1 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Mata pelajaran matematika merupakan pelajaran yang sangat penting bagi semua orang, karena matematika merupakan ilmu yang sangat dibutuhkan oleh manusia, dan tidak dapat dipisahkan dengan kegiatan kehidupan manusia sehari-hari. Dalam setiap gerak dan langkah manusia tidak terlepas dari konsep matematika karena kehidupan manusia yang selalu berkaitan langsung dengan gerak, ruang dan waktu yang kesemuanya menggunakan perhitungan secara matematis. Kemampuan matematis adalah kemampuan untuk menghadapi masalah-masalah baik dalam permasalahan matematika maupun kehidupan nyata. Menurut NCTM (1989:1) kemampuan matematis didefinisikan sebagai "Mathematical power includes the ability to explore, conjecture, and reason logically; to solve non-routine problems; to communicate about and through mathematics; and to connect ideas within mathematics and between mathematics and other intellectual activity”. Selanjutnya berdasarkan tujuan pembelajaran
matematika di Indonesia tersirat bahwa kemampuan matematis meliputi: 1. Kemampuan pemecahan masalah (problem solving), 2. Kemampuan
berargumentasi (reasonning), 3. Kemampuan berkomunikasi (communication), 4. Kemampuan membuat koneksi (connection), 5. Kemampuan representasi (representation).
2
maka kemampuan representasi matematik sebagai bagian yang tak terpisahkan dari pemecahan masalah juga berperan dalam pembelajaran matematika .
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, maka dirumuskan masalah sebagai berikut:
1. Apa yang dimaksud dengan representasi ?
2. Bagaimanakah representasi dalam pembelajaran matematika ?
C. Tujuan
Tujuan penyusunan makalah ini adalah: 1. Mengetahui pengertian representasi
3 BAB II PEMBAHASAN
A. Standar Isi dan Standar Proses
Ada 2 standar yang menjadi pedoman pelaksanaan pembelajaran di sekolah yakni standar isi dan standar proses. Kedua standar ini merupakan gambaran tentang apa yang harus diketahui dan mampu dilakukan oleh siswa selama dan setelah pembelajaran berlangsung. Kedua standar ini tidak terpisahkan. Dalam NCTM (2000: 30-31) dikatakan “Processes can be learned within the Content Standards, and content can be learned within the Process Standards. Rich connections and intersections abound”.
Standar isi merupakan kriteria ruang lingkup materi yang harus dikuasai oleh siswa. Permendikbud nomor 64 tahun 2013 tentang Standar Isi Pendidikan Dasar dan Menengah menjelaskan bahwa standar isi mencakup lingkup materi minimal dan tingkat kompetensi minimal untuk mencapai kompetensi lulusan minimal pada jenjang dan jenis pendidikan tertentu. Standar isi dimaksud disesuaikan dengan substansi tujuan pendidikan nasional yang berorientasi pada domain spiritual, sikap, pengetahuan keterampilan (Lampiran Permendikbud nomor 64 tahun 2013 tentang Standar Isi Pendidikan Dasar dan Menengah). Setiap mata pelajaran memiliki standar isi yang berbeda-beda. NCTM (2000:29) menyebutkan 5 standar isi dalam pembelajaran matematika yaitu : Number and Operations, Algebra, Geometry, Measurement, and Data Analysis and
Probability.
4
pembelajaran matematika, yaitu Problem Solving, Reasoning and Proof, Communication, Connections, and Representation (NCTM, 2000:29).
B. Representasi (Representation)
Janvier (dalam Kartini, 2009:362) menyatakan bahwa konsep tentang representasi merupakan salah satu konsep psikologi yang digunakan dalam pendidikan matematika untuk menjelaskan beberapa fenomena penting tentang cara berfikir anak-anak. Lebih lanjut, Kalathil dan Sherin (2000) mengatakan bahwa representasi merupakan segala sesuatu yang dibuat oleh siswa untuk mengekternalisasikan dan menunjukkan hasil kerjanya. Hal ini bertalian dengan pendapat Goldin (2002:208) menyatakan bahwa representasi adalah suatu konfigurasi (bentuk, wujud) yang dapat menggambarkan sesuatu yang lain dalam beberapa cara. Dalam psikologi, representasi bermakna sebagai proses pemodelan hal-hal konkrit di dunia nyata ke dalam konsep-konsep atau simbol-simbol abstrak. Representasi bermakna deskripsi hubungan antara objek dengan simbol (Hwang, dkk., 2007:192), seperti yang dinyatakan Davis, dkk. (dalam Kartini:2009:362) bahwa sebuah representasi dapat dianggap sebagai sebuah kombinasi dari tiga komponen: simbol (tertulis), obyek nyata, dan gambaran mental. Beberapa pendapat lainnya yang dikemukakan para ahli berkenaan tentang representasi yaitu:
1. Representasi adalah model atau bentuk pengganti dari suatu situasi masalah atau aspek dari suatu situasi masalah yang digunakan untuk menemukan solusi, sebagai contoh, suatu masalah dapat direpresentasikan dengan obyek, gambar, kata-kata, atau simbol matematika (Jones & Knuth, 1991).
2. Representasi merupakan cara yang digunakan seseorang untuk mengkomunikasikan jawaban atau gagasan matematik yang bersangkutan (Cai, Lane, & Jacabcsin dalam Yazid, 2012).
5
4. Terdapat empat gagasan yang digunakan dalam memahami konsep representasi. Pertama, representasi dapat dipandang sebagai abstraksi internal dari ide-ide matematika atau skemata kognitif yang dibangun oleh siswa melalui pengalaman; kedua, sebagai reproduksi mental dari keadaan mental yang sebelumnya; ketiga, sebagai sajian secara struktur melalui gambar, simbol ataupun lambang; dan yang terakhir, sebagai pengetahuan tentang sesuatu yang mewakili sesuatu yang lain (Pape & Tchoshanov dalam Luitel, 2001).
5. Representasi didefinisikan sebagai aktivitas atau hubungan dimana satu hal mewakili hal lain sampai pada suatu level tertentu, untuk tujuan tertentu, dan yang kedua oleh subjek atau interpretasi pikiran. Representasi menggantikan atau mengenai penggantian suatu obyek, penginterpretasian pikiran tentang pengetahuan yang diperoleh dari suatu obyek, yang diperoleh dari pengalaman tentang tanda representasi (Parmentier, 1985:27).
6. Representasi merupakan proses pengembangan mental yang sudah dimiliki seseorang, yang terungkap dan divisualisasikan dalam berbagai model matematika, yakni: verbal, gambar, tabel, model-model manipulatif atau kombinasi dari semuanya (Steffe, dkk. dalam Hudoyo, 2002).
Dari beberapa pengertian tersebut dapat disimpulkan bahwa representasi merupakan kemampuan untuk menerjemahkan masalah atau ide-ide dengan cara menggambar, mengekspresikan, atau melakukan pemodelan secara matematis. NCTM (2000:67) menyatakan bahwa representasi mengarah kepada dua hal yaitu proses dan hasil. Seorang anak yang menunjukkan umurnya 3,8 tahun adalah sebuah representasi. Contoh lain adalah grafik dari f(x) = x2 adalah representasi. Beberapa bentuk representasi dalam matematika yaitu diagram, grafik, simbol telah lama menjadi bagian dari matematika sekolah (NCTM, 2000:67). Representasi erat kaintannya dengan komunikasi matematis. Proses pembelajaran yang menekankan pada kemampuan representasi akan melatih siswa dalam meningkatkan komunikasi matematisnya.
6
seseorang, selain menunjukkan tingkat pemahaman, juga terkait erat dengan kemampuan pemecahan masalah dalam matematika”. Ini berarti bahwa semakin tinggi kemampuan seorang siswa untuk melakukan representasi maka semakin tinggi tingkat pemahaman serta kemampuan untuk menyelesaikan masalah-masalah dalam matematika. Masalah-masalah-masalah matematika yang kompleks sekalipun dapat menjadi sederhana melalui kemampuan representasi. NCTM (2000:67) menyebutkan 3 standar representasi berupa program pembelajaran dari tingkat taman kanak-kanak sampai kelas 12, yaitu
1. Membuat dan menggunakan representasi untuk mengatur, mencatat dan mengkomunikasikan ide-ide matematika;
2. Memilih, menerapkan dan menerjemahkan representasi matematis untuk memecahkan masalah;
3. Menggunakan representasi untuk memodelkan dan menafsirkan fenomena alam, sosial dan matematika.
Indikator-indikator kemampuan representasi matematis siswa disajikan dalam tabel berikut. representasi ke representasi diagram, grafik atau tabel. • Menggunakan representasi visual untuk
menyelesaikan masalah
• Membuat gambar pola-pola geometri
• Membuat gambar bangun geometri untuk memperjelas masalah dan mengfasilitasi penyelesaiannya
Persamaan atau ekspresi matematis •
Membuat persamaan atau ekspresi matematis dari representasi lain yang diberikan
• Membuat konjektur dari suatu pola bilangan • Penyelesaian masalah dari suatu ekspresi matematis Kata-kata atau teks
tertulis •
Membuat situasi masalah berdasarkan data atau representasi yang diberikan
• Menuliskan interpretasi dari suatu representasi
• Menyusun cerita yang sesuai dengan suatu representasi yang disajikan
• Menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah dengan kata-kata atau teks tertulis
7 1. Representasi
º Soal
Standar Kompetensi : Mengumpulkan dan menyajikan data Kompetensi Dasar : Mengolah dan menyajikan data dalam bentuk tabel
Materi Pokok : Kajian data
Indikator : Mengolah nilai ulangan dalam bentuk tabel
Perhatikan diagram lingkaran yang menunjukkan hasil panen seorang petani.
Diketahui hasil panen seluruhnya adalah 400 kuintal.
a. Berapa kuintal hasil panen kedelai? b. Berapa kuintal hasil panen tomat?
c. Berapa persen hasil panen kentang dari keseluruhan hasil panen?
d. Berapa persen hasil panen jagung dari keseluruhan hasil panen?
º Penyelesaian
Dari diagram lingkaran diketahui: Padi = 900 Jagung = 720 Kedelai = 630 Kentang = 1080
8
9
Diketahui nilai hasil ulangan dari Andi, Yuni, Budi, dan Ira pada mata pelajaran Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, dan Matematika jika disajikan kedalam bentuk matriks adalah sebagai berikut.
75 90 85 70 85 70 75 65 70 65 75 80
Nyatakan hasil nilai ulangan tersebut ke dalam bentuk tabel!
Jawab
Bentuk tabel dari hasil nilai ulangan adalah Mata Pelajaran Andi Yuni Budi Ira tersebut ke dalam bentuk perkalian matriks! Jawab:
Bentuk perkalian matriks dari kedua persamaan tersebut yaitu
Diketahui toko kelontong jumlah barang yang terjual pada bulan Maret adalah sebagai berikut.
Bulan Sabun Mandi Sarimi Detergen
Maret 130 240 150
Nyatakan hasil penjualan bulan Maret tersebut ke dalam matriks. Tentukan jenis matriks tersebut. Jawab:
Bentuk matriks dari hasil penjualan bulan maret yaitu
10
Matriks tersebut termasuk jenis matriks baris
Membuat konjektur dari suatu pola hubungan
Perhatikan barisan matriks berikut. , 2 , 3
Tentukan matriks urutan ke-5. Jawab:
Matriks yang ke-5 adalah 5
Menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematik
Diketahui matriks:
' ' , ( ( ' = ' ' , ( = ( ( ' ' , ( (
Tentukan nilai dari ( jika 5X=Y Jawab:
5X=Y
' ' ( ( 5 ' ' = ( ( ' ' ( (
5' 5' 5( 5( 5' 5' 5( 5( 5' 5' 5( 5(
11 C. Jenis-Jenis Representasi Matematika
Hiebert & Carpenter (dalam Hudoyo, 2002) mengemukakan bahwa pada dasarnya representasi dapat dinyatakan sebagai representasi internal dan representasi eksternal. Representasi internal dari seseorang sulit untuk diamati secara langsung karena merupakan aktivitas mental dari seseorang dalam pikirannya (minds-on). Tetapi representasi internal seseorang itu dapat disimpulkan atau diduga berdasarkan representasi eksternalnya dalam berbagai kondisi; misalnya dari pengungkapannya melalui kata-kata (lisan), melalui tulisan berupa simbol, gambar, grafik, tabel ataupun melalui alat peraga (hands-on). Dengan kata lain terjadi hubungan timbal balik antara representasi internal dan eksternal dari seseorang ketika berhadapan dengan sesuatu masalah. Schnotz (dalam Gagatsis, 2004) membagi representasi eksternal dalam dua kelas yang berbeda yaitu representasi descriptive dan depictive. Representasi descriptive terdiri atas simbol yang mempunyai struktur sembarang dan dihubungkan dengan isi yang dinyatakan dalam bentuk teks, sedangkan representasi depictive merupakan tanda-tanda ikonik yang dinyatakan dalam bentuk gambar, grafik, tabel (visual).
Lebih lanjut Gagatsis dan Elia (2004) mengatakan bahwa untuk siswa kelas 1, 2 dan 3 sekolah dasar, representasi dapat digolongkan menjadi empat tipe representasi, yaitu representasi verbal (representasi descriptive), gambar informational, gambar decorative, dan garis bilangan (representasi depictive). Shield & Galbraith (dalam Neria & Amit, 2004) menyatakan bahwa siswa dapat mengkomunikasikan penjelasan-penjelasan mereka tentang strategi matematika atau solusi dalam bermacam cara, yaitu secara simbolis (numerik dan/atau simbol aljabar), secara verbal, dalam diagram, grafik, atau dengan tabel data.
D. Representasi dalam Pembelajaran Matematika
12
yang luas yang merupakan penurunan dari struktur hal-hal lain yang pokok (Vergnaud dalam Goldin, 2002: 207).
Penjelasan kedua alasan di atas yakni matematika merupakan hal yang abstrak, maka untuk mempermudah dan memperjelas dalam penyelesaian masalah matematika, representasi sangat berperan untuk mengubah ide abstrak menjadi konsep yang nyata, misalkan dengan gambar, simbol, grafik dan lain-lain. Selain itu matematika memberikan gambaran yang luas dalam hal analogi konsep dari berbagai topik yang ada. NCTM (2000:67) menyatakan bahwa ketika siswa memiliki akses ke representasi-representasi dan gagasan-gagasan yang mereka tampilkan, maka mereka memiliki sekumpulan alat yang secara signifikan siap memperluas kapasitas mereka dalam berpikir secara matematis.
Beberapa manfaat atau nilai tambah yang diperoleh guru atau siswa sebagai hasil pembelajaran yang melibatkan representasi matematik adalah sebagai berikut:
1. Pembelajaran yang menekankan representasi akan menyediakan suatu konteks yang kaya untuk pembelajaran guru.
2. Meningkatkan pemahaman siswa
3. Menjadikan representasi sebagai alat konseptual
4. Meningkatkan kemampuan siswa dalam menghubungkan representasi matematik dengan koneksi sebagai alat pemecahan masalah
13 BAB III PENUTUP
A. KESIMPULAN
Representasi merupakan kemampuan untuk menerjemahkan masalah atau ide-ide dengan cara menggambar, mengekspresikan, atau melakukan pemodelan secara matematis. Representasi mengarah kepada dua hal yaitu proses dan hasil. Bentuk representasi dalam pembelajaran matematika yaitu gambar, diagram, grafik dan symbol yang telah lama menjadi bagian dari matematika.
Representasi merupakan suatu unsur yang sangat penting dalam pembelajaran matematika karena untuk memperjelas dan mempermudah memahami matematika. Representasi dapat mengubah ide-ide abstrak menjadi suatu konsep yang nyata melalui gambar, diagram, grafik, maupun symbol.
Representasi merupakan salah satu standar proses yang sangatlah penting untuk dikuasai dan dilakukan oleh siswa. Melalui kemampuan representasi siswa, siswa dapat memahami suatu materi yang terkait dengan kemampuan memecahkan masalah dalam matematika.Ini berarti bahwa semakin tinggi kemampuan seorang siswa untuk melakukan representasi maka semakin tinggi tingkat pemahaman serta kemampuan untuk menyelesaikan masalah-masalah dalam matematika.
B. SARAN
1. Guru diharapkan dapat menambah wawasan mengenai kemampuan representasi matematis
14
DAFTAR PUSTAKA
Gagatsis, A. & Elia, I. (2004). The Effects Of Different Modes Of Representation On Mathematical Problem Solving. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 2, pp. 447–454.
Goldin, G. A. (2002). Representation in Mathematical Learning and Problem Solving. In L.D English (Ed). International Research in Mathematical Education IRME, 197-218. New Jersey: Lawrence Erbaum Associates. Hudiono, Bambang. (2005). Peran Pembelajaran Diskursus Multi Representasi
Terhadap Pengembangan Kemampuan Matematik Dan Daya Representasi Pada Siswa SLTP. Disertasi SPs UPI Bandung: Tidak Diterbitkan.
Hudoyo, H. (2002). Representasi Belajar Berbasis Masalah. Jurnal Matematika dan Pembelajarannya. ISSN: 085-7792. Volume viii, edisi khusus.
Hwang, dkk. (2007). Multiple Representation Skills and Creativity Effects on Mathematical Problem Solving using a Multimedia Whiteboard System. Educational Technology & Society, Vol 10 No 2, pp. 191-212.
Jones, B.F., & Knuth, R.A. (1991). What does research ay about mathematics?. (online, http://www.ncrl.org/sdrs/areas/stw_esys/2math.html. diakses tanggal 4 September 2014)
Kalathil, R.R., & Sherin, M.G. (2000). Role of Students' Representations in the Mathematics Classroom. In B. Fishman & S. O'Connor-Divelbiss (Eds.), Fourth International Conference of the Learning Sciences (pp. 27-28). Mahwah, NJ: Erlbaum.
Kartini. (2009). Peranan Representasi Dalam Pembelajaran Matematika. Yogyakarta: Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Luitel, B.C. (2001). Multiple Representations of Mathematical Learning. (online,
http://www.matedu.cinvestav.mx/adalira.pdf., diakses tanggal 4 September 2014)
Montague, Marjorie. (2004). Math Problem Solving for Middle School Students with Disabilities. (Online, http://165.139.150.129/intervention/Math%20 Problem%20Solving%20for%20Middle%20School%20Students%20with %20Disabilities.pdf, diakses tanggal 4 September)
15
______. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM
Neria, Dorit & Amit, Miriam. (2004). Students Preference Of Non-Algebraic Representations In Mathematical Communication. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Vol. 3, pp. 409 - 416
Parmentier, R. J. (1985). Signs” place in medias res: Peirce’s concept of semiotic mediation. In E. Mertz & R.J. Parmentier (Eds.), Semiotic mediation (pp. 23-48). Orlando, Florida: Academic Press
Permendikbud nomor 64 tahun 2013 tentang Standar Isi Pendidikan Dasar dan Menengah
Permendikbud nomor 65 tahun 2013 tentang Standar Proses Pendidikan Dasar dan Menengah
Rosengrant, D, dkk. (2005). An Overview of Recent Research on Multiple Representations. (Online, http://paer.rutgers.edu/ScientificAbilities/ Downloads/Papers/DavidRosperc2006.Pdf., diakses tanggal 6 September 2014)
Syarifah Fadillah. (2008). Menumbuhkan Kemampuan Pemecahan Masalah dan Representasi Matematika Melalui Pembelajaran Open Ended. (online,
http://webcache.googleusercontent.com., diakses pada tanggal 4
September 2014)
Teacher Professional Development and Classroom Resaurces Across the Curriculum. (2003). Teaching Math Grades 3-5. (online,
http://www.learner.org/courses/teachingmath/grades3_5/ diakses pada
tanggal 4 September 2014)
