TUGAS METODE NUMERIK TUGAS METODE NUMERIK
NAMA
NAMA : : ILHAMILHAM
N P M
N P M : : 2 0 1 1 0 2 0 1 1 72 0 1 1 0 2 0 1 1 7 KELAS
KELAS : : TI-II/EXTTI-II/EXT
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA
STMIK HANDAYANI
STMIK HANDAYANI
MAKASSAR
MAKASSAR
2012
2012
KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan makalah ini yang Alhamdulillah tepat pada berhasil menyelesaikan makalah ini yang Alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul “
waktunya yang berjudul “Deret TaylorDeret Taylor””..
Makalah ini berisikan tentang informasi seputar Deret Taylor atau Makalah ini berisikan tentang informasi seputar Deret Taylor atau yang lebih khususnya membahas persamaan-persamaan Deret Taylor yang lebih khususnya membahas persamaan-persamaan Deret Taylor dan Teorema Taylor. Diharapkan makalah ini dapat memberikan informasi dan Teorema Taylor. Diharapkan makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang Deret Taylor.
kepada kita semua tentang Deret Taylor.
Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi
selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini.kesempurnaan makalah ini.
Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin. akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.
Makassar,
Makassar, April April 20122012
Penyusun Penyusun
DAFTAR ISI DAFTAR ISI
Kata
Kata Pengantar ...Pengantar ... ... ii Daftar
Daftar Isi Isi ... ... iiii BAB I PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN A.
A. Latar Latar Belakang Belakang ... .... 11 B. B. Tujuan Tujuan ... ... 11 BAB II PEMBAHASAN BAB II PEMBAHASAN 1. 1. Defenisi Defenisi ... .... 22 2.
2. Persamaan Persamaan Deret Deret Taylor Taylor ... ... 22 3.
3. Teorema Teorema Taylor Taylor Dalam Dalam Satu Satu Variabel Variabel ... ... 55 4.
4. Suku Suku Sisa Sisa Perluasa Perluasa Deret Deret Taylor Taylor ... .... 88 5.
5. Kesalahan Kesalahan Pemotongan Pemotongan (TructationError) ...(TructationError) ... ... 88 BAB III KESIMPULAN DAN SARAN
BAB III KESIMPULAN DAN SARAN 1. 1. Kesimpulan Kesimpulan ... ... 1010 2. 2. Saran Saran ... ... 1010 DAFTAR PUSTAKA DAFTAR PUSTAKA
BAB I BAB I
PENDAHULUAN PENDAHULUAN
A.
A. LATAR LATAR BELAKANGBELAKANG
Pada umumnya fungsi-fungsi yang bentuknya kompleks dapat Pada umumnya fungsi-fungsi yang bentuknya kompleks dapat disederhanakan menjadi fungsi hampiran dalam bentuk fungsi disederhanakan menjadi fungsi hampiran dalam bentuk fungsi polinomial yang lebih sederhana. Fungsi polinomial lebih mudah polinomial yang lebih sederhana. Fungsi polinomial lebih mudah dipahami
dipahami kelakuannykelakuannya.a.
Apabila kita melakukan pekerjaan hitungan dengan Apabila kita melakukan pekerjaan hitungan dengan menggunakan fungsi yang sesungguhnya, maka akan kita dapatkan menggunakan fungsi yang sesungguhnya, maka akan kita dapatkan hasil solusi eksak (solusi sejati). Tetapi bila kita melakukan pekerjaan hasil solusi eksak (solusi sejati). Tetapi bila kita melakukan pekerjaan hitungan dengan menggunakan fungsi hampiran, maka akan kita hitungan dengan menggunakan fungsi hampiran, maka akan kita dapatkan hasil solusi hampiran(solusi pendekatan).
dapatkan hasil solusi hampiran(solusi pendekatan).
Perbedaan antara solusi eksak dan solusi hampiran terletak Perbedaan antara solusi eksak dan solusi hampiran terletak pada adanya galat pada solusi hampiran. Galat pada solusi numerik pada adanya galat pada solusi hampiran. Galat pada solusi numerik harus dihubungkan dengan seberapa teliti polinomial dalam harus dihubungkan dengan seberapa teliti polinomial dalam menghampiri fungsi yang sesungguhnya. Untuk menghampiri fungsi menghampiri fungsi yang sesungguhnya. Untuk menghampiri fungsi yang sesungguhnya, digunakanlah apa yang disebut dengan deret yang sesungguhnya, digunakanlah apa yang disebut dengan deret Taylor.
Taylor.
B. TUJUAN B. TUJUAN
Setelah mempelajari persamaan-persamaan Deret Taylor, Setelah mempelajari persamaan-persamaan Deret Taylor, diharapkan pembaca dapat memahami lebih lanjut persamaan Deret diharapkan pembaca dapat memahami lebih lanjut persamaan Deret Taylor sehingga nantinya suatu fungsi dapat dihampiri secara Taylor sehingga nantinya suatu fungsi dapat dihampiri secara polinomial.
BAB II BAB II PEMBAHASAN PEMBAHASAN 1. Defenisi 1. Defenisi
Dalam matematika, Deret Taylor adalah representasi fungsi Dalam matematika, Deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku yang nilainya matematika sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tesebut di satu titik. Deret ini dapat dihitung dari turunan fungsi tesebut di satu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polimial Taylor. Deret Taylor merupakan dasar dianggap sebagai limit polimial Taylor. Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial.
penyelesaian persamaan diferensial.
2.
2. Persamaan Persamaan Deret Deret TaylorTaylor Bila suatu pungsi
Bila suatu pungsi
(())
diketahui di titikdiketahui di titik
dan semua turunandan semua turunan daridari
terhadapterhadap
diketahui pada titik tersebut, maka dengan Deretdiketahui pada titik tersebut, maka dengan Deret Taylor dapat dinyatan nilaiTaylor dapat dinyatan nilai
pada titikpada titik
yang terletak pada jarakyang terletak pada jarak
dari titikdari titik
.. ((
)) ((
))
((
))
((
))
((
))
dengan: dengan:
(
(
))
= = fungsi fungsi di di titiktitik
(
(
))
= = fungsi fungsi di di titiktitik
= = turunan turunan pertama, pertama, kedua,...,kekedua,...,ke
dari fungsidari fungsi
= = langkah langkah ruang, yruang, yaitu jarak aitu jarak antaraantara
dandan
+1+1
= = kesalahan kesalahan pemotonganpemotonganPerkiraan suatu fungsi dengan Deret Taylor Perkiraan suatu fungsi dengan Deret Taylor
Karena suku-suku Deret Taylor tidak berhingga banyaknya, Karena suku-suku Deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis Deret Taylor dipotong sampai suku order maka untuk alasan praktis Deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor yang dipotong sampai dengan order ke-n tertentu. Deret Taylor yang dipotong sampai dengan order ke-n dinamakan Deret Taylor terpotong yang
dinamakan Deret Taylor terpotong yang dinyatakan:dinyatakan:
(()) ((
))((
))
((
))((
))
((
))
((
))
((
))
(())
(()) ((
(())
))
(())
disebut galat/sisa (residu)disebut galat/sisa (residu)Dengan demikian Deret Taylor yang dipotong sampai suku order ke-n Dengan demikian Deret Taylor yang dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis
dapat ditulis
(())
(())
()
()
dimanadimana
(())∑
∑((
))
((
))
Kesalahan pemotongan
Kesalahan pemotongan
((
))
diberikan oleh bentuk berikut:diberikan oleh bentuk berikut:
((
))
(())
((
))
(())
Persamaan pertama yang mempunyai suku sebanyak tak Persamaan pertama yang mempunyai suku sebanyak tak berhingga akan memberikan perkiraan nilai suatu fungsi sesuai berhingga akan memberikan perkiraan nilai suatu fungsi sesuai dengan penyelsaian eksaknya, dalam praktiknya sulit dengan penyelsaian eksaknya, dalam praktiknya sulit memperhitungkan semua suku tersebut dan biasanya hanya memperhitungkan semua suku tersebut dan biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.
diperhitungkan beberapa suku pertama saja. a.
a. Memperhitungkan Memperhitungkan satu satu suku suku pertama (order pertama (order nol)nol)
Bila yang diperhitungkan hanya suku pertama dari ruas kanan, Bila yang diperhitungkan hanya suku pertama dari ruas kanan, maka dapat ditulis sebagai berikut:
maka dapat ditulis sebagai berikut:
((
)) ((
))
Persamaan ini disebut juga sebagai perkiraan order nol, nilai Persamaan ini disebut juga sebagai perkiraan order nol, nilai
pada titikpada titik
sama dengan nilai padasama dengan nilai pada
perkiraan tersebutperkiraan tersebut adalah benar jika fungsi yang diperkirakan adalah suatu konstant, adalah benar jika fungsi yang diperkirakan adalah suatu konstant, jikajika fungsi fungsi tidak tidak konstan, konstan, maka maka harus harus diperhitungkan diperhitungkan suku-sukusuku-suku berikutnya dari Deret Taylor.
berikutnya dari Deret Taylor. b.
b. Memperhitungkan Memperhitungkan dua dua suku psuku pertama (order ertama (order 1)1)
Bentuk Deret Taylor order satu, yang memperhitungkan dua suku Bentuk Deret Taylor order satu, yang memperhitungkan dua suku pertama, dapat ditulis dalam bentuk:
pertama, dapat ditulis dalam bentuk:
((
)) ((
))(
(
))
yang merupakan bentuk persamaan linier (garis lurus). yang merupakan bentuk persamaan linier (garis lurus).
c.
c. Memperhitungkan Memperhitungkan tiga tiga suku suku pertama pertama (order 2(order 2))
Deret Taylor yang memperhitungkan tiga suku pertama dari ruas Deret Taylor yang memperhitungkan tiga suku pertama dari ruas kanan dapat ditulis menjadi:
kanan dapat ditulis menjadi:
((
)) ((
))
((
))(
(
))
Persamaan ini disebut juga perkiraan order dua. Persamaan ini disebut juga perkiraan order dua.
3.
3. Teorema Teorema Taylor Taylor Dalam Dalam Satu Satu VariabelVariabel
Teorema Taylor menyatakan sembarang fungsi mulus dapat Teorema Taylor menyatakan sembarang fungsi mulus dapat dihampiri dengan polinomial. Contoh sederhana penerapan Teorema dihampiri dengan polinomial. Contoh sederhana penerapan Teorema Taylor adalah hampiran fungsi eksponensial
Taylor adalah hampiran fungsi eksponensial
di dekatdi dekat
..
Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-n terhadap Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-n terhadap
karena menghapiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial karena menghapiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial derajatderajat
. Hampiran ini hanya berlaku untuk. Hampiran ini hanya berlaku untuk
mendekati nol, dan bilamendekati nol, dan bila
bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk.bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk. Kualitas hampiran dinyatakan oleh sukuKualitas hampiran dinyatakan oleh suku sisa.sisa.
(())
Lebih umum lagi, Teorema Taylor berlaku untuk setiap fungsi yang Lebih umum lagi, Teorema Taylor berlaku untuk setiap fungsi yang dapat diturunkan
dapat diturunkan
, dengan hampiran untuk, dengan hampiran untuk
di dekat titikdi dekat titik
, dalam, dalam bentuk:bentuk:
Suku sisa adalah perbedaan antara fungsi dan polinomial Suku sisa adalah perbedaan antara fungsi dan polinomial hampirannya
hampirannya
(()) (())(())
(()()())
(())
(())
(())
(())
(())
Meskipun rumus eksplisit untuk suku sisa ini jarang digunakan, Meskipun rumus eksplisit untuk suku sisa ini jarang digunakan, Teorema Taylor juga memberikan estimasi nilai sisanya. Dengan kata Teorema Taylor juga memberikan estimasi nilai sisanya. Dengan kata lain, untuk
lain, untuk
cukup dekat terhadapcukup dekat terhadap
, suku sisa haruslah cukup kecil., suku sisa haruslah cukup kecil. Teorema Taylor memberikan informasi persis seberapa kecil suku sisa Teorema Taylor memberikan informasi persis seberapa kecil suku sisa tersebut.tersebut.
Pernyataan cermat teorema ini adalah sebagai berikut: bila Pernyataan cermat teorema ini adalah sebagai berikut: bila
adalah bilangan bulat danadalah bilangan bulat dan
adalah fungsi yang terturunkanadalah fungsi yang terturunkan kontinu pada selang tertutupkontinu pada selang tertutup
[[]]
dan terturunkandan terturunkan
kali padakali pada selang terbukaselang terbuka
()
()
, maka, maka (()) (())
(())
(())
(())
()
(())
()
(())
(())
(())
()
()
Disini
Disini
MelambangkanMelambangkan
faktorial danfaktorial dan
()
()
adalah suku sisa,adalah suku sisa, melambangkan beda antara polinomial Taylor derajatmelambangkan beda antara polinomial Taylor derajat
terhadapterhadap fungsi asli. Suku sisafungsi asli. Suku sisa
(())
tergantung padatergantung pada
, dan kecil bila, dan kecil bila
cukupcukup dekat terhadapdekat terhadap
. Ada beberapa pernyataan untuk suku sisa ini.. Ada beberapa pernyataan untuk suku sisa ini. a.a. Bentuk Bentuk Lagrange Lagrange
Bentuk lagrange dari suku sisa menyatakan bahwa terdapat Bentuk lagrange dari suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan
bilangan
antaraantara
dandan
sedemikian sehinggasedemikian sehingga
()
()
==
((
))
()
()
Ini mengungkapkan Teorema Taylor sebagai perampatan teorema Ini mengungkapkan Teorema Taylor sebagai perampatan teorema nilai rata-rata. Sebenarnya, teorema nilai rata-rata
nilai rata-rata. Sebenarnya, teorema nilai rata-rata digunakan untukdigunakan untuk membuktikan Teorema Taylor dengan suku sisa
membuktikan Teorema Taylor dengan suku sisa bentuk Lagrange.bentuk Lagrange. b.
b. Bentuk Bentuk Cauchy Cauchy
Bentuk Cauchy suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan Bentuk Cauchy suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan
antaraantara
dandan
sehinggasehingga
(())
((
))
(())
(())
()
()
Secara umum, bila
Secara umum, bila
()
()
adalah fungsi kontinu pada selang tertutupadalah fungsi kontinu pada selang tertutup[[]]
, yang diturunkan dengan turunan tidak nol pada, yang diturunkan dengan turunan tidak nol pada()
()
, maka, maka ada suatu bilanganada suatu bilangan
antaraantara
dandan
sehinggasehingga
(())
((
))
(())
(())
(())(())
(())
Bentuk di atas terbatas pada fungsi riil.
Bentuk di atas terbatas pada fungsi riil. Namun bentuk integral dariNamun bentuk integral dari suku sisa juga berlaku untuk fungsi kompleks, yaitu:
suku sisa juga berlaku untuk fungsi kompleks, yaitu:
(()) ∫∫
((
))
()()
()
()
Dengan syarat, seperti yang biasa ditemui,
Dengan syarat, seperti yang biasa ditemui,
kontinu mutlakkontinu mutlak dalamdalam
[[]]
. Ini menunjukkan teorema ini . Ini menunjukkan teorema ini sebagai perampatansebagai perampatan teorema dasar kalkulus.teorema dasar kalkulus.
Secara umum, suatu fungsi tidak perlu sama dengan Deret Secara umum, suatu fungsi tidak perlu sama dengan Deret Taylor-nya, karena mungkin saja Deret Taylor tersebut tidak Taylor-nya, karena mungkin saja Deret Taylor tersebut tidak konvergen, atau konvergen menuju fungsi yang berbeda. Namun, konvergen, atau konvergen menuju fungsi yang berbeda. Namun, untuk banyak fungsi
untuk banyak fungsi
()
()
, kita dapat menunjukkan bahwa suku sisa, kita dapat menunjukkan bahwa suku sisadinyatakan sebagail Deret Taylor pada persekitaran titik
dinyatakan sebagail Deret Taylor pada persekitaran titik
, dan disebut, dan disebut sebagai fungsi analitik.sebagai fungsi analitik.
4.
4. Suku Suku Sisa Sisa Perluasan Perluasan Deret Deret TaylorTaylor
((
))
((
))
((
))
untuk mudahnya ambil saja/potong saja sisa itu sehingga menjadi: untuk mudahnya ambil saja/potong saja sisa itu sehingga menjadi:
((
))
Walaupun turunan orde yang lebih rendah biasanya memiliki andil Walaupun turunan orde yang lebih rendah biasanya memiliki andil yang lebih besar terhadap sisa dari suku-suku berorde lebih tinggi, yang lebih besar terhadap sisa dari suku-suku berorde lebih tinggi, hasil ini masih belum pasti, karena diabaikannya suku-suku orde hasil ini masih belum pasti, karena diabaikannya suku-suku orde kedua dan orde yang lebih tinggi. Ketidakpastian ini dinyatakan oleh kedua dan orde yang lebih tinggi. Ketidakpastian ini dinyatakan oleh simbol kesamaan aproksimasi
simbol kesamaan aproksimasi
()
()
yang dipakai pada persamaan diyang dipakai pada persamaan di atas.atas.
5.
5. Kesalahan Kesalahan Pemotongan Pemotongan (Truncation (Truncation Error)Error)
Adanya kesalahan karena tidak diperhitungkannya suku-suku Adanya kesalahan karena tidak diperhitungkannya suku-suku terakhir dari Deret Taylor. Pada Deret Taylor akan memberikan terakhir dari Deret Taylor. Pada Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi dengan benar jika semua suku dari deret perkiraan suatu fungsi dengan benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Dalam praktiknya hanya beberapa suku tersebut diperhitungkan. Dalam praktiknya hanya beberapa suku pertama saja yang diperhitungkan sehingga hasil perkiraan tidak tepat pertama saja yang diperhitungkan sehingga hasil perkiraan tidak tepat seperti pada penyelesaian analitik.
seperti pada penyelesaian analitik.
Bentuk kesalahan pemotongan (truncation error,
Bentuk kesalahan pemotongan (truncation error,
) sebagai berikut:) sebagai berikut:Indeks
Indeks
menunjukkan bahwa deret yang diperhitungkan adalahmenunjukkan bahwa deret yang diperhitungkan adalah sampai pada suku kesampai pada suku ke
. Notasi. Notasi(
(
)
)
))
berarti bahwa deretberarti bahwa deret yang diperhitungkan adalah sampai pada suku keyang diperhitungkan adalah sampai pada suku ke
, sedang, sedang
menunjukkan bahwa kesalaha n pemotongan mempunyai order menunjukkan bahwa kesalaha n pemotongan mempunyai order
, atau kesalahan sebanding dengan langkah ruang pangkat, atau kesalahan sebanding dengan langkah ruang pangkat
, sehingga kesalahan pemotongan tersebut adalah kecil , sehingga kesalahan pemotongan tersebut adalah kecil apabila:apabila: a. Intervala. Interval
adalah keciladalah kecil b.b. Memperhitungkan Memperhitungkan lebih banylebih banyak suku ak suku dari Deret Tadari Deret Taylorylor Pada perkiraan order satu,
Pada perkiraan order satu, besarnya kesalahan pemotongan adalah:besarnya kesalahan pemotongan adalah:
BAB III BAB III
KESIMPULAN DAN SARAN KESIMPULAN DAN SARAN
1. Kesimpulan 1. Kesimpulan
Dari pembahasan makalah di atas dapat disimpulkan bahwa Dari pembahasan makalah di atas dapat disimpulkan bahwa Deret Taylor sangat berguna dalam menyelesaikan masalah numerik, Deret Taylor sangat berguna dalam menyelesaikan masalah numerik, karena pada dasarnya Deret Taylor menyediakan sarana untuk karena pada dasarnya Deret Taylor menyediakan sarana untuk memperkirakan nilai fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi memperkirakan nilai fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunan-turunannya pada titik lain.
dan turunan-turunannya pada titik lain.
Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi dengan Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi dengan benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan, tetapi pada benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan, tetapi pada kenyataannya sering dipehitungkan hanya beberapa suku pertama kenyataannya sering dipehitungkan hanya beberapa suku pertama saja sehingga hasilnya tidak tepat
saja sehingga hasilnya tidak tepat seperti perhitungan analitisnya.seperti perhitungan analitisnya. 2. Saran
2. Saran
Bertolak dari persamaan-persamaan dari Deret Taylor di atas, Bertolak dari persamaan-persamaan dari Deret Taylor di atas, penyusun menyarankan kepada pembaca untuk lebih dalam penyusun menyarankan kepada pembaca untuk lebih dalam mempelajari beberapa persamaan dari Deret Taylor karena Deret mempelajari beberapa persamaan dari Deret Taylor karena Deret Taylor sangat berguna untuk
Taylor sangat berguna untuk menyelesaikan permasalahan matematismenyelesaikan permasalahan matematis yang tidak dapat diselesaikan secara analitis.
DAFTAR PUSTAKA DAFTAR PUSTAKA
Mursita, Danang. “Deret Taylor dan Mac Laurin.” Mursita, Danang. “Deret Taylor dan Mac Laurin.” http://www.stisitelkom.ac.id
http://www.stisitelkom.ac.id (diakses tanggal 18 April 2012).(diakses tanggal 18 April 2012). Nico. “Deret dan Teorema Taylor.”
Nico. “Deret dan Teorema Taylor.” http://elnicovengeance.wordpress.comhttp://elnicovengeance.wordpress.com
(diakses tanggal 18 April 2012). (diakses tanggal 18 April 2012). Wikipedia. “Deret Taylor.”
Wikipedia. “Deret Taylor.” http://id.wikipedia.orghttp://id.wikipedia.org (diakses tanggal 18 April(diakses tanggal 18 April 2012).
