BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Fuzzy Set
Fuzzy secara bahasa diartikan sebagai kabur atau samar-samar. Suatu nilai dapat bernilai besar atau salah secara bersamaan. Dalam fuzzy dikenal derajat keanggotaan yang memiliki rentang nilai 0 (nol) hingga 1 (satu). Berbeda dengan himpunan tegas yang memiliki nilai 1 atau 0 ( ya atau tidak ).
Tabel 2.1 Derajat Keanggotaan Tinggi badan
Nama Tinggi
(cm)
Derajat keanggotan
Crisp Fuzzy
Chris 208 1 1
Mark 205 1 1
John 198 1 0,98
Tom 181 1 0,82
David 179 0 0,78
Mike 172 0 0,24
Bob 167 0 0,15
Steven 158 0 0,06
Bill 155 0 0,01
Peter 152 0 0,00
Fuzzy set juga dapat dituliskan dalam bentuk grafik yang menunjukkan himpunan fuzzy seperti pada Gambar 2.1 Grafik tersebut merepresentasikan variable tinggi badan, Gambar 2.1 a grafik crisp sedangkan gambar 2.1 b grafik fuzzy. Dari gambar 2.1 a dapat dilihat bahwa David yang memiliki tinggi badan 179 termasuk ke dalam kategori pendek. Termasuk juga yang lain yang tinggi badannya dibawah 180. Sedangkan gambar b dapat terlihat variable tinggi badan tertulis dalam grafik dengan tingkat yang berbeda-beda.
Gambar 2.1 b Himpunan Fuzzy tinggi badan
2.2 Fuzzyfikasi
Proses fuzzyfikasi merupakan proses untuk mengubah variabel non fuzzy (variable numerik) menjadi variabel fuzzy (variabel linguistik). Nilai masukan-masukan yang masihdalam bentuk variabel numerik yang telah dikuantisasi sebelum diolah oleh pengendali fuzzy harus diubah terlebih dahulu ke dalam variabel fuzzy. Melalui fungsi keanggotaan yang telah disusun maka nilai-nilai masukan tersebut menjadi informasi fuzzy yang berguna nantinya untuk proses pengolahan secara fuzzy pula. Proses ini disebut fuzzyfikasi. Dengan kata lain fuzzyfikasi merupakan pemetaan titik-titik numerik (crisp point)
x (x x ) U = 1 ,..., n T ∈ ke himpunan fuzzy A di U.
U adalah semesta pembicaraan. Paling tidak ada dua kemungkinan pemetaan,yaitu :
Fuzzyfikasi singleton: A adalah fuzzy singleton dengan support x , artinya
(x') = 1 A μ
untuk x' = x dan (x') = 0 A μ untuk x'∈U yang lain dengan x' = x .
Fuzzyfikasi nonsingleton : (x) = 1 A μ dan (x') A μ menurun dari 1 sebagaimana x' bergerak menjauh dari x .
Sejauh ini yang paling banyak digunakan adalah fuzzyfikasi singleton, tetapi
pemakaian nonsingleton juga telah dirintis terutama untuk
2.2.1 Lingustic Variabel
Suatu himpunan fuzzy bisa didefinisikan berdasarkan variabel linguistik tertentu. Variabel linguistik didefinisikan sebagai :
(u,T(u),U, R, S)
Dengan U adalah nama variabel linguistik; T(u) adalah himpunan term (linguistic value/linguistic label) pada u dan masing-masing term didefinisikan dengan fungsi keanggotaan yang normal (mempunyai harga maksimum sama dengan 1) dan convex pada U; R adalah aturan semantik untuk menghasilkan nama nilai pada u; S adalah aturan semantik untuk menghubungkan tiap nilai dengan artinya (Zadeh, 1968).
2.2.2 Fungsi Keanggotaan
Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data kedalam nilai keanggotaannya (sering juga disebut derajat keanggotaan) yang memiliki interval antar 0 sampai 1.
Dengan fungsi keanggotaan sbb :
a b c
0 1 Derajat keanggotaan
µ[x]
domain
0; x ≤ a atau x ≥ c µ[x] = ( x – a)/(b-a); a ≤ x ≤ b
( c – x)/(c- b); b ≤ x ≤ c ………1) 2.2.4 Defuzzyfication
Jika masukan dari fuzzifikasi adalah sebuah bilangan tunggal, yaitu harga variabel masukan, dan keluarannya adalah derajat keanggotaan dalam suatu fuzzy set dalam antecedent, maka masukan dan keluaran defuzzyfikasi adalah kebalikannya. Berikut merupakan gambar dasar proses defuzzifikasi :
Gambar 2.6 Proses Defuzzifikasi
Masukan defuzzifikasi adalah sebuah fuzzy set (dalam hal ini fuzzy set hasil agregasi) dan keluarannya adalah sebuah bilangan tunggal untuk diisikan ke sebuah variabel keluaran FIS
Daerah fuzzy A
Daerah fuzzy B
Daerah fuzzy C
x Nilai yang diharapkan
Input :
Output :
Daerah fuzzy D
Derajat keanggotaan µ[z]
0 1
Input dari proses defuzzifikasi adalah suatu himpunan fuzzy yang diperoleh dari komposisi aturan-aturan fuzzy, sedangkan output yang dihasilkan merupakan suatu bilangan pada domain himpunan fuzzy tersebut. Sehingga jika diberikan suatu himpunan fuzzy dalam range tertentu, maka harus dapat diambil suatu nilai crisp tertentu sebagai output, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.2 berikut.
Dengan menggunakan metode metode centroid (composite moment), solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil titik pusat daerah fuzzy. Secara umum dirumuskan :
∫ ( )
∫ ( )
Atau
∑∑ ( )
( )
Tinggi himpunan fuzzy adalah derajat keanggotaan maksimumnya yang terikat pada konsep normalisasi berikut contoh representasi kurva segitiga yang pada dasarnya merupakan gabungan antara 2 garis (linier)
Kelebihan dari logika fuzzy adalah kemampuan dalam proses penalaran
secara bahasa (linguistic reasoning), sehingga dalam perancangannya tidak
memerlukan persamaan matematik dari objek yang akan dikendalikan.
2.3 Algoritma Genetika
Bangkitkan sebuah populasi dengan jumlah kromosom N x1, x2, ….. xN
Hitung nilai fitness masing-masing kromosom F(x1), f(x2), ….. f(xN)
Pilih sepasang kromosom untuk proses perkawinan
Dengan menggunakan probability crossover (Pc), Lakukan proses perkawinan terhadap 2 kromosom tsb kemudaian terbentukalah 2 keturunanan baru
Dengan menggunakan probability Mutasi (Pm), Tukarkan secara acak nilai gen dari 2 keturunan kromosom
Apakah jumlah populasi yang baru = N ?
Tukarkan populasi kromosom dengan yang baru
Tidak
Ya
Mulai
Apakah sudah memenuhi
kriteria ?
Tempatkan hasil kromosom pada populasi yang baru Ya
Gambar 2.7 Struktur Umum Algoritma Genetika
Sebelum Algoritma ini dijalankan, masalah apa yang ingin dioptimalkan itu harus dinyatakan dalam fungsi tujuan, yang dikenal dengan fungsi fitness. Jika nilai fitness semakin besar, maka sistem yang dihasilkan semakin baik. Operasi yang dilakukan adalah reproduksi, crossover, dan mutasi untuk mendapatkan sebuah solusi menurut nilai fitness-nya. Dalam Algoritma Genetika, terdapat beberapa urutan proses yang perlu dilakukan diantaranya seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini :
Genetika algoritma merupakan pencarian algoritma stokastis yang berdasarkan evolusi biologi. Langkah-langkah utama proses Algoritma Genetika ( Davis, 1991; Mitchell, 1996) adalah sebagai berikut:
Langkah 1 : Representasikan domain variable masalah menjadi sebuah kromosom
dengan panjang tertentu, tentukan jumlah kromosom dalam sebuah populasi (N), tentukan Probabilitas crossover (Pc) dan Probabilitas mutasi (Pm).
Langkah 2 : Definisikan fungsi fitness dengan mengukur performa, atau fitness, sebuah individu kromosom pada domain masalah. Fungsi fitness akan membangun dasar dari pemilihan kromosom yang akan dikawinkan selama proses reproduksi.
Langkah 3: Secara acak bangkitkan sebuah populasi kromosom awal yang
berjumlah N. x1, x2, x3 ……xN
Langkah 4 : Hitung nilai fitness dari masing-masing kromosom
f(x1), f(x2), f(x3) ……f(xN)
probabilitas yang paling tinggi menjadi terpilih untuk proses perkawinan daripada kromosom yang kurang tepat.
Langkah 6 : Terbentuk sepasang keturunan kromosom dengan memanfaatkan
operator gentika – crossover dan mutasi.
Langkah 7 : Tempatkan keturunan kromosom yang terbentuk pada sebuah
populasi yang baru.
Langkah 8 : Ulangi langkah 5 sampai jumlah populasi kromosom yang baru menjadi sama dengan jumlah populasi awal N.
Langkah 9 : Gantikan populasi kromosom awal (orang tua) dengan populasi yang
baru ( keturunan).
Langkah 10 : Kembali ke langkah 4 dan ulangi proses sampai kriteria terpenuhi
2.3.1. Inisialisasi Populasi
Langkah pertama kali yang dilakukan dalam penggunaan Algoritma Genetika adalah melakukan pengkodean atau representasi terhadap permasalahan yang akan diselesaikan. Secara umum Algoritma Genetika dibentuk oleh serangkaian kromosom yang ditandai dengan x
i (i =1,2,…N). Setiap elemen dalam kromosom ini adalah
variabel string yang disebut gen, berisi nilai-nilai atau allele. Variabel-variabel ini dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan biner, bilangan real (floating point), integer, abjad. Pengkodean string biner merupakan pendekatan paling klasik yang digunakan dalam penelitian Algoritma Genetika karena sederhana. Selanjutnya beberapa kromosom dibentuk dan berkumpul membentuk populasi. Populasi inilah awal bagi Algoritma Genetika untuk awal melakukan pencarian. Pada Parodi A, Bonelli P menjelaskan bahwa masing-masing fungsi keanggotaan merupakan suatu kromosom yang direpresentasikan sebagai sepasang (c, w).
Gambar 2.8 Fungsi keanggotaan fuzzy variabel A dengan menggunakan segitiga
Gambar Grafik fungsi keanggotaan 2 variabel diatas direpresentasikan ke dalam kromosom, dapat dilihat pada gambar dibawah ini
b , x c , v d , z e , v f , w g , p h , q i , r j , s l , t
Gambar 2.9 Representasi kromosom pada sebuah variabel A 2.3.2 Seleksi
Pada Algoritma Genetika terdapat proses seleksi yaitu proses pemilihan kromosom yang akan di-crossover-kan dengan kromosom dari individu lain. Masalah yang paling mendasar pada proses ini adalah bagaimana proses penyeleksiannya. Menurut teori evolusi Darwin proses seleksi individu adalah :” individu terbaik akan tetap hidup dan menghasilkan keturunan”. Pada proses seleksi ini dapat menggunakan banyak metode seperti Roulette Wheel selection, Rank Selection, Elitism dan sebagainya.
2.3.3 Cross over
Fungsi crossover adalah menghasilkan kromosom anak dari kombinasi materi-materi gen dua kromosom induk. Bekerja dengan membangkitkan sebuah nilai random r
k di
mana k = 1,2,…POPSIZE. Probabilitas crossover (P
c) ditentukan dan digunakan untuk mengendalikan frekuensi crossover. Apabila nilai r
k < Pc maka kromosom ke-k terpilih untuk mengalami crossover. Crossover yang paling sederhana adalah one point crossover. Posisi titik persilangan (point) ditentukan secara random pada range
R1 R2 R3 R4 R5 R7 R8 R9 R10 R11 SR R S T ST SR R S T ST
satu sampai panjang kromosom. Nilai offspring diambil dari dua parent tersebut dengan batas titik persilangan.
Untuk operasi cross over metode yang digunakan yaitu Max-Min Crossover (MMA) dan untuk mutasi dilakukan mutasi one-point . (Herena, et al.1997). Misalkan sudah terbentuk 2 kromossom parent sebagai berikut :
Cut = ( c1, ……ch, …….. , cz ) Cut„ = ( c1‟, ……ch‟, …….. , cz‟)
Dengan menggunakan max-min-aritmatika (MMA ) Crossover maka akan terbentuk 4 kandidat kromosom yang baru yaitu :
1. C1t+1 = ( c11t+1, …… c1ht+1, …….. , c1zt+1 ) Dimana: C1ht+1 = dch + (1-d) ch‟
2. C2t+1 = ( c21t+1, …… c2ht+1, …….. , c2zt+1 )
Dimana : C2ht+1 = dch‟ + (1-d) ch
3. C3t+1 = ( c31t+1, …… c3ht+1, …….. , c3zt+1 ) Dimana : C3ht+1 = min{ch , ch‟}
4. C4t+1 = ( c41t+1, …… c4ht+1, …….. , c4zt+1 )
Dimana: C4ht+1 = min{ch , ch‟} ………..2)
Parameter d adalah konstanta atau variabel populasi dari variabel fungsi keanggotaan . 2 kromosom yang terbaik dari ke 4 kromosom tersebut akan dipilih sebagai offspring.
2.3.4 Mutasi
Operator mutasi digunakan untuk memodifikasi satu atau lebih nilai gen dalam satu individu. Cara kerjanya dengan membangkitkan sebuah nilai random r
k di
mana k =1,2,…,NVAR (panjang kromosom). Probabilitas mutasi (P
m) ditentukan dan digunakan untuk mengendalikan frekuensi mutasi. Apabila nilai random r
maka gen ke-k kromosom tersebut terpilih untuk mengalami mutasi. Mutasi dengan menggantikan 0 dengan 1 atau sebaliknya gen 1 dengan 0. Biasanya disebut dengan proses flip yaitu dengan membalik nilai 0 ke 1atau 1 ke 0. Ilustrasi kerja operator ini dapat digambarkan seperti pada gambar dibawah ini.
Fungsi dari operator mutasi adalah untuk menghindari agar solusi permasalahan yang diperoleh bukan merupakan solusi optimum lokal. Seperti halnya pada operator crossover, tipe dan implementasi dari operator mutasi bergantung pada jenis pengkodean dan permasalahan yang dihadapi. Seberapa sering mutasi dilakukan dinyatakan dengan suatu probabilitas mutasi, P
m. Posisi elemen pada kromosom yang
akan mutasi ditentukan secara random. Mutasi dikerjakan dengan cara melakukan perubahan pada elemen tersebut.
Perubahan parameter kontrol seperti besarnya populasi, probabilitas crossover dan probabilitas mutasi merupakan kemajuan dari pencarian di dalam metode Algoritma Genetika. Variasi tersebut dapat memberikan beberapa hasil pencarian walaupun sangat sulit menentukan kombinasi yang optimal dari beberapa parameter pada tiap-tiap proses pencarian yang terjadi.
Operator mutasi one-point akan membentuk sebuah fungsi keanggotaan fuzzy yang baru dengan menambahkan secara acak sebuah nilai (antara –wjk dan + wjk) ke nilai tengah atau sebuah daerah lingustik yaitu Rjk. Dimana c adalah nilai tengah dan w adalah jarak setengah dari sebuah daerah lingustik. Dengan operasi mutasi maka akan terbentuk sebuah nilai fungsi keanggotaan yang baru menjadi c+ atau w+ .
2.3.5 Fungsi Evaluasi (Fungsi Fitness)
Dalam Algoritma Genetika, sebuah fungsi fitness f(x) harus dirancang untuk masing-masing permasalahan yang akan diselesaikan. Dengan menggunakan kromosom tertentu, fungsi obyektif atau fungsi evaluasi akan mengevaluasi status
masing-masing kromosom. Setiap gen x
i (i =1,2,…N) dipergunakan untuk menghitung fk (x)
mendominasi populasi . Tukar silang antara kromosom induk yang hampir identik menghasilkan keturunan (offspring) yang identik.
Nilai fitness ditentukan dengan menghitung keterhubungan antara daerah linguistik satu dengan lainnya berdasarkan persamaan 3 , 4 , 5 dan 6.
Perbandingan overlap dari fungsi keanggotaan Rjk dan Rji dapat didefensisikan sebagai panjang overlap dibagi setengah jarak minimum dari 2 fungsi tersebut (Hong, 2006). Faktor overlap sebuah variabel Ij dengan kromosom Cq didefenisikan sebagai berikut :
Faktor overlap (Cq) = ∑ * (( ( )
( ) ) ) +
…………3)
Dimana : overlap (Rjk, Rji) adalah jarak overlap antara Rjk dan Rji
Gambar 2.10 overlap 2 buah segitiga Rjk Rji
overlap wjk
Faktor coverage fungsi keanggotaan Ij pada kromosom Cq didefenisikan sebagai berikut :
Coverage ratio ( Cqj) = ( )
( )
………4)
Dimana :
Range ( Rj1, Rj2, ….. Rjl) = range coverange fungsi keanggotaan
Max Ij = Nilai Max Ij
Gambar 2.11 Range 3 buah segitiga
SedangkanNilai Fitnes fungsi keanggotaan kromosom Cq didefenisikan sebagi berikut :
Fitness (Cq) =∑ [ ( ) ( )] ……5)
Nilai fitness (Cq) di sebuah kromosom merupakan penjumlahan factor overlap dan factor overage yang mana nilai ini merupakan nilai yang cocok untuk sebuah fungsi
Rj1 Rj2 Rj3
keanggotaan fuzzy artinya dengan memperhitungkan factor overlap dan coverage kemungkinan fungsi keanggotaan segitiga berulang menimpah.
2.4 Riset Terkait
from Numerical
2.5 Perbedaan Dengan Riset Lain
Perbedaan penelitian yang penulis lakukan pada saat ini berdasarkan penelitian yang telah dilakukan sebelumnya yaitu :
1. Pembangkit grafik fungsi keanggotaan fuzzy menggunakan algoritma genetika dengan menganalisis perkawinan silang two point crossover dan min max aritmatika crossover
2. Variable input merupakan suatu variabel yang dibangkitkan secara random
