PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Ilmu matematika merupakan suatu ilmu dasar yang terus berkembang dan banyak digunakan dalam berbagai bidang. Salah satu cabang ilmu matematika yang mengalami perkembangan baik teori maupun aplikasinya adalah analisis fungsional yang membahas ruang Banach. Salah satu contoh ruang Banach adalah ruang Or- licz.
Ruang Orlicz merupakan salah satu hasil penelitian dalam bidang matema- tika analisis yang mempunyai banyak aplikasi. Pada tahun 2002, dalam sebuah tulisan yang berjudul ”Application of Orlicz Spaces”, Rao dan Ren menuliskan beberapa aplikasi ruang Orlicz, di antaranya aplikasi ruang Orlicz pada analisis stokastik dan analisis presiksi. Dalam analisis stokastik, ruang Orlicz berperan da- lam pembahasan suatu aspek dari deviasi yang besar untuk variabel acak (random) yang independen dan untuk proses lainnya, seperti halnya gerak Brown (Brownian motion). Sedangkan dalam analisis prediksi, prediksi classical least square yang ditemukan oleh Gauss, menemukan natural home di ruang Orlicz jika kriteria opti- malitasnya dianggap sebagai fungsi konveks non-negatif yang simetris dan bernilai nol di titik awalnya, fungsi kuadrat menjadi kasus khususnya.
Salah satu kasus khusus dari ruang Orlicz adalah ruang barisan Orlicz yang merupakan generalisasi dari ruang barisan `p. Pengkajian ruang barisan Orlicz dida- sari oleh teori ruang Banach. Lindenstrauss dan Tzafriri (1971-1973) mempelajari lebih detail ruang barisan Orlicz dan meyelesaikan permasalahan struktural yang penting dalam ruang Banach. Selanjutnya, pada tahun 1973, Woo dalam tulisan berjudul ”On Modular Sequence Spaces” menggeneralisasi konsep ruang barisan Orlicz yang dibangun oleh fungsi Orlicz menjadi ruang barisan bermodular yang
1
dibangun oleh barisan fungsi Orlicz. Kamthan dan Gupta (1981) memberikan pem- bahasan mengenai dual K¨othe-Toeplitz ruang barisan Orlicz dan bermodular yang meliputi dual-α dan dual-β ruang barisan tersebut serta topologi pada ruang barisan Orlicz dan bermodular yang meliputi pembahasan ruang-BK dan -AK.
Pada tahun 2008, Gupta dan Pradhan memperkenalkan barisan fungsi Orlicz yang dibangun oleh barisan bilangan real positif dan ruang barisan bermodular yang dibangun oleh barisan fungsi Orlicz tersebut. Memperhatikan uraian di atas, penulis merasa tertarik untuk mempelajari lebih lanjut mengenai dual K¨othe-Toeplitz ruang barisan bermodular yang diperkenalkan oleh Gupta dan Pradhan tersebut beserta topologinya yang meliputi pembahasan ruang-BK dan -AK.
1.2. Perumusan Masalah
Rumusan masalah yang dibahas dalam tesis ini adalah:
1. Ruang barisan Orlicz yang dibangun oleh fungsi Orlicz, dual K¨othe-Toeplitz ruang barisan Orlicz yang meliputi dual-α dan dual-β serta topologi pada ruang barisan Orlicz yang meliputi pembahasan ruang-BK dan -AK.
2. Ruang barisan bermodular yang dibangun oleh barisan fungsi Orlicz dan to- pologi pada ruang barisan bermodular yang meliputi pembahasan ruang-BK dan -AK.
3. Barisan fungsi Orlicz yang dibangun oleh barisan bilangan real positif, ruang barisan bermodular yang dibangun oleh barisan fungsi Orlicz tersebut, dual K¨othe-Toeplitz ruang barisan Orlicz yang meliputi dual-α dan −β serta to- pologi pada ruang barisan bermodular yang meliputi pembahasan ruang-BK dan -AK.
Pada penulisan tesis ini, penulis membatasi masalah pada pembahasan dual K¨othe- Toeplitz ruang barisan Orlicz dan bermodular yang meliputi dual-α dan dual-β ser- ta topologi pada ruang barisan Orlicz dan bermodular yang meliputi pembahasan ruang-BK dan -AK. Tesis ini tidak membahas penerapan dari ruang-BK dan -AK
pada ruang barisan Orlicz dan bermodular tersebut.
1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian
Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Magister (S2) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan tesis ini bertujuan untuk mengetahui konsep dan sifat-sifat ruang barisan Orlicz dan bermodular. Selanjut- nya, hasil dari penelitian ini diharapkan dapat memberikan inspirasi bagi peneliti lain yang ingin meneliti lebih dalam tentang ruang barisan Orlicz dan ruang barisan bermodular.
1.4. Tinjauan Pustaka
Ruang Orlicz merupakan salah satu hasil penelitian dalam bidang matemati- ka analisis yang mempunyai banyak aplikasi. Salah satu kasus khusus ruang Orlicz adalah ruang barisan Orlicz yang dibangun oleh fungsi Orlicz. Dalam mempe- lajari ruang barisan Orlicz, diperlukan beberapa konsep fungsi Orlicz. Salah sa- tu sifat yang dipenuhi fungsi Orlicz adalah konveks. Krasnoselskii dan Rutickii (1961) menjelaskan konsep-konsep dasar fungsi konveks di antaranya tentang sifat kekontinuan dan diferensiabilitas fungsi konveks serta representasi integral fungsi konveks. Selain mengenai fungsi konveks, Krasnoselskii dan Rutickii (1961) juga menjelaskan definisi dan beberapa sifat fungsi Orlicz, salah satunya adalah pem- bahasan mengenai komplemen suatu fungsi Orlicz. Xianqiang dan Zhiping (2013) serta Musielak (1983) melengkapi penjelasan mengenai komplemen suatu fungsi Orlicz tersebut.
Dalam pembahasan representasi integral fungsi konveks, diperlukan pem- bahasan mengenai fungsi bervarisasi terbatas dan fungsi kontinu mutlak. Royden (1988) menjelaskan tentang hubungan fungsi bervariasi terbatas, fungsi kontinu mutlak, dan fungsi konveks. Lebih lanjut, dalam melengkapi pembahasan tersebut digunakan beberapa buku di antaranya, Jain dan Gupta (1986) serta Rudin (1991).
Selain pembahasan mengenai fungsi konveks, diperlukan beberapa konsep
dasar ruang barisan dalam pembahasan ruang barisan Orlicz dan bermodular. Kam- than dan Gupta (1981) menjelaskan kosep dasar ruang barisan di antaranya tentang ruang barisan normal dan sempurna (perfect), dual K¨othe-Toeplitz serta topologi pada ruang barisan yang meliputi pembahasan ruang-BK dan -AK. Dalam meleng- kapi pembahasan tersebut diacu pula buku karya K¨othe (1969) yang berjudul Topo- logical Vector Spaces I. Selanjutnya, untuk mendasari pembahasan ruang barisan, diperlukan pula pembahasan mengenai barisan dan deret. Rudin (1976) menjelas- kan definisi serta konsep dasar barisan dan deret. Lebih lanjut, Bartle dan Sher- bert (2000) dalam bukunya yang berjudul Introduction to Real Analysis melengkapi pembahasan mengenai barisan dan deret.
Lindenstrauss dan Tzafriri (1971) mempelajari lebih detail ruang barisan Or- licz dan meyelesaikan permasalahan struktural yang penting dalam ruang Banach.
Selanjutnya, Woo (1973) memperkenalkan ruang barisan yang lebih umum dari ruang barisan Orlicz, yaitu ruang barisan bermodular yang dibangun oleh barisan fungsi Orlicz. Karena ruang barisan Orlicz dan ruang barisan bermodular merupa- kan contoh ruang barisan, maka dapat diselidiki topologi pada ruang barisan Orlicz dan ruang barisan bermodular. Pembahasan mengenai topologi pada ruang barisan Orlicz dan ruang barisan bermodular dapat ditemukan dalam Kamthan dan Gupta (1981) serta Lindenstrauss dan Tzafriri (1977).
Selanjutnya, Gupta dan Pradhan (2008) memperkenalkan barisan fungsi Or- licz yang dibangun oleh barisan bilangan real positif dan membangun ruang barisan bermodular dari barisan fungsi Orlicz tersebut. Lebih lanjut, Gupta dan Pradhan (2008) juga membahas tentang dual K¨othe-Toeplitz ruang barisan tersebut beserta sifat-sifat topologinya.
1.5. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam pembuatan tesis ini adalah studi literatur. Di- awali dengan membaca literatur-literatur hasil penelitian yang menjadi dasar untuk mempelajari ruang barisan Orlicz dan bermodular, antara lain tentang konsep dasar
dan sifat-sifat yang melengkapi fungsi Orlicz.
Adapun langkah yang dilakukan sebagai berikut
1. Memberikan definisi fungsi Orlicz Φ yang memenuhi syarat-syarat tertentu.
2. Memberikan definisi dan konsep dasar ruang barisan beserta topologi pada ruang barisan.
3. Membangkitkan ruang barisan Orlicz yang dibangun oleh fungsi Orlicz dan menyelidiki topologi pada ruang barisan Orlicz serta dual K¨othe-Toeplitz ru- ang barisan tersebut.
4. Membangkitkan ruang barisan bermodular yang dibangun oleh barisan fungsi Orlicz dan menyelidiki topologi pada ruang barisan bermodular.
5. Memberikan barisan fungsi Orlicz yang dibangun oleh barisan bilangan re- al positif dan membangkitkan ruang barisan bermodular yang dibangun oleh barisan fungsi Orlicz tersebut serta menyelidiki dual K¨othe-Toeplitz dan to- pologi pada ruang barisan bermodular tersebut.
1.6. Sistematika Penulisan
Pada penulisan tesis ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini, dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta sistematika penulisan tesis yang akan dilakukan dalam penyusunan tesis ini.
BAB II TEORI DASAR
Bab ini terdiri dari beberapa subbab. Pada empat subbab awal, dibahas mengenai beberapa hal yang mendasari pembahasan representasi integral fungsi Orlicz, di an- taranya fungsi bervariasi terbatas, derivatif suatu integral, fungsi kontinu mutlak, dan fungsi konveks. Dalam pembahasan empat subbab awal tersebut, dipelajari
definisi, sifat-sifat, dan hubungan fungsi bervariasi terbatas, fungsi kontinu mut- lak, dan fungsi konveks. Terakhir dibahas mengenai representasi integral fungsi konveks. Selanjutnya, subbab kelima membahas tentang definisi dan representasi integral fungsi Orlicz.
Pada subbab keenam, dibahas mengenai definisi serta konsep dasar barisan dan deret. Selanjutnya, subbab ketujuh membahas tentang ruang barisan di antara- nya konsep ruang barisan yang meliputi ruang barisan normal dan sempurna, serta dual K¨othe-Toeplitz ruang barisan. Selain itu, dibahas pula mengenai topologi pada ruang barisan di antaranya ruang -BK dan -AK.
BAB III RUANG BARISAN YANG DIBANGUN OLEH FUNGSI ORLICZ DAN DUAL K ¨OTHE-TOEPLITZ
Bab ini terdiri dari tiga subbab. Pada subbab pertama, dibahas mengenai topologi pada ruang barisan Orlicz beserta dual K¨othe-Toeplitz ruang barisan Orlicz. Selan- jutnya, subbab kedua membahas tentang topologi pada ruang barisan bermodular yang dibangun oleh barisan fungsi Orlicz. Pada subbab ketiga, diperkenalkan baris- an fungsi Orlicz yang dibangun oleh barisan bilangan real positif dan ruang barisan bermodular baru yang dibangun oleh barisan fungsi Orlicz tersebut. Lebih lanjut, dibahas pula mengenai topologi pada ruang barisan bermodular tersebut beserta du- al K¨othe-Toeplitz-nya.
BAB V PENUTUP
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil penelitian dan saran guna penelitian lebih lanjut.
