296
ESTIMASI PARAMETER DALAM MODEL RETURN STOKASTIK DENGAN LOMPATAN MENGGUNAKAN METODE MARKOV
CHAIN MONTE CARLO
Yessy Okvita1), Bambang Susanto2), dan Hanna Arini Parhusip3)
1)Mahasiswa Program Studi Matematika
2) 3)
Dosen Program Studi Matematika
email:1)emakyessy@gmail.com 2)bsusanto5@gmail.com 3)hannaariniparhusip@yahoo.co.id Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
PENDAHULUAN
Pergerakan harga saham dapat terjadi secara berkala hampir di semua pasar saham.
Tetapi hal ini belum bisa menjawab pertanyaan finansial yang penting: apakah times dan sizes lompatan dapat diprediksi?
Apakah ada variabel yang dapat memprediksi lompatan? Apakah lompatan mempengaruhi distribusi return harian? Karena itu diperlukan model lompatan yang akurat untuk menjawab beberapa pertanyaan tersebut ().
Kemungkinan terjadinya lompatan dapat mencakup lompatan sebelumnya. Model yang akan digunakan adalah model Return Stokastik dengan lompatan yang biasa dikenal dengan Jump diffusion model with volatility constant (Witzany,2011).
Algoritma Gibb Sampling adalah salah satu algoritma Monte Carlo. Dalam algoritma Gibb Sampling tidak menggunakan mekanisme accept-reject karena hasil simulasi diterima sampai konvergen yang akan diuji menggunakan Heidelberg-Welch test.
Dari model Return Stokastik dengan lompatan parameter-parameter yang akan
diestimasi menggunakan algoritma Gibb Sampling adalah , , , , , , . Sebagai ilustrasi digunakan data sekunder yaitu harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang diperoleh dari finance.yahoo.com.
KAJIAN TEORI
Model Return Stokastik dengan Lompatan
dengan ln , 1,2, … , , adalah harga saham penutupan pada hari ke-t (Tsay,2010), adalah drift, adalah volatility, yang mana diasumsikan
~ , , ~ 0,1 , dan ~
dengan 1 menunjukkan jump saat dan 0 sebaliknya, sehingga 1 ,
0 1 , 0 1
(Witzany,2011)
Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Metode MCMC
Markov Chain Monte Carlo digunakan untuk menghasilkan sampel titik yang ditetapkan oleh distribusi posterior
gabungan. Secara umum untuk
menghitung distribusi posterior gabungan melibatkan distribusi gabungan parameter, yang sulit untuk di pecahkan.
Namun, dengan menggunakan distribusi posterior bersyarat untuk parameter yang belum di ketahui dapat diestimasi dengan mudah.
Algoritma Gibbs Sampling
Gibbs Sampling dapat diterapkan apabila distribusi bersyarat dari setiap parameter diketahui (Witzany,2011). Algoritmanya sebagai berikut :
Spesifikasi Prior
Parameter distribusi prior adalah distribusi probabilitas yang merepresentasikan ketidakpastian tentang parameter sebelum data saat diperiksa. Sehingga pendekatan bayesian untuk pemodelan tidak bisa dilakukan tanpa menggunakan distribusi sebelumnya (Didit,2011). Menurut Witzany (2011) diasumsikan bahwa distribusi priornya sebagai berikut :
Penentuan conditional posterior distribution
Distribusi yang diperoleh dari distribusi gabungan dari semua komponen, yakni sebagai berikut :
, , , , , ,
,
, , , , , ,
,
, , , , , ,
1 1 1
2 1
√2
1 2
1 1
2 . 1
√2
exp 1
2
Setelah distribusi posterior gabungan diketahui, kemudian menentukan distribusi posterior masing-masing parameter.
Simulasi Algoritma Gibb Sampling
Menurut Witzany (2011) estimasi Gibb Sampling dilakukan sebagai berikut
• Menetapkan nilai awal
, , , , , ,
• Menyampel
Jika 0, maka
; ,
Jika 1, maka
; ,
1. Menetapkan vektor nilai awal x , … ,
2. Ulangi langkah untuk 1,2, … , Bangkitkan
dari , , … , Bangkitkan dari
, , … ,
. . .
Bangkitkan dari
, … ,
3. Langkah diulang M kali.
11
1 1
1
298
• Menyampel 0,1 , 1
⁄ , di mana
; , 1
; ,
• Menyampel , dari yang berdistribusi normal Misalkan
y , y , … , yT ; y ~N µ, σ
dengan y Z J dan prior
1 serta
| , | ,
φ y ; µ, σ
T
1
√2
∑ 2 2 ∑ 2
;∑
,√ Demikian pula
| , | ,
1 ; ,
∑ 2
;2,∑
2
• Menyampel dari yang berdistribusi bernoulli
Jika , , … , ; ~ dengan prior 1
| |
1 1
; 1, 1
• Menyampel , dari yang berdistribusi normal dan prior
1 serta
, ,
; , 1
√2
∑ 2 2 ∑ 2
;∑ ,√ Demikian pula
, ,
1 ; ,
∑ 2
;2,∑
2 ,
ANALISA DAN PEMBAHASAN
Berikut ini adalah grafik data harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang ditunjukkan oleh Gambar 1 sedangkan Gambar 2 grafik return harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang diskalakan.
Gambar 1. Harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010.
0 50 100 150 200 250
3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 4400 4600
waktu
harga saham
Dengan menggunakan estimasi Gibb Sampling menurut Witzany (2011), pada Tabel 1 menunjukkan beberapa hasil simulasi masing-masing parameter model return stokastik dengan lompatan dengan kata lain
1.
Sedangkan jika 0, ternyata memberikan peluang lebih banyak tidak ada lompatan sehingga hal ini tidak mungkin. Dari hasil estimasi gibb sampling menurut witzany grafik model return stokastik dengan lompatan dan return dari harga penutupan saham yang diskalakan ditunjukkan pada Gambar 3a dan 3b.
Berikut ini adalah grafik data harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang ditunjukkan oleh Gambar 1 sedangkan Gambar 2 grafik return harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang tidak diskalakan.
KESIMPULAN
Pada makalah ini telah dijelaskan bagaimana mengestimasi parameter model return stokastik dengan lompatan. Metode yang
Gambar 2. Harga return dari saham
Tabel 1. Beberapa Hasil Estimasi parameter menggunakan Gibb Sampling
4.722 0.0045 0.5918 0.0046 0.0029 0.0047 0.0047 0.4580 0.0051 0.3017 0.2455 0.0054 0.5510 0.0053 0.0027 0.2935 0.0047 0.4911 0.0049 0.2917 0.0091 0.0051 0.3897 0.0057 0.0015 0.0367 0.0047 0.5609 0.0042 0.1993 0.4478 0.0045 0.5325 0.0044 0.0062 0.0119 0.0044 0.6548 0.0047 0.6072 0.2965 0.0046 0.4514 0.0044 0.0018 0.0118 0.0051 0.5745 0.0044 0.2937
Gambar 3b. model return saat 10 sampai 100
Gambar 4a model return saat 1 sampai 246
Gambar 4b model return saat 10 sampai 100
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
waktu
return harga saham
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
return harga saham
0 50 100 150 200 250
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
waktu
return harga saham
0 50 100 150 200 250
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
waktu
return harga saham
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
300
khususnya algoritma Gibb Sampling.
Parameter mempengaruhi harge return.
Hasil simulasi parameter perlu dicek kekonvergenannya. Saran untuk penelitian selanjutnya hasil simulasi parameter sampai konvergen maka perlu melakukan Heidelberg- Welch test / Geweke test.
UCAPAN TERIMA KASIH Terima kasih ditujukan kepada :
Didit Budi Nugroho untuk informasi literatur, bimbingan tentan makalah ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Kumar.J, Polson.1999. State Dependent Jump Models. GSB, University of Chicago [2]Malik dan Pitt. 2008. Modeling Stochastic Volatility with Leverage and Jumps.
Department of Economics, University of Warwick, Coventry CV4 7AL
[3] Nugroho, D. B, Morimoto, T. 2008.
Comparison of Griddy Gibbs and Metropolis- Hastings Sampler for Estimation of the Standard LNSV. Department of Mathematical Sciences, Kwansei Gakuin University
[4] Tsay, R.S., 2010, Analysis of Financial Time Series, John Wiley & Sons.
[5] Witzany, J. 2011. Estimating Correlated Jumps and Stochastic Volatilities IES Working Paper IES FSV. Charles University.
