Bab II LANDASAN TEORI

(1)

Bab II

LANDASAN TEORI

Bab ini terdiri dari 3 bagian. Pada bagian pertama berisi tinjauan pustaka dari penelitian-penelitian sebelumnya. Pada bagian kedua diberikan teori pe-nunjang untuk mencapai tujuan penelitian yang berisi definisi-definisi dan teori. Pada bagian ketiga disusun kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran penelitian.

2.1 Tinjauan Pustaka

Runtun waktu fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Song dan Chissom [9] yang mengusulkan model runtun waktu dengan menggunakan operasi matriks dalam proses perhitungannya. Song dan Chissom [9, 10] menerapkan runtun waktu fuzzy pada data jumlah pendaftar di Universitas Alabama.

Chen [1] mengembangkan model dari Song dan Chissom [9, 10] dengan menghilangkan operasi matriks menjadi model runtun waktu fuzzy dengan operasi aritmatik sederhana. Penelitian Chen [1] yang diterapkan pada data jumlah pendaftar di Universitas Alabama menghasilkan hasil ramalan yang lebih baik dibandingkan Song dan Chissom [9, 10].

Yu [14] melanjutkan penelitian Chen [1]. Yu [14] mengusulkan adanya pem-bobotan untuk mengatasi dua masalah dalam runtun waktu fuzzy yaitu peru-langan dan pembobotan relasi logika fuzzy. Model yang diusulkan menggunakan pembobotan secara regresi terhadap semua relasi logika fuzzy. Pada penerapan data jumlah pendaftar di Universitas Alabama menghasilkan akurasi yang lebih baik dari model yang diusulkan Chen [1].

Cheng et al. [2] memodifikasi pembobotan dari model Chen [1] dan Yu [14] untuk setiap himpunan fuzzy. Pembobotan yang diusulkan menggunakan

(2)

mo-del adaptive expectation. Pada penerapan data indeks harga saham Taiwan dan pendaftaran di Universitas Alabama dihasilkan peramalan menggunakan model Cheng [2] lebih baik dibandingkan model Chen [1] dan model Yu [14] .

Lee dan Suhartono [6] mengusulkan pembobotan secara eksponensial untuk data yang berpola musiman. Pada penerapan data penggunaan listrik untuk Pe-rusahaan Tenaga Air Washington menunjukkan bahwa model Lee dan Suhartono [6] menghasilkan akurasi lebih baik daripada model Chen [1], Yu [14], dan Cheng [2].

Tsaur [12] mengusulkan analisis residu pada model runtun waktu fuzzy menggunakan deret Fourier. Model hibrida runtun waktu fuzzy dan deret Fourier dapat menghasilkan residu yang lebih kecil. Tsaur dan Kuo [13] menerapkan mo-del runtun waktu fuzzy dengan deret Fourier pada kasus pengunjung pariwisata di Australia. Hasil penelitian menunujukkan bahwa model Tsaur dan Kuo [13] menghasilkan kesalahan peramalan yang lebih kecil dibandingkan dengan model Song dan Chissom [9], Singh [8], Cheng [2], dan Chen [1]. Penelitian-penelitian tersebut menjadi dasar pertimbangan dalam menerapkan model hibrida runtun waktu fuzzy terbobot-deret Fourier untuk peramalan curah hujan di DAS Benga-wan Solo.

2.2 Landasan Teori

Pada penelitian ini diberikan beberapa teori yang menjadi dasar dalam penelitian model hibrida runtun waktu fuzzy terbobot-deret Fourier untuk pe-ramalan curah hujan di DAS Bengawan Solo yaitu, curah hujan, himpunan

fu-zzy, runtun waktu fuzzy dan runtun waktu fuzzy terbobot, model hibrida runtun

waktu fuzzy terbobot-deret Fourier, Root Mean Square Eror (RMSE).

2.2.1 Curah Hujan

Menurut Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG), ukur-an curah hujukur-an merupakukur-an perbukur-andingukur-an jumlah curah hujukur-an kumulatif selama satu bulan di suatu tempat yang sama. Ukuran curah hujan dapat digunakan

(3)

dalam penentuan karakteristik tinggi rendahnya curah hujan pada suatu daerah dan bulan tertentu. Dalam model runtun waktu fuzzy terbobot, klasifikasi cu-rah hujan dapat dimanfaatkan untuk penentuan banyaknya pembagian interval. Ukuran curah hujan bulanan dapat dilihat pada Tabel 2.1. BMKG menggunakan Tabel 2.1 untuk peta prakiraan curah hujan Indonesia tahun 2015 yang terlihat pada Gambar 2.1. Pada penelitian ini, ukuran curah hujan pada Tabel 2.1 dapat dijadikan acuan untuk klasifikasi nilai peramalan curah hujan tahun 2015.

Tabel 2.1. Ukuran Curah Hujan Kategori Ukuran (mm) Rendah 0− 20 20− 50 50− 100 Menengah 100− 150 150− 200 200− 300 Tinggi 300− 400 400− 500 Sangat tinggi > 500

2.2.2 Himpunan Fuzzy

Misalkan U adalah himpunan semesta, dengan U = {u1, u2, . . . , un}, dan

Ai adalah himpunan fuzzy pada himpunan U , yang didefinisikan sebagai

Ai = µAi(u1)/u1 + µAi(u2)/u2+ . . . + µAi(un)/un,

dengan µAi adalah fungsi keanggotaan himpunan fuzzy Ai, dan µAi(uj) mere-presentasikan derajat keanggotaan dari uj pada Ai dengan µAi(uj) ∈ [0, 1] dan 1≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n. Berikut ini adalah definisi dari Klir dan Folger [5].

Definisi 2.2.1. Height of fuzzy set adalah elemen-elemen dari himpunan fuzzy

(4)

Gambar 2.1. Peta prakiraan curah hujan Januari 2015

Definisi 2.2.2. Himpunan fuzzy disebut dinormalisasi dengan elemen-elemen

merupakan kemungkinan maksimum dari derajat keanggotaan.

2.2.3 Runtun Waktu Fuzzy dan Runtun Waktu Fuzzy

Terbobot

Runtun waktu fuzzy merupakan model peramalan runtun waktu yang menggunakan konsep - konsep fuzzy sebagai dasarnya. Song dan Chissom [9, 10] menjelaskan dengan definisi berikut.

Definisi 2.2.3. Misalkan Y (t)(t = 1, 2, . . . , n) adalah bagian dari bilangan real

(R) yang didefinisikan oleh himpunan fuzzy semesta fi. Jika F (t) kumpulan dari fi(t)(t = 1, 2, . . . , n), maka F (t) disebut runtun waktu fuzzy pada Y (t)(t = 1, 2, . . . , n).

Definisi 2.2.4. Misalkan F (t) disebabkan oleh F (t− 1), maka relasi model orde

pertama dari F (t) dinyatakan F (t) = F (t− 1) ◦ R(t, t − 1) dengan R(t, t − 1) adalah matriks relasi yang dideskripsikan oleh relasi logika fuzzy antara F (t− 1) dan F (t), dan ◦ adalah operator maksimal - minimal.

(5)

dapat ditulis Ai → Aj dengan Ai dan Aj dinamakan sisi kiri dan sisi kanan RLF.

Definisi 2.2.6. Misalkan F (t) merupakan runtun waktu fuzzy dengan pola

mu-siman setiap periode p, maka dapat ditulis hubungan fuzzy ialah F (t−p) → F (t). Runtun waktu fuzzy terbobot merupakan perkembangan dari runtun waktu

fuzzy. Runtun waktu fuzzy terbobot adalah runtun waktu fuzzy yang

memperha-tikan adanya pengulangan dan pembobotan relasi logika fuzzy. Berikut ini adalah langkah untuk memperoleh model runtun waktu fuzzy terbobot dengan metode Lee dan Suhartono [6].

Langkah 1. Menentukan interval dari himpunan semesta U . U = [Dmin −

D1, Dmax+ D2], dengan Dmin adalah data terkecil, Dmaks adalah data terbesar,

D1 dan D2 adalah sembarang bilangan non-negatif.

Langkah 2. Menentukan himpunan fuzzy Ai pada himpunan semesta U , dengan

Ai adalah himpunan fuzzy subinterval ke-i, i = 1, 2, . . . , s dan s adalah jumlah subinterval. Pembagian interval dari himpunan semesta U menjadi beberapa subinterval yang sama dapat didefinisikan seperti berikut.

l = [(Dmax+ D2)− (Dmin− D1)]/s

dengan setiap interval diperoleh hasil u1 = [Dmin − D1,−Dmin − D1 + l], u2 =

[Dmin− D1+ l, Dmin− D1+ 2l], . . . , us= [Dmin− D1+ (n− 1)l, Dmaks+ D2].

Langkah 3. Membuat relasi logika fuzzy (RLF) dan menentukan kelompok

rela-si logika fuzzy (KRLF) dari semua RLF. Contoh, jika RLF berbentuk A1 → A2, A1 → A1, A1 → A1, A1 → A3, A1 → A1 maka KRLF berbentuk A1 → A2, A1, A1, A3, A1.

Langkah 4. Menentukan peramalan himpunan fuzzy F (t). Jika F (t− 1) = Ai, maka F (t) diperoleh dengan aturan berikut.

1. Jika RLF dari Ai tidak ada (Ai → Ø), maka F (t) = Ai,

2. Jika hanya terdapat satu RLF (Ai → Aj), maka F (t) = Aj,

3. Jika terdapat lebih dari satu RLF (Ai → Aj1, Aj2, . . . , Ajk), maka F (t) =

(6)

Langkah 5. Menentukan defuzzifikasi M (t). Jika F (t) = Aj1, Aj2, . . . , Ajk, ma-ka M (t) = mj1, mj2, . . . , mjk, dengan

mj1, mj2, . . . , mjk adalah nilai tengah dari Aj1, Aj2, . . . , Ajk.

Langkah 6. Menghitung pembobot. Jika pembobot dari F (t) = Aj1, Aj2, . . . , Ajk adalah w₁′, w′₂, . . . , w′_k dengan w_i′ = ∑kwi

i=1wi

, w1 = 1, wi = ci−1 untuk c > 1 dan

i = 1, 2, . . . , k maka matriks pembobot dapat ditulis

W (t) = [w′₁, w₂′, . . . , w_k′] = [ 1 ∑k i=1wi ,∑_kc i=1wi , . . . , c k−1 ∑k i=1wi ] . (2.1)

Langkah 7. Menghitung peramalan pada waktu t, ˆF (t) = M(t)× W (t)T_.

2.2.4 Model Hibrida Runtun Waktu Fuzzy

Terbobot-Deret Fourier

Model hibrida runtun waktu fuzzy terbobot-deret Fourier merupakan sua-tu model gabungan pendekatan runsua-tun waksua-tu fuzzy terbobot dan deret Fourier. Menurut Tsaur dan Kuo [13], berikut langkah untuk memperoleh model hibrida runtun waktu fuzzy terbobot-deret Fourier.

Langkah 1. Menentukan nilai peramalan runtun waktu fuzzy.

Langkah 2. Menentukan estimasi deret residu menggunakan deret Fourier.

De-ret residu diturunkan seperti berikut

ε(t) = Y (t)− ˆF (t), t = 1, 2, . . . , N ε(t) = [ε(1), ε(2), . . . , ε(N )]T,

dengan Y (t) adalah nilai sebenarnya pada waktu t, ˆF (t) adalah nilai peramalan

menggunakan model runtun waktu fuzzy terbobot pada waktu t, dan matriks dari deret residu didefinisikan sebagai ε(t).

Deret Fourier digunakan untuk menguraikan suatu deret fungsi periodik. Teknik penyesuaian deret residu dengan deret Fourier dapat meningkatkan kea-kuratan peramalan dari himpunan data yang periodik.

(7)

Estimasi deret residu diturunkan dari deret Fourier seperti ˆ ε(t) = 1 2a0+ z ∑ i=1 [ aicos ( 2Πi T t ) + bisin ( 2Πi T t )] , t = 1, 2, . . . , n (2.2)

dengan T adalah banyak deret residu yang sama panjangnya dengan n, z adalah frekuensi minimum penyebaran deret Fourier yang merupakan pembagian bilang-an bulat [n−1₂ ], dan a0, ai, biuntuk i = 1, 2, . . . , z adalah parameter yang diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil.

Adapun langkah untuk memperoleh parameter deret Fourier dengan metode kuadrat terkecil sebagai berikut

1. Menentukan residu yaitu e(t) = ε(t)− ˆε(t) 2. Menentukan jumlah kuadrat dari residu

D2 = n ∑ i=1 [e(t)]2= n ∑ i=1 [ε(t)− ˆε(t)]2 = n ∑ i=1 [ ε(t)− [ 1 2a0+ z ∑ i=1 [ aicos( 2Πi T t) + bisin( 2Πi T t) ]]]2 = n ∑ i=1 [ ε(t)−1 2a0− a1cos( 2Π T t)− b1sin( 2Π T t)− a2cos( 2Π2 T t) −b2sin( 2Π2 T t)− . . . − azcos( 2Πz T t)− bzsin( 2Πz T t) ]2

3. Menghitung parameter a0, a1, b1, . . . , az, bz sedemikian sehingga D2 mini-mum. Apabila turunan pertama terhadap parameter a0, a1, b1, . . . , az, bz adalah nol maka nilai D2 _{akan minimum. Parameter diperoleh}

ˆ a = (PTP)−1PTε(t) (2.3) dengan ˆaT = [a0, a1, b1, . . . , az, bz] dan P =         1 2 cos( 2Π T ) sin( 2Π T ) . . . cos( 2Πz T ) sin( 2Πz T ) 1 2 cos(2 2Π T ) sin(2 2Π T ) . . . cos(2 2Πz T ) sin(2 2Πz T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 cos(n 2Π T ) sin(n 2Π T ) . . . cos(n 2Πz T ) sin(n 2Πz T )        

(8)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.3) ke persamaan (2.2), diperoleh estimasi residu

ˆ

ε(t) = [ˆε(1), ˆε(2), . . . , ˆε(n), ˆε(n + 1)]T.

Nilai peramalan dapat dihitung menggunakan ˆ

Y (t) = ˆF (t) + ˆε(t),

dengan ˆY (t) adalah nilai peramalan data waktu t, ˆF (t) dan ˆε(t) adalah nilai

peramalan runtun waktu fuzzy terbobot dan nilai estimasi residu pada waktu

t + 1.

2.2.5 Root Mean Square Eror (RMSE)

Menurut Hanke dan Wichern [4], Root Mean Square Eror (RMSE) dapat digunakan sebagai kriteria untuk menentukan model terbaik. RMSE adalah akar kuadrat dari rata - rata kesalahan peramalan

RM SE =

√∑n

i=1(Yt− ˆYt)2

n

dengan Yt adalah nilai sebenarnya curah hujan bulanan pada waktu t, ˆYt adalah nilai peramalan curah hujan bulanan pada waktu t, dan n adalah banyak nilai yang diramalkan.

2.3 Kerangka Pemikiran

DAS Bengawan Solo sering terjadi banjir yang disebabkan oleh luapan air sungai. Luapan air sungai dipengaruhi oleh curah hujan yang tinggi. Data curah hujan merupakan data runtun waktu yang mempunyai pola musiman. Salah satu model yang digunakan dalam meramalkan curah hujan yaitu runtun waktu fuzzy. Perkembangan dari runtun waktu fuzzy yang memperhatikan adanya pengulang-an dpengulang-an pembobotpengulang-an yaitu runtun waktu fuzzy terbobot. Model runtun waktu

fuzzy terbobot dapat digunakan pada data yang mempunyai pola musiman.

Penelitian ini dilakukan peramalan curah hujan di DAS Bengawan Solo dengan menerapkan model hibrida runtun waktu fuzzy terbobot-deret Fourier.

(9)

Deret Fourier digunakan untuk mengestimasi deret residu yang diperoleh dari model runtun waktu fuzzy terbobot sehingga menghasilkan residu yang lebih kecil.