k.2

PRINSIP SANGKAR BURUNG MERPATI

Dosen Pengampu : Dr. Sinta Verawati Dewi S.Pd,M.Pd

TABLE OF CONTENTS

01 02 03

04

05

06

PRACTICAL USES OF THIS

SUBJECT

It’s the closest planet to the Sun

MERCURY

Yes, this is the ringed one

SATURN

Despite being red, Mars is cold

MARS

Venus has a beautiful name

VENUS

TEOREMA

TEOREMA

TEOREMA 1

Bukti:

(a) Sekarang (n) • (k) (m – 1) < m. Jika jumlah merpati tepat n • k, dimungkinkan untuk mengalokasikan k merpati ke setiap lubang. Tetapi jumlah merpati adalah m, yang lebih besar dari n • k. Jadi setidaknya ada satu lubang dengan lebih dari k penghuni.

(b) Di sini k = lantai dari [(p1 + p2 + ⋯+ pn)/n] – 1. Jadi (k + 1) sama dengan atau lebih besar dari setidaknya satu dari n bilangan bulat.

(a) Jika m burung merpati dialokasikan untuk n lubang burung merpati, maka paling sedikit satu lubang memiliki lebih dari k burung merpati, di mana k adalah lantai dari (m – 1)/n

(b) Jika m = p1 + p2 + + pn – n + 1 merpati (setiap pi adalah bilangan bulat positif) diberikan kepada ⋯ n sarang, maka lubang merpati pertama memiliki paling sedikit p1 burung merpati, atau lubang merpati kedua memiliki setidaknya p2 merpati, . . . , atau lubang merpati ke-n memiliki setidaknya pn merpati.

TEOREMA

TEOREMA 2

Misal X = {1, 2, 3, . . . , 2n) dan misalkan S adalah himpunan bagian dari X dengan (n + 1) elemen.

Maka setidaknya ada dua angka dalam S sedemikian rupa sehingga yang satu membagi yang lain.

Bukti:

Setiap bilangan r dalam S dapat direpresentasikan sebagai r = 2t • s, di mana t adalah bilangan bulat tidak negatif dan s adalah bilangan ganjil dari X, disebut bagian ganjil dari r. Ada paling banyak n pilihan untuk s karena ada n bilangan ganjil di X. n bagian ganjil dapat dianggap sebagai n lubang merpati dan (n + 1) nomor S akan dialokasikan untuk lubang ini. Dengan kata lain, ada dua bilangan x dan y di S dengan bagian ganjil yang sama. Misalkan x = 2t • s dan y = 2 u • s. Kemudian x membagi y, atau sebaliknya.

TEOREMA

TEOREMA 3

Setiap barisan dari (n2 + 1) bilangan yang berbeda mengandung barisan dari paling sedikit (n + 1) suku yang merupakan barisan naik atau barisan menurun.

Bukti:

Misalkan barisan tersebut adalah ai (i = 1, 2, . . . , n2 + 1) dan misalkan ti adalah banyaknya suku pada barisan naik terpanjang yang dimulai dari ai. Jika ti, = n + 1 untuk beberapa i, kita selesai. Misalkan ti n setiap i. Misalkan Hj = {ai : ti = j}, dimana j = 1, 2, . . . , n.

Dengan demikian kita memiliki n pigeonholes H1, H2, . . . , Hn yang (n2 + 1) nomor ti, dialokasikan. Jadi dengan prinsip umum pigeonhole ada pigeonhole Hr yang berisi lebih dari k angka-angka ini di mana k = lantai [(n2 + 1) – 1]/n

= n. Jadi di antara angka-angka ti, setidaknya (n + 1) di antaranya sama. Kami sekarang menetapkan bahwa (n + 1) angka dalam urutan yang sesuai dengan angkaangka ini di pigeonhole Hr membentuk urutan menurun. Biarkan ai dan aj berada di Hr, di mana i < j. Entah ai < aj atau ai > aj karena elemen-elemen dalam barisan semuanya berbeda.

Misalkan ai < aj. Sekarang aj, Hr menyiratkan bahwa ada barisan panjang r mulai dari aj. Jadi ai < aj menyiratkan ∈ bahwa ada barisan panjang (r + 1) mulai dari aj. Ini adalah kontradiksi, karena tidak mungkin ada barisan panjang (r + 1) dimulai dari ai karena ai adalah elemen dari Hr. Jadi ai > aj kapanpun i < j. Jadi setiap (n elemen dalam Hr akan menghasilkan turunan yang sangat menurun.

CONTOH SOAL

CONTOH SOAL

Contoh 1 :

Sebuah kantong berisi tepat 6 kelereng merah, 5 putih, dan 7 biru. Tentukan jumlah kelereng paling sedikit yang akan dipilih yang akan memastikan bahwa paling sedikit 3 kelereng merah atau paling sedikit 4 kelereng putih atau paling sedikit 5 kelereng biru yang terambil.

Bukti:

 Metode Pertama (Menggunakan Teorema 1):

Di sini n = 3, p1 = 3, p2 = 4, dan p3 = 5. Jadi m = (3 + 4 + 5) – 3 + 1 = 10.

 Metode Kedua:

Misalkan banyaknya kelereng merah, putih, dan biru yang akan dipilih berturut-turut adalah x, y, dan z. Kita mensyaratkan bahwa x paling sedikit 3 atau y paling sedikit 4 atau z paling sedikit 5. Situasi ini tidak akan terjadi jika x paling banyak 2 dan y paling banyak 3 dan z paling banyak 4, yang menyiratkan bahwa x + y + z paling banyak 9. Jadi kita harus memilih paling sedikit 10 kelereng.

Contoh 2 :

Dalam setiap kelompok yang terdiri dari 6 orang, ada 3 orang yang saling kenal atau ada 3 orang asing.

Bukti:

Misalkan {A, B, C, D, E, F} adalah himpunan yang terdiri dari 6 orang dan misalkan Y adalah sebuah ruangan di mana orang-orang yang diketahui A duduk. Misalkan Z adalah ruangan tempat duduk orang-orang yang tidak diketahui A. Lima individu B, C, D, E, dan F harus ditempatkan di dua ruangan Y dan Z. Jadi dengan proposisi sebelumnya baik Y atau Z memiliki setidaknya k + 1 individu, di mana k = lantai (5 – l)/2 = 2.

CONTOH SOAL

CONTOH SOAL

Lihat Gambar 2.2. Jika ada garis putus putus yang menghubungkan dua nama, kedua individu ini tidak saling mengenal. Jika ada garis yang menghubungkan dua individu, mereka saling mengenal.

(a). Misalkan ruangan Y memiliki 3 orang atau lebih.

Misalkan B, C, dan D adalah tiga individu dalam Y. Ada dua kemungkinan: B, C, dan D tidak saling mengenal, seperti pada Gambar 2.2(a), membentuk kelompok yang terdiri dari 3 orang asing, atau pada setidaknya 2 dari mereka (misalnya, C dan D) saling mengenal, seperti pada Gambar 2.2(b).

Dalam kasus terakhir, dua individu ini, C dan D, bersama dengan A, membentuk kelompok yang terdiri dari 3 orang yang saling mengenal.

CONTOH SOAL

(b). Misalkan ruangan Z memiliki 3 orang atau lebih.

Misalkan B, C, dan D adalah 3 dari orang-orang di Z. Ada dua kemungkinan: Apakah 3 individu ini saling mengenal seperti pada Gambar 2.2(c), membentuk kelompok yang terdiri dari 3 individu yang saling kenal, atau ada setidaknya 2 individu (katakanlah, C dan D) yang tidak saling mengenal. Dalam kasus terakhir, 2 individu ini, C dan D, bersama dengan A, membentuk kelompok yang terdiri dari 3 orang asing.

CONTOH SOAL

Contoh 4 :

Ilustrasikan Teorema 3 untuk barisan:

(a) 15, 12, 5, 7, 9, 6, 3, 4, 10, 14 (b) 15, 12, 9, 10, 7, 5, 4, 14, 3, 6 Bukti:

(a). Di sini n = 3, karena ada 10 elemen dalam barisan dan ti yang bersesuaian (10 di antaranya) adalah 1, 2, 5, 4, 3, 3, 4, 3, 2, 1. Karena t3 adalah 5 , terdapat kenaikan barisan 5 elemen dimulai dari a3, yaitu 5, 7, 9, 10, 14.

(b). Di sini ti yang sesuai adalah 1, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 1. Tidak ada yang melebihi 3. Kita mendapatkan H1 = {15, 14, 6}, H2 = {12 , 10, 7, 4, 3}, dan H3 = {9, 5}. Barisan yang keluar dari himpunan kedua merupakan turunan menurun dari barisan yang diberikan dengan 5 angka.

APLIKASI PRINSIP SANGKAR

BURUNG MERPATI

Aplikasi Prinsip Sarang Merpati (Pigeonhole Principle)

1. Aplikasi Penggunaan dalam Objek Teori Bilangan

Dalam teori bilangan, kita dapat memanfaatkan prinsip sarang merpati ini dalam masalah keterbagian bilangan. Seperti yang sudah kita ketahui sebelumnya, jika suatu bilangan asli dibagi dengan bilangan asli lainnya, katakanlah m maka akan terdapat m sisa pembagian yang mungkin, yaitu 0,1,2,…,m-1. Dengan begitu, melalui prinsip sarang merpati dapat dibuktikan dengan mudah bahwa diantara m+1 bilangan cacah yang berbeda, paling sedikit terdapat dua bilangan berbeda yang memberikan sisa yang sama saat dibagi oleh m. Contohnya, diantara 5 bilangan cacah berbeda, akan terdapat dua buah bilangan yang memberi sisa yang sama saat dibagi 4.

Aplikasi Prinsip Sarang Merpati (Pigeonhole Principle)

Aplikasi Penggunaan dalam Objek Teori Bilangan

Sebagai contoh lain, misalkan terdapat a, yaitu bilangan yang relatif prima terhadap 2 dan 5. Kita dapat memperlihatkan bahwa untuk suatu n, terdapat bilangan a berpangkat yang berakhir dengan 000…1 dimana terdapat n-1 digit 0.

Pernyataan tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut. Misalkan terdapat 10ⁿ bilangan, yaitu a¹ , a² , . . . , a¹⁰ⁿ. Bagi semua bilangan dengan 10ⁿ. Karena a relatif prima terhadap 10 maka sisa pembagian 0 tidak akan muncul sehingga terdapat 10ⁿ-1 kemungkinan sisa, yaitu 1,2,3,…,10ⁿ-1. Maka akan terdapat dua bilangan dengan sisa yang sama. Katakanlah kedua bilangan itu a^pdan a^q dengan p>q tanpa mengurangi keumuman. Karena memberikan sisa yang sama saat dibagi 10ⁿ, maka a^p - a^q habis dibagi 10ⁿ. Karenanya, 10ⁿ│a^q ( a ^p-q – 1 ) dan haruslah 10ⁿ│a ^p-q – 1 karena 10 dan a saling relatif prima.

Dengan begitu, kita dapatkan a^p-q = m. 10ⁿ + 1 untuk suatu bilangan bulat m. Dan bilangan tersebut lah yang berakhir dengan .

Aplikasi Prinsip Sarang Merpati (Pigeonhole Principle)

2. Aplikasi dalam Objek Geometri

Konsep rumah merpati ini juga dapat digunakan dalam menyelesaikan permasalahan dengan objek geometri, yaitu jarak antar titik di bidang.

Pada bidang dua dimensi contohnya, dari 5 titik dengan komponen absis dan ordinatnya bilangan bulat yang dipilih secara acak, dapat kita temui sepasang titik yang titik tengahnya juga merupakan titik latis.

Titik latis yaitu titik dengan komponen absis dan ordinat berupa bilanagan bulat.

Dengan mudah, kita dapat membuktika pernyataan diatas menggunakan prinsip rumah merpati. Setiap bilangan bulat memiliki dua kemungkinan paritas, yaitu genap atau ganjil. Rerata dari dua bilangan bulat akan bulat jika paritasnya sama. Sifat inilah yang dapat kita manfaatkan pada prinsip rumah merpati kali ini. Setiap titik latis pada bidang dua dimensi memiliki salah satu dari pasangan paritas berikut:

(genap,genap),(ganjil,ganjil), (genap, ganjil), atau (ganjil, genap). Menurut prinsip rumah merpati, jika kita memilih 5 titik latis, maka akan kita dapatkan dua dengan pasangan paritas yang sama. Kesamaan pasangan paritas tersebut membuat reratanya merupakan bilangan bulat sehingga titik tengahnya merupakan titik latis juga. Hal yang sama berlaku pada bidang tiga dimensi dimana terdapat dua titik dengan titik tengah berupa titik latis dari sembilan titik latis yang dipilih sebelumnya.

Aplikasi Prinsip Sarang Merpati (Pigeonhole Principle)

2. Aplikasi dalam Objek Geometri

Konsep rumah merpati ini juga dapat digunakan dalam menyelesaikan permasalahan dengan objek geometri, yaitu jarak antar titik di bidang.

Pada bidang dua dimensi contohnya, dari 5 titik dengan komponen absis dan ordinatnya bilangan bulat yang dipilih secara acak, dapat kita temui sepasang titik yang titik tengahnya juga merupakan titik latis.

Titik latis yaitu titik dengan komponen absis dan ordinat berupa bilanagan bulat.

Dengan mudah, kita dapat membuktika pernyataan diatas menggunakan prinsip rumah merpati. Setiap bilangan bulat memiliki dua kemungkinan paritas, yaitu genap atau ganjil. Rerata dari dua bilangan bulat akan bulat jika paritasnya sama. Sifat inilah yang dapat kita manfaatkan pada prinsip rumah merpati kali ini. Setiap titik latis pada bidang dua dimensi memiliki salah satu dari pasangan paritas berikut:

(genap,genap),(ganjil,ganjil), (genap, ganjil), atau (ganjil, genap). Menurut prinsip rumah merpati, jika kita memilih 5 titik latis, maka akan kita dapatkan dua dengan pasangan paritas yang sama. Kesamaan pasangan paritas tersebut membuat reratanya merupakan bilangan bulat sehingga titik tengahnya merupakan titik latis juga. Hal yang sama berlaku pada bidang tiga dimensi dimana terdapat dua titik dengan titik tengah berupa titik latis dari sembilan titik latis yang dipilih sebelumnya.

Despite being red, Mars is actually a cold place. It’s full of

iron oxide dust, giving the planet its

reddish cast

It’s a gas giant and the biggest planet in

our Solar System.

Jupiter is the fourth- brightest object in

the sky

Venus has a beautiful name and is the second planet from the Sun. It’s terribly hot, even hotter than

Mercury

FEATURES OF THE TOPIC

MARS JUPITER VENUS

WHAT IS THIS TOPIC ABOUT?

Here you could give a brief description of the topic you want to talk about. For

example, if you want to talk about Mercury, you could say that it’s the

closest planet to the Sun and the smallest one in our Solar System. It’s

only a bit larger than our

Moon, and its name has nothing to do with the liquid metal, since it was named after the Roman messenger

god, Mercury

A picture is worth a

thousand words

It’s the closest planet to the Sun

and the smallest one in our System

It’s the ringed one, composed mostly of

hydrogen and helium gas

Despite being red, Mars is actually a cold place. It’s full

of iron oxide dust

Venus has a beautiful name and is the second planet from the Sun

DEFINITION OF CONCEPTS

MERCURY SATURN MARS VENUS

7.2M 10K

33,400

You can use them to make an impression Remember that big

numbers grab a lot of attention

In Spain, a comma is used as a decimal

separator

LESSON DEVELOPMENT

Mercury is the smallest one

02

Saturn is the ringed one

03

Despite being red, Mars is cold

04

Venus has a

beautiful name

01

Insert your multimedia content here

Despite being red, Mars is actually a cold place. It’s full of iron oxide dust, which gives the planet its reddish cast

Mercury is the closest planet to the Sun

MERCURY

Saturn is the ringed planet and a gas giant

SATURN

Despite being red, Mars is a cold place

MARS

DID YOU KNOW...?

...and did you know this?

If you want to modify this graph, click on it, follow the link, change the data and replace it here

Despite being red, Mars is actually a cold place. It’s full of iron oxide dust, which gives the planet its reddish cast

Mercury is the closest planet to the Sun and the smallest

one in the Solar System. It’s only a bit larger than

our Moon

Jupiter is a gas giant and the biggest planet in our Solar System. It’s also the

fourth-brightest object in the sky

PROBLEM SOLUTION

OVERVIEW DIAGRAM

PART 1 PART 2

LESSON 1

MARCH FEBRUARY

JANUARY DECEMBER

NOVEMBER

Mercury is the closest planet to

the Sun

LESSON 2 LESSON 3 LESSON 4 LESSON 5

Despite being red,

Mars is a cold place

Venus is the second planet from

the Sun

Saturn is the ringed planet and a gas giant

Neptune is the farthest planet from

the Sun

EXERCISE

● Mercury is the closest planet to the Sun, but does its name have anything to do with the liquid metal?

● Contrary to popular belief, no.

The truth is that this planet was named after the Roman

messenger god, Mercury

?

?

ASSIGNMENT

Mercury is the closest planet to the Sun, and Neptune is the farthest one.

Calculate the distance between these two planets

?

It’s the smallest planet in our Solar

System and the closest to the Sun

This is the ringed planet, composed mostly of hydrogen

and helium

Venus has a beautiful name and is the second planet

from the Sun

OTHER CONCEPTS

MERCURY SATURN VENUS

Despite being red, Mars is actually a cold place. It’s full of

iron oxide dust

Jupiter is a gas giant and the biggest planet in our Solar

System

Neptune is the farthest planet from

the Sun and the fourth-largest

MARS JUPITER NEPTUNE

CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo, including icons by Flaticon, and infographics

& images by Freepik.

THANKS!

Do you have any questions?

youremail@freepik.com +91 620 421 838

yourcompany.com

Please keep this slide for attribution.

ALTERNATIVE ICONS

ALTERNATIVE RESOURCES

RESOURCES

Did you like the resources on this template?

Get them for free at our other websites.

VECTORS

● Hand drawn icons collection

● Realistic math chalkboard backgroun

● dHand drawn school items for back to school

● Pricing table design

● Hand drawn map with travel element

● sSketches of blog elements

● Organization chart design

● Chalkboard back to school backgroun

● dHand drawn children back to school background

● Infographic element collection

● Hand drawn children back to school background

● Animal cute collection flat design

● Abstract hand-drawn flowers and leav

● esHealthy fresh fruits card collection

● Hand drawn children back to school

● Hand drawn children back to school

● Hand drawn children back to school

Instructions for use

In order to use this template, you must credit Slidesgo by keeping the Thanks slide.

You are allowed to:

- Modify this template.

- Use it for both personal and commercial projects.

You are not allowed to:

- Sublicense, sell or rent any of Slidesgo Content (or a modified version of Slidesgo Content).

- Distribute Slidesgo Content unless it has been expressly authorized by Slidesgo.

- Include Slidesgo Content in an online or offline database or file.

- Offer Slidesgo templates (or modified versions of Slidesgo templates) for download.

- Acquire the copyright of Slidesgo Content.

For more information about editing slides, please read our FAQs or visit Slidesgo School:

https://slidesgo.com/faqs and https://slidesgo.com/slidesgo-school

Fonts & colors used

This presentation has been made using the following fonts:

Permanent Marker

(https://fonts.google.com/specimen/Permanent+Marker) Comfortaa

(https://fonts.google.com/specimen/Comfortaa)

#fed58a #a6dfda #000000

#feb8b3

Storyset

Create your Story with our illustrated concepts. Choose the style you like the most, edit its colors, pick the background and layers you want to show and bring them to life with the animator panel! It will boost

your presentation. Check out How it Works.

Pana Amico Bro Rafiki Cuate

Use our editable graphic resources...

You can easily resize these resources without losing quality. To change the color, just ungroup the resource and click on the object you want to change. Then, click on the paint bucket and select the color you want.

Group the resource again when you’re done. You can also look for more infographics on Slidesgo.

JANUARY FEBRUARY MARCH APRIL

PHASE 1

Task 1

Task 2

JANUARY FEBRUARY MARCH APRIL MAY JUNE

PHASE 1

PHASE 2 Task 1

Task 2

Task 1

Task 2

...and our sets of editable icons

You can resize these icons, keeping the quality.

You can change the stroke and fill color; just select the icon and click on the paint bucket/pen.

In Google Slides, you can also use Flaticon’s extension, allowing you to customize and add even more icons.

Educational Icons Medical Icons

Business Icons Teamwork Icons

Help & Support Icons Avatar Icons

Creative Process Icons Performing Arts Icons

Nature Icons

SEO & Marketing Icons