Model Ross adalah suatu model matematika yang terdiri dari sistem persamaan diferensial yang digunakan untuk menyelesaikan penyebaran penyakit malaria.
Ross’ model is a mathematical model which consists of differential equation system which is used to solve the spreading of malaria disease.
i
MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN
MENGGUNAKAN METODE HEUN
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Disusun Oleh : Rahmawati Risma Wijaya
NIM: 123114007
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
SOLVING
THE ROSS’
MODEL USING THE
HEUN’S
METHOD
FINAL ASSIGNMENT
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika Mathematics Study Program
Written by :
Rahmawati Risma Wijaya Student ID: 123114007
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Kupersembahkan tugas akhir ini untuk:
TuhanYesus yang sangat mencintaiku dan kucintai, kedua orang tuaku yang
sangat kucintai dan kusayangi, adikku yang sangat kusayangi, dan untuk semua
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa makalah yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam daftar
pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 17 Januari 2017
vii ABSTRAK
Model Ross adalah suatu model matematika yang terdiri dari sistem persamaan diferensial yang digunakan untuk menyelesaikan penyebaran penyakit malaria.
viii ABSTRACT
Ross’ model is a mathematical model which consists of differential equation system which is used to solve the spreading of malaria disease.
ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Rahmawati Risma Wijaya
NIM : 123114007
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
Menyelesaikan Model Ross dengan Menggunakan Metode Heun
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan
ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,
mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media
lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun
memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai
penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 17 Januari 2017
Yang menyatakan
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat
yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Makalah ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.
Banyak tantangan dalam proses penulisan makalah ini, namun dengan penyertaan
Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya makalah ini dapat
diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi.
2. Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Kepala Program Studi
Matematika sekaligus dosen pembimbing yang dengan sabar dan penuh
antusias dalam membimbing selama proses penulisan tugas akhir ini.
3. Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc. selaku Bapak dan Ibu Dosen Program Studi
Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat bermanfaat bagi
penulis.
4. Kedua orang tuaku, Sumadi dan Kristini, dan adikku Ginza Yeremia Mey
Adhi Rhizma yang selalu mendukungku dengan penuh kasih dan
memberikan masukkan positif kepadaku.
5. Wisnu Adi Putra yang telah memberikan semangat dan dukungan
xi
6. Sahabat-sahabatku di Program Studi Matematika, Sila, Putri, Ega, Bobi,
Lia, Arum, Dewi, Amanda, Ferni, Juli, Happy, Anggun, Noni, Ilga, Oxi,
Ajeng, Budi, Rian, Tika yang selalu setia mendengar keluh kesah,
menemani dan memeberi semangat yang sangat berarti.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu dalam penyusunan makalah ini.
Yogyakarta, 17 Januari 2017
Penulis,
xii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRAK DALAM BAHASA INGGRIS ... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xii
DAFTAR GAMBAR ... xiv
DAFTAR TABEL ... xv
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Rumusan Masalah ... 4
C. Pembatasan Masalah ... 4
xiii
E. Manfaat Penulisan ... 4
F. Metode Penulisan ... 5
G. Sistematika Penulisan ... 5
BAB II LANDASAN TEORI ... 7
A. Persamaan Diferensial ... 7
B. Sistem Persamaan Diferensial ... 9
C. Titik Kesetimbangan ... 10
D. Metode Euler ... 10
E. Metode Heun ... 16
BAB III MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN MENGGUNAKAN METODE HEUN ... 22
A. Model Ross ... 22
B. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Euler ... 38
C. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Heun ... 41
BAB V PENUTUP ... 45
A. Kesimpulan ... 45
B. Saran ... 46
DAFTAR PUSTAKA ... 47
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Gfrafik Hasil Perhitungan Analitik ... 13
Gambar 2.2 Grafik Hasil Perhitungan Metode Euler ... 15
Gambar 2.3 Grafik Hasil Perhitungan Metode Heun ... 18
Gambar 2.4 Grafik Perbandingan Analitik, Metode Euler dan Metode Heun .... 20
Gambar 2.5 Grafik Error Metode Euler dan Metode Heun ... 21
Gambar 3.1 Grafik Fraksi Infeksi ... 37
Gambar 3.2 Grafik Model Ross Menggunakan Metode Euler ... 40
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Hasil Perhitungan Analitik ... 12
Tabel 2.2 Hasil Perhitungan Metode Euler ... 14
Tabel 2.3 Hasil Perhitungan Metode Heun ... 17
Tabel 2.4 Perbandingan Analitik, Metode Euler dan Metode Heun ... 19
Tabel 3.1 Hasil Perhitungan Model Ross Menggunakan Metode Euler ... 39
BAB I
MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN
MENGGUNAKAN METODE HEUN
A. Latar Belakang
Ronald Ross lahir pada tahun 1857 di India Utara. Selama cuti
pada tahun 1894, Ross mulai mempelajari penyakit malaria. Ross bertemu
dengan Landon Patrick Manson, seorang spesialis kedokteran tropis, yang
menunjukkan hasil penelitian mikroskop dokter Alphonse Laveran pada
tahun 1880 mengenai darah pasien penyakit malaria yang mengandung
parasit. Manson mengasumsikan bahwa parasit bisa datang dari nyamuk.
Manson percaya bahwa manusia terinfeksi oleh parasit ketika minum air
yang terkontaminasi oleh nyamuk. Dari 1895 sampai 1898, Ross
melanjutkan penelitian di India dan menguji ide Manson. Pada tahun 1897
Ross menemukan di dalam perut spesies nyamuk tertentu yang belum
pernah ia pelajari sebelumnya beberapa parasit serupa dengan yang
diamati oleh Laveran. Ross menemukan parasit di kelenjar ludah nyamuk
Anopheles dan mencoba melakukan eksperimen untuk menginfeksi
burung sehat dengan membiarkan nyamuk menggigit mereka. Ini
membuktikan bahwa malaria ditularkan oleh gigitan nyamuk dan bukan
oleh konsumsi air yang terkontaminasi. Ross melakukan perjalanan ke
Afrika, Mauritius, dan daerah Mediterranea untuk mempromosikan
pembasmian nyamuk. Metode ini berhasil di Mesir sepanjang terusan
Suez, sepanjangterusan Panama yang sedang dibangun, Kuba dan
Malaysia. Ross mengklaim bahwa malaria bisa diberantas hanya dengan
mengurangi jumlah nyamuk. Pada tahun 1911, Ross mencoba untuk
membangun model matematika dari penularan malaria untuk mendukung
klaimnya. Modelnya terdiri dari sistem dua persamaan diferensial.
Notasi yang digunakan sebagai berikut:
N: jumlah populasi manusia di daerah tertentu;
I (t): jumlah manusia yang terinfeksi malaria pada waktu t;
n: jumlah populasi nyamuk (diasumsikan konstan);
i (t): jumlah nyamuk yang terinfeksi malaria;
b: frekuensi nyamuk menggigit;
p: Probabilitas transmisi malaria dari manusia ke nyamuk setiap satu
gigitan;
p’ : probabilitas transmisi malaria dari nyamuk ke manusia setiap satu
gigitan;
a : tingkat di mana manusia pulih dari malaria;
m: tingkat kematian nyamuk per hari.
Selama interval waktu pendek dt, setiap nyamuk yang terinfeksi menggigit
bdt manusia dan �−�
� adalah proporsi manusia yang belum terinfeksi.
Dengan memperhitungkan probabilitas transmisi p’ terdapat bp’i�−�
� �
manusia baru yang terinfeksi. Selama interval waktu yang sama, jumlah
�
memperhitungkan probabilitas transmisi p terdapat bp(n-i)�
� � nyamuk
baru yang terinfeksi. Sementara itu, dengan asumsi bahwa infeksi tidak
mempengaruhi kematian, jumlah nyamuk yang mati adalah mi dt. Jadi,
�
�= � − � �
�− �.
Ross mencari nilai-nilai numerik untuk parameterdari modelnya. Ia
berasumsi bahwa :
1. Kematian nyamuk adalah sedemikian rupa sehingga hanya
sepertiga dari mereka yang masih hidup setelah sepuluh hari, jadi
− = dan = log / per hari;
2. Setelah tiga bulan manusia masih terinfeksi, jadi − = / dan
= log / per hari;
3. Satu dari delapan gigitan nyamuk setiap hari, jadi − = / dan
= log per hari;
4. Nyamuk yang terinfeksi biasanya tidak menular selama sepuluh
hari pertama setelah infeksi karena parasit harus melalui beberapa
tahap transformasi. Karena sepertiga dari nyamuk bisa bertahan
sepuluh hari, Ross mengasumsikan bahwa ada juga sekitar
sepertiga dari semua nyamuk yang terinfeksi yang
5. Ross mengasumsikan bahwa ada juga sekitar seperempat dari
semua manusia yang terinfeksi yang menularkan: � = / .
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana memodelkan penyebaran penyakit malaria ?
2. Bagaimana menyelesaikan model Ross menggunakan metode Heun?
C. Batasan Masalah
Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:
Dalam menyelesaikan model Ross, penulis hanya akan menggunakan
metode Heun.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk menyelesaikan
model Ross dengan menggunakan metode Heun.
E. Manfaat penulisan
Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah
kita dapat mengetahui bagaimana cara menyelesaikan model Ross
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tugas akhir ini adalah
metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku
atau jurnal-jurnal yang berkaitan dengan metode Ross.
G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
A. Persamaan Diferensial
B. Sistem Persamaan Diferensial
C. Titik Kesetimbangan
D. Metode Euler
E. Metode Heun
BABIII MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN
MENGGUNAKAN METODE HEUN
B. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Euler
C. Penyelesain Model Ross Menggunakan Metode Heun
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Persamaan Diferensial
Definisi 2.1 Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial adalah persamaan yang memuat suatu
fungsi dan turunan-turunannya. Jika fungsi yang tidak diketahui
mempunyai satu variabel bebas, misalnya = maka Persamaan
Diferensial tersebut disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB).
Turunan-turunan = adalah , , , …
Contoh 2.1 �
� + �
�� + =
Definisi 2.2 Orde Persamaan Diferensial
Orde Persamaan Diferensial adalah orde turunan tertinggi yang
terlibat dalam Persamaan Diferensial. PDB linear berorde mempunyai
bentuk ��+ �−�− + … + − + = ,
dengan ≠ .
Ciri-ciri Persamaan Diferensial linear :
1. Dalam satu suku tidak ada perkalian (pembagian) antara dengan
atau turunannya.
2. Dalam satu suku tidak ada fungsi transendental (trigonometri,
logaritma, eksponen, dll) dari fungsi atau turunannya.
Definisi 2.3 Solusi Persamaan Diferensial
Solusi (penyelesaian) Persamaan Diferensial adalah fungsi yang
memenuhi Persamaan Diferensial. Bentuk solusi Persamaan Diferensial
bisa eksplisit = ataupum implisit , = . Suatu Persamaan
Diferensial bisa juga tidak mempunyai solusi dalam himpunan bilangan
real, tetapi mempunyai solusi dalam himpunan bilangan kompleks, solusi
ini disebut solusi formal Persamaan Diferensial.
Penyelesaian Persamaan Diferensial tidak tunggal, sehingga
penyelesaian Persamaan Diferensial membentuk keluarga fungsi dan
disebut keluarga penyelesaian Persamaan Diferensial.
Contoh 2.2
Persamaan Diferensial = mempunyai keluarga penyelesaian =
+ , adalah konstan dan disebut parameter.
Definisi 2.4 Masalah Nilai Awal (MNA)
Masalah Nilai Awal (MNA) adalah suatu Persamaan Diferensial yang
Definisi 2.5 Masalah Nilai Batas (MNB)
Masalah Nilai Batas adalah Persamaan Diferensial yang dilengkapi data
pada titik-titik batas domain.
B. Sistem Persamaan Diferensial
Definisi 2.6 Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat
buah persamaan diferensial dan buah fungsi yang nilainya tidak
diketahui.
Sistem persamaan diferensial linear dinyatakan dalam bentuk
sebagai berikut:
� = � � + � � + … + � � + �
� = � � + � � + … + � � + �
.
. (2.1) .
� = � � + � � + … + � � + �
dengan kondisi awal � � = �, � = , , … , .
Solusi dari persamaan di atas adalah pasangan buah fungsi yaitu
� , � , … , � yang saling berkaitan satu sama lainnya terhadap
C. Titik Kesetimbangan
Dengan memperhatikan titik-titik kesetimbangan dari sistem
persamaan diferensial (2.1) dapat membantu dalam menentukan apakah
titik-titik kesetimbangan stabil atau tidak.
Definisi 2.7 Titik Kesetimbangan
Nilai atau titik kesetimbangan adalah solusi dari persamaan ′=
, ≡ atau = ≡ , untuk nilai sembarang .
Titik kesetimbangan ∗ dikatakan stabil jika untuk setiap bilangan >
terdapat bilangan > sedemikian hingga | − ∗| < berlaku
| � − ∗| < untuk setiap � > .
D. Metode Euler
Definisi 2.8 Solusi Numeris
Solusi numeris merupakan hampiran (aproksimasi) dari solusi analisis.
Berikut adalah Persamaan Diferensial tingkat satu :
�
� = (�, � ), ≤ � ≤ , = (2.2)
Tahap awal penyelesaian pendekatan numerik adalah dengan menentukan
titik-titik dalam jarak yang sama pada interval [ , ], yaitu dengan
menerapkan �� = + �ℎ, � = , , … , dengan ℎ menyatakan jarak antar
titik yang dirumuskan oleh ℎ = − . Metode Euler menghampiri turunan
�′= � ≈� ��+ − �
�+ − �� =
�+ − �
ℎ
Pada saat � = persamaan (2.2) dapat ditulis sebagai
�+ − �
ℎ ≈ ��, �
Jadi metode Euler mendapatkan barisan numerik { �}�= yang dinyatakan
sebagai
=
�+ ≈ � + ℎ ��, � , � = , , , … , − (2.3)
Contoh 2.3
Selesaikan Persamaan Diferensial berikut :
′ � = � − � + , < � < , = .
secara analitik.
Penyelesaian:
Solusi persamaan diferensial homogen ′ � − � = dari persamaan
diferensial nonhomogen di atas adalah = �, sebab persamaan
karakteristiknya yaitu − = memiliki tepat satu akar = .
Akan dicari solusi yang terkait dengan � � = −� + dengan metode
koefisien tak tentu.
Himpunan koefisien tak tentu dari −� + adalah {� , �, }.
Dibentuk kombinasi linear � = � + � + .
Substitusi � ke persamaan diferensial awal menghasilkan
� + � − � + − = � −
� + − � + − = � −
Sehingga diperoleh = , = , =
Jadi � = � + � +
Jadi solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah
� = � + � � = �+ � + � +
Diketahui = . maka + = . jadi = − . . Akibatnya solusi
persamaan diferensial dari masalah nilai awal tersebut adalah
� = − . �+ � + � +
Dari solusi di atas diperoleh hasil seperti pada Tabel 2.1 di bawah ini.
Tabel 2.1 Hasil Perhitungan Analitik �� Analitik
0 0.5000
0.2 0.8293
0.4 1.2141
0.6 1.6489
0.8 2.1272
1.0 2.6409
1.2 3.1799
1.4 3.7324
1.6 4.2835
2.0 5.3055
Dari penyelesaian di atas dihasilkan grafik seperti pada Gambar 2.1 di
bawah ini.
Gambar 2.1 Grafik Hasil Perhitungan Analitik
Contoh 2.4
Selesaikan Persamaan Diferensial berikut :
′ � = � − � + , < � < , = .
Menggunakan metode Euler dengan =
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.5
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
t
Penyelesaian :
Dicari jarak antar titik dalam interval [0,2] yaitu ℎ = − = .
Sehingga mempunyai titik-titik diskrit yang dihasilkan oleh
�� = + � . = . �, � = , , … ,
yaitu
� = , � = . , � = . , � = . , � = . , � = . , � = . , � = . ,
� = . , � = . , � = .
Karena diketahui (�, � ) = � − � + dan = .
Maka persamaan Euler dapat dinyatakan sebagai
= .
�+ ≈ � + . �− �� + , � = , , , … ,
Dari solusi di atas diperoleh hasil seperti pada Tabel 2.2 di bawah ini.
Tabel 2.2 Hasil Peritungan Metode Euler �� Euler
0 0.5000
0.2 0.7920
0.4 1.1184
0.6 1.4701
0.8 1.8361
1.0 2.2033
1.2 2.5560
Dari perhitungan di atas dihasilkan grafik seperti pada Gambar 2.1 di
bawah ini.
Gambar 2.2 Grafik Hasil Perhitungan Metode Euler 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.5
1 1.5 2 2.5 3
t
y
1.6 3.1382
1.8 3.3179
E. Metode Heun
Metode Heun memperbaiki taksiran turunan pertama dengan mengambil
rata-rata dari kedua turunan pada titik-titik ujung subinterval. Turunan di
titik awal subinterval [��, ��+ ] yaitu �′ = ��, � .
Taksiran untuk �+ dihitung menggunakan metode Euler :
�+ ≈ � + ℎ ��, � (2.4)
Yang selanjutnya digunakan untuk menaksir turunan di titik akhir
subinterval : ′�+ = ��+ , �+ ≈ (�� + ℎ, � + ℎ ��, � ).
Diperoleh rata-rata turunan pertama di � = �� yaitu
′� ≈� ��, � +� ��+ℎ, �+ℎ� ��, � (2.5)
Jadi, metode Heun diperoleh dengan mengganti ��, � pada persamaan
(2.4) dengan ruas kanan dari persamaan (2.5) :
=
�+ ≈ � +ℎ[ ��, � + (�� + ℎ, � + ℎ ��, � )]
dengan � = , , , … , − .
Contoh 2.5
Selesaikan Persamaan Diferensial berikut :
′ � = � − � + , < � < , = .
Menggunakan metode Heun dengan =
Penyelesaian :
Sehingga mempunyai titik-titik diskrit yang dihasilkan oleh
�� = + � . = . �, � = , , … ,
yaitu
� = , � = . , � = . , � = . , � = . , � = . , � = . , � = . ,
� = . , � = . , � = .
Karena diketahui (�, � ) = � − � + dan = .
Maka persamaan Heun dapat dinyatakan sebagai
= .
�+ ≈ � + . � − �� + + ( �+ . �− �� + − �� + )
Untuk � = , , , … ,
Dari solusi di atas diperoleh hasil seperti pada Tabel 2.3 di bawah ini.
Tabel 2.3 Hasil Perhitungan Metode Heun �� Heun
0 0.5000
0.2 0.8212
0.4 1.1867
0.6 1.5885
0.8 2.0172
1.0 2.4610
1.2 2.9056
1.4 3.3336
1.8 3.7238
2.0 4.2814
Dari perhitungan di atas dihasilkan grafik seperti pada Gambar 2.2 di
bawah ini.
Gambar 2.3 Grafik Hasil Perhitungan Metode Heun
Dari contoh 2.3, contoh 2.4 dan contoh 2.5 di atas kita dapat simpulkan
dengan Tabel 2.1 dan Gambar 2.4 di bawah ini.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.5
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
Tabel 2.4 Perbandingan Hasil Perhitungan Analitik, Metode Euler, Metode Heun dan Errornya
�� Analitik Euler Heun Error Euler Error Heun
0 0.5000 0.5000 0.5000 0 0
0.2 0.8293 0.7920 0.8212 0.0373 0.0081
0.4 1.2141 1.1184 1.1867 0.0957 0.0274
0.6 1.6489 1.4701 1.5885 0.1788 0.0604
0.8 2.1272 1.8361 2.0172 0.2911 0.1100
1.0 2.6409 2.2033 2.4610 0.4376 0.1799
1.2 3.1799 2.5560 2.9056 0.6239 0.2743
1.4 3.7324 2.8752 3.3336 0.8572 0.3988
1.6 4.2835 3.1382 3.7238 1.1453 0.5597
1.8 4.8152 3.3179 3.7238 1.4973 1.0914
2.0 5.3055 3.3814 4.2814 1.9241 1.0181
Dari Tabel 2.1 di atas dapat kita lihat penyelesaian dengan menggunakan
metode Euler dan metode Heun menghasilkan nilai yang berbeda. Dan dari
tabel di atas juga ditunjukan error keduanya. Dari error tersebut kita dapat
mengatahui bahwa hasil metode Heun lebih akurat dibanding dengan hasil
metode Euler. Perbedaan ketiga metode di atas dapat kita lihat pada
Gambar 2.4 Grafik Perbandingan Hasil Perhitungan Analitik, Metode Euler, dan Metode Heun
Pada Gambar 2.4 grafik warna merah menunjukkan hasil
perhitungan secara analitik, grafik warna hijau menunjukkan hasil
perhitungan menggunakan metode Heun, dan grafik warna biru
menunjukkan hasilm perhitungan menggunakan metode Euler. Dari grafik
di atas kita dapat melihat lebih jelas tingkat keakuratan kedua metode
ter-sebut. Metode Heun lebih akurat disbanding dengan metode Euler.
Berikut diberikan grafik error Euler dan error Heun pada Gambar 2.5.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
t
Gambar 2.5 Grafik Perbandingan Error Metode Euler dan Metode Heun
Pada Gambar 2.5 grafik berwarna hijau menunjukkan error Heun
dan grafik berwarna biru menunjukkan error Euler. Dari grafik tersebut
terlihat jelas bahwa error Euler lebih tinggi dibandingkan dengan error
Heun.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t
e
rr
o
BAB III
MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN MENGGUNAKAN METODE HEUN
A. Model Ross
Model Ross terdiri dari sistem dua persamaan diferensial.
Notasi yang digunakan sebagai berikut:
N : jumlah populasi manusia di daerah tertentu;
I (t): jumlah manusia yang terinfeksi malaria pada waktu t;
n: jumlah populasi nyamuk (diasumsikan konstan);
i (t): jumlah nyamuk yang terinfeksi malaria;
b: frekuensi nyamuk menggigit per hari;
p: Probabilitas transmisi malaria dari manusia ke nyamuk dalam satu
gigitan;
p’ : probabilitas transmisi malaria dari nyamuk ke manusia dalam satu
gigitan;
a : tingkat manusia pulih dari malaria per hari;
m: tingkat kematian nyamuk per hari.
Selama interval waktu pendek dt, setiap nyamuk yang terinfeksi menggigit
b dt manusia. �−�
� adalah proporsi manusia yang belum terinfeksi. Dengan
memperhitungkan probabilitas transmisi p’ terdapat bp’i�−�
� � manusia
baru yang terinfeksi. Selama interval waktu yang sama, jumlah manusia
yang disembuhkan adalah aI dt, sehingga
�
�= �′�
�−�
� − �.
Demikian pula setiap nyamuk yang tidak terinfeksi menggigit b dt
manusia, dimana �
� adalah proporsi manusia yang sudah terinfeksi. Dengan
memperhitungkan probabilitas transmisi p terdapat bp(n-i)�
� �nyamuk
baru yang terinfeksi. Sementara itu, dengan asumsi bahwa infeksi tidak
mempengaruhi kematian, jumlah nyamuk yang mati adalah mi dt. Jadi,
�
�= � − � �
�− �.
Teorema 3.1
Jika diketahui jumlah nyamuk yang terinfeksi � � tetap konstan terhadap
waktu �
�′� � − � � � − �⁄
�′ � + , sehingga
� = ���′′ � +− �
� = ��′ �−′ � ( � + )
Kemudian ��′ − �
�′ �+ dikalikan dengan
�
�, diperoleh
� = ��′ ��−′ � ( � + )�
� = ��′ ⁄ � +��′− ⁄ ��⁄ ��′
� = ��′ ⁄ � � +��⁄ ′ − �⁄ � ⁄ ��′
� = − +� ⁄⁄ ���′
� = − +�⁄⁄ ���′
Terbukti ketika �
�= dan �
�= dan untuk � ≠ , diperoleh
� = − +�⁄⁄ ���′
Bukti 2:
Untuk membuktikan � = − �⁄ ��′
+ ⁄ � dapat dilakukan dengan cara lain,
yaitu dengan mengalikan persamaan kesetimbangan tersebut dengan ⁄��,
sebagai berikut :
( �′�� − �
�′�� − �′��
Sehingga untuk persamaan pertama diperoleh :
− � + �� =� � �
Diperoleh solusi yang mudah, yaitu :
�′
Untuk memperoleh digunakan cara eliminasi dan subsitusi, sehingga
� = ��′ ⁄ � � +��⁄ ′ − �⁄ � ⁄ ��′
� = − +� ⁄⁄ ���′
� = − +�⁄⁄ ���′
Terbukti ketika �
�= dan �
�= dan untuk � ≠ , diperoleh
� = − +�⁄⁄ ���′
Teorema 3.2
Jika diketahui jumlah nyamuk yang terinfeksi � � tetap konstan terhadap
� = �[ ��′�+ ���′ ′ − ��− �′ ⁄+ ���′+ �⁄ ��′ ′+ �′ ]
� = ��[ ���′ ′ +− ��⁄⁄ ����′′+ �′ ]+ �′
� = � ��′��′+ �− �� ⁄⁄ ����′′+ �′+ �′
� = � ����′′+ �− ′ � ��′��′+ �+ �′ �
Kemudian � ��′ − �
��′+ �′
��′+ �′
��′ + � � dikalikan dengan
��′+ �′
��′+ �′ , sehingga diperoleh
� =� ��′��′+ �− ��
Dengan menggunakan sifat distributif diperoleh
� =� � ���′′ −+ ��
� =� � ���′′ −+ ��
� = ��� �′� −′ + ��
� = ��′� −� � ( �′ + �)
Kemudian ��′� − �
� �′ + � dikalikan dengan
�′
�′ , sehingga
diperoleh
� = ��′� −�′ + ��⁄ ⁄�′ ��′
� = ��′��′⁄⁄��′ −�′ + � �′⁄� ⁄ ��′
� =� − + � ��⁄⁄ ′��′
� = � −+ � ��⁄⁄ ��′ ′
Terbukti ketika �
�= dan �
�= dan untuk � ≠ , diperoleh
� = � −+ � ��⁄⁄ ��′ ′
Bukti 2:
Untuk membuktikan � = � − �⁄ ��′
+ � �⁄ ′ dapat dilakukan dengan cara
lain, yaitu dengan menggunakan persamaan (3.2)
− + �� = ��
− + ( � )� ����′′+ �− ′ � = ��
− + �� ����′ ′−+ �′� = ��
= �� ����′ ′−+ �′� − ��
= � ��′+ �� ′��′− �− ���′ − �
= ���′��′ − �− ��
= � ����′′ − � �− �
= � ����′′ − � �− � ( )
= � ����′′ − � �− �
= � � ���′′ −− ��
Karena
� = maka
� =
� = � �′ − � �⁄ ��′ − �
� =� ��′ − �
� �′ − �
� = ��� �′� −′ + ��
� = ��′� −� � ( �′ + �)
Kemudian ��′� − �
� �′ + � dikalikan dengan
�′
�′ , sehingga
diperoleh
� = ��′� −��′ � �′ �+ �′
� = ��′��′⁄⁄��′ −�′ + � �′⁄� ⁄ ��′
� =� − + � ��⁄⁄ ′��′
� = � −+ � ��⁄⁄ ��′ ′
Terbukti ketika �
�= dan �
�= dan untuk � ≠ , diperoleh
� = � −+ � ��⁄⁄ ��′ ′
Teorema 3.3
Jika� > dan � > maka jumlah nyamuk di atas ambang batas kritis >
∗ = �
��′.
Bukti :
Pertama untuk � >
� −+ � ��⁄⁄ ��′ ′ >
� − � ⁄ ��′
+ � �⁄ ′ >
��′� ⁄ ��′ − � ⁄ ��′
�′ ⁄ �′ + � �′⁄ >
��′� − � ⁄ ��′
�′ + � ⁄ �′ >
��′� − �
��′
�′
Kemudian ��′ − �
��′
�
�+ dikalikan dengan �
Setelah diselesaikan dengan menggunakan Teorema 2.1 danTeorema 2.2
fraksi infeksi � �⁄ pada populasi manusia sebagai fungsi dari rasio ⁄�
antara nyamuk dan populasi manusia. Dapat ditunjukkan dengan
perhi-tungan dan grafik pada Gambar 3.1 di bawah ini.
Berikut akan digambar grafik fraksi infeksi � �⁄ pada populasi manusia
sebagai fungsi dari rasio ⁄� antara nyamuk dan populasi manusia dengan
parameter-parameter di bawah ini.
Diketahui :
= log /
= log
�′= /
� = /
Dengan menggunakan parameter-parameter yang sudah diketahui di atas,
akan digambar grafik sesuai dengan perhitungan di bawah ini.
= ����′′ + � = .−
= ����′′ + � = .−
= ����′′ + � = .−
= ����′′ + � = .−
Dari hasil di atas diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.1 di bawah ini
Gambar 3.1 Grafik Fraksi Infeksi � �⁄ pada Populasi Manusia Sebagai Fungsi dari Rasio � �⁄ antara Nyamuk dan Populasi
Manusia
Bentuk kurva dalam Gambar 3.1 menunjukkan bahwa fraksi manusia yang
terinfeksi lebih tinggi dari 50% jika rasio ⁄� di atas nilai kritis ∗⁄�.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
n/N
Tetapi fraksi ini tidak berubah banyak ketika rasio ⁄� meningkat lebih
lanjut. Ross mengatakan bahwa nilai numerik dari ambang ∗⁄ =�
. sangat sensitif terhadap frekuensi jumlah nyamuk menggigit
tetapi tidak mengubah bentuk keseluruhan dari kurva tersebut. Penjelasan
kualitatif Ross lebih penting dari hitung-hitungannya karena nilai numerik
dari parameternya tidak pasti.
B. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Euler
Berikut akan digambar grafik menggunakan metode Euler dengan
parameter-parameter di bawah ini.
Diketahui :
= log /
= log /
= log
�′= /
� = /
=
� =
Dengan menggunakan parameter-parameter yang sudah diketahui di atas,
dan dengan menggunakan metode Euler, akan digambar grafik sesuai
� = [ , ]
ℎ = .
� = .
� = .
= �′� � − �
� − � = .
� = � + ℎ = . 000
= � − �� � − � = − .
� = � + ℎ = .
Tabel 3.1 Hasil Perhitungan Model Ross Menggunakan Metode Euler
�� I i
0 0.5000 0.2500
0.01 0.5000 0.2499
0.02 0.5001 0.2498
0.03 0.5001 0.2497
0.04 0.5001 0.2496
0.05 0.5002 0.2494
0.06 0.5002 0.2493
0.07 0.5002 0.2492
0.08 0.5003 0.2491
0.09 0.5003 0.2490
Dari hasil di atas diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.2 di bawah ini.
Gambar 3.2 Grafik Hasil Perhitungan Model Ross Menggunakan Metode Euler
Dengan menggunakan metode Euler dan parameter yang sudah
diketahui, diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.2. Pada grafik pertama
berwarna merah menunjukkan frekuensi manusia yang terinfeksi malaria
terhadap waktu, grafik kedua berwarna hijau menunjukkan frekuensi
nyamuk yang terinfeksi malaria terhadap waktu, dan grafik ketiga
berwarna biru menunjukkan frekuensi manusia yang terinfeksi malaria
C. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Heun
Berikut akan digambar grafik menggunakan metode Heun dengan
parameter-parameter di bawah ini.
Diketahui :
= log /
= log /
= log
�′= /
� = /
=
� =
Dengan menggunakan parameter-parameter yang sudah diketahui di atas,
dan dengan menggunakan metode Heun, akan digambar grafik sesuai
dengan perhitungan di bawah ini.
� = [ , ]
ℎ = .
� = .
� = .
= �′� � − �
� − � = .
= � + ℎ = . 000
= � + ℎ = .
� = � +ℎ( + �′ � −
� − ) = .
� = � +ℎ( + � − � − ) = .
Tabel 3.1 Hasil Perhitungan Model Ross Menggunakan Metode Heun
�� I i
0 0.5000 0.2500
0.01 0.5000 0.2499
0.02 0.5001 0.2498
0.03 0.5001 0.2497
0.04 0.5001 0.2496
0.05 0.5002 0.2494
0.06 0.5002 0.2493
0.07 0.5002 0.2492
0.08 0.5003 0.2491
0.09 0.5003 0.2490
0.10 0.5003 0.2489
Gambar 3.3 Grafik Hasil Perhitungan Model Ross Menggunakan Metode Heun
Dengan menggunakan metode Heun dan parameter yang sudah
diketahui, diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.3. Pada grafik pertama
berwarna merah menunjukkan frekuensi manusia yang terinfeksi malaria
terhadap waktu, grafik kedua berwarna hijau menunjukkan frekuensi
nyamuk yang terinfeksi malaria terhadap waktu, dan grafik ketigaberwarna
biru menunjukkan frekuensi manusia yang terinfeksi malaria terhadap
frekuensi nyamuk yang terinfeksi malaria.
Pada Gambar 3.2 dan Gambar 3.3 menurut model Ross yang
pertama menunjukkan bahwa frekuensi manusia yang terinfeksi malaria
meningkat sampai 0.5298, kemudian setelah itu frekuensi manusia yang
terinfeksi malaria menurun hingga manusia pulih dari malaria. Pada grafik
kedua menunjukkan bahwa semakin lama, tidak ada nyamuk yang
terin-feksi malaria. Dan pada grafik yang ketiga menunjukkan bahwa semakin
banyak manusia yang terinfeksi malaria, semakin banyak juga nyamuk
yang terinfeksi malaria. Begitu juga sebaliknya, semakin sedikit frekuensi
manusia yang terinfeksi malaria, semakin sedikit pula nyamuk yang
BAB IV PENUTUP
Pada bab ini dituliskan kesimpulan dari pembahasan bab-bab
sebe-lumnya, serta saran bagi peneliti selanjutnya.
A. KESIMPULAN
Berdasarkan bab-bab sebelumnya dapat disimpulkan:
1. Model Ross untuk menyelesaikan penyebaran penyakit malaria
adalah
2. Solusi model Ross dengan menggunakan metode Euler adalah
� � = � � − + ℎ ( �′� � − � − � � −
� − � � − )
� � = � � − + ℎ ( � − � � − � � −� − � � − )
3. Solusi model Ross dengan menggunakan metode Heun adalah
� � = � � − +ℎ( � − + � − � −� � − − � − )
4. Dari grafik hasil perhitungan model Ross menggunakan metode
Heun dapat disimpulkan, pertama menunjukkan bahwa frekuensi
manusia yang terinfeksi malaria meningkat sampai 0.5298,
kemudian setelah itu frekuensi manusia yang terinfeksi malaria
menurun hingga manusia pulih dari malaria. Kedua menunjukkan
bahwa semakin lama, tidak ada nyamuk yang terinfeksi malaria.
Dan ketiga menunjukkan bahwa semakin banyak manusia yang
terinfeksi malaria, semakin banyak juga nyamuk yang terinfeksi
malaria. Begitu juga sebaliknya, semakin sedikit frekuensi manusia
yang terinfeksi malaria, semakin sedikit pula nyamuk yang
terin-feksi malaria.
B. SARAN
Dalam makalah ini model Ross hanya diselesaikan menggunakan
metode Euler dan metode Heun. Model Ross juga dapat diselesaikan
dengan metode lain yang lebih akurat, misalnya dengan menggunakan
metode Rung-Kutta. Sehingga masih terbuka lebih lanjut untuk
DAFTAR PUSTAKA
Bacaer, Nicolas. (2011). A Short History of Mathematical Populations Dynamics.
London: Springer-Verlag.
Koella, Jacob C. (1991). On The Use of Mathematical Models of Malaria
Transmission. Acta Tropica,49:1-25.
Mandal, Sandip, et al. (2011). Mathematical Model of Malaria – a review.
Malaria Journal,10:1-19.
Singer, Burton. (1984). Mathematical Model of Infectious Diseases: Seeking New
Tools for Planning and Evaluating Control Program. Population and
Development Review, 10: 347-365.
Fitri, Ahmad, dkk. (2014). Model Matematika (Linear) PopulasiAnjing Rabies
LAMPIRAN
Program Contoh Analitik (Gambar 2.1) clc
axis([0 max(t) min(y) max(y)]) disp(' t y') disp(' ===========') disp([ t' y'])
Program Contoh Euler (Gambar 2.2) clc
disp(' t y') disp(' ===========') disp([ t' y'])
Program Contoh Heun (Gambar2.3) clc
y(k)=y(k-1)+h/2*((y(k-1)-t(k)^2+1)+(z(k)-t(k)^2+1));
end
plot(t,y); xlabel('t') ylabel('y')
axis([0 max(t) min(y) max(y)]) disp(' t y') disp(' ===========') disp([ t' y'])
end
plot(t,y); xlabel('t') ylabel('y')
axis([0 max(t) min(y) max(y)]) disp(' t y')
y(k)=y(k-1)+h/2*((y(k-1)-t(k)^2+1)+(z(k)-t(k)^2+1));
axis([0 max(t) min(y) max(y)]) disp(' t y')
axis([0 max(t) min(y) max(y)]) disp(' t y') disp(' ===========') disp([ t' y'])
t=zeros(1,q);
y(k)=y(k-1)+h/2*((y(k-1)-t(k)^2+1)+(z(k)-t(k)^2+1));
l(k)=-0.5*exp(t(k))+t(k)^2+2*t(k)+1; err(k)=abs(l(k)-y(k));
plot(t,err,'g')
Program Fraksi Infeksi (Gambar 3.1) clc
I(1)=0.5; i=zeros(1,q); i(1)=0.25; for k=2:q
f1=b*p_prime*i(k-1)*(N-I(k-1))/N-a*I(k-1); f2=b*p*(n-i(k-1))*I(k-1)/N-m*i(k-1);
I(k)=I(k-1)+h*f1;%*t(k-1)*I(k-1)*i(k-1); i(k)=i(k-1)+h*f2;%*t(k-1)*I(k-1)*i(k-1); end
subplot(3,1,1),plot(t,I,'r'); xlabel('t')
ylabel('I')
axis([0 max(t) min(I) max(I)]) disp(' t I') disp(' ===========') disp([ t' I'])
subplot(3,1,2),plot(t,i,'g'); xlabel('t')
subplot(3,1,3),plot(i,I,'b'); xlabel('i')
ylabel('I')
axis([min(i) max(i) min(I) max(I)]) disp(' i I')
disp(' ===========') disp([ i' I'])
disp(' min(i) max(i) min(I) max(I)') disp([ min(i)' max(i)' min(I)' max(I)'])
t=0:h:100;
f1=b*p_prime*i(k-1)*(N-I(k-1))/N-a*I(k-1); f2=b*p*(n-i(k-1))*I(k-1)/N-m*i(k-1);
subplot(3,1,1),plot(t,I,'r'); xlabel('t')
ylabel('I')
axis([0 max(t) min(I) max(I)]) disp(' t I') disp(' ===========') disp([ t' I'])
subplot(3,1,2),plot(t,i,'g'); xlabel('t')
subplot(3,1,3),plot(i,I,'b'); xlabel('i')
ylabel('I')
axis([min(i) max(i) min(I) max(I)]) disp(' i I')
disp(' ===========') disp([ i' I'])
