Integral Parsial
Teknik Pengintegralan
Kusbudiono
Jurusan Matematika
Integral Parsial
Metode Substitusi
Integral Fungsi Trigonometri
Substitusi yang Merasionalkan
Integrasi Fungsi Rasional; Pecahan Parsial
Beberapa Macam Substitusi yang lain
Integral Parsial
Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal
Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa
integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah
daftar integral-integral dasar yang telah diurutkan:
KONSTANTA, PANGKAT, EKSPONENSIAL
Integral Parsial
Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal
Integral Parsial
Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal
FUNGSI-FUNGSI HIPERBOLIK
15.
R
sinh
u du
=
cosh
u
+
C
16.
R
cosh
u du
=
sinh
u
+
C
17.
R
sech
u du
=
tanh
u
+
C
18.
R
csch
u du
=
−
coth
u
+
C
19.
R
sech
u
tanh
u du
=
−
sech
u
+
C
20.
R
Integral Parsial
Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal
Integral Parsial
Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal
Integral Parsial
Pengintegraan dengan Metode Substitusi
Teorema (Substitusi)
Untuk menentukan
R
f
(
x
)
dx, kita dapat mensubstitusi
u
=
g
(
x
)
, dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila
substitusi itu mengubah f
(
x
)
dx menjadi h
(
u
)
du dan apabila H
sebuah anti turunan h, maka
Z
f
(
x
)
dx
=
Z
Integral Parsial
Beberapa Integral Trigonometri
Dengan kesamaan trigonometri dan menggunakan metode
substitusi kita akan dapat mengintegralkan banyak
bentuk-bentuk trgonometri. Beberapa jenis integral trigonometri
yang sering muncul adalah:
Integral Parsial
Jenis 1:
R
sin
n
x dx
dan
R
cos
n
x dx
Diperlukan identitas trigonometri:
sin
2
x
=
1
2
(
1
−
cos 2
x
)
dan
cos
x
=
1
2
(
1
+
cos 2
x
)
dan
Integral Parsial
Jenis 2:
R
sin
m
x
cos
n
x dx
Identitas trigonometri dan prosedur yang digunakan tergantung
pada
m
dan
n
adalah ganjil atau genap.
R
sinmxcosnx dx Prosedur Identitas Terkait - Pilihlah faktor dari cosx
nganjil - Gunakan kesamaan terkait cos2x=1−sin2x
Substitusiu=sinx
- Pilihlah faktor dari sinx
mganjil - Gunakan kesamaan terkait sin2x=1−cos2x
- Substitusiu=cosx
mdanngenap - Gunakan kesamaan terkait untuk sin2x= 1
2(1−cos 2x)
mereduksi pangkat sinxdan cosx cos2x=1
Integral Parsial
Jenis 3:
R
tan
n
x dx
dan
R
cot
n
x dx
Untuk menghitung integral berbentuk
R
tan
n
x dx
dan
R
sec
m
x dx
dimulai dengan rumus integral dasar
Z
tan
x dx
=
ln
|
sec
x
|
+
C
Z
sec
x dx
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
Integral Parsial
Jenis 4:
R
tan
m
x
sec
n
x dx
dan
R
cot
m
x
csc
n
x dx
Identitas trigonometri dan prosedur yang digunakan tergantung
pada
m
dan
n
adalah ganjil atau genap.
Berikut adalah prosedur untuk integran berbentuk
tan
m
x
sec
n
x
.
R
tanmxsecnx dx Prosedur Identitas Terkait - Pilihlah faktor pembagi dari sec2x
ngenap - Gunakan kesamaan terkait sec2x=1+tan2x
Substitusiu=tanx
- Pilihlah faktor dari secxtanx
mganjil - Gunakan kesamaan terkait tan2x=sec2x−1
- Substitusiu=secx
mgenap dannganjil - Gunakan kesamaan terkait untuk tan2x=sec2x−1 mereduksi pangkat dari secx
- Kemudian gunakan rumus reduksi untuk pangkat secx
Dengan pertolongan kesamaan 1
+
cot
2
x
=
csc
2
x
prosedur
diatas dapat disesuaikan untuk menghitung integral berbentuk
R
Integral Parsial
Jenis 5:
R
sin
mx
cos
nx dx
, sin
mx
sin
nx dx
, dan
R
cos
mx
cos
nx dx
Untuk menghitung integral berbentuk
R
sin
mx
cos
nx dx
,
sin
mx
sin
nx dx
, dan
R
cos
mx
cos
nx dx
digunakan
rumus-rumus pergandaan jumlahan dari trigonometri dibawah
ini:
sin
mx
sin
nx
=
−
1
Integral Parsial
Integran yang memuat
√
n
ax
+
b
Apabila didalam integran ada bentuk
√
nax
+
b
, substitusi
u
=
√
nIntegral Parsial
Untuk merasioanalkan bentuk bentuk integran
√
a
2
−
x
2
,
√
a
2
+
x
2
dan
√
x
2
−
a
2
kita gunakan masing-masing
substitusi sebagai berikut:
Ekspresi Substitusi Pembatasanθ Kesamaan trigonometri
dalam yang diperlukan untuk
Integral Parsial
Melengkapkan Menjadi Kuadrat Sempurna
Apabila sebuah bentuk kuadrat
x
2
+
Bx
+
C
muncul dibawah
Integral Parsial
Pecahan Parsial
Setiap fungsi rasional
Q
P
(
(
x
x
)
)
dengan derajat pembilang lebih kecil
dari pada derajat penyebut dapat dinyatakan sebagai jumlahan
P
(
x
)
Q
(
x
)
=
F
1
(
x
) +
F
2
(
x
) +
. . .
+
F
n(
x
)
dimana
F
1
(
x
)
,
F
2
(
x
)
, . . . ,
F
n(
x
)
fungsi-fungsi rasional dalam
bentuk
A
1(
ax
+
b
)
katau
Ax
+
B
(
ax
2+
bx
+
c
)
kIntegral Parsial
Mendapatkan bentuk dekomposisi pecahan parsial
Langkah pertama untuk mendapatkan dekomposisi pecahan
parsial suatu fungsi rasional
P
Q
(
(
x
x
)
)
yang mempunyai derajat
pembilang lebih kecil dari pada derajat penyebut adalah
dengan memfaktorkan
Q
(
x
)
, secara lengkap menjadi faktor
linier dan faktor kuadratik yang tak dapat difaktorkan lagi, dan
mengumpulkan faktor berulang sehingga
Q
(
x
)
dinyatakans
ebagai perkalian faktor-faktor yang berbeda dari bentuk
Integral Parsial
Faktor-faktor Linier
Jika semua faktor
Q
(
x
)
linier, maka dekomposisi pecahan
parsial
Q
P
(
(
x
x
)
)
dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut:
Teorema (Aturan Faktor Linier)
Untuk setiap faktor dalam bentuk
(
ax
+
b
)
m
, dekomposisi
pecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahan
parsial:
A
1
ax
+
b
+
A
2
(
ax
+
b
)
2
+
. . .
+
Integral Parsial
Faktor-faktor Kuadratik
Jika beberapa faktor
Q
(
x
)
adalah kuadratik yang tidak dapat
disederhanakan lagi, maka kontribusi faktor-faktor itu pada
dekomposisi pecahan parsial
P
Q
(
(
x
x
)
)
dapat ditentukan dengan
aturan sebagai berikut:
Teorema (Aturan Faktor Kuadratik)
Untuk setiap faktor dalam bentuk
(
ax
2
+
bx
+
c
)
m
, dekomposisi
pecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahan parsial:
A1x
+
B1
ax
2
+
bx
+
c
+
A2x
+
B2
(
ax
2
+
bx
+
c
)
2
+
. . .
+
A
m
x
+
B
m
(
ax
2
+
bx
+
c
)
m
Integral Parsial
Integral yang mencakup pangkat rasional
Integral yang mengandung pangkat rasional
x
seringkali dapat
disederhanakan dengan substitusi
u
=
x
1ndengan
n
adalah kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut
dalam pangkat.
Tujuan dari substitusi ini adalah untuk mengganti
Integral Parsial
Contoh:
Z
√
x
1
+
√
3x
dx
Jawab:
Digunakan subsitusi
u
=
x
16karena 6 adalah KPK dari 2 dan 3.
Sehingga didapat
x
=
u
6
dan
dx
=
6
u
5
du
. Untuk
√
x
,
√
Integral Parsial
Integral yang memuat fungsi-fungsi rasional dalam
sin
x
dan cos
x
Fungsi yang terdiri dari beberapa jumlahan, selisih, hasilkali,
dan hasilbagi berhingga dari sin
x
dan cos
x
Contoh:
sin
x
+
3 cos
2
x
cos
x
+
4 sin
x
,
sin
x
1
+
cos
x
−
cos
2
x
,
3 sin
5
x
Integral Parsial
Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu
dv
=
uv
−
Z
v du
Integral diatas dimungkinkan untuk memindahkan
pengintegralan
u dv
pada pengintegralan
v du
yang tergantung
Integral Parsial
