( = I ) yang harus diberikan kepada reduksi Bouguer menghasilkan reduksi isostasi





A

I

Δ

A dihitung dengan rumus kompartemen untuk external atau internal dengan ketentuan aplikasi   ’ , b = D dan c = D + H

Koreksi isostasi untuk di laut ditentukan seperti berikut

bidang kompensasi bidang kompensasi

laut

D H’

Terdapat dua tabung, yang terdiri tabung (1) dengan b = D – H’ , karena titik pengamat gayaberat di permukaan laut maka c = D dengan densitas

 = ’ – ₀; sedangkan tabung (2) mempunyai tebal b = D dan karena titik pengamatan di permukaan laut, maka c = D dengan densitas

 = ₀ – _laut . Untuk tiap kompartemen A = – 

A

_ 

A

₂ Gayaberat di geoid setelah reduksi isostasi

I F A A g g₀   _B  _t   

Pada reduksi Bouguer densitas massa di atas geoid sudah dianggap sama dengan ₀ = 2,67 gr/cm3 _{. Oleh karena itu massa di bawah geoid yang}

5.3. REDUKSI ISOSTASI Sistem Airy-Heiskanen T = 30 km laut H t H’ t’ ₀ = 2,67 gr/cm3

Konsep isostasi Airy berdasarkan model densitas massa kerak bumi sama yaitu ₀ = 2,67 gr/cm3 _yang

mengapung di atas suatu layer dengan densitas

₁ = 3,27 gr/cm3_{. Bagian pegunungan yang tingginya H}

di atas permukaan laut akan mempunyai akar (root) di bawah bidang kompensasi dengan dalam t . Dasar laut dengan kedalaman H’ akan mempunyai anti akar (antiroot) dengan ketebalan t’. Konsep ini dekembangkan Secara matematis oleh Heiskanen. Perbedaan densitas antara kerak bumi dengan lapisan di bawahnya adalah

 = ₁ – ₀ = 0,6 gr/cm3 _{. Tebal bidang kompensasi}

T = 30 km

_  3,27 gr/cm3

Persamaan kesimbangan isostasi adalah tΔρ Hρ₀ t H H 4,45H

6 , 0 67 , 2 0    ρ Δ ρ





A

I

Δ

Koreksi isostasi ditentukan juga berdasarkan persamaan berikut

A dihitung dengan rumus kompartemen untuk external atau internal dengan ketentuan

Untuk daerah laut persamaan kesimbangan adalah

(



H

(

_laut



t' ρ₁ ρ₀  ' ρ₀ ρ '

(

₍

_



' 2,73 ' 0 1 0 H H t laut     ρ ρ ρ ρ 5.3. REDUKSI ISOSTASI Sistem Airy-Heiskanen

Koreksi isostasi ditentukan juga berdasarkan pendekatan di mana untuk tiap kompartemen A = – 

A

_ 

A

₂ , seperti model Pratt-Hayford.

A dihitung dengan rumus kompartemen untuk external atau internal dengan ketentuan

aplikasi untuk A₁ densitas  diganti oleh ₁ – ₀ , b = t’ dan c = T ; sedangkan untuk A₂

densitas  diganti oleh ₀ – _laut , b = c = H’

I F A A g g₀   _B  _t   Gayaberat di geoid setelah reduksi isostasi adalah

Perlu dicatat bahwa untuk daerah laut, karena gaya tarik lempeng Bouguer, koreksi terain dan reduksi free air tidak ada, maka gayaberat digeoid menjadi

I g g₀  

1 2 3 4 P (f,l) ₁ L . KU a_ 1 2 3 4 P (f,l) ₁ L . KU 1 2 3 4 P (f,l) ₁ L . 1 2 3 4 1 2 3 4 P (f,l) ₁ L . KU a_ P(q,l) KU q q’ ds(q’,l’) (l’-l) y a

Kontribusi L yang terdiri dari d

s

sd d

s

4

pada undulasi di P(

f

,

l

) yang luas masing2

10’ x 10’







 l     f

l

f

f

y

l

f



g



l

f

2 0 2 / 2 / ' 0

cos

)

,

(

4

)

,

(

R

g

S(

)

d

d

N

( 

_

s

s

y

l

f



g



l

f

R

g

(

,

)

S

(

)

d

N

o

4

,

Menghitung kontribusi d

s

yang berjarak

y

dari titik P yang

ditentukan undulasinya

y

ditentukan dari

_cos

y



_sin

f

_sin

f



_cos

f

_cos

f

_cos

(

l



l



g

_o

= 9,780327 m/dt

2

( 

2 4 1 0

0

1

cos

4



_













f

y



g



_

_{i i i} L

R

g

S

N



R = 6371 km

P_o geoid, WP=Wo g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o Permukaan laut spherop di Q, U_Q= W_P geop di P, W_P spherop di P, U_P spherop di P_oU_Po g_Qo P_o geoid, WP=Wo g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o Permukaan laut spherop di Q, U_Q= W_P geop di P, W_P spherop di P, U_P spherop di P_oU_Po P_o geoid, WP=Wo g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o Permukaan laut spherop di Q, U_Q= W_P geop di P, W_P spherop di P, U_P P_o geoid, WP=Wo g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o Permukaan laut P_o geoid, WP=Wo g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o Permukaan laut geoid, W_P=W_o g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o geoid, W_P=W_o g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h g_P P g_o Q g_Po Q_o g_P P g_o Q g_Po Q_o g_P P g_o Q g_Po g_P P g_o Q g_P P g_o Q g_P P g_o Q g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn  Hn N H N N H hh Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o Permukaan laut spherop di Q, U_Q= W_P geop di P, W_P spherop di P, U_P spherop di P_oU_Po g_Qo

Anomali gayaberat

Di titik P

Di titik P

0



g

_P

= g

_P

-

g

_Q



g

_Po

= g

_Po

-

g

_Qo

Gangguan gayaberat

d

g

_Po

= g

_Po

-

g

_Po

Di titik P

0

Di titik P

d

g

_P

= g

_P

-

g

_P

P_o geoid, WP=Wo g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o Permukaan laut spherop di Q, U_Q= W_P geop di P, W_P spherop di P, U_P spherop di P_oU_Po g_Qo P_o geoid, WP=Wo g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o Permukaan laut spherop di Q, U_Q= W_P geop di P, W_P spherop di P, U_P spherop di P_oU_Po P_o geoid, WP=Wo g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o Permukaan laut spherop di Q, U_Q= W_P geop di P, W_P spherop di P, U_P P_o geoid, WP=Wo g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o Permukaan laut P_o geoid, WP=Wo g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o Permukaan laut geoid, W_P=W_o g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o geoid, W_P=W_o g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn N H h g_P P g_o Q g_Po Q_o g_P P g_o Q g_Po Q_o g_P P g_o Q g_Po g_P P g_o Q g_P P g_o Q g_P P g_o Q g_P P g_o Q g_Po Q_o  Hn  Hn N H N N H h h Permukaan bumi telluroid ellipsoid, U_Q= U_o = W_o Permukaan laut spherop di Q, U_Q= W_P geop di P, W_P spherop di P, U_P spherop di P_oU_Po g_Qo

Tinggi

Q

o

ke P = h = tinggi geodetik

(mis. hasil GPS)

P

o

ke P = H = tinggi ortometrik

(mis. hasil sipat datar)

Q

o

ke P

o

= N = undulasi geoid

Q

o

ke Q = = tinggi normal

Q ke P =



= anomali tinggi

H

n

Dari hubungan di atas dihasilkan

h = H + N = H

n

₊



RUMUS GAYABERAT NORMAL

a_c p

.

P w sumbu putar a_N g

Nilai gayaberat normal pada lintang

yang sama dengan lintang titik P

mempunyai nilai yang sama

Jadi nilai gayaberat normal pada

suatu titik di permukaan ellipsoid

merupakan fungsi lintang titik itu

(





f





f



g



g

_e

₁

_sin

2

₁

_sin

2

₂

Rumus umum :

Nilai

g

_e

,



dan



_

tergantung dari hasil penelitian model bumi normal

(ellipsoid referensi) terakhir . Untuk World Geodetic System (WGS) 1984

(



f



f





RUMUS GAYABERAT NORMAL

Nilai gayaberat normal pada titik P (

f

,

l

, h)

(

































f









g



g

1

2

1

2

sin

2

3

2

a

h

a

h

f

m

f

P

g

adalah nilai gayaberat normal pada lintang

f

di permukaan ellipsoid

a adalah setengah sumbu panjang ellipsoid

f adalah pegepengan ellipsoid

G adalah konstanta gravitasi Newton

M adalah massa bumi (termasuk atmosfir yang mengelilinginya)

w

adalah kecepatan sudut rotasi bumi

GM

f

a

m



w

2 3

(

1



)

dengan

Sehingga untuk ellipsoid WGS 84

m = 0.003 449 786 003 08 m

_dt

2

w w

MODEL ALAMI

Geoid: Tak homogin dan benda berputar

MODEL GEODETIK

Ellipsoid Bumi : Homogin dan benda berputar

w

GAYA BERAT = GAYA GRAVITASI + GAYA SENTRIFUGAL

Gaya gravitasi

Gaya sentrifugal

ANOMALI GAYA BERAT

+300

-300mgal

0 W W  0 0 W U U   ellipsoid referensi p Q geoid g_Q N_P e vertikal normal g_P W=W₀ U=U₀ =W₀ s₁ s₂ = s – s₁