sudut, sin Ѳ,cos Ѳ,tgn Ѳ, secan Ѳ?

1

sudut, sin Ѳ,cos Ѳ,tgn Ѳ, secan Ѳ?











 





 1 tan tan tan ) tan

( tan

Henny Ekana C, SSi, MPd Prodi Pendidikan

Matematika

2 KATA PENGANTAR

Masih ingat tentang trigonometri? Apa yang terlintas di benak anda jika kita berbicara tentang trigonometri? Materi ini sudah anda kenal sejak duduk di bangku SMA. Sulit, banyak rumus? Tidak. Trigonometri berarti tentang sudut? Benar. Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan- perbandingan pada bangun geometri, khususnya dalam bangun yang berbentuk segitiga. Pada prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan dengan besar sudut, Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua buah kata yaitu trigonom berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan sisi (segitiga) dan metrom berarti suatu ukuran.

Dari arti dua kata di atas, trigonometri dapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau dari salah satu sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. Dalam mempelajari perbandingan sisi-sisi segitiga pada trigonometri, maka segitiga itu harus mempunyai tepat satu sudutnya (90⁰) artinya segitiga itu tidak lain adalah segitiga siku-siku.

3

BAB1 PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

KOMPETENSI DASAR

Memanipulasi aljabar untuk merancang rumus trigonometri dan menyusun suatu bukti.

INDIKATOR

Setelah mempelajari modul ini diharapkan :

1. Mahasiswa mampu memahami dan menentukan besaran sudut (radian/derajat)

2. Mahasiswa dapat memanipulasi bentuk trigonometri yang satu ke bentuk trigonometri yang lain.

3. Mahasiswa dapat membandingkan nilai sinus,kosinus, tangen, secan, cosecan dan cotangen suatu sudut.

4. Mahasiswa dapat membuktikan rumus identitas trigonometri

1. SATUAN SUDUT

Dalam pembicaraan tentang trigonometri, tidak lepas dari konsep sebuah sudut, karena dalam fungsi trigonometri domain fungsi tersebut berupa sudut. Sebuah sudut dihasilkan oleh putaran sebuah sinar terhadap titik pangkalnya. Terdapat beberapa satuan untuk menyatakan besar sudut :

 Derajat siksagesimal, dimana satu putaran penuh dibagi menjadi 360 bagian yang sama. Setiap bagian disebut 1⁰ . Sehingga satu putaran penuh = 360 ⁰

Satuan derajat sentisimal tersebut yang sering kita gunakan dalam penghitungan besar sudut

 Derajat sentisimal, dimana satu putaran penuh dibagi menjadi 400 bagian yang sama.

Setiap bagian disebut 1⁰ . Sehingga satu putaran penuh = 400 ⁰

 Radian.

1 radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.

Perhatikan gambar berikut: lingkaran O tersebut memiliki jari-jari r. Panjang busur AB

=jari-jari lingkaran O = r

 AOB = 1 rad

4 Hubungan radian dengan derajat :

Jika 1 putaran penuh adalah 360⁰, maka besar sudut tersebut dalam radian adalah memiliki panjang busur yang merupakan keliling sebuah lingkaran

360 = r

r 2 rad = 2 rad 180 =  rad.

Sehingga pendekatan untuk 1 rad =



1800 = 57,3

Pertanyaan penalaran : Apakah nilai  di atas sama dengan harga  = 3,14…?

LATIHAN

Ubahlah satuan sudut berikut ke dalam derajat 1. 3π rad

2. 10 rad 3. rad

4 3

Jadi 1 ⁰ =………rad

Ubahlah satuan sudut berikut dalam satuan rad 1. 200⁰

2. 120⁰ 3. 80⁰

Jadi besar 1 rad = ………..⁰ r

r

O

r A B

r

5 2. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU

a c

c b A

Gambar di atas adalah segitiga siku-siku dengan titik sudut sikunya di C. Panjang sisi di hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c.

Terhadap sudut :

Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut 

Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut  Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa

Pertanyaan : ada berapa perbandingan yang dapat anda buat dari ke 3 sisi segitiga tsb?

Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri terhadap sudut  sebagai berikut:

1. c

a

 panjanghipotenusa

A sudut depan di

siku - siku sisi panjang

 sin

2. c

 b

 panjanghipotenusa

A sudut (berimpit) dekat

di siku - siku sisi panjang os

c

3. b

 a

 panjangsisisiku-siku didekat sudut A A sudut depan di

siku - siku sisi panjang tan 

4. a

 c

 panjangsisisiku-siku didepan sudut A hipotenusa

panjang osec

c

5. b

 c

 panjangsisisiku-siku didekat sudut A hipotenusa

panjang ec

s

α

6

6. a

 c

 panjangsisisiku-siku didepan sudut A A sudut dekat di siku - siku sisi panjang cot 

Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:

3. KOORDINAT KARTESIUS DAN KOORDINAT KUTUB

Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub.

Pada gambar A titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam koordinat kutub dengan P(r, ) seperti pada gambar B.

Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari dengan hubungan:

r

 x



cos  xrcos sehingga koordinat kutubnya adalah P(rcos,rsin₎

r

 y



sin  y rsin



 

 cos

tan sin



 

 sin cot cos

 

 cos

sec 1

 

 sin csc 1

y

x X

Y P(x,y)

O

Koordinat kartesius artesius



y

x X

Y P(r, )

r

 O

Koordinat kutub



7 Namun ada yang perlu diperhatikan, kedudukan titik tersebut berada? Karena hal tersebut berkaitan dengan besar sudut di kuadrannya. Coba ubah koordinat A ( 1,1) , B ( -1,1) dan C(-1, - 1) ke dalam koordinat kutub? Bagaimana besar sudutnya?

4. NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT ISTIMEWA

Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0, 30, 45,60, dan 90. Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45,dan 90.

Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan lingkaran satuan x² + y² = 1 seperti gambar berikut ini.

a. Sudut 45⁰

Perhatikan segitiga OAB dengan OAB= 45⁰ ,maka : OA=OB

OA² + OB² = OC² OA² + OA² = r² 2OA² = 1

OA² = OA = = OB Sehingga koordinat P( x,y) adalah (

b. Sudut 30⁰

Perhatikan segitiga sama sisi yang terbentuk, yakni segitiga OAB, dan C terletakpada AB. dengan sudut COB = 30^o . Segitiga OAB adalah segitiga sama sisi dengan r =1, sehingga panjang sisi OB= OA =AB = 1, dan CB = CA = dan OC= 3

2 1

. Sehingga P(x,y) adalah )

2 ,1 2 3 (1 P

2 0 1 3

sin 

2 3 0 1 3 cos 

O

B

A Y

X

45^O

O

B

C Y

X

30^O 30^O

A

8 3 3

1 3 30 1

tan  

Cobalah untuk sudut 60⁰, bagimana dengan perbandingan trigonometri pada sudut 90⁰ dan 180⁰

Kesimpulan tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

 0 30 45 60 90

sin  0

2

1 2

2

1 3

2

1 1

cos  1 3

2

1 2

2 1

2

1 ₀

tan  0 3

3

1 1 3 terdefinisi ^tak

cot  tak

terdefinisi 3 ¹ 3

3

1 0

Jika ⁰₀

90 cos

90 90 sin

tan  ..maka benarkah jika harga   0 90 1 tan Gambar grafik :

y=sin x

y= cos x

9 5. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT DI BERBAGAI KUADRAN

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga XOP dapat bernilai 0 sampai dengan 90. Perlu diketahui bahwa

r y 



 x^{2 2}

OP dan r  0

Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:

1.

r

 y

panjangOP P ordinat α

sin 4.

y

 r

 ordinatP OP panjang α

csc

2. r

 x

 panjangOP P absis α

cos 5.

x

 r

 absisP OP panjang secα

3. x

 y

 absisP P ordinat α

tan 6.

y

 x

ordinat P P absis α

cot

Dengan memutar garis OP maka  XOP =  dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

y

x X

Y P(x,y)

r

 O

y= tangent x

10 6. RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut  adalah sudut (90  ), (180  ), (360 

), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut  dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut  dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70.

 Perbandingan trigonometri untuk sudut  dengan (90 - )

Dari gambar, Titik P1 (x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan garis y  x, sehingga diperoleh:

a. XOP =  dan XOP1 = 90 -  b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

Titik di berbagai kuadran y

x X

Y P(x,y)

r

1

O

y

x X

P(x,y) Y

r

2

O

y

x

X Y

r P(x,y)

3

O

y x

X Y

r

P(x,y)

4

O

y

x

X Y

P(x,y)

r

 (90-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

y = x

sudut yang berelasi pada 90 ⁰ -

O

11

y

x X

Y

P(x,y)

r

 (180-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O

sudut yang berelasi 180⁰- 

 sin



90 



cos

1

1  





 r

x r y

 cos



90 



sin

1

1  





 r

y r x

 tan



90 



cot 

1

1  





 y

x x y

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut  dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut:

Pertanyaan : Coba buat perbandingan trigonometri untuk sudut (90⁰+ )

 Perbandingan trigonometri untuk sudut  dengan (180 - ) Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik

P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu y, sehingga

a. XOP =  dan XOP1 = 180 -  b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r maka diperoleh hubungan:



180 



sin sin

1

1  





 r

y r y



180 



sin

cos

1

1  





 r

x r x



180 



tan

tan

1

1 

 





 x

y x y

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

a. ^sin



^90



^{cos d. csc}



^90



^sec

b. cos



90^



^sin^ e. sec



90^



^cosec ^ c. ^tan



^90



^{cot f. cot}



^90



^tan

a. ^sin



^180



^sin d. ^csc



^180



^csc

b. cos



180



cos e. sec



180



sec  c. tan



180^



^tan^ f. cot



180^



^cot^

12

 Perbandingan trigonometri untuk sudut  dengan (180 + ) Dari gambar di samping titik P1(x1,y1) adalah bayangan

dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis y 

x, sehingga

a. XOP =  dan XOP1 = 180 +  b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

 sin



180 



sin

1

1   





 r

y r

y

 cos



180 



cos

1

1   





 r

x r x

 tan



180 



tan 

1

1  



 





 x

y x y x y

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

Perbandingan trigonometri untuk sudut  dengan (- ) Dari gambar di samping diketahui titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga

a. XOP =  dan XOP1 = -  b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r maka diperoleh hubungan

 sin

 

 sin

1

1  





 r

y r

y

 cos

 

 cos

1

1  



 r

x r x

 tan

 

 tan 

1

1   



 x

y x

y

a. ^sin



^180



^sin d. ^csc



^180



^{csc }

b. cos



180



cos e. sec



180



sec  c. tan



180^



^tan^ f. cot



180^



^cot^

y

x X

Y

P(x,y)

r

 (180+)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O

Sudut berelasi 180⁰+ 

y x

X Y

P(x,y)

r

 (360-1)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O ^-

Sudut yang berelasi

13 Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

Untuk relasi  dengan (- ) tersebut identik dengan relasi  dengan 360  , misalnya sin (360  )   sin 

7. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Dari gambar di samping diperoleh

r

 x



cos ,

r

 y



sin danr  x² y² . Sehingga

2 2 2

2 2

2

cos

sin r

x r y 



 



₂ 1

2 2

2

2   

 r

r r

y x

Coba masukkan nilai  = 45⁰ dan 60^0....apakah kesamaan tersebut masih berlaku?

Begitu pun untuk :

 





2 2

2 2

cos 1

sec 1

ec ctgn

tgn









8. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut a. Rumus cos ( + ) dan cos (  )

Pada gambar di samping diketahui garis CD dan AF keduanya adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus cos (+ ).

a. ^sin

 

^{ sin} d. ^csc

 

^{ csc }

b. ^cos

 

^{ cos e. sec}

 

^{ sec }

c. tan

 

 tan f. cot

 

 cot

y

x X

Y P(x, y)

r

 O



sin² +cos²  1 Jadi





A D E B C

G F

14

 

AC

cos   AD  ADACcos







Pada segitiga sikusiku CGF

CF GF

sin    GFCFsin …………..(1) Pada segitiga sikusiku AFC,

AC CF

sin   CFACsin …………..(2)

AC β AF

cos   AFACcos …………..(3) Pada segitiga sikusiku AEF,

AF AE

cos    AE AFcos  …………..(4) Dari (1) dan (2) diperoleh

GF  AC sin  sin 

Karena DE  GF maka DE  AC sin  sin  Dari (3) dan (4) diperoleh

AE  AC cos  cos  Sehingga AD  AE  DE

AC cos ( + )  AC cos  cos   AC sin  sin 

Jadi untuk menentukan cos (  ) gantilah  dengan () cos (  )  cos ( + ())

 cos  cos ()  sin  sin ()

 cos  cos   sin  (sin )

 cos  cos  + sin  sin 

Rumus sin ( + ) dan sin (  )

Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin (  ) perlu diingat rumus sebelumnya, yaitu: sin (90  )  cos  dan cos (90  )  sin 

cos ( + )  cos  cos   sin  sin 

cos (  )  cos  cos  + sin  sin 

15 sin ( + )  cos (90  ( + ))

 cos ((90  )  )

 cos (90  ) cos  + sin (90  ) sin 

 sin  cos  + cos  sin 

Untuk menentukan sin (  ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah  dengan  lalu disubstitusikan ke sin ( + ).

sin (  )  sin ( + ( ))

 sin  cos () + cos  sin ()

 sin  cos  + cos  (sin )

 sin  cos   cos  sin 

Rumus tan ( + ) dan tan (  ) Dengan mengingat



 

 cos

tan sin , maka



















 











 





 cos cos sin sin

sin cos cos

sin ) ( cos

) ( ) sin (

tan



 



 



 











































cos sin cos

1 sin

cos sin cos

sin

cos cos

sin sin cos

cos

cos cos

sin cos cos

sin ) ( tan









tan tan 1

tan tan



 

Jadi

Untuk menentukan tan (  ), gantilah  dengan  lalu disubstitusikan ke tan ( + ).

tan (  )  tan ( + ( ))

) (- tan tan 1

) (- tan tan











 

sin ( + )  sin  cos  + cos  sin 

sin (  )  sin  cos   cos  sin 







 

 1 tan tan tan ) tan

(

tan 

 



16 )

tan ( tan 1

) ( tan tan













 











 

tan tan 1

tan tan

Jadi

ctg ( + )

) ( tan

1



 

 )







 tan tan

tan tan 1



 







 ctg

1 ctg

1

ctg 1 1 1





 ctg







 ctg tg

1 ctg ctg



  c

9. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.

 sin 2  sin ( + )  sin  cos  + cos  sin   2 sin cos

 cos 2  cos ( + )  cos  cos   sin  sin   cos

²

  sin

²



sin 2  2 sin cos

cos 2  cos²  sin²











 





 1 tan tan tan ) tan

( tan

17 Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos² + sin²  1.

cos 2  cos²  sin² cos 2  cos²  sin²  cos²  (1  cos²)  (1  sin²)  sin²  2cos²  1  1  2 sin²

Sehingga











 





₂

tan 1

tan 2 tan

tan 1

tan ) tan

( tan 2

tan  



 





Bagaimana dengan sin 3, cos 3,tgn 3?

sin 3 = sin (2+)

= sin 2cos + cos 2sin

= 2sin cos cos  + ( 1-2sin ²)sin 

= 2 sin cos ²+ sin -2sin ³

= 2sin( 1-sin ²) + sin -2sin ³

= 3sin - 4sin ³

Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:

cos ( + )  cos  cos   sin  sin  cos (  )  cos  cos  + sin  sin  cos ( + ) + cos (  )  2 cos  cos 

cos ( + )  cos  cos   sin  sin  cos (  )  cos  cos  + sin  sin  cos 2  cos²  sin²

cos 2  2cos²   1 =

1  2 sin

²





 ₂ tan 1

tan 2 2

tan  

+

cos ( + ) + cos (  )  2 cos  cos 



Fungsi Trigonometri Jumlahan 2 sudut

Identitas trigonometri sin ²+ cos ² =1

18 cos ( + )  cos (  )  2 sin  sin 

Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:

sin ( + )  sin  cos  + cos  sin  sin (  )  sin  cos   cos  sin  sin ( + ) + sin (  )  2 sin  cos 

sin ( + )  sin  cos  + cos  sin  sin (  )  sin  cos   cos  sin  sin ( + ) + sin (  )  2 sin  cos 

cos ( + )  cos (  )  2 sin  sin 

+

sin ( + ) + sin (  )  2 sin  cos





sin ( + )  sin (  )  2 cos  sin 

19 Mari kita simpulkan untuk materi Identitas Trigonometri berikut :

Perbandingan Trigonometri

Sudut Berelasi

Jumlah dan Selisih dua Sudut

Kita bisa memulai dari penjumlahan cos (a+b) dengan menggunakan bantuan gambar segitiga tapi kita juga bisa melalui sin (a+b)

cos ( + )  cos  cos   sin  sin  cos (  )  cos  cos  + sin  sin  untuk mengubah digunakan sudut berelasi

sin ( + )  sin  cos  + cos  sin  sin (  )  sin  cos  - cos  sin 

 



 

 1 tan tan tan ) tan

(

tan 

 









 

 1 tan tan tan ) tan

(

tan 

 



Sudut Ganda

Ubah rumus penjumlahan sudut di atas dengan mengubah  = , sehingga kita akan memperoleh

cos ( +  )= cos (2) sin ( +  )= sin (2) tg ( +  )= tgn (2)

Penjumlahan dan pengurangan perbandingan trigonometri :

cos ( + ) + cos (  )  2 cos  cos  cos ( + )  cos (  )  2 sin  sin  sin ( + )  sin (  )  2 cos  sin  sin ( + )  sin (  )  2 cos  sin 

20 Contoh 1 :

Dalam lancip diketahui cos A = , cos A = . Tentukan sin C Jawab :

A+B+C = 180⁰

sin C = sin ( 180⁰ – ( A+B))

= sin (A+B)

= sin A cos B + cos A sin B

Jika cos A = maka sin A = , dan jika cos A = maka sin A =

sin C =

=

Contoh 2

Buktikan bahwa berlaku tg A + tg B +tg C = tg A.tg B. tg C Jawab :

tg A+ tg B+tg C = tg (A+B) ( 1- tg A tg B) + tg C

ingat bahwa A+B+C = 180⁰ , artinya tg ( A+B) = tg ( 180⁰ –C)

= - tg C ( 1- tg A tg B) + tg C

= tg A.tg B. tg C Contoh 3

Jika A + B + C + D = 180 ⁰, buktikan cos A cos B +cos C cos D = sin A sin B + sin C sin D Jawab :

A + B = 180 ⁰- ( C + D)

cos (A + B) = cos (180 ⁰- ( C + D)) cos (A + B) = - cos ( C + D)

cos A cos B – sinA sin B = - ( cos C cos D –sin C sin D) cos A cos B -sin C sin D = - cos C cos D + sin C sin D cos A cos B +cos C cos D = sin A sin B + sin C sin D Latihan

Pilihlah jawaban yang tepat :

1. Jika ∆ ABC siku-siku di C dan memenuhi 2 tan A = sin B , maka sin A = …

A. 2

2

1 B. ₂¹ 3 C. 21 D. 31 E. 3 2

2. Nilai dari _o^{o o}_o 300 cos 120 cos

120 sin 150 sin



 = …

A. –2 – 3 B. –1 C. 2 – 3 D. 1 E. 2 + 3 3. Jika tan x =

2

1 , maka 2 sin x + sin (x +

2

1 ) + cos ( – x) = …

21 A. 2

1 5 B. 1 C.

5

2 5 D. 0 E. –

5 15 4. Harga sin 2 sama dengan …

A. p2 + q2

pq  p B. _{2 2}

+ q p

pq q

C. 2 2

2 + q p

q

D. 2 2

2 + q p

pq

E. ²_{2 2}

+ q p

pq

5. Diketahui a⁰, b⁰ dan c⁰ menyatakan besar sudut-sudut segitiga ABC dengan tan a⁰ = 3 dan tan b⁰ = 1. Maka nilai tan c⁰ = …

A. 2 B. 1 C. – ₂¹ D. 2 E. 3

Selesaikan

1. Dalam ABC diketahui bahwa cos A = 5

3 dan cos B = 13

12. Berapakah harga cos C?

2. Buktikan bahwa dalam ABC berlaku :

tgn A + tgn B + tgn C = ( tgn A+B) ( 1-tgA tgn B)+ tgn C= tg A.tgnB.tg C 3. Buktikan :

x x x

ctgn x

ec x

tgn

x ^{4 4 4} _{2 2}

4

cos sin

1 2 ) )(cos

(sec    

4. Hitunglah tanpa kalkulator : sin 54⁰sin 18⁰

5. Ubahlah bentuk penjumlahan /pengurangan tersebut ke dalam bentuk perkalian sin A + sin B + sin C –sin (A + B+C)

DAFTAR PUSTAKA

Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta: PPPG Matematika

.

Hyatt, H.R. & Small,L. (1982). Trigonometry a Calculator Approach. Canada: John Wiley and Sons, Inc.

Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced Trigonometry. New York: Harper & Brothers Publisher.

22 Edwin J Purcell , Dale Varberg, Steven Ridgon, Calculus, Ninth edition (2007). USA :

Pearson Prentice Hall

Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California: Houghton Mifflin Company.

Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK.

Yogyakarta: PPPG Matematika.

Winarno& Al. Krismanto. (2001). Bahan Standarisasi SMU Trigonometri. Yogyakarta:

PPPG Matematika.

Trigonometry, matxtc.com

Tedy Setiawan, Trigonometri 123+ 45. (2009). Bandung : Yaama Widya Wijdenes, Goniometrie Trigonometri (1950). Amsterdam