1
BENTUK NORMAL PADA PERSAMAAN PERMUKAAN KUBIK
Randi Fajri1*, M. Natsir 2, Endang Lily 2
1Mahasiswa Program S1 Matematika
2Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
*[email protected] ABSTRACT
This paper discusses a technique to simplify a general cubic surface equation in the projective space to form a normal form z2 f(x,y), in which f(x,y) is a polynomial of degree four. The process is started by simplifying the cubic surface equation in the projective space into a cubic surfaces in an affine space, then followed by some tranformation to obtain an explicit and simpler form of a normal equation z2 f(x,y). Keywords: normal form, cubic surface, affine space, projective space.
ABSTRAK
Pada artikel ini dibahas suatu teknik untuk menyederhanakan persamaan umum permukaan kubik dalam ruang proyektif menjadi bentuk normal z2 f(x,y), dengan
) , (x y
f adalah polinomial berderajat empat. Prosesnya dimulai dengan menyederhanakan persamaan kubik dalam ruang proyektif ke bentuk persamaan permukaan kubik dalam ruang affine, kemudian dilanjutkan dengan suatu transformasi untuk memperoleh persamaan bentuk normal z2 f(x,y) yang eksplisit dan lebih sederhana.
Kata kunci: bentuk normal, permukaan kubik, ruang affine, ruang proyektif.
1. PENDAHULUAN
Bentuk normal persamaan kubik adalah salah satu topik dari teori bilangan yang merupakan suatu bahasan dalam bidang matematika. Bentuk normal persamaan kubik diperoleh melalui penyederhanaan persamaan kubik dengan memilih koordinat pada bidang proyektif dan memanipulasi persamaan kubik tersebut ke bentuk persamaan eksplisit, sehingga persamaan kubik tersebut memiliki bentuk yang lebih sederhana.
Dalam artikel ini dibahas suatu teknik penyederhanaan persamaan permukaan kubik dalam ruang proyektif menjadi persamaan dalam bentuk normal z2 f(x,y) yang merupakan review dari artikel Zane K. Li [1], dengan judul “A Normal Form for Cubic Surfaces”, yang dasar pemikirannya bermula dari persamaan kubik dengan tiga variabel
2
yang direpresentasikan ke dalam bentuk Weierstrass [3, h. 22], dengan mengadaptasi irisan antara permukaan kuadrik dan permukaan kubik [2], dan menggunakan metode parameterization [4].
2. PERSAMAAN PERMUKAAN KUBIK
Persamaan homogen permukaan kubik dengan koefisien bilangan rasional, merupakan permasalahan yang ekuivalen dengan masalah menentukan bilangan rasional dalam bentuk normal z2 f(x,y), sehingga diperoleh bentuk eksplisit persamaan kubik yang lebih sederhana. Persamaan permukaan kubik dalam ruang proyektif terlebih dahulu dikonstruksi menjadi persamaan permukaan kubik dalam ruang affine.
2.1 Persamaan Permukaan Kubik dalam Ruang Proyektif
Dirumuskan persamaan umum permukaan kubik S dalam ruang proyektif 3, yaitu
2 6 2
5 3 4 3 3 3 2 3
1 3 3
) , , ,
(X Y Z W a X a Y a Z a W a X Y a XY
F
2 2 2 2 2
7 8 9 10 11
3a Y Z 3a YZ 3a W X 3a WX 3a W Y
2 16 2
15 2 14 2
13 2
12 3 3 3 3
3a WY a W Z a WZ a X Z a XZ
6a WXY17 6a WXZ18 6a WYZ19 6a XYZ20 , (1) dengan koefisien a1,a2,a3,,a20 adalah bilangan rasional dan persamaan (1) adalah bentuk homogen persamaan permukaan kubik dalam ruang affine. Karena persamaan (1) merupakan persamaan homogen, maka F X Y Z W( , , , ) 0. Di dalam [3, h. 31]
dijelaskan bahwa suatu kurva kubik dengan titik rasional dapat ditransformasikan ke dalam bentuk normal Weierstrass.
Untuk menyusun persamaan (1) ke dalam bentuk normal terlebih dahulu dipiilih koordinat pada bidang proyektif, sehingga persamaan umum permukaan kubik S memiliki bentuk sederhana. Langkah awal adalah dengan cara memisalkan X titik 1 pada S dan X ekuivalen dengan titik rasional O pada S dalam ruang affine. 1 Kemudian pada persamaan (1) dipilih W 0, sehingga diperoleh bidang singgung T 1 pada S di X , yaitu 1
Z Y a XY a Y X a Z a Y a X a Z Y X F
T1: ( , , ) 1 3 2 3 3 3 3 5 2 3 6 2 3 7 2 0 6
3 3
3a8YZ2 a15X2Z a16XZ2 a20XYZ .
Selanjutnya dibentuk C1 yang merupakan irisan permukaan kubik S dengan bidang T 1 atau yang dinyatakan dengan
1
1 S T
C .
Berikutnya melalui X ditarik garis singgung pada 1 C , dan garis tersebut beririsan 1 dengan C1 di titik lain, yaitu X . Kemudian melalui 2 X ditarik garis singgung pada 2 C1 dan garis tersebut beririsan dengan C1 di titik lain, yaitu X . Oleh karena itu, dari dua 3 garis singgung tersebut diperoleh titikX dan 2 X yang terletak pada 3 C . 1
3
Langkah berikutnya adalah dengan memiilih X 0 pada persamaan (1), sehingga diperoleh bidang singgung T pada S di 2 X , yaitu 2
Y W a YZ a Z Y a W a Z a Y a W Z Y F
T2: ( , , ) 2 3 3 3 4 3 3 7 2 3 8 2 3 11 2 0 6
3 3
3a12WY2 a13W2Z a14WZ2 a19WYZ .
Kemudian dibentuk C2 yang merupakan irisan permukaan kubik S dengan bidang T 1 atau yang dinyatakan dengan
2
2 S T
C .
Titik X juga ada pada 3 C2 karena bidang singgung pada suatu titik di S memuat semua garis yang bersinggungan dengan S dan garis X2X3 bersinggungan dengan C2 di titik X . Berikutnya melalui titik 2 X ditarik garis singgung pada 3 C , dan garis 2 tersebut beririsan dengan titik lainnya, yaitu titik X . Dengan demikian dari 4 pembentukan kedua garis singgung tersebut diperoleh titik X dan 3 X yang terletak 4 pada C . 2
Jika [X,Y,Z,W] adalah koordinat pada S , dimana dapat dibentuk titik-titik ]
0 , 0 , 0 , 1
1 [
X , X2 [0,1,0,0], X3 [0,0,1,0], dan X4 [0,0,0,1]. Berdasarkan titik- titik tersebut, diperoleh garis-garis sebagai berikut:
1. GarisX1X2, dimana Z W 0. Garis X1X2 adalah garis singgung pada C1 di X . 1 2. GarisX1X3, dimana Y W 0. Garis X1X3 adalah garis singgung pada S di X . 1 3. GarisX2X3, dimanaX W 0. Garis X2X3 adalah garis singgung pada C di 1 X 2 4. Garis X2X4, dimanaX Z 0. Garis X2X4 adalah garis singgung pada S di X 2 5. Garis X3X4, dimanaX Y 0. GarisX3X4 adalah garis singgung pada C di 2 X 3 2.2 Persamaan Permukaan Kubik dalam Ruang Affine
Lema 1.
Jika persamaan permukaan kubik pada persamaan (1) dikonstruksi garis-garis singgung, maka pada persamaan (1) koefisien a1 a2 a3 a4 a5 a7 a12 a14 a15 0. Bukti
Pertama, permukaan kubik S beririsan dengan garis X1X2, dimana Z W 0. Dengan mensubstitusikan Z W 0 pada persamaan (1), diperoleh
F(X,Y) a1X3 a2Y3 3a5X2Y 3a6XY2 0, (2) karena garis X1X2 memuat X1 [1,0,0,0], maka dari persamaan (2) diperoleh
0 3
3 )
(Y a1 a2Y3 a5Y a6Y2
F . (3)
Berikutnya pada titik X1 [1,0,0,0] diketahui Y 0. Untuk memperoleh Y 0, persamaan (3) dapat dibentuk menjadi
a1 Y2 a2Y 3a6 3a5Y 0. (4)
4
Dari persamaan (4) dengan mengambil a1 0 dan a5 0, diperoleh
2
2 3 6 0
Y a Y a , (5)
sehingga dari persamaan (5) diperoleh Y 0 berupa akar ganda.
Kedua, permukaan kubik S beririsan dengan garis X1X3, dimana Y W 0. Dengan mensubstitusikan Y W 0 pada persamaan (1), diperoleh
F(X,Z) a1X3 a3Z3 3a15X2Z 3a16XZ2 0, (6) karena garis X1X3 memuat X1 [1,0,0,0], maka dari persamaan (6) diperoleh
F(Z) a1 a3Z3 3a15Z 3a16Z2 0. (7) Berikutnya pada titik X1 [1,0,0,0] diketahui Z 0. Untuk memperoleh Z 0, persamaan (7) dapat dibentuk menjadi
a1 Z2 a3Z 3a16 3a15Z 0. (8) Dari persamaan (8) dengan mengambil a1 0 dan a15 0, diperoleh
2
3 3 16 0
Z a Z a , (9)
Sehingga dari persamaan (9) diperoleh Z 0 berupa akar ganda.
Ketiga, permukaan kubik S beririsan dengan garis X2X3, dimana X W 0. Dengan mensubstitusikan X W 0 pada persamaan (1), diperoleh
0 3
3 )
,
(Y Z a2Y3 a3Z3 a7Y2Z a8YZ2
F , (10)
karena garis X2X3 memuat X2 [0,1,0,0], maka dari persamaan (10) diperoleh 0
3 3
)
(Z a2 a3Z3 a7Z a8Z2
F . (11)
Berikutnya pada titik X2 [0,1,0,0] diketahui Z 0. Untuk memperoleh Z 0, persamaan (11) dapat dibentuk menjadi
a2 Z2 a3Z 3a8 3a7Z 0. (12) Dari persamaan (12) dengan mengambil a2 0 dan a7 0, diperoleh
Z2 a Z3 3a8 0, (13) sehingga dari persamaan (13) diperoleh Z 0 berupa akar ganda.
Keempat, permukaan kubik S beririsan dengan garis X2X4, dimana X Z 0. Dengan mensubstitusikan X Z 0 pada persamaan (1), sehingga diperoleh
F(Y,W) a2Y3 a4W3 3a11W2Y 3a12WY2 0, (14) karena garis X2X4 memuat titik X2 [0,1,0,0], maka dari persamaan (14) diperoleh
5
0 3
3 )
(W a2 a4W3 a11W2 a12W
F . (15)
Berikutnya pada titikX2 [0,1,0,0] diketahui W 0. Untuk memperoleh W 0, persamaan (15) dapat dibentuk menjadi
0 3
3 11 12
4 2
2 W a W a a W
a . (16)
Dari persamaan (16) dengan mengambil a1 0 dan a12 0, diperoleh
2
4 3 11
W a W a =0, (17)
sehingga dari persamaan (17) diperoleh W 0 berupa akar ganda.
Kelima, permukaan kubik S beririsan dengan garis X3X4, dimana X Y 0. Dengan mensubstitusikan X Y 0 pada persamaan (1), diperoleh
F(Z,W) a3Z3 a4W3 3a13W2Z 3a14WZ2 0, (18) karena garis X3X4 memuat titik X3 [0,0,1,0], maka dari persamaan (18) diperoleh
F(W) a3 a W4 3 3a W13 2 3a W14 0. (19) Berikutnya pada titikX3 [0,0,1,0] diketahui W 0. Untuk memperoleh W 0, persamaan (19) dapat dibentuk menjadi
0 3
3 13 14
4 2
3 W a W a a W
a . (20)
Dari persamaan (20) dengan mengambil a1 0 dan a14 0, diperoleh
2
4 3 13 0
W a W a , (21)
sehingga dari persamaan (21) diperoleh W 0 berupa akar ganda.
Selanjutnya, titik X4 [0, 0, 0,1] berada pada permukaan kubik S , dimana 0
Z Y
X . Dengan mensubstitusikan X Y Z 0 ke persamaan (1), diperoleh
F(W) a4W3 0, (22)
karena a4W3 0, maka a4 0. ■
Berdasarkan Lemma 1, maka persamaan (1) menjadi
2 2 2 2 2
6 8 9 10 11
( , , , ) 3 3 3 3 3
F X Y Z W a XY a YZ a W X a WX a W Y
2 2
13 16 17 18
3a W Z 3a XZ 6a WXY 6a WXZ
6a WYZ19 6a XYZ20 . (22) Kemudian dehomogenkan persamaan (22) terhadap W , sehingga diperoleh
2 2 2
6 8 16 9 10 11 13 2 17
a xy a y a x z a x a x a y a z a xy
2a18xz 2a19yz 2a20xyz 0, (23) dimana persamaan (23) merupakan persamaan permukaan kubik dalam ruang affine.
6
3. BENTUK NORMAL PADA PERSAMAAN PERMUKAAN KUBIK Setelah permukaan kubik dalam ruang proyektif disedernakan menjadi permukaan kubik dalam ruang affine, selanjutnya melalui transformasi, persamaan permukaan kubik dalam ruang affine dapat dibentuk menjadi persamaan dalam bentuk normal.
Teorema 2.
Diketahui persamaan permukaan kubik dalam ruang affine dengan koefisien bilangan rasional dan titik rasional pada persamaan (23). Selanjutnya, Jika koefisiennya memenuhi salah satu dari tiga syarat berikut:
i. a8 0dan a16 0, ii. a8 0dan a16 0, iii. a8 0dan a16 0,
maka persamaan permukaan kubik dalam ruang affine dapat dibentuk menjadi persamaan dalam bentuk normal z2 f(x,y), dengan f(x,y) adalah polinomial berderajat empat.
Bukti
Karena diketahui persamaan (23) memenuhi salah satu dari tiga syarat berikut, yaitu:
0 ,
0 16
8 a
a ; atau a8 0,a16 0; atau a8 0,a16 0, maka pada persamaan (23) dapat digunakan transformasi
x a y a z z
16 8
, sehingga diperoleh xy x a
a y a
z y a
a x a x x a a y a xy z
a 17
16 8
13 11
2 10 9 16 8
2 2
6 2
2 2 2 0
16 8
20 16
8 19 16
8 18
x a y a
xyz a x a y a
yz a x a y a
xz
a (24)
Kemudian, dengan mengalikan kedua sisi pada persamaan (24) dengan a8y a16x , diperoleh
a6xy2+a9x+a10x2+a11y+2a17xy a8y a16x z2 (a13 2a18 2a19 2a20xy)z 0. (25) Jika pada persamaan (25)
x a y a xy a y+
+a x x+a +a xy a y x
g , 6 2 9 10 2 11 2 17 8 16 maka persamaan (25) dapat ditulis menjadi
z2 (a13 2a18 2a19 2a20xy)z g x,y 0 (26) Dari persamaan (26) jika p a13 2a18 2a19 2a xy20 , maka persamaan (26) dapat ditulis menjadi
0 ) 4
, 2 (
2 2
y p x p g
z , (27) sehingga persamaan (27) menjadi
7
2 2
13 18 19 20 13 18 19 20
( 2 2 2 ) ( 2 2 2 )
( , ) 0
2 4
a a a a xy a a a a xy
z g x y . (28)
Selanjutnya transformasikan
2 2 2
2 18 19 20
13 a a a xy
z a
z ke persamaan (28),
sehingga dari persamaan (28) diperoleh
( , )
4
) 2 2 2
( 13 18 19 20 2
2 a a a a xy g x y
z , (29)
dimana ruas kanan dari persamaan (29) berderajat empat. Oleh karena itu, diperoleh bahwa persamaan permukaan kubik ekuivalen dengan permukaan dalam bentuk normal
) ,
2 (
y x f
z , dimana f(x,y) adalah polinomial berderajat empat. ■ Kemudian dengan memperluas persamaan (29), diperoleh
2 3 2 2 2 2 2 2 2
10 16 6 16 20 2 16 17 8 10
z a a x a a x y a x y a a x y a a x y
2 2 2 2 3 2
18 20 9 16 18 6 8 8 17
2a a x y a a x a x a a xy 2a a xy
2
19 20 11 16 8 9 13 20 18 19
2a a xy a a xy a a xy a a xy 2a a xy 13 18 8 11 2 192 2 13 19 1 132
a a x a a y a y a a y 4a . (30) Selanjutnya persamaan (30) dapat disederhanakan dengan menggunakan Proposisi 3.
Proposisi 3.
Jika a10a16 0 dan a a6 16 a202 , variabel x2y pada persamaan (30) dapat dieliminasi.
Bukti
Jika pada persamaan (30) a10a16 0, maka diperoleh
2
2 3 6 20 2 2 17 8 18 20 2
10 10 16 10 16 10 16
2 2
a a a a a a
z x x y x y
a a a a a a a
2
2 3 2
9 18 6 8 8 17 19 20
10 10 16 10 16 10 16 10 16
2
a a a a a a a a
x xy xy
a a a a a a a a a
8 9 13 20 18 19 13 18
11
10 10 16 10 16 10 16 10 16
2
a a a a a a a a
a xy x
a a a a a a a a a
2 2
8 11 19 2 13 19 13
10 16 10 16 10 16 4 10 16
a a a a a a
y y
a a a a a a a a . (31)
Jika bi adalah kombinasi dari ai, maka persamaan (31) dapat ditulis menjadi
2 3 2 2 2 2 3 2
1 2 3 4 5 6 7
z x b x y b x y b x b xy b xy b xy b x b y8 2 b y b , (32) 9 10 dengan bi adalah
2
6 20
1
10 10 16
a a ,
b a a a
8 9 13 20 18 19
11 6
10 10 16 10 16 10 16
2 ,
a a a a a a
b a
a a a a a a a
8
17 8 18 20
2
10 16 10 16
2 2
a a a a ,
b a a a a 7 13 18
10 16
a a ,
b a a
2
9 18
3
10 10 16
a a ,
b a a a
2
8 11 19
8
10 16 10 16
a a a ,
b a a a a
6 8 4
10 16
a a ,
b a a
13 19 9
10 16
, dan b a a
a a
8 17 19 20 5
10 16 10 16
2a a a a ,
b a a a a
2 13 10
10 16
4 , b a
a a Jika a a6 16 a202 , maka dari persamaan (32) diperoleh
2 2
2 3 2 2 3 2 2
1 2 4 5 6 7
1 1 1
2 4
b b b
z x b x y xy b y b y b b x
b b b
b y8 2 b y b9 10 . (33)
Selanjutnya transformasikan
1 2
2b y b
y pada persamaan (33), sehingga diperoleh
2
2 3 2 2 3 2 2 2 2
1 4 5 3 8 6 7 9 10
4 1
z x b x y b xy b xy b b x b y b xy b x b y b
b . (34)
Jika c adalah kombinasi dari i bi, maka persamaan (34) dapat ditulis menjadi
2 3 2 2 3 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
z x c x y c xy c xy c x c y c xy c x c y c
f x y , ( , ) (35)
dengan c adalah i
1 1,
c b c6 b6,
2 4,
c b c7 b7,
3 5,
c b c8 b9, dan
2 2
4 3
1
4 , c b b
b c9 b10,
5 8, c b
dimana variabel x2y pada persamaan (30) telah dieliminasi, dan persamaan (35) merupakan bentuk normal pada persamaan permukaan kubik dalam ruang affine dengan bentuk z2 f(x,y). ■
Jadi dengan menggunakan Teorema 2 dan Proposisi 3 diperoleh bahwa permukaan kubik ekuivalen dengan permukaan dalam bentuk z2 f(x,y)dengan f(x,y) adalah polinomial berderajat empat.
9
DAFTAR PUSTAKA
[1] Li, Z.K. 2010. A Normal Form For Cubic Surface, International Journal of Algebra, 5 (4): 233-239.
[2] Z.K. Li. 2010. On a Special Case of the Intersection of Quadric and Cubic Surfaces, Journal of Pure and Applied Algebra 214: 2078-2086.
[3] Silverman, J.H. & Tate J. 1992. Rational Points on Elliptic Curves, Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, New York.
[4] Wang, W., B. Joe, & R. Goldman. 2003. Computing Quadric Surface Intersections Based on an Analysis of Plane Cubic Curves, Graphical Models 64:
335-367.
