Induksi matematik untuk memecahkan problema deret dan bilangan bulat bentuk kuadrat sempurna

(1)

Sutopo, Fisika UM 1 Induksi

Induksi matematik untuk memecahkan problema deret dan bilangan bulat bentuk kuadrat sempurna

Oleh: Sutopo

Jurusan Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id

BILANGAN BERPOLA YANG MERUPAKAN BENTUK KUADRAT SEMPURNA

Problem

1. Tunjukkan bahwa bilangan 1 . . . 12 . . . 2 5 merupakan bentuk kuadrat 2. Tentukan A jika = 1 . . . 15 . . . 56

3. Tentukan A jika = 4 . . . 48 . . . 89 4. Tentukan A jika = 4 . . . 46 2 . . . 24 5. Tentukan A jika = 1 . . . 1 2 8 . . . 896

6. Jika = 1 . . . 1 dan = 10 . . . 05 perlihatkan bahwa AB + 1 merupakan bentuk kuadrat 7. Tentukan A jika = 1 . . . 1 − 2 . . . 2

Jawab

Untuk menyelesaikan soal-soal tersebut, hal-hal berikut sangat membantu.

(1) 1000 = 999 + 1 → 10³ = 999 + 1 → 10 = 9 . . . 9 + 1 = 9 1 . . . 1 + 1

Jika ≡ 1 . . . 1 maka 10 = 9 + 1

(2) 1111 = 1100 + 11 = 11 x 10² + 11 → 1 . . . 1 = 1 . . . 1 × 10 + 1 . . . 1 (3) 10² – 11 = 89; 10³ – 111 = 889; → 10 − 1 . . . 1 = 8 . . . 8 9

Ditulis pada sekitar bulan Februari 2011.

Diunggah pada 3 Desember 2011

(2)

Sutopo, Fisika UM 2 Induksi 1. Tunjukkan bahwa bilangan 1 . . . 12 . . . 2 5 merupakan bentuk kuadrat

Jawab

Beberapa kasus:

Konjektur : 1 . . . 12 . . . 2 5 = 3 . . . 35

Bukti:

1 . . . 12 . . . 2 5 = 1 . . . 12 . . . 2 × 10 + 25 = 1 . . . 1 10 + 2 × 10 1 . . . 1 + 25

= 10 ( . 10 + 2 ) + 25

= 10 ( (9 + 1) + 2 ) + 25

= 10 (9 + 3 ) + 25 = 900 + 300 + 25 = (30 + 5)

= 30(1 . . . 1)+ 5 = 3 . . . 30 + 5 = 3 . . . 35

2. Tentukan A jika = 1 . . . 15 . . . 56 Jawab

Beberapa kasus:

Konjektur : 1 . . . 15 . . . 5 6 = 3 . . . 34 dengan n = 0, 1, 2, . . .

Bukti

1 . . . 15 . . . 5 6 = 1 . . . 15 . . . 5 + 1 = 1 . . . 1 10 + 5 1 . . . 1 + 1

= . 10 + 5 + 1 dengan ≡ 1 . . . 1

= (9 + 1) + 5 + 1

= 9 + 6 + 1 = (3 + 1)

= 3(1 . . . 1) + 1 = 3 . . . 3+ 1 = 3 . . . 4 = 3 . . . 34 A²

1225 35

112225 335

11122225 3335

A²

16 4

1156 34

111556 334

11115556 3334

(3)

3. Tentukan A jika = 4 . . . 48 . . . 89

Jawab

Beberapa kasus:

konjektur : 4 . . . 48 . . . 8 9 = 6 . . . 67 dengan n = 0, 1, 2, . . .

Bukti

4 . . . 48 . . . 8 9 = 4 . . . 48 . . . 8 + 1 = 4 1 . . . 1 10 + 8 1 . . . 1 + 1

= 4 . 10 + 8 + 1 dengan ≡ 1 . . . 1

= 4 (9 + 1) + 8 + 1 = 36 + 12 + 1 = (6 + 1)

= 6(1 . . . 1) + 1 = 6 . . . 6+ 1 = 6 . . . 7 = 6 . . . 67

4. Tentukan A jika = 4 . . . 46 2 . . . 24

Jawab

Beberapa kasus:

konjektur : 4 . . . 46 2 . . . 24= 6 . . . 68

2

dengan n = 1, 2, . . .

Bukti

4 . . . 46 2 . . . 2 4 = 4 . . . 4 6 × 10 + 2 . . . 2 4

= 4 . . . 4 + 2 × 10 + 2 . . . 2 + 2 A²

49 7

4489 67

444889 667

44448889 6667

A²

4624 68

446224 668

44462224 6668

4444622224 66668

(4)

= (4 + 2). 10 + 2 + 2 dengan ≡ 1 . . . 1

= (4 + 2) (9 + 1) + 2 + 1 = 36 + 24 + 4 = (6 + 2)

= 6(1 . . . 1) + 2 = 6 . . . 6+ 2 = 6 . . . 8 = 6 . . . 68

5. Tentukan A jika = 1 . . . 1 2 8 . . . 896

Jawab

Beberapa kasus:

konjektur: 1 . . . 1 2 8 . . . 896= 3 . . . 3

+1

6

2

dengan n = 0, 1, 2, . . .

Bukti

1 . . . 12 8 . . . 8 96 = 1 . . . 1 + 1 × 10 + 8 . . . 8 + 8

= ( + 1). 10 + 8 + 8 dengan ≡ 1 . . . 1

= ( + 1) (9 + 1) + 8 + 8 = 9 + 18 + 9 = (3 + 3)

= 3(1 . . . 1) + 3 = 3 . . . 3 + 3 = 3 . . . 6 = 3 . . . 36 A²

1296 36

112896 336

11128896 3336

1111288896 33336

(5)

Sutopo, Fisika UM 5 Induksi 6. Jika = 1 . . . 1 dan = 10 . . . 05 perlihatkan bahwa AB + 1 merupakan bentuk kuadrat

Jawab

Beberapa kasus:

konjektur: 1 . . . 1 × 10 . . . 05 + 1= 1 . . . 1 5 . . . 56 = 3 . . . 3 4

2

dengan n = 0, 1, 2, . . .

Bukti:

Konjektur pertama: 1 . . . 1 × 10 . . . 05 + 1 ^? 1 . . . 1 5 . . . 56 dengan n = 0, 1, 2, . . . 1 . . . 1 × 10 . . . 05 + 1 = 1 . . . 1 × (10 + 5) + 1

= 1 . . . 1 × 10 + 5 . . . 5 + 1

= 1 . . . 1 5 . . . 5 + 1 = 1 . . . 1 5 . . . 6 , dengan n = 1, 2, 3 …

= 1 . . . 1 5 . . . 5 6, dengan n = 0, 1, 2, . . . terbukti

Konjektur kedua: 1 . . . 1 5 . . . 56^? 3 . . . 3 4

2

dengan n = 0, 1, 2, …

Bukti:

1 . . . 1 5 . . . 56 = 1 . . . 1 × 10 + 5 . . . 5+ 1

= 1 . . . 1

+1

× (9 . . . 9

+1

+ 1) + 5 . . . 5

+1

+ 1

= (9 + 1) + 5 + 1 dengan A =1 . . . 1 dan n = 0, 1, 2, …

= 9 + 6 + 1 = (3 + 1)

= 3 1 . . . 1

+1

+ 1 = 3 . . . 34

+1

= 3 . . . 3 4 terbukti

A B AB+1 √ +

1 15 16 4

11 105 1156 34

111 1005 111556 334

1111 10005 11115556 3334

(6)

Sutopo, Fisika UM 6 Induksi Konjektur ketiga: 1 . . . 1 × 10 . . . 05 + 1 ^? 3 . . . 3 4

2

dengan n = 0, 1, 2, . . .

Bukti:

1. 10 . . . 05 = 10 + 5 = 9 . . . 9 + 1 + 5 = 9 + 6 dengan ≡ 1 . . . 1 dan n = 0, 1, 2, . . .

2. 1 . . . 1 × 10 . . . 05 + 1 = (9 + 6) + 1 = 9 + 6 + 1 = (3 + 1)

= 3 . . . 34

+1

= 3 . . . 3 4 terbukti

7. Tentukan A jika = 1 . . . 1 − 2 . . . 2

Jawab.

Beberapa kasus:

Konjektur: 1 . . . 1 − 2 . . . 2 = 1 . . . 1 0 8 . . .89 = 3 . . . 3

Bukti konjektur pertama: 1 . . . 1 − 2 . . . 2 ^? 1 . . . 1 0 8 . . .89

 1 . . . 1 = 1 . . . 1 10 + 1 . . . 1 ……….. (1) Lihat catatan no (2) di box

 2 . . . 2 = 2(1 . . . 1) ……….. (2)

 (1) − (2) = 1 . . . 1 10 − 1 . . . 1

= 1 . . . 1 0 + 1 10 − 1 . . . 1 = 1 . . . 1 10 + 10 − 1 . . . 1

= 1 . . . 1 10 + 8 . . 89 Lihat catatan no (3) di box

. . . . A²

(1) (2) (1)-(2)

11 2 9 3

1111 22 1089 33

111111 222 110889 333

11111111 2222 11108889 3333

(7)

= 1 . . . 1 0 10 + 8 . . 8 9 = 1 . . . 1 0 8 . . 8 9 terbukti

Bukti konjektur kedua: 1 . . . 1 0 8 . . .89 ^? 3 . . . 3

Bukti:

1 . . . 1 0 8 . . .8 9= 1 . . . 1 0 10 + 8 . . .8 + 1

= 1 . . . 1 − 1 10 + 8 . . .8 + 1

= ( − 1)(9 + 1) + 8 + 1, dengan ≡ 1 . . . 1

= 9 + − 9 − 1 + 8 + 1

= 9 = (3 ) = 3 . . . 3 Terbukti

(8)

Menemukan pola pada deret matemika

PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA

Contoh:

Buktikan bahwa: 1 + 3 + 5 + … + (2n -1) = n² Jawab:

 (1) = 1 = 1², benar

 Diassumsi benar untuk n = k, maka (k) = 1 + 3 + 5 + … + (2k -1) = k². o Dibuktikan bahwa benar untuk n = k + 1

o Bukti: (k+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k -1) + {2(k+1) -1} = k² + 2k + 2 – 1 = k² + 2k + 1 = (k+1)², terbukti

 Kesimpulan

Karena terbukti bahwa (1) benar dan juga terbukti benar untuk sebarang n = k + 1, maka benar bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2n -1) = n².

Problem

1. Hitung = ∑ = 1 + 2 + ⋯ + 2. Hitung = ∑ = 1 + 2 + ⋯ + 3. Hitung = ∑ = 1 + 2 + ⋯ + 4. Hitung = ∑

( )=

. +

. + … +

( )

5. Hitung = ∑ ₍ ₎₍ ₎= _. + _. + _. … +₍ ₎₍ ₎ 6. Hitung = ∑

( )( )=

. +

. … +

( )( )

7. Hitung = ∑

( )( )=

. +

. … +

( )( )

8. Hitung = ∑ = + + + … + , ≠ 1

Misalkan (n) merupakan pernyataan dalam bilangan asli n yang memenuhi:

 (1) benar, dan

 jika (k) benar maka (k+1)

maka (n) benar untuk sebarang bilangan asli n.

(9)

Sutopo, Fisika UM 9 Induksi 9. Hitung = ∑ = + + + … +

10. Hitung = ∑

( ) =

. . +

. . … +

( )

Jawab

1. Soal 1: Hitung = ∑ = 1 + 2 + ⋯ + Jawab

= ∑ = 1 + 2 + ⋯ + adalah deret aritmatika dengan U1 = 1, n = n, dan Un = n, maka

= ( + 1) 2 Bukti:

(i)(1): Sn benar untuk n = 1, sebab 1(1+1)/2 = 1

(ii) Diasumsikan bahwa (k) benar: Sn benar untuk n = k, yaitu = ⁽ ⁾ benar. Akan dibuktikan bahwa (k+1), yaitu =⁽ ⁾⁽ ⁾ juga benar.

Bukti

= + =

⁽ ⁾

+ ( + 1) =

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

=

⁽ ⁾⁽ ⁾→ Benar Kesimpulan: = ∑ = 1 + 2 + ⋯ + = ⁽ ⁾ benar untuk sebarang n asli.

2. Soal 2: Hitung = ∑ = 1 + 2 + ⋯ +

Suku-suku pada = ∑ = 1 + 2 + ⋯ + mirip dengan soal nomor 1, yaitu mengandung dereten bilangan asli 1, 2, 3, …, n. Maka jumlahan tersebut dapat diduga memuat factor n(n+1).

Ambil beberapa kasus pertama untuk mendapatkan pola:

 S1 = 1 = 1(1+2)/2 →diduga: = ⁽ ⁾

 S2 = 1+4 = 5. →dugaan: = ^. = 3 … ( ℎ). Ungkapan baru yang prospektif: = ^{. .} = 5

→diduga: = ⁽ ⁾⁽ ⁾. Dugaan baru ini cocok dengan S1.

 S3 = 1+4+9 = 14. →dugaan: = ^{. .} = 14 … (BENAR).

Dugaan terbaik: = ⁽ ⁾⁽ ⁾ selanjutnya diuji dengan prinsip induksi matematika (PIM).

 (1) terbukti benar, maka diasumsikan (k) benar, yaitu Sn benar untuk sebarang n = k.

 Harus dibuktikan benar untuk n = k+1, yaitu (k+1) benar.

(10)

Sutopo, Fisika UM 10 Induksi Bukti:

= + =

⁽ ⁾⁽ ⁾

+ ( + 1) =

⁽ ^{){ (} ⁾ ⁽ ^)}

=

⁽ ⁾⁽ ⁾

=

⁽ ⁾⁽ ⁾⁽ ⁾ = Sn untuk n = k+1

3. Soal 3: Hitung = ∑ = 1 + 2 + ⋯ +

Suku-suku pada = ∑ = 1 + 2 + ⋯ + mirip dengan soal nomor 1 dan 2. Maka jumlahan tersebut dapat diduga memuat factor n(n+1).

 S1 = 1 = 1(1+2)/2 →diduga: = ⁽ ⁾

 S2 = 1+8 = 9. →dugaan: = ^. = 3 … ( ℎ). Dugaan: perlu diuadratkan. →diduga:

= ⁽ ⁾ . Dugaan baru ini cocok dengan S1.

 S3 = 1+ 8 + 27 = 36 = 6². →cocok dengan dugaan: = ^. = 6 .

Dugaan terbaik = ∑ = 1 + 2 + ⋯ + = ⁽ ⁾ selanjutnya dibuktikan dgn PIM

Bukti:

= + =

⁽ ⁾

+ ( + 1) =

⁽ ⁾ ⁽ ⁾⁽ ⁾

=

⁽ ^{) (} ⁾

=

⁽ ^{) (} ⁾

=

⁽ ⁾⁽ ⁾ = Sn untuk n = k+1 Kesimpulan

= ∑ = 1 + 2 + ⋯ + = ⁽ ⁾⁽ ⁾ benar untuk semua n asli.

Kesimpulan

= ∑ = 1 + 2 + ⋯ + = ⁽ ⁺¹⁾^{( +2)}

2 benar untuk semua n asli.

(11)

Sutopo, Fisika UM 11 Induksi 4. Soal 4. Hitung = ∑ ₍ ₎= _. + _. + … + ₍ ₎

Faktor 1/(n+1) lebih dominan daripada factor 1/n pada = ∑

( )=

. +

. + … +

( ).

Oleh sebab itu, jumlahan tersebut diduga sangat ditentukan oleh factor 1/(n+1) Ambil beberapa kasus pertama untuk mendapatkan pola:

 S1 = =

. = →diduga: =

 = + = . →dugaan: = →X = 2 →diduga: = . Dugaan baru ini cocok dengan S1.

 = + + = = .. →cocok dengan dugaan: = . Dugaan terbaik = ∑

( )=

. +

. + … +

( )= . selanjutnya dibuktikan dgn PIM

Bukti:

= + =

( )

+

( )( )

=

⁽ ⁾

( )( )

=

( )( )

= =

( )

= Sn untuk n = k+1

5. Hitung = ∑

( )( )=

. +

. … +

( )( )

Faktor (2n+1) lebih dominan daripada (2n-1) pada ==

. +

. … +

( )( ) . Oleh sebab itu, jumlahan tersebut diduga sangat ditentukan oleh factor 1/(2n+1)

 S1 = = _. = →diduga: =

 = + = . Berdasar dugaan: =

. = (BENAR).

Perlu ditunjukkan bahwa = benar untuk sebarang n.

Kesimpulan

= ∑ ( )=

. +

. + … +

( )= benar untuk semua n asli.

(12)

= + = +

( )( )= ⁽ ⁾

( )( )=

( )( ) = ⁽ ⁾⁽ ⁾

( )( )

= ₍ ₎ = Sn untuk n = k+1

7. Hitung = ∑

( )( )=

. +

. … +

( )( )

Faktor n² dan (2n+1) dominan dalam = ∑ ₍ ₎₍ ₎=

. +

. … +₍ ₎₍ ₎. Oleh karena itu, kedua factor tersebut dapat digunakan sebagai acuan pendugaan pola.

 S1 = =

. = →diduga: =

 = + = . Berdasar dugaan: =

. = (SALAH, ada selisih ).

 →dugaan baru: = ⁽ ⁾

( ) sehingga = ⁽ ⁾

( . )= (benar)dan = (benar).

Dugaan terbaik: = ⁽ ⁾

( ) selanjutnya diuji dengan PIM.

Bukti:

= + = ⁽ ⁾

( )+₍ ⁽ ₎₍⁾ ₎= ⁽ ₍⁾⁽ ₎₍⁾ ⁽ ₎ ⁾ =⁽ ^{){ (}₍ ₎₍^)} ⁽ ⁾

)

=⁽ ^{){ (} ⁾ ⁽ ^)}

( )( ) = ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

( ) =

( ) =⁽ ⁾⁽ ⁾

( ) = Sn

untuk n = k+1 Kesimpulan

= ∑ ( )( )=

. +

. + ⋯ +

( )( )= benar untuk semua n asli.

Kesimpulan

= ∑ ( )( )=

. +

. + ⋯ +

( )( )= ⁽ ⁾

( ) benar untuk semua n asli.

(13)

8. Hitung = ∑ = + + + … + , ≠ 1

Jumlahan = ∑ = + + + … + merupakan jumlahan deret geomeri dengan a0 = r

= a, maka = . Pembuktian dengan PIM:

 (1) terbukti benar, maka diasumsikan (k) benar, yaitu Sn benar untuk sebarang n = k.

 Harus dibuktikan benar untuk n = k+1, yaitu (k+1) benar.

Bukti:

= + = ⁽ ⁾+ = ⁽ ⁾ = ⁽ ⁾ =

( )

= = Sn untuk n = k+1

9. Hitung = ∑ = + + + … +

Bentuk dapat diubah menjadi 1 − . Maka = ∑ 1 − = − ∑ = − .

10. Hitung = ∑

( ) =

. . +

. . … +

( )

Faktor 2^k paling dominan dalam = ∑

( ) =

. . +

. . … +

( ) . Maka, Sn

diduga memuat bentuk 2ⁿ.

 S1 = = . →diduga: =

 = + = = + . Berdasar dugaan: = (SALAH, ada selisih =

( ) ).

→dugaan baru: = +

( ) = 1 −

( ) . Dugaan ini benar untuk n = 1 dan n =2.

Dugaan terbaik tsb selanjutnya perlu diuji dengan PIM.

 Harus dibuktikan benar untuk n = k+1, yaitu (k+1) benar.

Kesimpulan

= ∑ = + + + … + = , dengan ≠ 1, benar untuk semua n asli.

Kesimpulan

= ∑ = + + + … + = − .

(14)

= + =1 − ²

( +1)2⁺¹+

( )( )

= 1 − ⁽ ^{) (} ⁾

( )( ) = 1 − ⁽ ⁾⁽ ⁾

( )( ) = 1 −

( )

=1 −

( ) = 1 −

( ) = Sn untuk n = k+1

Mohon maaf jika ada salah-salah, karena sangat mungkin terjadi kesalahan akibat teknik copy & paste

Tulisan tersebut hanya sekedar pemikiran. Jika ada salah … mungkin saja … penulis hanya penggemar dan pengguna matematika

Kesimpulan

= ∑ ( ) =

. . +

. . … +

( ) = 1 −

( ) benar untuk semua n asli.