Bab 8 Arus Bolak-Balik

Bab 8 Arus Bolak-Balik

Kita sudag belajar banyak tentang arus searah maupun rangkaian arus searah pada Bab 3. Sesuai dengan namanya, arus searah adalah arus yang arahnya selalu sama setiap waktu. Besarnya arus bisa berubah-ubah tetapi arahnya selalu sama; misalnya selalu tetap dari kiri ke kanan. Kalau kita plot dalam grafik arus terhadap waktu, di mana arus adalah sumbu vertical dan waktu adalah sumbu horizontal, maka grafik arus searah bisa berbentuk seperti pada Gambar 8. 1

ambar 8.1 Contoh grafik arus searah

ada grafik (a) kita dapatkan arus searah yang besarnya selalu konstan dan bertanda positif waktu

arus

waktu

arus

waktu

arus

waktu

arus

waktu

arus waktuarus

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

waktu

arus

waktu

arus

waktu

arus

waktu

arus

waktu

arus waktuarus

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

G

P

Pada grafik (b) kita dapatkan arus searah yang besarnya selalu konstan dan bertanda negatif

rus

ang besarnya berubah-ubah mengikuti pola sinusoidal.

i arah yang sama dan nilainya berubah-ubah mengikuti pola

bar (f) arus selalu memiliki arah yang sama (negatif) dan nilainya berubah-ubah

tus searah yang kita bahas di kelas dua dibatasi pada arus searah yang besarnya tetap seperti

.1 Arus bolak-balik

h arus yang arahnya berubah-ubah secara bergantian. Pada suatu saat arah

ambar 8.2 Contoh grafik arus bolak-balik

k yang berubah secara sinusoidal. Setengah periode rus bergerak dalam satu arah dan setengah periode lainnya arus bergerak dalam arah sebaliknya.

Pada grafik (c) kita dapatkan arus searah yang nilainya makin lama makin mengecil. A semacam ini sering disebut arus transien.

Pada grafik (d) kita dapatkan arus searah y

Walaupun arus berubah mengikuti pola sinusoidal, tetapi karena nilai arus selalu positif maka arus tersebut termasuk arus searah.

Pada grafik (e) arus selalu memilik persegi.

Pada gam

mengikuti pola segitiga.

A

yang ditunjukkan oleh gambar (a) atau (b).

8

Arus bolak-balik adala

arus ke kanan, kemudian berubah menjadi ke kiri, kemudian ke kanan, ke kiri, dan seterusnya.

Kalau digambarkan dalam bentuk kurva, maka contoh kurva arus bolak-balim ditunjukkan dalam Gambar 8.2

waktu

arus

waktu

arus

waktu

arus

waktu

arus

waktu

arus s

waktu

aru

waktu

arus

waktu

arus

G

Pada grafik (a) kita dapatkan arus bolak-bali a

Pada grafik (b) kita amati arus bolak-balik yang berubah secara persegi. Dalam setengah periode

arus bergerak dalam satu arah dan setengah periode lainnya arus bergerak dalam arah sebaliknya.

Pada grafik (c) kita amati arus bolak-balik yang berubah dengan pola segitiga.

Pada grafik (d) kita amati arus bolak-balik yang berubah secara transien.

.2 Arus Bolak-balik Sinusoidal

entuk arus bolak-balik yang paling sederhana adalah arus sinusoidal. Arus yang dihasilkan adalah arus bolak-balik sinusoidal. Kebergantungan arus

ambar 8.3 Contoh kurva tegangan dan arus bolak-balik 8

B

semua pembangkit tenaga listrik

terhadap waktu dapat dinyatakan oleh fungsi kosinus berikut ini

t

m

-I_m I I

T

t V

V_m

-V_m T

t

m

-I_m T

t V

V_m

-V_m T

I I

G

⎟⎞

⎜⎛ +

= I t

I 2π ϑ

cos⎝ ^o⎠

m T (8.1)

dengan adalah arus maksimum (amplitudo arus), T : periode arus, t : waktu, dan ϕo : fase la

b I m

mula-mu (saat t = 0). Jika arus tersebut melewati sebuah hambatan, maka tegangan antara dua ujung ham atan mmenuhi hukum Ohm

⎟⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ +

×

=

=RI R I t

V 2π ϑ

cos ⎠

⎜⎝ ^m ⎝ T ^o⎠

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= _m t _o

V 2Tπ ϑ

cos (8.2)

dengan ad

rus terhadap waktu

alir pada jaringan listrik PLN merupakan tegangan bolak-balik sinusoidal.

egangan sinusoidal merupakan tegangan yang paling mudah dihasilkan. Dengan memutar

n Rata-Rata

da sejumlah alat ukur yang dirancang yang hanya dapat mengukur nilai rata-rata suatu besaran.

rata-rata, berapa tegangan rata-rata yang dihasilkan arus bolak-balik?

m

m RI

V = alah amplitudo tegangan. Gbr 8.3 adalah contoh kurva tegangan maupun a

Tegangan yang meng T

lilitan dalam medan magnet dengan kecepatan sudut konstan maka dihasilkan tegangan sinusoidal. Kebanyakan pembangkit listrik PLN dihasilkan dengan memutar kumparan dalam medan magnet atau memutar magnet di dalam kumparan sehingga dihasilkan tegangan sinusoidal.

8.3 Teganga A

Jika ada alat ukur tagangan

Berapa juga arus rata-ratanya? Kita dapat mencarinya sebagai berikut.

Tegangan rata-rata didefinisikan sebagai berikut

∞

∫

= lim→ 1^τ τ τ ₀^Vdt

V (8.3)

Integral di atas dilakukan terhadap waktu dan perata-rataan dilakukan pada selang waktu τ enuju tak berhingga. Untuk fungsi sinusoidal, perata-rataan di atas menghasilkan nilai yang m

sama dengan perata-rataan selama satu periode saja. Jadi, tegangan rata-rata dapat ditulis dalam bentuk

∫

= ^TVdt V T

0

1 (8.4)

Dengan menggunakan V pada persamaan (8.2) maka didapat

∫

∫

^⎜_⎝^{⎛ + ⎟}_⎠^{⎞ = ⎜}_⎝^{⎛ + ⎟}_⎠^⎞

= ^T _{m o} ^{m T} t _o dt

T T

dt V T t

T V V

0 0

cos 2 cos 2

1 π ϑ π ϑ

(8.5)

Untuk memudahkan penyelesaian integral di atas kita misalkan

x Tπ t+ϑ^o =

2 (8.6)

Diferensiansi ruas kiri dan kanan maka

dx Tπ dt = 2

atau

T dx

dt = 2π (8.7)

Substitusi persamaan (8.6) dan (8.7) ke dalam persamaan (8.5) diperolel

V x dx V x

T dx T x

V V^{m m m} sin

cos 2 2 cos 2

π π

π ^{= =}

×

=

∫ ∫

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎥ =

⎦

⎟⎤

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= ^m _{o o}

T o m

T T T t V

T

V π ϑ π ϑ

ϑ π π

π ⁰

sin 2 sin 2

2 sin 2

2 ₀

( ) ( )

[ ] [

^sin

( )

^sin

( ) ]

⁰

0 2 sin 2

2 sin + − + = − =

=V^m _{o o} V^m ϑ_o ϑ_o

ϑ π ϑ

π π

Pada baris terakhir kita sudah menerapkan sifat periodisitas fungsi sinus dengan periode 360^o atau 2π radian, yaitu sin

(

2π +ϑo

)

=sin

( )

ϑo . Jadi, nilai rata-rata tegangan bolak balik sinusoidal adalah nol.

Dengan menggunakan hokum Ohm R

I =V maka nilai rata-rata arus bolak balik adalah

0 =0

=

= R R

I V

Jadi, nilai rata-rata arus bolak balik sinusoidal juga nol. Nilai rata-rata nol dapat dimengerti karena selama setengah periode, tegangan dan arus memiliki nilai positif dan setengah periode berikutnya memiliki nilai negatif. Dengan demikian, nilai tegangan atau arus pada masing-masing setengah periode tersebut saling menghilangkan. Akibatnya tegangan dan arus rata-rata menjadi nol.

8.4 Tegangan root mean square (rms)

Untuk arus bolak-balik, nilai rata-rata tidak memberikan informasi yang lengkap tentang besaran arus atau tegangan, misalnya amplitudo. Karena berapapun besar amplitudo, nilai rata-rata selalu nol. Apabila kita gunakan alat ukur tegangan rata-rata maka kita akan amati tegangan listrik PLN selalu nol. Agar diperoleh data yang lebih informatif maka didefinisikan besaran lain yang dipakai pada arus bolak-balik. Besaran tersebut adalah besaran rms (root mean square).

Tegangan dan arus rms didefinisikan sebagai

V2

V_rms = (8.8)

I2

I_rms = (8.9)

Tampak dari definisi bahwa untuk mendapatkan nilai rms maka kita melakukan tiga langkah, yaitu

i) besaran tersebut dikuadratkan

ii) menghitung nilai rata-rata besaran yang dikuadratkan tersebut iii) mengambil akar besaran yang telah dihitung nilai rata-ratanya.

Contoh betikut adalah bagaimana kita menghitung nilai rms dari tegangan bolak-balik sinusoidal.

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= _m t _o

V T

V 2π ϑ

cos

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= _m t _o

V T

V 2π ϑ

cos²

2 2

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= _{m o m} t _o

V T T t

V

V π ϑ 2π ϑ

2 cos

cos^{2 2 2}

2 2

dt T t

V T

T

o m ^×

∫

^⎜_⎝^{⎛ + ⎟}_⎠^⎞

=

0 2

2 2

1 cos π ϑ

(8.10)

Kembali kita misalkan

x Tπ t+ϑ^o =

2 (8.6)

Diferensiasi ruas kiri dan kanan maka

dx Tπ dt = 2

atau

T dx

dt = 2π (8.7)

Substitusi persamaan (8.6) dan (8.7) ke dalam persamaan (8.10) diperoleh

∫

∫

⁼

×

= V xdx

T dx T x

V

V _m ^{m 2}

2 2

2

2 cos

2 cos 2

1

π

π ^(8.11)

Untuk menyelesaikan integral di atas, kita transformasi cos² x sebagai berikut

x x

x cos² sin² 2

cos = −

1 cos 2 ) sin 1 (

cos² − − ² = ² −

= x x x

atau

x

x cos2

2 1 2

cos² = 1+ (812)

Dengan demikian

x x

dx x dx

dx x

xdx sin2

4 1 2 2 1

2cos 1 2

2 1 2cos 1 2

cos² 1 ⎥⎦⎤ = + = +

⎢⎣⎡ +

=

∫ ∫ ∫

∫

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= _o t _o

t T

Tπ ϑ 2π ϑ

2 2sin 1 2

2

1 (8.13)

Substitusi (8.13) ke persamaan (8.11) diperoleh

T o o

m t

t T T V V

0 2

2 2

2 2sin 1 2

2 1

2 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= π ϑ π ϑ

π

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎥−

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= ^m _{o o o o}

T T T

T T T

V V π ϑ π ϑ π ϑ π ϑ

π ⁰

2 2 2sin 0 1

2 2 1 2 2

2sin 1 2

2 1 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + + +

⎥⎦−

⎢⎣ ⎤

⎡ + + +

=V^m π ϑ_o π ϑ_o ϑ_o ϑ_o

π 2^sin20

0 1 2 2 1

2 2sin 2 1

2 1 2

2

( ) ( )

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎥⎦−

⎢⎣ ⎤

⎡ + + +

=V^m π ϑ^o π ϑ_o ϑ ϑ_o

π 2^{sin 2}

1 2 2

4 2sin 1 2 2

0 2

Mengingat sifat periodisitas fungsi sinus maka sin

(

4π +2ϑ_o

)

=sin

( )

2ϑ_o maka kita dapat menulis

( ) ( )

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎥⎦−

⎢⎣ ⎤

⎡ + +

=V^{m o} _{o o}

V π ϑ ϑ ϑ ϑ

π 2^{sin 2}

1 2 2

2sin 1 2 2

0 2

2

2 2

2 2

m

m V

V × =

= π

π

Akhirnya, tegangan rms menjadi

2

2

2 m

rms

V V

V = =

2 Vm

= (8.14)

Contoh

Tegangan listrik PLN di Indonesia memiliki frekuensi 50 Hz. Tegangan yang dialirkan ke rumah tangga besarnya 220 V. Nyatakan tegangan tersebut sebagai fungsi waktu

Jawab Diberikan f = 50 Hz

Maka periode adalah

50 1 = 1

= f

T s

Tegangan 220 V yang dialirkan ke rumah tangga merupakan tegangan rms. Jadi, Vrms = 220 V.

Dengan demikian, amplitudo tegangan adalah

2 220

2× =

= _rms

m V

V volt

Kita dapatkan tegangan sebagai fyngsi waktu sebagai berikut

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= _m t _o t _o

V T t

V π ϑ π ϑ

50 / 1 cos 2 2 2 220

cos )

(

(

πt+ϑ_o

)

=220 2cos100

dengan ϑ_o dapat diberi nilai sembarang.

8.5 Daya dan Daya Rata-Rata

Seperti pada arus searah, pada arus bolak-balik disipasi daya pada sebuah hambatan juga merupakan perkalian arus dan tegangan antara dua ujung hambatan. Misalkan sebuah hambatan R dialiri arus bolak-balik. Misalkan tegangan antara dua ujung hambatan memenuhi

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= _m t _o

V T

V 2π ϑ

cos

Berdasarkan hukum Ohm, arus yang mengalir pada hambatan adalah

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

= ^m t _o

T R

V R

I V 2π ϑ

cos

Disipasi daya pada hambatan memenuhi

R VI V P

= 2

=

Disipasi daya rata-rata pada hambatan adalah

R V R

P V

2 2

=

= (8.15)

Pembilang pada persamaan (8.15) tidak lain daripada kuadrat dari tegangan rms. Jadi kita dapat menulis

R P V^rms

2

= (8.16)

8.6 Tegangan bolak balik pada dua ujung hambatan

Misalkan arus bolak-balik yang mengalir pada hambatan adalah

(

_o

m t

I

I = cosω +ϑ

)

(8.17)

dengan

T

ω = ²π . Berapa tegangan antara dua ujung hambatan tersebut?

V_R

R I = I_mcos (ωt+ϕ_o) V_R

R I = I_mcos (ωt+ϕ_o)

Gambar 8.6 Arus bolak-balik melewati sebuah hambatan

ambar 8.7 Kurva tegangan dan arus sebagai fungsi waktu kerika arus bolak-balik dilewatkan ωt

I

I_m

-I_m

ωt V_R

I_mR

-I_mR

ωt I

I_m

-I_m

ωt V_R

I_mR

-I_mR

G

pada sebuah resistor

egangan tersebut dapat dicari dengan menggunakan hokum Ohm, yaitu T

(

_o

)

m

R IR I R t

V = = cosω +ϑ (8.18)

ampak bahwa arus dan tegangan berubah secara bersamaan. Ketika arus nol, tegangan pun nol

.7 Tegangan antara dua ujung kapasitor

juga memenuhi persamaan (8.17). Berapa tegangan

ambar 8.8 Arus bolak-balik melewati sebuah kapasitor

at dihitung dengan persamaan T

dan ketika arus maksimum, tegangan pun maksimum. Jika kita buatkan kurva arus dan tegangan maka kita dapatkan Gambar 8.7

8

Misalkan arus yang mengalir pada kapasitor

antara dua ujung kapasitor tersebut? Lihat Gambar 8.8

C I = I_mcos (ωt+ϕ_o) V_C

C I = I_mcos (ωt+ϕ_o) V_C

G

Mari kita hitung. Tegangan antara dua ujung kapasitor dap

C

V_C = Q (8.19)

Selanjutnya kita m ada kapasitor.

enentukan Q dengan cara mengintegralkan terhadap waktu arus yang mengalir p

( ) ∫ ( )

∫

∫

⁼

= Idt I

Q _mcosωt+ϑ_o dt =I_m cosωt+ϑ_o dt

(

_o

)

m t

I ω ϑ

ω ⁺

= sin (8.20)

Dengan demikian, tegangan antara dua ujung kapasitor adalah

(

_o

)

m

C t

C

V I ω ϑ

ω ⁺

= sin (8.21)

ersamaan (8.21) di atas dapat ditulis sebagai P

(

_o

)

C m

C I X t

V = sin ω +ϑ (8.22)

engan d

X_C C ω

= 1 (8.23)

eranan XC sama dengan peranan hambatan. Jadi pada arus bolak-balik kapasitor berperan

ambar 8.9 Kurva arus dan tegangan ketika arus bolak-balik melewati sebuah kapasitor

t. Jika ekuensi arus sangat besar maka hambatan kapasitor makin kecil. Untuk frekuensi yang menuju P

sebagai hambatan dengan nilai hambatan XC. Besaran ini sering dinamakan reaktansi kapasitif.

II

ωt I_m

-I_m

ωt V_C

I_mX_c

-I_mX_c π/2

ωt I_m

-I_m

ωt V_C

I_mX_c

-I_mX_c π/2

G

Hambatan kapasitor bergantung pada frekuensi arus yang melewati kapasitor tersebu fr

kita mendapatkan hubungan

tak berhingga maka hambatan kapasitor menuju nol, yang berarti kapasitor seolah-olah terhubung singkat. Sebaliknya jika frekuensi arus yang mengalir pada kapasitor menuju nol maka hambatan kapasitor menuju tak berhingga. Dalam kondisi ini kapasitor berperilaku sebagai sebuah saklar yang terbuka. Ini penyebab mengapa kapasitor tidak dapat dilewati arus DC. Arus DC memiliki frekuensi nol.

Dengan aturan trigonometri

(

+

)

=cos⎜⎛ + − ⎟⎞

sinωt ϑ ωt ϑ π

⎠

⎝ ^o 2

o (8.24)

Dengan demikian, tegangan antara dua ujung kapasitor dapat ditulis sebagai

⎟⎞

⎜⎛ + −

=I X cos ωt ϑ π

V^{C m C} ⎝ ^o 2⎠ (8.25)

Kurva arus yang mengalir pada kapasitor dan tegangan antara dua ujung kapasitor tampak pada ambar 8.9. Tampak pada Gambar 8.9 bahwa kurva tegangan dapat diperoleh dari kurva arus G

dengan menggeser fasa sebesar π/2 atau 90o. Dengan kata lain tegangan antara dua ujung kapasitor muncul lebih lambat daripada arus. Atau tegangan pada kapasitor mengikuti arus dengan keterlambatan fasa π/2.

8.8 Tegangan antara dua ujung inductor

isalkan inductor dengan indultansi L juga dialiri arus yang memenuhi persamaan (8.17).

tersebut?

Gambar 8.10

ari kita hitung. Tegangan antara dua ujung inductor dapat ditentukan dari persamaan M

Berapa tegangan antara dua ujung induksor

L I = I_mcos (ωt+ϕ_o) V_L

L I = I_mcos (ωt+ϕ_o) V_L

Arus bolak-balik melewati sebuah induktor

M

L dt LdI

= (8.26)

V

Dengan menggunakan I pada persamaan (8.17) maka diperoleh

( )

[

m o

]

m

(

o

)

L I t LI t

Ldt

V = d cosω +ϑ =−ω sinω +ϑ

Jika kita mendefinisikan

L

X_L =ω (8.27)

ita dapat menulis k

(

_o

)

L m

L I X t

V =− sinω +ϑ (8.28)

ampak dari persamaan (8.28) bahwa ketika dialiri arus bolak-balik, inductor berperan sebagai hambatan dengan nilai h

ambatan ini makin besar jika frekuensi arus makin besar. Jika frekuensi arus menuju tak T

ambatan X_L. Besaran X_L sering juga disebut reaktansi induktif. Nilai h

berhingga maka hambatan inductor menuju tak berhingga. Dalam kondisi ini, inductor berperan sebagai sebuah saklar terbuka. Sebaliknya, jika frekuensi arus menuju nol maka hambatan inductor juga menuju nol, atau inductor seperti terhubung singkat.

II

ωt I_m

-I_m

ωt V_L

I_mX_L

-I_mX_L π/2

ωt I_m

-I_m

ωt V_L

I_mX_L

-I_mX_L π/2

Gambar 8.11 Kurva arus dan tegangan ketika arus bolak-balik melewati sebuah induktor

Dengan aturan trigonometri kita dapat menulis

( )

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= +

−sinωt ϑ_o cos ωt ϑ_o π2 (8.29)

Dengan demikian, tegangan antara dua ujung inductor dapat juga ditulis sebagai

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= _{m L}cos ω ϑ_o π2

L I X t

V (8.30)

Gbr 8.11 adalah kurva arus dan tegangan antara dua ujung inductor. Tampak bahwa kurva VL dapat diperoleh dari kurva arus dengan menggeser fasa ke kiri sebesar π/2 atau 90o. Ini menandakan bahwa tegangan antara dua ujung inductor mendahului arus dengan fasa sebesar π/2 atau 90o.

dan inductor

emahami bahwa jika sebuah hambatan dilewati arus maka timbul disipasi daya.

emenuhi

(8.31)

aan (8.25) ke persamaan (8.31) maka

8.9 Disipasi daya pada kapasitor Kita sudah m

Ketika dilewati arus bolak-bali, kapasitor dan inductor berperan sebagai hambatan. Berapakah ponen tersebut? Mari kita analisis satu per satu.

disipasi daya pada dua kom

a) Disipasi daya pada kapasitor Disipasi daya pada kapasitor m

I V P_C = _C

ensubtitusi arus para persamaan (8.17) dan tegangan VC pada persam Dengan m

dalam

( )

[

m o

]

o C

m

C I X t I t

P ω ϑ π ⎥× ω +ϑ

⎦

⎣ ⎝ 2⎠

⎢ ⎤

⎡ ⎜⎛ + − ⎟⎞

= cos cos

(

o

)

o C

mX t t

I ω ϑ π ⎟ ω +ϑ

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

= cos

cos 2

2

Selanjutnya kita hitung disipasi daya rata-rata, yaitu

(

o

)

o C

m

C I X ⎝ t 2⎠ t

P = ² cos⎜⎛ω +ϑ −π ⎟⎞cosω +ϑ

( )

∫

^⎜_⎝^{⎛ + − ⎟}_⎠^{⎞ +}

×

= _{m C} ^T t _o t _o dt

X T

I² cos

cos 2

1 ω ϑ π ω ϑ

0

i atas, kita ganti ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

cos ωt ϑ_o π2 dengan sin

(

ωt+ϑo

)

Untuk menyelesaikan integral d sehingga

( ) ( )

∫

^{+ +}

= ^{m C} _{o o}

C t t dt

T X P I

0

cos

sinω ϑ ω ϑ (8.32)

T 2

Kita misalkan

(

ωt+ϑ_o

)

=u

sin (8.33)

iferensiasi ruas kiri dan kanan maka D

(

ωt+ϑ_o

)

dt =du ωcos

atau

( )

ϑ ω

ωt+ _o dt= ^du cos

Dengan demikian

(

ωt+ϑo

) (

ωt ϑo

)

dt udu u

(

ωt ϑo

)

sin ^cos + =

∫

= ₂^{1 2} =¹₂^sin2 + Jadi persamaan (8.32) menjadi

∫

( ) [ (

o

) (

o

]

C m T

o T

)

T X

t ϑ I ω ϑ ϑ

ω ⎥⎦⎤ = + − +

⎣ + sin sin 0

sin 2 2

1 ² _{2 2}

0 2

2

engingat

C m

C T

X P = I ⎢⎡

T / 2π

ω = maka ωT =2π sehingga M

( ) (

[

o o

]

C m

C T

X

P I² sin² 2π ϑ sin² ϑ

2 + −

=

)

Karena sifat periodisitas fungsi sinus maka sin

(

2π +ϑ_o

)

=sin

( )

ϑ_o dan akhirnya diperoleh

( ) ( )

[

^{sin sin}

]

⁰

= 2

C T

P ^{2 2}

2

=

− _o

o C

mX

I ϑ ϑ

Jadi, disipasi daya rata-rata pada kapasitor adalah nol. Kapa tor yang dilewati arus bolak-balik tidak mengalami pemanasan seperti yang dialami resisostor, walaupun pada rangkaian

olak-balik kapasitor berperan sepesrti sebuah hambatan.

) Disipasi daya pada induktor Disipasi daya pada kapasitor memenuhi

(8.34)

aan (8.17) dan tegangan VL pada persamaan (8.30) maka si

b

b

I V P_L = _L

Dengan mensubtitusi arus para persam

( )

[

m o

]

o L

m

L I X t I t

P ω ϑ π ⎥× ω +ϑ

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= cos

cos 2

(

o

)

o L

mX t t

I ω ϑ ⎟ ω +ϑ

⎜ ⎠

⎝ + + cos

cos_⎛ π2_⎞

2

Selanjutnya kita hitung disipasi daya rata-rata, yaitu

=

(

o

)

o L

m

L ⎟

⎜ ⎠

⎝ t 2 t

X I

P = ² cos⎛ω +ϑ +π ⎞cosω +ϑ

( )

∫

^⎜_⎝^{⎛ + + ⎟}_⎠^{⎞ +}

×

= _{m L} ^T t _o t _o dt

X T

I² cos

cos 2

1 ω ϑ π ω ϑ

0

(8.35)

ada persamaan (8.35), kita ganti

Untuk menyelesaikan integral p ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

cos ωt ϑ_o π2 dengan

(

ωt+ϑ_o

)

− sin sehingga

( ) ( )

∫

^{+ +}

−

= ^{m L} _{o o}

L t t dt

T X

P I ^Tsin ω ϑ cosω ϑ

0 2

(

ωt+ϑ_o

)

=u sin

Diferensiasi ruas kiri dan kanan maka

(

ωt+ϑ_o

)

dt =du ωcos

atau

( )

ϑ ω

ωt+ _o dt= ^du cos

Dengan demikian

(

ωt+ϑo

) (

ωt+ϑo

)

dt =

∫

udu= u =

(

ωt+ϑo

)

∫

^{sin cos} ₂^{1 2 1}₂^sin2

Jadi

( ) [ (

o

) (

o

]

L m T

o L

m

L T

T X t I

T X

P I ω ϑ ⎥⎦⎤ =− ω +ϑ − +ϑ

⎢⎣⎡ +

−

= sin sin 0

sin 2 2

1 ² _{2 2}

0 2

2

)

Mengingat ω =2π/T maka ωT =2π sehingga

( ) (

[

o o

]

L m

L T

X

P I² sin² 2π ϑ sin² ϑ

2 + −

−

=

)

arena sifat periodisitas fungsi sinus maka sin

(

2π +ϑ_o

)

=sin

( )

ϑ_o

K dan akhirnya diperoleh

( ) ( )

[

^{sin sin}

]

⁰

2

2 2

2

=

−

−

= ^{m L} _{o o}

PL

T X

I ϑ ϑ

Jadi, disipasi daya rata-rata pada induktor juga nol, sama dengan disipasi daya pada kapasitor.

8.10 Diagram Fasor

Pada bagian berikutnya kita akan mempelajari rangkaian arus bolak-balik. Pencarian arus dan gan pada rangkaian ini lebih rumit daripada pencarian yang sama pada rangkaian arus earah. Pada rangkaian arus bolak-balik kita akan memecahkan besaran-besaran yang mengandung fungsi trigonometri.

Untuk mempermudah pembahasan tentang arus bolak-balik, pada bagian ini kita akan tegan

s

diagram emudahkan kita dalam melakukan operasi ljabar pada fungsi-fungsi trigonometri. Karena arus maupun tegangan bolak-balik merupakan fungsi trigonometri maka kita akan merasa tertolong dengan menggunakan diagram fasor. Dalam diagram fasor, sebuah fungsi trigonometri digambarkan sebagai sebuah vektor dalam koordinat ua dimensi. Panjang vektor tersebut sama dengan amplitudo fungsi dan sudut yang dibentuk iliki ngsi

mempelajari fasor. Diagram fasor sangat m a

d

vektor dengan arah sumbu datar sama dengan fase fungsi tersebut. Contohnya, kita mem fu

( )

t A

V = cosω (8.36)

m iagram fasor maka kita akan dapatkan vektor dengan panjang A dan membentuk sudut ωt

rhadap sumbu datar, seperti dintunjukkan dalam Gambar 8.12

Tampak amplitudo fungsi di atas adalah A dan fasenya adalah ωt. Jika direpresentasikan dala d

te

ωt A

ωt A

Gambar 8.12 Contoh diagram fasor untuk fungsi pada persamaan (8.36)

Contoh

Gambarkan diagram fasor fungsi V = cosA

(

ωt+ϑo

)

Jawab

Kita gambarkab vektor yang panjangnya A dan membentuk sudut ωt+ϑ_o terhadap sumbu datar.

A

t ϑo

ω + A

t ϑo

ω +

Gambar 8.13 Diagram fasor untuk fungsi V = cosA

(

ωt+ϑ_o

)

Cara lain menggambar diagram fasor adalah kita dapat memberikan sudut berapa saja pada arah yang sejajar sumbu datar. Dengan pemberian sudut ini maka sudut antara vektor dengan sumbu datar sama dengan selisih sudut fase mula-mula dengan sudut yang diberikan dalam arah datar tersebut. Sebagai contoh, untuk fungsi V = cosA

(

ωt+ϑ_o

)

kita dapat memberikan sudut ϑ_o untuk arah datar. Akibatnya, sudut yang dibentuk vektor terhadap arah datar menjadi ωt saja.

Diagram fasornya adalah

ambar 8.14 D

ωt A

ϑo

ωt A

ϑ_o

iagram fasor untuk fungsi V = cosA

(

ωt+ϑo

)

G dengan mengambil sumbu datar

memiliki sudut fasa ϑ_o

Lebih ekstrim lagi, kita dapat juga memberikan sudut ωt+ϑ_o untuk arah datar. Pemilihan ini menyebabkan bentuk diagram fasor sebagai berikut

A

t ϑo

ω + A

t ϑo

ω +

Gambar 8.15 Diagram fasor untuk fungsi V = cosA

(

ωt+ϑ_o

)

dengan mengambil sumbu datar memiliki sudut fasa ωt+ϑ_o

Tambahan. Untuk menggambarkan diagran fasor, lebih dianjurkan semua fungsi dinyatakan dalam fungsi kosinus. Jika dijumpai fungsi sinus, maka fungsi tersebut diubah ke fungsi kosinus dengan menggunakan hubungan

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

=cos 2

sinθ θ π (8.37)

Contoh

Gambarkan diagram fasor fungsi V = sinA

(

ωt+ϑ_o

)

awab J

Pertama, kita ubah fungsi di atas menjadi fungsi kosinus dengan menggunakan hubungan (57.37)

( )

⎟

⎜ ⎠

⎝ + −

= +

= Asin ωt ϑ_o Acos ωt ϑ_o 2

V ⎛ π ⎞

elanjutnya kita gambarkan diagram fasor dengan memiliki fase arah datar sembarang. Jika kita pilih fase arah datar adalah

S

t ϑo

ω + maka diagram fasor menjadi sebagai berikut

Gambar 57.16 Diagram fasor untuk fungsi V = sinA

(

ωt+ϑo

)

8.11 Operasi Trigo

Sekarang kita akan mencari hasil penjumlahan dan pengurangan fungsi trigonometri dengan enggunakan diagram fasor. Akan terlihat bahwa yang kita cari nanti ternyata proses

han dan pengurangan vektor seperti yang telah kita pelajari di kelas satu.

ontonya, kita akan menjumlahan dua buah fungsi trigonometri nometri dengan Diagram Fasor

m

penjumla

C

( )

t A

V₁ = ₁cosω

( )

A

t ϑo

ω + π/2

t ϑo

ω + π/2

A

320

Kita akan mencari fungsi V = V1 + V2. Yang pertama kali yang akan kita lakukan adalah enggambarkan V1 dan V2 dalam diagram fasor. Karena ke dua fungsi trigonometri di atas

ase ω i vektor yang

searah sumbu datar dan fungsi V2 digambarkan sebagai vektor yang membentuk sudut m

memiliki salah satu komponen fase yang sama yaitu ωt, maka akan sangat tertolong apabila kita pilih sumbu datar memiliki f t. Akibatnya, fungsi V1 digmabarkan sebaga

ϑo

terhadap sumbu datar. Diagram fasornya sebagai berikut

ngsi hasil penjumlahan

ektor metode jaran genjang

A₁

ωt A₂

ϑo ^A _φ

A₁

ωt A₂

ϑo ^A _φ

Gambar 8.17 Diagram fasor fungsi V1 dan V2 serta fu

Yang perlu kita cari selanjutnya adalah mencari panjang vektor V yaitu A dan menentukan sudut yang dibentuk vektor V dengan sumbu datar, yaitu φ. Dengan aturan penjumlahan v

ja kita dapatkan

A o

A A A

A= ₁² + ₂² +2 _{1 2}cosϑ (8.38)

ntuk menentukan φ, lihat gambar (8.18) berikut ini U

A₁

ωt A₂

ϑo ^A _{φ A2}sinϑ_o

A₂cosϑo

ϑ +

A₁

ωt A₂

ϑo ^A _{φ A2}sinϑ_o

A₂cosϑo

ϑ +

Gambar 8.18 Menentukan sudut fasa fungsi hasil penjumlahan V1 dan V2

Tampak dari gambar di atas, vektor A memiliki komponen arah horizontal

o

h A A

A = ₁+ ₂cosϑ (8.39)

dan komponen arah vertikal

o

v A

A = ₂sinϑ (8.40)

anjang vektor A dapat juga ditulis ditulis dalam bentuk P

( ) (

²

)

²

2

2 A A A cos A sin

A

A= _h + _v = ₁+ ₂ ϑ_o + ₂ ϑ_o (8.41)

Sundut yang dibentum vektor A dengan sumbu datar memenuhi

o o

v A

A

h A A

A ϑ

φ ^sinϑ

tan = = ²

2cos

1 + (8.42)

Setelah panjang A dan sudut φ ditentukan maka fungsi penjumlahan V dapat diperoleh, yaitu

(

ω +φ

)

= A t

V cos (8.43)

Contoh

Dua fungsi trigonometri masing-masing berbentuk

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=7sin 3

1

ωt π V

dan

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=5cos 6

2

ωt π V

a) Gambarkan diagram fasor yang memuat dua fungsi di atas b) Tentukan persamaan untuk fungsi V = V1+V2

Jawab

Untuk memudahkan kita ubah semua fungsi trigonometri dalam bentuk kosinus. Jadi

⎟⎠

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ π π π π

⎜ −

⎟=

⎜ + −

⎟=

⎜ +

= 7cos 6

2 cos 3

3 7 sin

1 7 ωt ωt ωt

⎝

⎠

⎝

⎠ V ⎝

) Untuk menggambar diagram fasor, kita dapat mengambil arah horisontal memiliki sudut a

6 π/

ωt− . Diag

an dua fungsi dia atas adalah ram fasor tampak pada Gbr 8.19

b) Amplitudo hasil penjumlah

(

2 /6

)

cos 5 7 2 5 7 cos

2 _{1 2}

2 2 2 1 +

= A A AA _o

A + ϑ = ² + ² + × × × π

= 109 = 10,4

ωt-π/6 A₂=5

φ A 6 / 2π

A₁=7

ωt-π/6 A₂=5

φ A 6 / 2π

A₁=7

Gambar 8.19

Sudut yang dibentum vektor A dengan sumbu datar memenuhi

( )

( )

7 5 0,5 867 , 0 5 6 / 2 cos 5 7

6 / 2 sin 5 cos

tan sin

2 1

2

× +

= ×

= +

= +

= π

π ϑ

φ ϑ

o o h

v

A A

A A

A = 0,456

atau

φ = 24,5^o = 0,14π

Dengan demikian, kebergantungan fungsi V terhadap waktu menjadi

(

^{ω π}

)

π π ω π φ

ω 0,14 10,4cos 0,03 cos 6

4 , 6 10

cos ⎟= +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

= A t t t

V

.12 Rangkaian Arus Bolak-Balik

dapat melakukan analisis rangaian 8

Berbekal pemahaman tentang diagram fasor maka kita