Metode Statistika STK211/ 3(2-3)

Metode Statistika STK211/ 3(2-3)

Pertemuan IV

Konsep Peluang

Populasi

Contoh1

Parameter

𝜇 Statistik

𝑥

Pengambilan contoh dari populasi untuk pendugaan parameter

Setara dengan

UMUM

DIDUGA

KHUSUS

Pola pikir INDUKSI

Muncul KETIDAKPASTIAN

KETIDAKPASTIAN

bersifat ACAK

• Suatu fenomena dikatakan ACAK jika hasil dari suatu percobaan bersifat tidak pasti

• Fenomena ACAK sering mengikuti suatu pola tertentu

• Keteraturan ACAK dalam jangka panjang dapat didekati secara matematika

• Studi matematika mengenai KEACAKAN  TEORI PELUANG – peluang merupakan suatu bentuk matematika dari sifat acak tersebut

• dengan ilmu peluang, kita dapat membuat daftar serentetan kemungkinan kejadian yang dapat terjadi

Teori Peluang

• Ada dua tipe percobaan:

Deterministik :

Suatu percobaan yang

menghasilkan output yang sama

We are waiting the

bus

Probabilistik :

Hasil dari percobaan bisa sembarang kemungkinan hasil

yang ada

Lama menunggu sampai bus datang

Bagaimana menghitung banyaknya kemungkinan?

 Perlu pengetahuan mengenai RUANG CONTOH dan RUANG KEJADIAN

 perlu pengetahuan mengenai KAIDAH PENGGANDAAN, KOMBINASI, & PERMUTASI

 dapat dihitung peluang kejadian dari suatu percobaan

Ruang Contoh

adalah suatu gugus yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.

• Notasi dari ruang contoh:

S = {e₁, e₂, …, e_n},

n = banyaknya hasil (n bisa terhingga atau tak terhingga)

Ruang Kejadian

adalah anak gugus dari ruang contoh, yang memiliki karakteristik tertentu.

• Ruang kejadian biasanya

dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, …).

Ilustrasi 1

Pelemparan 2 koin setimbang yang saling bebas

Percobaan:

Ruang Contoh: S = { AA, AG, GA, GG}

Kejadian A:

Munculnya sisi Gambar

Ruang Kejadian:

A = {AG, GA, GG}

Kejadian B:

Munculnya sisi yang sama

Ruang Kejadian:

A = {AA, GG}

Ilustrasi 2

Pelemparan 2 dadu setimbang yang saling bebas

Percobaan:

Ruang Contoh: S = { 11, 12, …, 65, 66}

Kejadian A:

Jumlah dadu ganjil

dst

Ruang Kejadian:

A = {12, 14, 16, 21, 23, 25, 32, 34, 36, 41, 43, 45, 52, 54, 56, 61, 63, 65}

Lalu bagaimana cara menghitung banyaknya ruang contoh & kejadian?

N(S) = 36

n(A) = 18

Review

Faktorial

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka

n! = n (n-1) (n-2) ... (3)(2)(1) n! = n (n-1)!

Kasus khusus 0!  0! = 1 Contoh :

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 120 6! = 6.5! = 720

10! =………..

Kaidah Penggandaan

Pengandaan dapat digunakan jika setiap kemungkinan dibentuk dari komponen-komponen yang saling bebas.

N(S) = n₁ × n₂ × … × n_k Contoh:

• Melempar 3 buah mata uang: N(S) = 2 × 2 × 2 = 8

• Melempar 2 buah dadu: N(S) = 6 × 6 = 36

Review

Permutasi

Permutasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih DIPERHATIKAN.

Ilustrasi

• Misalkan memilih orang untuk membentuk kepengurusan suatu organisasi, dimana jika Si A terpilih menempati posisi ketua berbeda maknanya dengan Si A terpilih menempati posisi wakil ketua.

• Misalkan terdapat 5 kandidat. Akan dibentuk susunan pengurus yang terdiri dari Ketua, Wakil Ketua, dan Bendahara :

K WK B

5 4 3

= 60 Permutasi tingkat 3 dari 5 objek

! 60 2

! 2 . 3 . 4 . 5

! 2

! 5 )!

3 5 (

!

5 5

3   

  P

Permutasi tingkat r dari n unsur/objek

! ( 1) ( 2) ... 0!

( )! ( ) ( 1) ... 0!

n r

n n n n

P n r n r n r

     

 

      

Review

Kombinasi

Kombinasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih TIDAK DIPERHATIKAN

Ilustrasi

• Misalkan memilih sejumlah orang untuk menempati suatu sejumlah kursi tempat duduk, dimana susunan tempat duduk tidak menjadi perhatian.

• Misalkan terdapat 5 orang yang akan dipilih 3 orang untuk menempati tempat duduk yang tersedia

A B C A B D A B E A C D A C E A D E B C D B C E B D E

A B C D E Kombinasi 3 dari 5

! 10 3

! 2

! 3 . 4 . 5

! 3

! 2

! 5

! 3 )!

3 5 (

! 5 3

5   

 



 





Kombinasi tingkat r dari n unsur/objek

! ( 1) ( 2) ... 0!

( )! ! ( ) ( 1) ... 0! !

n r

n n n n

C n r r n r n r r

     

 

       

Contoh 1

• Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-laki dan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu tim yang terdiri dari 2 orang laki-laki dan seorang perempuan untuk mewakili dalam munas, ada berapa susunan tim yang mungkin terbentuk!

L L L L L

P P P P

Dipilih 2 orang Dipilih 1 orang Banyak tim yang terbentuk

5 2

4

1 = 10 × 4 = 40

Setelah mengetahui tentang konsep dasar dalam penentuan banyaknya kemungkinan dalam suatu kejadian, maka selanjutnya konsep yang penting untuk dipelajari ialah konsep PELUANG

Peluang

• Pendekatan klasik terhadap penentuan nilai peluang diberikan dengan menggunakan nilai frekuensi relatif.

• Andaikan dilakukan percobaan sebanyak N kali, dan kejadian A terjadi sebanyak n  N kali maka peluang A didefinisikan sebagai P(A) = n/N

Hukum Bilangan Besar

P(A)  m/n

Jika suatu proses atau percobaan diulang sampai beberapa kali (DALAM JUMLAH BESAR = n), dan jika karakteristik A muncul m kali maka frekuensi relatif, m/n, dari A akan

Contoh 2

• Dari ilustrasi 1, percobaan pelemparan 2 koin setimbang yang saling bebas, tentukan peluang kejadian A = Munculnya sisi Gambar

• N(S) = 4, n(A) = 3  P(A) = n(A)/N(S) = ¾

• Dari contoh 1, tentukan peluang susunan tim yang mungkin terbentuk dgn kondisi tersebut!

• N(S) = 9 3 = 84, n(A) = 40  P(A) = n(A)/N(S) = 10/21

Aksioma Peluang

Beberapa kaidah sebaran peluang, yaitu:

1. 0  P(x_i)  1, untuk i=1,2, …, n

2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalam ruang contoh adalah 1, 𝑃 𝑥_𝑖 = 1

3. P(A₁+A₂+…+A_m) = P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_m), jika A₁, A₂, …, A_m merupakan kejadian-kejadian yang terpisah.

Hukum Penjumlahan dalam Peluang Jika terdapat dua kejadian A dan B maka

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Jika A dan B saling lepas (mutually exclusive), P(AB) =0, sehingga

P(AB) = P(A) + P(B)

A A  B B

A B

Hukum Perkalian dalam Peluang

Jika terdapat dua kejadian A dan B maka

P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

Kejadian Saling Bebas

• Kejadian saling bebas adalah kejadian- kejadian yang tidak saling mempengaruhi.

• Peluang dari dua buah kejadian yang saling bebas adalah:

P(AB)=P(A).P(B)

Catatan:

Jika A dan B adalah dua kejadian saling lepas, serta P(A) > 0 dan P(B) > 0, maka A dan B adalah dua kejadian yang tidak bebas Karena: P(AB)=0,

sedangkan P(A)P(B) > 0

Contoh 3

• Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6.

Jika jenis kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki-laki?

P(A  B)= P(A).P(B)=(0.6)(0.6)=0.36

Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian (A) jika kejadian lain (B) diketahui telah terjadi.

Peluang A jika diketahui B

𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵)

Jika kejadian A dengan B saling bebas maka

𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵) = 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵)

𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴)

Contoh 4

• Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua buah bola tanpa pemulihan.

Berapakah peluang bola kedua berwarna merah (M) jika pada pengambilan pertama diketahui berwarna biru (B).

diambil 2 bola

Pengambilan 1 Pengambilan 2 M  2/5 M  1/4

B  3/4 B  3/5 M  1/2

B  1/2

𝑃 𝑀 𝐵 = 𝑃(𝑀 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵)

= 1 2

Teorema Bayes

Peluang bersyarat dengan kondisi yang diketahui ialah kejadian kedua, sedangkan yang dicari ialah kejadian pertama

Kejadian pertama A tersekat menjadi beberapa bagian A₁, A₂, …, A_k, dengan kejadian B terjadi setelahnya, maka

𝑃 𝐵 = 𝑃(𝐴

_𝑖

)𝑃(𝐵|𝐴

_𝑖

)

A₁ ………. A_k

Kejadian B

B=(BA₁) + (BA₂) + …. + (BA_k)

P(B)=P(BA₁) + P(BA₂) + …. + P(BA_k)

Peluang A_i bersyarat B

𝑃 𝐴

_𝑖

|𝐵 = 𝑃(𝐴

_𝑖

∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

Contoh 5

• Kota Bogor disebut kota hujan karena peluang terjadinya hujan (H) cukup besar yaitu sebesar 0.6. Hal ini menyebabkan para mahasiswa harus siap-siap dengan membawa payung (P). Peluang seorang mahasiswa membawa payung jika hari hujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4.

• Berapa peluang hari akan hujan jika diketahui mahasiswa

membawa payung?

Misalkan :

H = Bogor hujan,

P = mahasiswa membawa payung

P(H) = 0.6 P(TH) = 1-0.6=0.4 P(P|H) = 0.8 P(P|TH) = 0.4

Ditanya : P(H|P) Jawab :

( ) ( ) ( ) ( | )

( | )

( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )

0.6 0.8 0.48 0.48

( | )

0.6 0.8 0.4 0.4 0.48 0.16 0.64

P H P P H P P H P P H

P H P

P P P H P P TH P P H P P H P TH P P TH P H P

 

  

   

   

   

Sesuai hukum perkalian peluang

Thank you, see you next week 