analisis real 1

(1)

1 1

K

Ke

e e

en

ng

g a

ap

pa

an B

n B a

an

ng

ga

an

n

BAB II KELENGKAPAN

BILANGAN REAL

Sebagaimana telah digambarkan pada bab sebelumnya bahwa sist

Sebagaimana telah digambarkan pada bab sebelumnya bahwa sist em bilanganem bilangan rasional,rasional, memenuhi aksioma lapangan dan aksioma urutan, sehingga system bilangan

memenuhi aksioma lapangan dan aksioma urutan, sehingga system bilangan rasionalrasional merupakan

merupakan lapangan lapangan terurut. terurut. TeTetapi tapi telah telah ditunjukkan ditunjukkan bahwa bahwa 3 bukan3 bukan bilangan bilangan rasional, disini akan ditunjukkan bahwa

rasional, disini akan ditunjukkan bahwa

ℝ

≠≠

ℚ

dengan dengan menunjukan menunjukan bahwa bahwa 33 adalahadalah bilangan

bilangan real. real. Sehingga Sehingga perlu perlu suatu suatu aksioma aksioma tambahan tambahan untukuntuk menggambarkanmenggambarkan karakteristik sistem bilangan real. Aksioma itu adalah “Aksioma

karakteristik sistem bilangan real. Aksioma itu adalah “Aksioma Kelengkapan”Kelengkapan” biasabiasa disebut si!at kelengkapan". #engan demikian bil

disebut si!at kelengkapan". #engan demikian bilangan real dikatakan sebagaiangan real dikatakan sebagai lapanganlapangan terurut yang

terurut yang lengkap.lengkap.

2.1

2.1 Aksioma Aksioma KelengkapanKelengkapan ℝℝ

$ntuk memahami aksioma kelengkapan, terlebih dahulu harus memahami

$ntuk memahami aksioma kelengkapan, terlebih dahulu harus memahami pengertian pengertian batas atas dan batas

batas atas dan batas bawah suatu sub himpunan bawah suatu sub himpunan daridari ℝ.ℝ.

Definisi 2.1 Batas Atas dan Batas

Definisi 2.1 Batas Atas dan Batas BawahBawah

%isalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari %isalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝℝ . . i".

i". Sebuah Sebuah bilanganbilangan aa

∈ ℝ

dikatakandikatakan atas atasatas atas SS apabilaapabila x x

≤≤

aa untukuntuk semuasemua x x

∈

S.S. ii".

ii". Sebuah Sebuah bilanganbilangan bb

∈ ℝ

dikatakandikatakan atas awahatas awah SS apabilaapabila x x

≥≥

bb untukuntuk semuasemua x x

∈

S.S.

&erdasarkan de!inisi diatas, jika S memiliki batas atas, maka S akan memiliki &erdasarkan de!inisi diatas, jika S memiliki batas atas, maka S akan memiliki tak tak terhingga batas atas sebab jika

terhingga batas atas sebab jika aa merupakan batas atas S maka setiap bilanganmerupakan batas atas S maka setiap bilangan cc yangyang lebih besar dari

lebih besar dari aa akan merupakan batas atas S juga. #emikian juga, jika Sakan merupakan batas atas S juga. #emikian juga, jika S memilikimemiliki batas bawah, maka

(2)

Definisi 2.2 !imp"nan #e$atas

%isalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ .

i". 'impunan S dikatakan te$atas di atas apabila S memiliki batas atas. ii". 'impunan S dikatakan te$atas di awah apabila S memiliki batas bawah. iii". 'impunan S dikatakan te$atas apabila S memiliki batas atas dan batas bawah.

%ontoh 2.1

a. 'impunan A ( ) 1, 3, *, 11, 1+. &ilangan 1 dan sembarang bilangan yang lebih ke-il dari 1 merupakan batas bawah A, kemudian bilangan 1+ dan sembarang bilangan yang lebih besar dari 1+ merupakan batas atas A. Artiya, A merupakan

himpunan terbatas.

b. 'impunan & ( ) x

∈ ℝ

 x / 0  adalah himpunan terbatas di atas, bilangan 0 dan sembarang bilangan yang lebih besar dari 0 merupakan batas atas &.

-. 'impunan  ( ) x

∈ ℝ

 x 2 3  adalah himpunan terbatas di bawah, bilangan 3 dan sembarang bilangan yang lebih ke-il dari 3 merupakan batas bawah .

d. 'impunan # ( ) x

∈ ℝ

 1 / x

≤

*  adalah himpunan terbatas artinya terbatas di bawah dan terbatas di atas, bilangan 1 dan sembarang bilangan yang lebih ke-il dari 1 merupakan batas bawah #. Sedangkan bilangan * dan sembarang bilangan yang lebih besar dari * merupakan batas atas #.

e. 'impunan 4 ( ) x

∈ ℝ

 x / 5 atau x 2 +  bukan merupakan himpunan terbatas karena tidak memiliki batas atas maupun batas bawah. Sembarang bilangan b ∈

ℝ

bukan batas atas, karena selalu terdapat x

∈

4 sehingga b < x. #emikian juga, untuk sembarang bilangan a

∈ ℝ

bukan batas bawah, karena selalu terbapat y ∈

(3)



1

⋅

!. 'impunan 6 ( )17n  n

∈ℕ

 merupakan himpunan terbatas. 'impunan 6 dapat dinyatakan dalam bentuk lain, yaitu

6 (



,



1 , 1, 8 3 1 ,

⋅ ⋅



5



Karena elemen 6 menurun

,

dapat disimpulkan bahwa bilangan 1 dan sembarang bilangan yang lebih besar dari 1 merupakan batas atas 6, kemudian karena 17n

≥

9,

∀

n

∈ℕ,

bilangan 9 dan sembarang bilangan yang lebih ke-il dari 9 merupakan batas bawah 6.

:erlu di-atat, bahwa himpunan & pada -ontoh 8.1 bukan merupakan himpunan terbatas karena tidak memiliki batas bawah, demikian juga himpunan  bukan himpunan terbatas kenapa;".

Sekarang masuk pada de!inisi utama, yaitu de!inisi supremum dan in!imum dari sebuah himpunan bagian dari bilangan real.

Definisi 2.& '"p$em"m dan Infim"m

%isalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ .

i". Sebuah bilangan u

∈ ℝ

dikatakan s"p$em"m (atas atas te$ke)il* S apabila a" u batas atas S,

b" jika w batas atas S, maka w

≥

u.

ii". Sebuah bilangan v

∈ ℝ

dikatakan infim"m (atas awah te$esa$* S apabila a" v batas atas S,

b" jika w batas bawah S, maka w

≤

v. $ntuk selanjutnya,

sup S dan in! S, berturut turut menyatakan supremun S dan in!imum S.

(4)

Lema 2.+ Ket"nggalan '"p$em"m dan Infim"m %isalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ . i". <ika S mempunyai supremum, maka sup S tunggal. ii". <ika S mempunyai in!imum, maka in! S tunggal.

B"kti. i" %isalkan u dan v adalah supremum dari S. Karena u dan v adalah batas atas dari S dan u ( sup S, diperoleh u

≤

v. Sebaliknya, karena v ( sup S diperoleh v

≤

u. Akibatnya, v ( u. &ukti ii" ditinggalkan untuk pemba-a. 

Kembali pada de!inisi batas atas dan batas bawah, a

∈ ℝ

batas atas S apabila x

≤

a ,

∀

x

∈

S dan b

∈ ℝ

batas bawah S apabila dinyatakan sebagai berikut

b

≤

x ,

∀

x

∈

S. Sehingga de!inisi 8.3 dapat

i" &ilangan u ( sup S apabila a" x

≤

u,

∀

x

∈

S,

b" jika w batas atas S, maka w

≥

u.

ii". &ilangan v ( in! S apabila a" v

≤

x,

∀

x

∈

S,

b" jika w batas bawah S, maka w

≤

v.

Apakah setiap himpunan bagian dari = mempunyai supremum dan in!imum; <awabnya belum tentu kenapa;". Sebuah himpunan bagian = mempunyai supremum apabila mempunyai batas atas dan akan mempunyai in!imum apabila mempunyai batas bawah. Sedangkan terdapat empat kemungkinan sebuah himpunan bagian dari = dihubungkan dengan batas atas dan batas bawah, yaitu

i" mempunyai batas atas dan batas bawah>

ii" mempunyai batas bawah tetapi tidak mempunyai batas atas> iii" mempunyai batas atas tetapi tidak mempunyai batas bawah>

(5)

i?" tidak mempunyai batas bawah dan tidak mempunyai batas atas

@leh kerena itu terdapat empat kemungkinan pula, apabila dihubungkan dengan supremum dan in!imum uraikan apa saja kemungkinan itu;".

ema berikut akan berman!aat untuk menguji, apakah sebuah batas atas himpunan merupakan supremum.

Lema 2., '"p$em"m

%isalkan S sebuah himpunan terbatas di atas di

ℝ

. &ilangan u ( sup S jika dan hanya jika untuk sembarang

ε

2 9 terdapat sε

∈

S sehingga u 

ε

/ sε.

B"kti. $ntuk membuktikan ema Supremum diatas harus ditunjukkan dua arah, untuk

(

⇒

)

_{%isalkan u ( sup S dan}

_ε

_{2 9. Karena u}

₋

_ε

_<

_{u berarti u}

₋

_ε

_{bukan batas atas S.}

Akibatnya terdapat suatu s_ε

∈

S sehingga u 

ε

/ s_ε_.

$ntuk sebaliknya

(

⇐

)

%isalkan u batas atas S demikian sehingga untuk sembarang

ε

2 9 terdapat s_ε

∈

S sehingga u 

ε

/ s_ε.. <ika v

<

u , maka

ε

=

u

−

v

2 9, karena itu ada s_ε

∈

S

sehingga u 

ε

/ s_ε.. :adahal u 

ε

( v, berarti v bukan batas atas S. Karena v merupakan

sebarang bilangan yang kurang dari u, sehingga dapat disimpulkan bahwa u adalah batas

atas terke-il, dengan kata lain u ( sup S.



%ontoh 2.2

:erhatikan kembali himpunan himpunan pada -ontoh 8.1.

a. :erhatikan himpunan A ( )1, 3, *, 11, 1+. &ilangan 1 merupakan in! A, karena 1

∈

A dan merupakan batas bawah A. &ilangan 1+ merupakan sup A, karena 1+ ∈

A dan merupakan batas atas A.

b. 'impunan & ( ) x

∈ ℝ

 x / 0  tidak mempunyai batas bawah, sehingga tidak memiliki in!imum kenapa;". :ada himpunan &, bilangan 0 merupakan batas atas. $ntuk menunjukkan bahwa 0 ( sup & tinggal ditunjukkan syarat kedua, yaitu jika

(6)



1

⋅

w sembarang batas bawah & maka w

≥

0. Sekarang andaikan terdapat w batas atas & sedemikian sehingga w / 0. Karena w / 0, terdapat z ( w B 0"78

∈

& sedemikian sehingga w / z / 0. Akibatnya w bukan batas atas. Karena w diambil sembarang, jadi jika w batas atas maka w

≥

0.

-. 'impunan  ( ) x

∈ ℝ

 x 2 3  tidak memiliki supremum kenapa;" dan 3 adalah in!imumnya kenapa;".

d. 'impunan # ( ) x

∈ ℝ

 1 / x

≤

*  memiliki supremum * dan in!imum 1 tunjukkanC".

e. 'impunan 4 ( ) x

∈ ℝ

 x / 5 atau x 2 +  tidak memiliki supremum maupun in!imum tunjukkanC".

!. Sebagaimana telah dikemukakan pada -ontoh 8.1 bahwa himpunan 6 ( )17n  n

∈ℕ

 merupakan himpunan terbatas. <adi ada batas atas dan batas bawahnya. 'impunan 6 dapat dinyatakan dalam bentuk lain, yaitu

6 (



,



1 , 1, 8 3 1 ,

⋅



5



Karena elemen 6 menurun dan 1 elemen terbesar, maka 1 merupakan supremum 6 kenapa;". Sekarang akan ditunjukkan bahwa 9 adalah in!imum 6. Karena untuk setiap n

∈ℕ

berlaku 17n

≥

9, maka 9 merupakan batas bawah. Sehingga untuk menunjukkan 9 ( in! 6 tinggal ditunjukkan bahwa 9 adalah batas bawah terbesar. Andaikan terdapat w batas bawah 6 sedemikian sehingga w 2 9. :ilih bilangan asli k apakah pasti ada;" sedemikian sehingga kw 2 1, sehingga 17k / w.

Karena w 2 9 dan k

∈ ℕ,

maka 9 / 17k / w. :adahal 17k adalah elemen 6, sehingga w bukanlah batas bawah. Karena w diambil sembarang, jadi jika w batas bawah maka w

≤

0.

(7)

&erikut ini menyatakan aksioma penting pada

ℝ

yaitu aksioma kelengkapan atau disebut juga si!at kelengkapan

ℝ

. #engan aksioma kelengkapan,

ℝ

menjadi suatu lapangan

terurut lengkap.

Aksioma 2.- Kelengkapan ℝ

Setiap himpunan bilangan real tak kosong dan memiliki batas atas memiliki supremum diℝ.

Aksioma kelengkapan ini disebut juga 'ifat Kelengkapan atau 'ifat '"p$em"m. Aksioma kelengkapan diatas dapat pula dinyatakan dalam kalimat yang sedikit berbeda, yaitu, setiap himpunan tak kosong yang terbatas diatas mempunyai supremum.

2.2 'ifat Aksioma Kelengkapan

#isini terdapat si!at kelengkapan serupa untuk in!imum, namun si!at in!imum dapat diturunkan dari si!at supremum, sebagaimana ditunjukkan pada teorema berikut

#eo$ema 2. 'ifat Infim"m

Setiap himpunan bilangan real tak kosong dan memiliki batas bawah memiliki in!imum diℝ.

B"kti. %isalkan S himpunan bilangan real tak kosong dan memiliki batas bawah. #e!inisikan

S( ) s  s

∈

S .

Karena himpunan S terbatas dibawah, diperoleh himpunan S terbatas diatas dan berdasarkan aksioma kelengkapan terdapat u

∈ ℝ

sedemikian sehingga u ( sup S.

(8)

batas bawah. Sekarang misalkan r batas bawah S maka D r merupakan batas atas S, kemudian karena -r

≥

u diperoleh r

≤

u ( v. <adi v merupakan in!imum S. 

#ari aksioma kelengkapan ini dapat diturunkan beberapa lema yang berkaitan dengan supremum dan in!imum dari himpunan bilangan real .

Lema 2./

%isalkan S himpunan bilangan real tak kosong yang terbatas diatas. i" <ika a sebuah bilangan real, maka supremum himpunan

a + S ( ) a + s  s

∈

S  adalah a + sup S. ii" <ika a 2 9, maka supremum himpunan

a S ( ) a s  s

∈

S  adalah a sup S".

B"kti. (i*. %isalkan u = sup S. Karena u batas atas S, sehingga diperoleh s

≤

u untuk setiap s

∈

S dan a + s

≤

a + u untuk setiap s

∈

S. Artinya a + u merupakan batas atas a

+ S. Kemudian, untuk menunjukkan bahwa a + u supremum a + S, misalkan w merupakan batas atas a + S, artinya a + s

≤

w untuk setiap s

∈

S. ebih lanjut, diperoleh s

≤

w – a untuk setiap s

∈

S yang berarti w D a merupakan batas atas S. Karena u = sup S diperoleh u

≤

w – a, sehingga a + u

≤

w. Karena w sembarang batas atas a + S dapat disimpulkan bahwa sup a + S" ( a + u = a + sup S. (ii*. %isalkan u = sup S. Karena u batas atas S dan a 2 9, sehingga diperoleh s

≤

u untuk setiap s

∈

S dan as

≤

au untuk

setiap s

∈

S. Artinya au merupakan batas atas aS. Sekarang tinggal menunjukkan bahwa a u adalah supremum a S. $ntuk itu, misalkan w merupakan batas atas a S, artinya a s

≤

w untuk setiap s

∈

S. Karena a 2 9, diperoleh s

≤

w/a untuk setiap s

∈

S yang berarti w/a merupakan batas atas S. Karena u = sup S diperoleh u

≤

w/a, sehingga a u

≤

w.

(9)

Karena w sembarang batas atas a S dapat disimpulkan bahwa sup a S" ( a u = a  sup S".



Teorema dibawah dikenal dengan si!at Ar-himedean yang menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan real x terdapat bilangan asli n sehingga x < n. #isini disajikan pembuktian dengan meman!aatkan aksioma kelengkapan.

#eo$ema 2.0 'ifat A$)himedean

<ika x

∈ ℝ

, maka tedapat n x

∈ ℕ

sedemikian sehingga x <

n x.

B"kti. %isalkan x

∈ ℝ.

Andaikan tidak ada n

∈ ℕ

sedemikian sehingga x < n, dengan

kata lain n

≤

x untuk setiap n

∈ ℕ

. Akibatnya, x merupakan batas atas

ℕ

. Karena terbatas diatas, berdasarkan aksioma kelengkapan

ℕ

memiliki supremum. Tuliskan u ( sup

ℕ

, berarti u  1 bukan supremum dan akibatnya terdapat k

∈ ℕ

sehingga u  1 / k . Karena u < k B 1 dan k B 1

∈ ℕ

, sehingga u bukan batas atas

ℕ

. 'al ini bertentangan dengan

ℕ

terbatas diatas. <adi haruslah ada n x

∈ ℕ

sedemikian sehingga x < n x.



Si!at Ar-himeden se-ara tidak langsung telah menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan asli tidak terbatas diatas. ebih lanjut, si!at Ar-himedean mengakibatkan untuk

sembarang bilangan real positi! selalu terdapat bilangan

bilangan asli n.

1

yang lebih ke-il untuk suatu n

Lema 2.1 Akiat 'ifat A$)himedean

<ika x bilangan real positi!, maka terdapat n

∈ ℕ

sehingga 9

<

1

n

<

x .

B"kti. %isalkan x 2 9, sehingga diperoleh 1 2 9. &erdasarkan si!at Ar-himedean x

(10)

terdapat n

∈ ℕ

sedemikian sehingga 9

<

1

<

n . Akibatnya 9

<

1

<

x . 

(11)

19

Ke eng apan B angan

#engan lema akibat si!at Ar-himedean diatas pertanyaan yang berkaitan dengan eksistensi pada -ontoh 8.8 !" telah terjawab. :ada kasus lain akan diperlukan akibat si!at Ar-himedean yang lainnya, sebagaimana dinyatakan pada lema dibawah.

Lema 2.11 Akiat 'ifat A$)himedean <ika y dan z dua bilangan real positi!, maka

i" terdapat n

∈ ℕ

sehingga z < ny >

ii" terdapat n

∈ ℕ

sehingga n

−

1

≤

z

<

n .

B"kti. #itinggalkan untuk pemba-a.



%ontoh 2.& #iberikan himpunan

A ( )n

+

1  n

∈ ℕ

}.

n Tunjukkan bahwa sup A ( 8 dan in! A ( 1.

Sebelum menunjukkan supremum dan in!imum, himpunan A dapat dinyatakan dalam bentuk lain yaitu )1 B 17n  n

∈ ℕ }

atau dengan menda!tar elemennya yaitu

)8, 11, 1 1 , 11 , . . . .

8 3 5

Sekarang akan ditunjukkan bahwa sup A ( 8. $ntuk sembarang n

∈ ℕ

berlaku n + 1

≤

n + n

⇔

n B 1

≤

8n ⇔ n

+

1

_≤

_8.

(12)

Akibatnya 8 merupakan batas atas A. Kemudian karena 8

∈

A dan n

+

1

n

≤

8, sehingga tidak mungkin terdapat batas atas yang kurang dari 8. <adi haruslah 8 merupakan supremum A. Kemudian untuk menunjukkan in! A ( 1, perhatikan bahwa untuk sembarang n

∈ ℕ

berlaku

n + 1

≥

n ⇔ n

+

1

_≥

_1.

n

Akibatnya 1 merupakan batas bawah A. Selanjutnya, andaikan terdapat w batas bawah A yang lebih besar dari 1. Karena w 2 1, maka w D 1 2 9 dan 1

w

−

1 2 9. abih lanjut, berdasarkan si!at Ar-himedean terdapat k

∈ ℕ

sedemikian sehingga

1 w

−

1 / k

⇔

1 / k w D 1"

⇔

1 / kw – k

⇔

k B 1 / kw k

+

1 ⇔ k / w. Karena k

∈ ℕ,

diperoleh haruslah 1 ( in! A. k

+

1 k

∈ ℕ.

Akibatnya, w bukan bukan batas bawah A. <adi

$ntuk menunjukkan supremum dan in!imum A dapat juga ditunjukkan menggunakan lema 8.E ii" :erhatikan himpunan 6 pada -ontoh 8.8 !", pandang A sebagai 1 B 6. &erdasarkan lema 8.E ii" sup A ( 1 B sup 6 dan in! A ( 1 B in! A. Karena sup 6 ( 1 dan in! 6 ( 9 dari -ontoh 8.8 !"", maka sup A ( 8 dan in! A ( 1.

(13)

Latihan 2.1

1. %isalkan S ( ) x

∈ ℝ

 x 2 + . Tunjukkan a. 'impunan S mempunyai batas bawah> b. 'impunan S tidak mempunyai batas atas>

-. Fn! S ( +.

8. %isalkan S ( )

−

1" n n

 n

∈ ℕ }.

Tentukan in! S dan sup S.

3. Tentukan supremum dan in!imum dari himpunan )1

+

1  n, m

∈ ℕ

}.

n m

5. &uktikan bahwa in!imum sebuah himpunan jika mesti tunggal lema 8.5 ii"". 0. &uktikan lema 8.11 akibat si!at Ar-himedean".

G. %isalkan S himpunan terbatas di

ℝ.

&uktikan bahwa in! S

≤

sup S. *. %isalkan A dan & himpunan terbatas di ℝ.

a. &uktikan bahwa A  & terbatas>

b. Fn! A  &" ( in! )in! A, in! &.

E. %isalkan S himpunan terbatas di

ℝ.

<ika T

⊆

S, tunjukkan bahwa a. in! S

≤

in! T>

b. sup T

≤

sup S.

+. %isalkan S himpunan terbatas di

ℝ,

a / 9 dan aS ( )as  s

∈

S . a. in! aS" ( a sup S>

(14)

8

2.& Ke$apatan Bilangan Rasional Dalam ℝ

:ada

ℝ

terdapat bilangan rasional dan bilangan irrasional,sebagaimana telah ditunjukkan bahwa 3 merupakan bilangan irrasional. ema 1.* telah ditunjukkan bahwa diantara dua bilangan rasional terdapat bilangan rasional lainnya. :ada bagian ini akan ditunjukkan bahwa 3 merupakan bilangan real, selain itu juga akan di uraikan tentang si!at bilangan rasional yaitu diantara dua bilangan real yang berdeda selalu terdapat bilangan rasional diantara keduanya. Selanjutnya si!at ini dikatakan sebagai si!at

“kepadatan” himpunan bilangan rasional.

Aksioma kelengkapan menjamin eksistensi bilangan real. #engan aksioma kelengkapan dapat ditunjukkan bahwa 3 merupakan bilangan real. &ukti ini dapat digunakan untuk menunjukkan eksistensi bilangan irrasional yang lainnya sebagai bilangan real.

#eo$ema 2.12 Eksistensi Bilangan I$$asional

Terdapat bilangan real positi! x sedemikian sehingga x8 ( 3.

B"kti. $ntuk menunjukkan aksistensi x

∈ ℝ

sedemikian sehingga x8 ( 3, perhatikan himpunan S ( ) s

∈ ℝ

 s

≥

9, s8 / 3 . S tidak kosong, karena 1

∈

S dan S terbatas diatas karena 88 ( 5 sehingga s / 8,

∀

s

∈

S. &erdasarkan Aksioma Kelengkapan S memiliki supremum. Sekarang misalkan sup S ( x

∈ ℝ

dan x 2 9, karena 1

∈

S. Akan ditunjukkan bahwa x8 ( 3 melalui pengandaian x8 / 3 atau x8 2 3 Si!at Tri-hotomy". :ertama, andaikan x8 / 3. Sekarang akan ditunjukkan bahwa pengandaian x8 / 3 salah, karena akan terjadi kontradiksi dengan !akta bahwa sup S ( x. #engan menggunakan !akta bahwa 1 n8

≤

1 ,

∀

n

∈ ℕ

diperoleh n



1

_



x

+ 

(



n



≤

x 8 B 8 x B 1 n n8 x8 B 8 x B 1 n n

(15)

8

( x 8 B 1 8 x B 1" HHHHHHHH..I" n

#ari !akta 8 x B 1" 2 9 karena x 2 9" dan 3 D x8 2 9 dari pengandaian" diperoleh 3

−

x8

8 x

+

1 2 9.

&erdasarkan ema Akibat Si!at Ar-himedean, terdapat k

∈ ℕ

sedemikian sehingga 1 3

−

x 8

/ .

k 8 x

+

1

Akibatnya, 1 8 x B 1" / 3 D x8 dan dari persamaan I" diperoleh k



1

_



x

+  ≤



k



x 8 B 1 n 8 x B 1" / x 8 B 3 D x8" ( 3.

Artinya terdapat k

∈ ℕ

sedemikian sehingga



_

_x

_{+ }

1



k



∈

S. 'al ini kontradiksi dengan x

sebagai supremum S. <adi pengandaian x8 / 3 tidak benar. Selanjutnya, andaikan x8 2 3. Seperti pada pengandaian pertama akan ditunjukkan bahwa pengandaian x8 2 3 tidak benar. $ntuk sembarang n

∈ ℕ,

berlaku



1

_



x

− 

(



n



x 8  8 x B 1 n n 8 2 x 8  8 x n HHHHHHHHHHH...II" Karena 8 x 2 9 dan x8 D 3 2 9 dari pengandaian", diperoleh

x8

−

3 2 9. 8 x

&erdasarkan ema Akibat Si!at Ar-himedean, terdapat m

∈ ℕ

sedemikian sehingga 1

/ x

−

3 _.

m 8 x

Akibatnya, 8 x / x8 3 dan dari persamaan II" diperoleh m

(16)

8



1

_



x

− 

2



m



x 8  8 x m 2 x 8   x8 D 3" ( 3.

Artinya terdapat m

∈ ℕ

sedemikian sehingga



_

_x

_{− }

1



m

_

merupakan batas atas, hal ini kontradiksi dengan dengan x sebagai batas atas terke-il S. <adi pengandaian x8 2 3 tidak benar. Karena x8 / 3 dan x8 2 3 tidak memungkinkan, haruslah x8 ( 3. 

&ukti teorema 1.8 dapat diadopsi untuk membuktikan bilangan irrasional yang lain sebagai bilangan real. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional dan irrasional padat di ℝ.

#eo$ema 2.1& Kepadatan !imp"nan Bilangan Rasional

%isalkan x dan y bilangan real. <ika x / y, maka terdapat bilangan rasional r sedemikian sehingga x < r < y.

B"kti. $ntuk memudahkan pembuktian, masalah dibagi dalam beberapa kasus. Kasus i" J 2 9.

Karena x / y, sehingga y – x 2 9. Kemudian berdasarkan lema 8.19 akibat si!at Ar-himedean terdapat n

∈ ℕ

sehingga

1

<

y

−

x

n

⇔

1 / n y – x "

⇔

1 / ny – nx

⇔

1 B nx / ny HHHHHHHHHH.I"

Selanjutnya karena x 2 9, diperoleh nx 2 9 dan berdasarkan lema 8.11 ii" akibat si!at Ar-himedean terdapat m

∈ ℕ

sehingga

m 1 / nx / m

⇒

m / nx B 1 dan nx < m

⇒

nx / m / nx B 1

(17)

⇒

nx / m / nx B 1 / ny HHHH..dari I"

⇒

nx / m / ny

⇒

x / m _/ y. n

<adi ada bilangan rasional r ( m sedemikian sehingga x / r / y. n

Kasus ii" x ( 9, sehingga 9 / y.

&erdasarkan lema 8.19 akibat si!at Ar-himedean terdapat n

∈ ℕ

sehingga 9

<

1

n

<

y . Akibatnya ada bilangan rasional r (

Kasus iii" J / 9 dan y 2 9.

1

, sehingga

n x

<

1

n

<

y .

:ilih J1 ( 9, kemudian tunjukkan seperti kasus i".

Kasus i?" y / 9.

:embuktian serupa dengan kasus i". Karena nJ / 9 sehingga DnJ 2 9 akibatnya diperoleh

bilangan rasional r (

₋

m . 

n

#ari teorema tentang kepadatan bilangan rasional dapat ditunjukkan bahwa himpunan bilangan irrasional juga padat.

#eo$ema 2.1+ Kepadatan !imp"nan Bilangan I$$asional

%isalkan x dan y bilangan real. <ika x / y, maka terdapat bilangan irrasional r sedemikian sehingga x < r < y.

B"kti. #iberikan x, y

∈ ℝ

dengan x / y. Kalikan dengan 1 _{, sehingga diperoleh} 3

x

/ y . unakan teorema 8.13, untuk mendapatkan bilangan rasional r sehingga

3 3

x

/ r / 3

y

, akibatnya terdapat bilangan irrasional r 3 sehingga x / r 3 / y. 

(18)

Latihan 2.2

1. Tunjukkan bahwa 8 bukan bilangan rasional, kemudian tunjukkan bahwa 8 adalah bilangan real.

8. $ntuk a 2 9, tunjukkan bahwa a bukan bilangan rasional, kemudian tunjukkan bahwa a adalah bilangan real.

3. Tunjukkan bahwa terdapat bilangan real positi! x sehingga x3 ( 3. 5. arilah bilangan rasional yang terletak antara 1 dan 1 .

3 8

0. arilah bilangan rasional r sedemikian sehingga 8 / r / 3 .

G. %isalkan a, b

∈ ℝ

dengan 9 / a / b. arilah bilangan rasional r sedemikian sehingga a / r / b .

*. arilah bilangan irrasional yang terletak antara 1 _dan 1 _.

5 3

E. arilah bilangan irrasional t sedemikian sehingga 8 / t / 3 .

+. %isalkan a, b bilangan rasional dengan a / b. arilah bilangan irrasional t sedemikian sehingga a / t / b.