DERET UMUM TAYLOR. Stephanus Ivan Goenawan. Atma Jaya University, Jln. Jenderal Sudirman no.1, Jakarta

DERET UMUM TAYLOR

Stephanus Ivan Goenawan

Atma Jaya University, Jln. Jenderal Sudirman no.1, Jakarta

st.goe@ft.atmajaya.ac.id

ABSTRACT

This paper describes the Taylor general series which is a general form of the Taylor series that we have known. And using the Taylor general series Taylor or SIG-Taylor series we can solve new problems on times series in functions more easily.

Keywords: Taylor general series

ABSTRAK

Makalah ini membahas tentang deret umum Taylor, yaitu bentuk umum dari deret Taylor yang kita ketahui. Dengan memakai deret umum Taylor atau seri SIG-Taylor, kita dapat mencari solusi terhadap masalah fungsi deret bertingkat dengan lebih mudah.

PENDAHULUAN

Deret umum Taylor merupakan perkembangan lebih lanjut dari deret Taylor. Suatu fungsi yang dibangun dari deret Taylor harus mempunyai basis fungsi-basis fungsi yang berbentuk

k

a

i

)

(

α

⋅

+

, di mana nilai

i

dan k adalah bilangan integer positip. Apabila fungsi yang telah berhasil dibangun oleh deret Taylor tersebut kita deretkan secara bertingkat tentu saja akan menghadapi kendala tidak efisien (membutuhkan waktu lama) bila dilakukan secara berurutan.

Dengan maksud agar hasil akhir diperoleh dengan cara yang lebih efisien, maka pada paper ini penulis mengembangkan deret umum Taylor atau dapat juga disebut sebagai deret SIG-Taylor. Deret SIG-Taylor ini dibangun dari basis fungsi-basis fungsi yang berbentuk deret bertingkat

j

berderajat satu

∑

= − + t j i u j 1 1

, di mana nilai

i

, u dan

t

adalah bilangan integer positip. Tentu saja bila fungsi tersebut tidak kita deretkan, maka hasil akhirnya akan sama dengan fungsi yang dibangun dengan deret Taylor. Itulah alasan lain dari penulis mengapa memberanikan diri menamai permasalahan deret pada paper ini sebagai deret umum Taylor.

DERET UMUM TAYLOR

Sebelum membahas deret umum Taylor ada baiknya kita kembali mengingat bentuk suatu fungsi yang dibangun oleh deret Taylor. Misalkan terdapat suatu fungsi

f

(

α

.

i

.

+

a

)

, di mana

α

& a

merupakan suatu parameter real dan

i

adalah bilangan integer positip, maka model deret Taylor yang akan dibangun sampai basis fungsi

i

berderajat

β

adalah berbentuk

.

)

.

(

...

)

.

(

)

.

(

)

.

.

(

)

.

.

(

)

.

.

(

3 3 2 2 1 0 0 β β β

α

α

α

α

α

α

a

i

c

a

i

c

a

i

c

a

i

c

c

a

i

c

a

i

f

j j j

+

⋅

+

+

+

⋅

+

+

⋅

+

+

⋅

+

≅

+

⋅

≅

+

∑

= (1) Nilai konstanta

c

_j pada persaman di atas dapat ditentukan dengan menurunkan fungsi

)

.

.

(

i

a

f

α

+

terhadap komponen

(

α

.

i

)

sebanyak j kali, kemudian mensubstitusikan harga

i

=

−

a

_α

, hubungan persamaan tersebut adalah

(

)

₍

₎

α

α

α

a i j j j

i

d

a

i

f

d

j

c

− =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

⋅

=

.

)

.

(

)

.

(

.!

1

, (2a) atau

( )

₍

₎

α

α

α

_i a j j j j

i

d

i

f

d

j

c

− =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

=

.

.

)

.

(

.!

1

. (2b)

Selanjutnya bila operator penjumlahan bertingkat

∑

= t i u 1

bekerja pada pers.(2.1) akan diperoleh hasil

. ) . ( . ) . ( ... ... .. ) . ( ) .. ( ) . ( . 1 ) . ( ) . ( 0 1 1 3 1 3 2 1 2 1 1 1 0 0 1 1

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⋅ ≅ + ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ≅ + ⋅ ≅ + β β β β α α α α α α α j t i j u j t i u t i u t i u t i u t i u j j j t i u t i u a i c a i c a i c a i c a i c c a i c a i f (3) di mana range : u dan

t

adalah bilangan integer positip

u≥0 dan t ≥1.

Untuk menjabarkan fungsi

(

α

.

i

+

a

)

j agar tersusun dari basis fungsi-basis fungsi

(

α

.

i

)

m, maka dibutuhkan Binomium Newton yang akan menghasilkan hubungan

m m j j m j i a m j a i ) ( .) . ( ( ) 0 α α _⎟⎟⋅ ⋅ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + − =

∑

, (4) bila didefinisikan kembali

) ( ) , ( a j m m j m j s _⎟⎟⋅ − ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = , (5) maka pers.(4) dapat ditulis kembali menjadi

m j m j i m j s a i ) ( , ) ( .) . ( 0

α

α

+ =

∑

⋅ = . (6) Sehingga bila fungsi

(

α

.

i

+

a

)

j kita kenai operator penjumlahan bertingkat dihasilkan hubungan

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = = = = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ = + j m t i m u m t i j u j t i u t i u t i u t i u j m m t i u t i j u i m j s i j j s i j s i j s i j s j s i m j s a i 0 1 1 1 3 3 1 2 2 1 1 0 1 1 . ) , ( . ) , ( ... . . ) 3 , ( . . . ) 2 , ( . . ) 1 , ( . 1 ) 0 , ( ) . ( ) , ( ) . (

α

α

α

α

α

α

α

(7)

Selanjutnya bila pers.(1.5)-[13], disubstitusikan ke pers.(7) diperoleh hasil

∑

∑

∑

= = =

⋅

⋅

⋅

=

+

j m m i m t i j u

t

u

i

g

m

i

k

m

j

s

a

i

0 1 0 1

)

,

,

(

)

,

(

.

)

,

(

)

.

(

α

α

, (8)

dengan catatan bahwa ) , , 0 ( 1 ) , , ( ) , ( 1 0 1 0 i m g i u t g u t k t i u i = = ⋅

∑

∑

= = (9a) dan

)

,

(

)

1

(

)

,

(

0

β

β

β

i

c

i

k

=

−

+i

⋅

, (9b) di mana basis fungsi

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

+

+

=

i

u

t

i

u

t

u

i

g

(

,

,

)

1

(9c) dan konstanta

c

(

i

,

β

)

mempunyai hubungan [13] sebagai berikut

(

) (

)

(

,( 1) ( 1),( 1)

)

) , (i

β

=i⋅ ci

β

− +c i−

β

− c , (9d) dengan beberapa persyaratan, yaitu

. 1 0 ) , ( 0 ) , ( 1 ) , 1 ( β β β β β ≤ ≤ > > = = i bila i c i bila i c c (9e) Agar pers.(8) menjadi bentuk yang lebih sederhana yaitu dengan mengelompokkan

komponen-komponen yang mempunyai basis fungsi yang sama, maka di bawah ini akan dilakukan prosesnya

(

)

(

)

(

(1, ) (1, , ). (2, ) (2, , ). ... ( , ) ( , , )

)

. ) , ( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ) , , 3 ( ) 3 , 3 ( ). , , 2 ( ) 3 , 2 ( ). , , 1 ( ) 3 , 1 ( . ) 3 , ( . ) , , 2 ( ) 2 , 2 ( ). , , 1 ( ) 2 , 1 ( . ) 2 , ( ). , , 1 ( ) 1 , 1 ( . ) 1 , ( ). , , 0 ( ) 0 , ( ) . ( 0 0 0 0 0 0 3 0 0 2 0 1 t u j g j j k t u g j k t u g j k j j s t u g k t u g k t u g k j s t u g k t u g k j s t u g k j s t u g j s a i j t i j u ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = +

∑

= α α α α α (10) basis fungsi-basis fungsi yang sama dikelompokkan menjadi satu menjadi

(

)

(

)

(

)

(

( , ) . ( , )

)

) , , ( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ) , 3 ( . ) , ( ... ) 4 , 3 ( . ) 4 , ( ) 3 , 3 ( . ) 3 , ( ) , , 3 ( ) , 2 ( . ) , ( ... ) 3 , 2 ( . ) 3 , ( ) 2 , 2 ( . ) 2 , ( ) , , 2 ( ) , 1 ( . ) , ( ... ) 2 , 1 ( . ) 2 , ( ) 1 , 1 ( ) 1 , ( ) , , 1 ( ). , , 0 ( ) 0 , ( ) . ( 0 0 0 4 0 3 0 0 3 0 2 0 0 2 0 1 j j k j j s t u j g j k j j s k j s k j s t u g j k j j s k j s k j s t u g j k j j s k j s k j s t u g t u g j s a i j j j j t i j u ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = +

∑

= α α α α α α α α α α α

(11) disederhanakan menjadi

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = + j j i i j i i j i i j i i t i j u i j k i j s t u j g i k i j s t u g i k i j s t u g i k i j s t u g t u g j s a i ) , ( . ) , ( ) , , ( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ) , 3 ( . ) , ( ) , , 3 ( . ) , 2 ( . ) , ( ) , , 2 ( . ) , 1 ( . ) , ( ) , , 1 ( ). , , 0 ( ) 0 , ( ) . ( 0 3 0 2 0 1 0 1 α α α α α (12) Atau

.

)

,

(

.

)

,

(

)

,

,

(

.

).

,

,

0

(

)

0

,

(

)

.

(

₀ 1 1

∑

∑

∑

= = =

⋅

⋅

⋅

+

⋅

=

+

j m i i j m t i j u

i

m

k

i

j

s

t

u

m

g

t

u

g

j

s

a

i

α

α

(13) Langkah berikutnya kita akan mensubstitusikan pers.(13) dan (8)-[13] ke persamaan deret bertingkat pada suatu fungsi tertentu pers.(3), yaitu

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ) , 3 ( . ) , 3 ( ) , , 3 ( ) , 2 ( . ) , 3 ( ) , , 2 ( ) , 1 ( . ) , 3 ( ) , , 1 ( ) , , 0 ( ) 0 , 3 ( . ) , 2 ( . ) , 2 ( ) , , 2 ( ) , 1 ( . ) , 2 ( ) , , 1 ( ) , , 0 ( ) 0 , 2 ( . ) , 1 ( . ) , 1 ( ) , , 1 ( ) , , 0 ( ) 0 , 1 ( ). , , 0 ( ) . ( 3 3 0 3 2 0 3 1 0 3 2 2 0 2 1 0 2 1 1 0 1 0 1 + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{⋅ + ⋅ ⋅ ⋅} ⋅ + ⋅ ≅ +

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = = i i i i i i i i i i i i t i u i k i s t u g i k i s t u g i k i s t u g t u g s c i k i s t u g i k i s t u g t u g s c i k i s t u g t u g s c t u g c a i f α α α α α α α ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

∑

∑

∑

= = = β β β β β

β

α

β

β

α

β

α

β

β

i i i i i i i k i s t u g i k i s t u g i k i s t u g t u g s c ) , ( . ) , ( ) , , ( ... ... ) , 2 ( . ) , ( ) , , 2 ( ) , 1 ( . ) , ( ) , , 1 ( ) , , 0 ( ) 0 , ( 0 2 0 1 0 (14)

selanjutnya basis fungsi-basis fungsi yang sama dikelompokkan menjadi satu diperoleh hasil

(

)

. ) , ( . ) , ( ) , , ( .... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... . ) , 3 ( . ) , ( ... ) , 3 ( . ) , 3 ( ) , 3 ( . ) , 3 ( ) , , 3 ( . ) , 2 ( . ) , ( ... ) , 2 ( . ) , 3 ( ) , 2 ( . ) , 2 ( ) , , 2 ( . ) , 1 ( . ) , ( ... ) , 1 ( . ) , 2 ( ) , 1 ( . ) , 1 ( ) , , 1 ( ) 0 , ( ... ) 0 , 2 ( ) 0 , 1 ( ) , , 0 ( ) . ( 0 3 0 4 3 0 4 3 3 0 3 2 0 3 2 0 3 2 2 0 2 1 0 2 1 0 2 1 1 0 1 2 1 0 1

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = = = = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≅ + β β β β β β β β β β β α β β α β α α α β α α α β α α β α i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t i u i k i s c t u g i k i s c i k i s c i k i s c t u g i k i s c i k i s c i k i s c t u g i k i s c i k i s c i k i s c t u g s c s c s c c t u g a i f (15) disederhanakan menjadi . ) , ( . ) , ( . ) , , ( ... ... ... . ) , 3 ( . ) , ( . ) , , 3 ( . ) , 2 ( . ) , ( . ) , , 2 ( . ) , 1 ( . ) , ( . ) , , 1 ( ) 0 , ( . ) , , 0 ( ) . ( 0 3 0 3 2 0 2 1 0 1 1 0 1

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = = = = = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ + ⋅ ≅ + j i i j j j i i j j j i i j j j i i j j i i t i u i k i s c t u g i k i j s c t u g i k i j s c t u g i k i j s c t u g i s c c t u g a i f β β β β β β β

β

α

β

β

α

α

α

α

(16) atau , ) , , ( ) , ( ) , ( . . ). , , 0 ( ) 0 , ( ) . ( 1 0 1 0 1

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ≅ + β β β

α

α

l j l i i j l j i i t i u t u l g i l k i j s c t u g i s c c a i f (17)

bila kita definisikan konstanta-konstanta pada deret umum Taylor

∑

∑

= =

⋅

⋅

=

j l i i j l j l

c

s

j

i

k

l

i

d

(

β

)

.

(

,

)

α

.

0

(

,

)

β dan

∑

= ⋅ + = β

β

1 0 0( ) (,0) i i s i c c d (18) atau dengan mensubstitusikan pers.(5) ke pers.(18) diperoleh

∑

∑

= − =

⋅

⋅

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

j l i i i j j l j l

a

k

l

i

i

j

c

d

(

β

)

.

α

.

0

(

,

)

β dan

∑

= ⋅ + = β

β

1 0 0( ) i i i a c c d (19) akhirnya kita mendapatkan formula deret umum Taylor untuk suatu fungsi

f

(

α

.

i

+

a

)

dari pers.(17), yaitu

).

,

,

(

)

(

..

...

...

)

,

,

3

(

)

(

)

,

,

2

(

)

(

)

,

,

1

(

)

(

)

,

,

0

(

)

(

)

,

,

(

)

(

)

.

(

3 2 1 0 0 1

t

u

g

d

t

u

g

d

t

u

g

d

t

u

g

d

t

u

g

d

t

u

l

g

d

a

i

f

l l t i u

β

β

β

β

β

β

β

α

β β

⋅

+

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

≅

⋅

≅

+

∑

∑

= = (20) Konstanta-konstanta yang muncul pada deret umum Taylor

d

_l

(β

)

ternyata dapat diperoleh setelah kita terlebih dahulu mendapatkan nilai konstanta-konstanta dari deret Taylor

c

_l. Keakuratan nilai konstanta pada deret umum Taylor juga tergantung pada parameter

β

, semakin besar nilai

β

akan semakin akurat konstanta tersebut. Demikian juga hasil akhir yang diperoleh yaitu

∑

=

+

t i u

a

i

f

1

)

.

(

α

_{akan semakin akurat bila}

1. nilai variabel maksimum

(

α

.

t

)

tidak menyimpang jauh dari nilai -a. 2. nilai konstanta-konstanta pada deret Taylor

d

l.≤.β

(

β

)

semakin akurat dan

3. jumlah konstanta-konstantanya semakin banyak.

Pada formula deret umum Taylor pers.(20) nilai variabel t merupakan bilangan integer positip untuk nilai u≥1, akan tetapi bila u =0 maka range untuk nilai variabel t berubah menjadi bilangan real yang sesuai dengan deret Taylor. Bentuk formula deret umum Taylor pada nilai u=0 adalah

. .! ) ( ) ( ... ... ! 3 ) 2 ( ) 1 ( ) ( ! 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 3 2 1 0 1 0

β

β

β

β

β

α

α

β β

∏

∑

− = = + ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ≅ + ⋅ = + ⋅ k t i k t d t t t d t t d t d d a t f a i f

(21a) atau

∑

∏

= − = + ⋅ + ≅ + ⋅ β β α 1 1 0 0 ! ) ( ) ( ) ( j j k j j k t d d a t f , (21b) dengan nilai

b

0

=

f

(

0

)

.

Dari pers.(21) ternyata kita dapat mengetahui bahwa formula tersebut tersusun oleh deret Newton atau sering juga disebut sebagai interpolasi Newton. Apabila sebuah fungsi dapat dibangun dari deret Taylor, maka tentu saja fungsi tersebut juga dapat ditransformasikan ke deret Newton. Hal ini pasti dapat terjadi karena fungsi yang dibangun dari deret Newton, basis fungsi-basis fungsinya dapat diuraikan sehingga terbentuk basis fungsi-basis fungsi yang dimiliki oleh deret Maclaurin, sedangkan fungsi yang dibangun dari deret Taylor juga dapat diubah menjadi deret Maclaurin. Dengan metode interpolasi Newton pada pers.(21) konstanta-konstanta yang menyusun deret umum Taylor dapat juga diperoleh nilainya selain dengan cara pers.(19) yaitu

)

(

0

f

a

d

=

,

d

1

=

−

(

f

(

−

α

+

a

)

−

d

0

)

(22a) dan

∏

∏

∏

∏

− = − = − = = + − ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − ⋅ − − + − ⋅ − + − ⋅ − − ⋅ − − + ⋅ − = ₁ 0 2 0 1 2 0 3 1 0 2 1 0 ) ( ! )! 1 ( ) ( ... ... ... ! 3 ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( l k l k l k k l k l l l k l d k l d k l d l d d a l f d

α

(22b) atau

∏

∏

∑

− = − = − = _{− +} ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − ⋅ − − + ⋅ − = ₁ 0 1 0 1 1 0 ) ( .! )! 1 ( ) ( . ) ( _l k j k j l j l k l l j k l d d a l f d

α

(22c) di mana rentang nilai l =2,3,4,….. (bil. Integer positip).

Selanjutnya tentu saja akan muncul pertanyaan untuk menentukan nilai konstanta deret umum Taylor cara mana yang paling baik? Secara analitik saya tidak menjabarkannya akan tetapi dari perhitungan numerik diperoleh hasil akhir ternyata cara Taylor pers.(19) lebih akurat dari pada cara interpolasi Newton pers.(22). Hasil akhir yang diperoleh bila jumlah nilai-nilai konstanta yang diperoleh dengan cara Taylor semakin banyak yang diketahui maka hasil yang didapat akan semakin akurat. Tetapi tidak demikian halnya bila menggunakan cara interpolasi Newton karena nilai-nilai konstanta yang diperolehnya ternyata digunakan untuk ekstrapolasi data. Sehingga kekurangan yang ada pada cara interpolasi Newton adalah semakin banyak konstanta yang diperoleh tidak menjamin hasil akhir akan menjadi semakin akurat. Tentu saja ada nilai plusnya bila menggunakan cara interpolasi Newton yaitu lebih mudah mencari nilai konstanta deret umum Taylor, nah persoalannya menjadi berkembang sampai sejauh mana jumlah konstanta yang dihasilkan dari intepolasi Newton sehingga hasil akhirnya paling baik untuk nilai variabel u dan t tertentu.

PEMBAHASAN

1. Nilai Konstanta-Konstanta Penyusun Deret Umum Taylor pada Fungsi tertentu dengan Menggunakan Cara Taylor Pers.(19).

Notasi

b

l

(β

)

≡

b

l;

d

l

(β

)

≡

d

l, nilai

β

yang digunakan untuk mendapatkan harga konstanta

adalah

β

=

20

dan nilai variabel subcrip l dari 0 sampai 10.

Fungsi _e0.1⋅

(

x−π4

)

76256 9244652503 . 0 0 = d 2 1 8.797450016183762 10 − ⋅ = d 7 6 6.865748525810387 10 − ⋅ = d 3 2 8.371880582396362 10 − ⋅ = d 8 7 6.533623568319202 10 − ⋅ = d 4 3 7.966897721154519 10 − ⋅ = d d₈ =6.217564883424227⋅10−9 5 4 7.581505573884937 10 − ⋅ = d 10 9 5.916795278317175 10 − ⋅ = d 6 5 7.21475655856551 10 − ⋅ = d 11 10 5.63057518167697 10 − ⋅ = d Fungsi _e−0.1⋅

(

x−π4

)

95329 0817064238 . 1 0 = d 1 1 1.137640576893974 10 − ⋅ − = d 6 6 1.463805582730841 10 − ⋅ = d 2 2 1.196467039120487 10 − ⋅ = d 7 7 1.539497770200608 10 − ⋅ − = d 3 3 1.258335369515534 10 − ⋅ − = d d₈ =1.61910393867404⋅10−8 4 4 1.32340286059008 10 − ⋅ = d d₉ =−1.702826476898294⋅10−9 5 5 1.391834938321971 10 − ⋅ − = d 10 10 1.790878238795794 10 − ⋅ = d Fungsi _e±j⋅

(

x−π4

)

_,

_j

≡

−

₁

j d0 =0.707106781186548m0.707106781186548⋅ j d = ⋅ −1± ⋅ −1⋅ 1 9.200651963458433 10 2.699544827129245 10 j d₂ =0.195792484794786±0.898305620122722⋅ j d3 =−6.658925356707726⋅10−1±5.777031117413823⋅10−1⋅ j d₄ =−7.922289319347575⋅10−1_m2.947569955945584⋅ j d5 =−0.116199487530586m0.802308803843091⋅ j d = ⋅ −1 ⋅ −1⋅ 6 6.22912427662968 10 m4.623475679211948 10 j d₇ =6.56104895383349⋅10−1±2.503199796774191⋅10−1⋅

Fungsi _e±j⋅π180⋅

(

x−π4

)

_,

_j

≡

−

₁

j d₀ =9.999060498015505⋅10−1_m1.37073546047048⋅10−2⋅ j d1 =3.195168582798035⋅10−4 ±1.744867908373595⋅10−2⋅ j d2 =−3.04461809249217⋅10−4 ±9.490429676775321⋅10−6⋅ j d₃ =−2.120018442260832⋅10−7 _m5.312145801240318⋅10−6⋅ j d4 =9.267743866962537⋅10−8 m4.509007886372114⋅10−9⋅ j d₅ =9.28082610645209⋅10−11±1.616757583487752⋅10−9⋅ j d =− ⋅ −11± ⋅ −12 ⋅ 6 2.820217530990161 10 1.865967503741914 10 j d₇ =−3.686095117406863⋅10−14 _m4.919116300350879⋅10−13⋅ j d₈ =8.579427597195148⋅10−15_m7.182328254365329⋅10−16⋅ j d₉ =1.384157956456036⋅10−17 ±1.496222670873435⋅10−16⋅ j d₁₀ =−2.609160477665223⋅10−18 ±2.64357068283831⋅10−19⋅

2. Nilai Konstanta-Konstanta Penyusun Deret Umum Taylor pada Fungsi Tertentu dengan Menggunakan Cara Interpolasi Newton Pers.(22).

Notasi

b

l

(β

)

≡

b

l;

d

l

(β

)

≡

d

l, nilai variabel subcrip l dari 0 sampai 10.

Fungsi _e0.1⋅

(

x−π4

)

1 0 9.244652503762558 10 − ⋅ = d 2 1 8.797450016183761 10 − ⋅ = d d₆ =6.865748529705229⋅10−7 3 2 8.371880582396463 10 − ⋅ = d d₇ =6.533623569948688⋅10−8 4 3 7.966897721156663 10 − ⋅ = d 9 8 6.217563575106055 10 − ⋅ = d 5 4 7.581505573917013 10 − ⋅ = d d₉ =5.91674598204861⋅10−10 6 5 7.214756456264126 10 − ⋅ = d 11 10 5.629186006217424 10 − ⋅ = d Fungsi _e−0.1⋅

(

x−π4

)

95329 0817064238 . 1 0 = d 1 1 1.137640576893975 10 − ⋅ − = d 6 6 1.463805585411038 10 − ⋅ = d 2 2 1.196467039120486 10 − ⋅ = d 7 7 1.5394977115335 10 − ⋅ − = d 3 3 1.258335369515473 10 − ⋅ − = d 8 8 1.619105183259251 10 − ⋅ = d 4 4 1.323402860593514 10 − ⋅ = d d₉ = −1.702799679037526⋅10−9 5 5 1.3918349383213599 10 − ⋅ − = d 10 10 1.7914625338733 10 − ⋅ = d

Fungsi _e±j⋅

(

x−π4

)

_,

_j

≡

−

₁

j

d

0

=

7

.

0710678118

65476

⋅

10

−1

m

7

.

0710678118

65475

⋅

10

−1

⋅

j

d

1

=

9

.

2006519634

58437

⋅

10

−1

±

2

.

6995448271

29282

⋅

10

−1

⋅

j

d

₂

=

1

.

9579298478

94078

⋅

10

−1

±

8

.

9830562008

03

⋅

10

−1

⋅

j

d

3

=

−

6

.

6589253115

2553

⋅

10

−1

±

5

.

7770313790

58251

⋅

10

−1

⋅

j

d

4

=

−

7

.

9222968949

06835

⋅

10

−1

m

2

.

9476044357

71147

⋅

10

−1

⋅

j

d

₅

=

−

1

.

1615380074

24211

⋅

10

−1

_m

8

.

0213899324

34655

⋅

10

−1

⋅

j

d

₆

=

6

.

2158105423

14477

⋅

10

−1

_m

4

.

6648149866

71805

⋅

10

−1

⋅

j

d

₇

=

6

.

7827002342

4381

⋅

10

−1

±

3

.

0860195254

9593

⋅

10

−1

⋅

Fungsi _e±j⋅π180⋅

(

x−π4

)

_,

_j

≡

−

₁

j

d

0

=

9

.

9990604980

15505

⋅

10

−1

m

1

.

3707354604

70748

⋅

10

−2

⋅

j

d

1

=

3

.

1951685827

97612

⋅

10

−4

±

1

.

7448679083

73595

⋅

10

−2

⋅

j

d

₂

=

−

3

.

0446180924

92568

⋅

10

−4

±

9

.

4904296767

74215

⋅

10

−6

⋅

j

d

3

=

−

2

.

1200184419

09011

⋅

10

−7

m

5

.

3121458012

53387

⋅

10

−6

⋅

j

d

4

=

9

.

2677438834

34321

⋅

10

−8

m

4

.

5090079447

97361

⋅

10

−9

⋅

j

d

₅

=

9

.

2808538632

02765

⋅

10

−11

±

1

.

6167574362

62439

⋅

10

−9

⋅

j

d

₆

=

−

2

.

8201885271

52823

⋅

10

−11

±

1

.

8657020373

0696

⋅

10

−12

⋅

j

d

₇

=

−

3

.

6637359812

63017

⋅

10

−14

_m

4

.

9227288911

87944

⋅

10

−13

⋅

j

d

₈

=

8

.

9928064994

663768

⋅

10

−15

_m

1

.

0547118733

93899

⋅

10

−15

⋅

j

d

₉

=

1

.

7763568394

00251

⋅

10

−15

±

8

.

3266726846

88674

⋅

10

−17

⋅

SIMPULAN

Beberapa simpulan dari artikel ini ialah: Deret umum Taylor merupakan model deret yang lebih umum dari deret Taylor, Suatu fungsi yang dibangun oleh deret Taylor apabila dikenai operatot deret bertingkat dapat diselesaikan dengan menggunakan model deret umum Taylor, Basis fungsi-basis fungsi yang menyusun deret umum Taylor adalah berupa deret bertingkat berderajat satu, Untuk mendapatkan nilai konstanta-konstanta penyusun deret umum Taylor perlu diketahui terlebih dahulu nilai konstanta-konstanta penyusun deret Taylor bila menggunakan pers.(19). Dengan menggunakan interpolasi Newton ternyata juga dapat diperoleh nilai konstanta penyusun deret umum Taylor yaitu pers.(22).

DAFTAR PUSTAKA

Goenawan, S. I. (2005). Teori Keteraturan & Deret Umum Taylor (Deret SIG-Taylor), Hak Cipta 032193.

Goenawan, S. I. (2002). Deret Garis Bertingkat dalam Teori Keteraturan, Metris. Vol.3, No.3 Jakarta, Unika Atma Jaya, p.50-57.

Goenawan, S. I. (2003). Deret Bertingkat Berderajat Satu dalam Teori Keteraturan, Metris. Vol.4, No.1 Jakarta, Unika Atma Jaya, p.50-56.

Goenawan, S. I. (2000). Metode Horisontal (Metris), Metris. Vol.1. Jakarta, Unika Atma Jaya , p.1-8. Goenawan, S. I. (2010). Algoritma Jumlahan Data Diskrit Simetris dengan menggunakan Deret

SIG-Maclaurin dan Aplikasinya pada kebutuhan batang baja untuk pagar suatu Jembatan.,