LAMPIRAN I
Alfabet Yunani
Alpha Α Nu Ν
Beta Β Xi Ξ
Gamma Γ Omicron Ο
Delta Δ Pi Π
Epsilon Ε Rho Ρ
Zeta Ζ Sigma Σ
Eta Η Tau Τ
Theta Θ Upsilon Υ
Iota Ι phi Φ ,
Kappa Κ Chi Χ
Lambda Λ Psi Ψ
LAMPIRAN II
Metode Pemisahan Variabel untuk Persamaan Kalor Satu Dimensi Homogen dan Mensubsitusikan Solusinya pada Persamaan Kalor Non Homogen untuk Memeperoleh Q(x,t)
X dan T harus dimisalkan dengan suatu konstanta pangkat dua dengan tanda ( - ).
Jadi diperoleh :
m2emx+ emx= 0
emxdi antara kedua suku dihilangkan, maka diperoleh :
m2+ l = 0 persamaan karakteristik
Agar solusi tidak trivial D4≠ 0, maka persamaan di atas harus memenuhi Sin L
= 0, di mana berarti
=
Hal ini juga berarti :
=
Maka solusi X yang tidak trivial adalah : ( )=
2. Untuk mencari nilai T
1
= − 1
+ = 0
+a = 0
= ; =
Maka
memt+a emt= 0
m + a = 0 persamaan karakteristik
m = - a
Maka didapat nilai Tyaitu ( ) = a
dengan
m =−α
Maka didapat nilai Tyaitu
( )=
Fungsi Kalor untuk satu dimensi : T(x,t) = X(x) T(t)
Misalkan
D4. B1= E, maka
T( , ) =
Misalkan : ( ) = a
Sehingga ( , )dapat ditulis menjadi :
T( , ) = ( )
Persamaan di atas disubsitusikan pada persamaan kalor non homogen
T( , )
− T( , )= ( , ) T
= ( ) (∗)
T
= ( )
T
= − ( ) (∗∗)
Subsitusikan (*) dan (**) ke persamaan kalor satu dimensi non homogen
( , ) = ( ) + ( )
LAMPIRAN III
Menentukan Pn(t) dengan Menggunakan Metode Integrasi serta Melibatkan
Deret Fourier Sinus dan Syarat Awal
( , ) = ( )+ ( ) ( )
Dari persamaan (i) misalkan :
( ) = ( )+ ( ) ( )
Sehingga persamaan (5) menjadi :
( , ) = ( ) ( )
Karena pada persamaan (iii) merupakan deret Fourier sinus pada interval 0 x L, maka
( )= 2 ( , )
,
( )=2 ( , )
Pada (ii) membentuk persamaan diferensial linear orde satu, yang bentuk umumnya adalah
+ ( ) = ( )
Dengan faktor integrasinya ∫ ( ) , maka persamaan di atas menjadi :
∫ ( ) + ∫ ( ) ( ) = ∫ ( ) ( )
Maka dengan faktor integrasi :
Kemudian kedua ruas dikalikan dengan faktor integrasi sehingga diperoleh : ( )
+ ( )= ( ) a
Pada persamaan di atas merupakan turunan yang berbentuk : ( )
+ ( ) = ( )
Sehingga persamaannya menjadi : ( ) = ( )
( ) = ( )
( ) = ( )
( ) − (0) = ( )
( ) − (0) = ( )
( ) = (0)+ ∫ ( )
( ) = (0) + ( ) (∗)
Pada persamaan di atas terdapat Pn(0) yang belum diketahui, untuk itu digunakan
syarat awal
( , 0) = ( )
T( , 0) = ( )= (0)
Maka
(0) =2 ( ) (∗∗)
Subsitusikan (**) ke (*), sehingga diperoleh
LAMPIRAN IV
Contoh Penyelesaian Persamaan Kalor Satu Dimensi Non Homogen Dengan Menggunakan Metode Fungsi Green
T( , )
− T( , ) = 3 0 < < p, > 0 T( , 0) = ( ) 0≤ ≤ p
Dari persamaan di atas diketahui bahwa
( , )= 3
Misalkan solusi dari persamaan kalor satu dimensi yang homogen adalah ( , )
Maka fungsi v harus menjadi solusi dari masalah berikut ( , )
− ( , ) = 0 0 < <p, > 0 ( )
(0, )= (p, ) = 0 ≥ 0
( , 0) = ( )−p 0≤ ≤p
Dengan menggunakan seperasi variabel diperoleh
= dan ( )= sin , ≥1
Maka solusi v yang dinyatakan dalam deret fourier adalah ( , ) = ( )
Persamaan tersebut disubsitusikan ke persamaan (a) ( , )
− ( , )= ( )+ ( ) sin = 3 ( )
Berarti: ( )
+ ( ) = 0 ≠ 3, ≥ 1
Dari persamaan (b) misalkan :
b. Persamaan (c) dapat didefinisikan dengan menggunakan faktor integrasi dan deret fourier, sehingga diperoleh:
( )= (0) +
( ) = (0) +
( )= (0) + 1
( −1)
Jika n = 3, maka
( )= (0) + 1 8
( )= (0) + 1
8( −1)
( )= (0) + 1
8( − )
Saat t=0, maka
( )−p = ( , 0) = (0)
Maka diperoleh
T( , 0) = (0) +p = ( )
Maka diperoleh
T( , ) =p+1
LAMPIRAN V
Contoh Penyelesaian Persamaan Kalor Satu Dimensi Non Homogen Dengan Menggunakan Seperasi Variabel
Karena karena kondisi di atas merupakan kondisi batas Dirichlet diambil untuk w fungsi
( , ) =p
Maka fungsi v harus menjadi solusi dari masalah berikut ( , )
Saat t=0, maka
( )−p = ( , 0) = (0)
Maka
(0)= 2p ( )−p
p
Jika n ≠ 3, maka
( )= (0)
Jika n = 3, maka solusi dari ( ) adalah
( )= ( )
Kemudian
( )+ 9 ( )= ( ) −9 ( ) + 9 ( ) = ( ) =
Maka
( ) =
( )= (0)+ = (0)+1
8( −1)
Karenanya
( )= (0) +1
8( −1)
Bila (0)= (0),maka
( , ) = ( )
Maka
T( , ) =p+1
8( −1) + (0)
=p+1
