SIFAT-SIFAT SEMIGRUP BEBAS DAN MONOID BEBAS DALAM BENTUK HIMPUNAN WORD

(1)

Semirata 2013 FMIPA Unila |449

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP BEBAS DAN MONOID BEBAS

DALAM BENTUK HIMPUNAN WORD

Rolan Pane

1

, Sri Gemawati

1

, Novia Yumitha sarie

2

Firdaus

1

Department of mathematics FMIPA Universitas Riau E-mail: rolan.pane.@gmail.com

Abstract. We discussthe characteristics of free semigroup and free monoid related to word set. The discussionbegin withsome homomorphismtheorems and a criterion for freeness of semigroup and monoid. All characteristics of free semigroup and free monoid are expressed on theorems.

Keywords:Homomorphism Theorem, A Criterion For Freeness, Word Set.

PENDAHULUAN

Teori dasar dari himpunan, pemetaan, operasi biner dan relasi biner sangat diperlukan untuk mempelajari struktur aljabar.Suatu struktur aljabar (structure of algebra)adalah himpunan tak kosong dimana terdapat sedikitnya satu relasi ekivalen dan satu atau lebih operasi biner dapat didefinisikan di dalamnya. Salah

satu kasus struktur aljabar

adalahsemigrup. Semigrup adalah suatu struktur aljabar dengan operasi biner yang bersifat asosiatif. Operasi biner pada semigrup S sering dinotasikan dengan , yang memetakan tiap pasangan berurutan

S S y x, ) 

( ke suatu elemen xyS.

Suatu semigrup yang mempunyai identitas disebut monoid.

Semigrup dan Semigrup Bebas

Konsep-konsep yang akan dibahas dalam karya tulis ini merupakan materi-materi pendukung yang diambil dari beberapa referensi yaitu [3], [5] dan [6].

Definisi 2.1. (Semigrup)

MisalkanSsuatu himpunan dan

S S S 

: adalah operasi biner yang

memetakan tiap pasangan(x,y)SSke suatu elemenxyS.

Himpunan Sadalah suatu semigrup

dengan operasi  didefinisikan di

dalamnya, biasanya dinotasikan dengan

) ,

(S atau dengan S saja, jika

operasimemenuhi sifat asosiatif, yakni untuk setiap x,y,zS berlaku :

z y x z y

x(  )(  ) .

Definisi 2.2. (Subsemigrup)Untuk

suatu subhimpunan X S denganX Ø

didefinisikan

 

X S 



x1x2...xn...|n1,xi X



,

Maka

 

X Sadalah subsemigrup dariS,

dan dikatakan sebagai subsemigrup yang dibangun olehX .

Definisi 2.3. (Semigrup Bebas)

Misalkan diketahui Ssebarang semigrup.

Himpunan bagian AS membangun S

secara bebas jika terdapat pemetaan

P A

:

0

 , dengan P sembarang

semigrup, yang dapat diperluas menjadi

suatu homomorfisma :S P sehingga

0

|



 _

A . Maka S dikatakan suatu

semigrup bebas dan pemetaan 

dikatakan sebagai perluasan

homomorfisma dari pemetaan 0.

Definisi 2.4. (HimpunanWord)

Misalkan A adalah suatu himpunan

alfabet yang anggotanya disebut

letter/huruf. Sembarang barisan hingga

dari letter disebut word dari A.

Himpunan semua word dari A, sedikitnya satu letter, dinotasikan dengan A.Tiap

elemen dari A mempunyai panjang

(2)

450| Semirata 2013 FMIPA Unila

Contoh Misalkan diketahui himpunan alfabet A{a,b}, maka himpunan word

Dalam [5], teorema homomorfisma, teorema kernel, teorema monomorfisma dan teorema fundamental homomorfisma diberikan sebagai berikut.

Misalkan(S,)dan (P,) sembarang semigrup. Untuk suatu homomorfisma

P S 

:

 , didefinisikan relasi kernelnya

sebagai berikut:

)}

Terdapat suatu monomorfisma tunggal

P S ker( ) : 

 sehingga diagram

berikut berlaku :

Gambar 1. Diagram komutatif  

 adalah suatu homomorfisma.

Definisikan :S RP dengan

 terdefinisi dengan baik, yakni untuk setiap x,yS, pilih xR yR dengan

merepresentasikan kelas kongruensi xR. Kemudian,

homomorfisma. Selanjutnya, untuk setiap

)

 merupakan pemetaan injektif.

Misalkan terdapat  :S RP

sembarang monomorfisma yang lainnya, maka    , dan (x)(xR) untuk setiap xS. Namun ini berarti bahwa



  . Jadi, pemetaannya adalah

tunggal.

Teorema 2.2.(Teorema Fundamental Homomorfisma) Misalkan (S,)dan

) ,

(P sembarang semigrup dan

terdapatsuatu homomorfisma:S P

dengan ker() kongruen di S. Maka

) ker(

S isomorfik denganP.

Bukti. Dari Teorema 2.5, terdapat

suatu monomorfisma tunggal

P S ker( ) : 

 . Akan ditunjukkan

bahwa pemetaan  juga surjektif

sehingga  merupakan suatu

isomorfisma. pada Gambar 1 berlaku, maka :

)

merupakan suatu monomorfisma dan juga

bersifat surjektif, maka  merupakan

suatu isomorfisma.

Semigrup Word Bebas

Pada himpunan A, didefinisikan

operasi biner  sebagai suatu rangkaian

(3)

elemen-Semirata 2013 FMIPA Unila |451

elemen A. Operasi rangkaian pada



A diilustrasikan sebagai berikut : Untuk

setiap ai,bj A, terdapat elemen

merupakan suatu rangkaian berurutan (catenation) dari elemen-elemennya, maka sifat asosiatif berlaku, yakni untuk

diperoleh :

) Misalkan terdapat sembarang semigrup

)

maka dapat didefinisikan suatu

homomorfisma :A Sdengan :

A merupakan suatu semigrup bebas.

Teorema 3.1. Misalkan A semigrup

bebas pada himpunan alfabet A,

denganR0 sembarang relasi pada



A ,Rkongruen diA yang dibangun oleh

0

R dan :A A Rsuatu

homomorfisma. Misalkan pula(S,)

sembarang semigrup, dan

S A 

:

 suatu homomorfisma dengan

) ( ) (u  v

  untuk setiap(u,v)R0.

Maka terdapat suatu homomorfisma

S R

A 

:

 sehingga berlaku

 

  .

Bukti.Dari hipotesis teorema,

pemetaan :A S adalah suatu

Kemudian definisikan pemetaan

S

homomorfisma. Untuk sembarang

elemenw₁,w₂A, diperoleh

Maka  adalah suatu homomorfisma.

Teorema 3.2. Untuk setiap semigrup

) ,

(S  terdapat suatu himpunan alfabet A

dan suatu epimorfisma :A S.

BuktiMisalkan X sembarang

(4)

452| Semirata 2013 FMIPA Unila

Dari Definisi 2.12, 0 mempunyai

suatu perluasan homomorfisma

S

suatu homomorfisma surjektif, sehingga

 merupakan suatu epimorfisma.

Teorema 3.3.Setiap semigrup

isomorfik dengan suatu semigrup word kuosien.Yakni, untuk suatu epimorfisma

S diagram komutatifnya sebagai berikut :

Gambar 2. Diagram komutatif

Terdapat suatu monomorfisma tunggal

S

suatu epimorfisma. Ambil sembarang

S

y dengan (x) y. Diagram

komutatif pada Gambar 2 berlaku, maka :

)

merupakan suatu monomorfisma dan juga

bersifat surjektif, maka  merupakan

suatu isomorfisma.

Monoid Word Bebas

Dari Definisi 2.7, Monoid adalahs

emigrup yang mempunyai elemen

identitas. Secara umum dalam [4] monoid '

S didefinisikan sebagai berikut :

monoid,

dengan e adalah elemen identitasnya.

Definisi 4.1 Suatu monoid S' dikatakan monoid bebas jika dibangun secara bebas oleh suatu subhimpunan X

dengan e_S_'X. Jika X {eS'} adalah

himpunan generator untuk S', dan

terdapat pemetaan 0:X P, dengan

P sembarang monoid, yang dapat

diperluas ke suatu homomorfisma

P

pemetaan  dikatakan sebagai perluasan homomorfisma dari pemetaan 0.

Himpunan barisan hingga dari

letter-letter A dan memuat identitasnya

dinotasikan dengan A. Sama halnya dengan himpunan A, pada himpunan A

operasi biner  didefinisikan sebagai suatu rangkaian berurutan (catenation)

dari elemen-elemennya. Elemen

identitasnya dinotasikan dengan e_A.

Sehingga, A merupakan suatu monoid.

Jika e A

A  , maka A{eA}

merupakan himpunan generator untuk A. Misalkan terdapat sembarang monoid

'

A merupakan suatu monoid bebas.

(5)

Semirata 2013 FMIPA Unila |453 Teorema 4.1 Jika S semigrup bebas,

maka S' adalah monoid bebas.

Bukti. Dengan menggunakan Definisi 2.12 dan Definisi 4.1, maka pembuktian Teorema 4.1 pun terpenuhi.

Teorema 4.2 Suatu monoid S' adalah monoid bebas jika dan hanya jika

} '\{eS'

S adalah suatu semigrup bebas.

Bukti.() Misalkan S' suatu monoid

bebas yang dibangun secara bebas oleh X

dengan e_S_'X . Maka S'\{eS'}adalah

subsemigrup dari S', dimana

... ...

2 1

' n

S x x x

e  dengan x_i X .

Misalkan pula terdapat pemetaan



 A X

:

0

 yang dapat diperluas

menjadi suatu homomorfisma



A e

S'\{ S}

: '

 sedemikian hingga

0

| 

 _

X . Dari Definisi 2.12,

} '\{eS'

S adalah suatu semigrup bebas.()

Selanjutnya, misalkan S'\{eS'}adalah

suatu semigrup bebas. Terdapat

sembarang semigrup Adan pemetaan



 A X

:

0

 yang dapat diperluas

menjadi suatu homomorfisma



A e

S'\{ S}

: '

 sedemikian hingga

0

| 

 _

X . Kemudian, elemen identitas

}

{eS' dapat ditulis sebagai

... ...

2 1

' n

S x x x

e  dengan x_i X , dimana

...) ... ( )

(eS'  x1x2 xn

 

... ) ( ... ) ( )

( 1  2   

 x  x  xn

yang juga memenuhi sifat homomorfisma. Oleh karena itu, pemetaan 0 :X  A,

dimana A adalah suatu monoid, dapat diperluas menjadi suatu homomorfisma



A S' :

 sedemikian hingga | 0

 _

X

dengan  

A

S e

e )

( _'

 . Maka 'S merupakan

suatu monoid bebas.

Teorema 4.3 Suatu monoid 'S bebas jika dan hanya jika S' isomorfis ke

monoid word bebas A untuk suatu

alfabet A.

Bukti. Dengan menggunakan Definisi 4.1 dan pembuktian Teorema 3.4, maka pembuktian Teorema 4.3 pun terpenuhi.

Kesimpulan

1. Suatu semigrup dapat diidentifikasi

apakah semigrup tersebut dibangun secara bebas atau tidak berdasarkan sifat-sifat bebasnya,

2. Hubungan antara suatu semigrup word bebas dengan sembarang semigrup dapat diidentifikasi berdasarkan jenis pemetaan yang berlaku di antara kedua semigrup tersebut,

3. Dari suatu semigrup word bebas dapat dibangun suatu monoid word bebas dengan menambahkan elemen identitas pada semigrup word bebas tersebut. Hal ini juga berlaku untuk semigrup bebas biasa.

DAFTAR PUSTAKA

Clifford, A.H & G. B. Preston. 1961. The Algebraic Theory of Semigroups Vol I. American Mathematical Society, USA.

Clifford, A.H dan G. B. Preston. 1967.

The Algebraic Theory of Semigroups

Vol II. American Mathematical

Society, USA.

Gilbert, Jimmie &Linda Gilbert. 1992.

Element of Modern Algebra Third Edition. PWS-KENT, USA.

Harju, Tero. 1996. Lecture Notes on

Semigroups. University of Turku, Finland.

Judson, Thomas W. 1997. Abstract

Algebra Theory and Applications.

Stephen F. Austin State University.

Setiawan, Adi. 2011. Aljabar Abstrak