20
KINEMATIKA PARTIKEL
I. IDENTITAS
Mata kuliah : Fisika Umum
Program Studi : Fisika/Pendidikan Fisika Jurusan : Fisika
Fakultas : MIPA
Dosen : Tim Fisika Umum
SKS : 4
Kode : FMA 019
Minggu ke : 2-3
II.CAPAIAN PEMBELAJARAN
Menjelaskan konsep dasar tentang kinematika partikel untuk gerak lurus dan gerak lengkung
III. MATERI
1. PENDAHULUAN
Banyak gerak yang kita amati dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari gerak benda-benda besar seperti pergerakan planet dalam tata surya, sampai pergerakan benda-benda-benda-benda yang sangat kecil seperti pergerakan elektron mengelilingi inti atom. Bila diperhatikan, alam selalu berubah. Ada suatu pepatah yang mengatakan bahwa tidak ada yang abadi di alam ini, kecuali perubahan itu sendiri. Namun tahukah Anda, hukum apakah yang mengendalikan pergerakan benda-benda yang ada di alam ini? Untuk menjawab pertanyaan ini, dikembangkanlah suatu cabang fisika yaitu Mekanika. Mekanika merupakan bidang ilmu fisika yang sangat ampuh untuk membahas fenomena alam yang berhubungan dengan gerakan benda-benda di alam ini, serta gaya-gaya yang menyebabkan terjadinya gerakan tersebut.
Secara garis besar, mekanika dapat dibagi 2 bagian, yaitu :
1. Kinematika, yaitu cabang mekanika yang mempelajari gerak titik materi secara ilmu ukur, tanpa menghiraukan gaya-gaya apa yang menimbulkan gerakan itu.
2. Dinamika, yaitu cabang mekanika yang mempelajari bagaimana bagaimana interaksi antara gaya dan benda. Dinamika dapat dibedakan menjadi 2, yakni :
a. Kinetika, yakni cabang dinamika, yang mempelajari gerak suatu titik materi yang disebabkan oleh suatu gaya.
b. Statika, yakni cabang dinamika yang mempelajari keseimbangan benda-benda atau titik materi yang disebabkan oleh gaya-gaya yang bekerja padanya.
21 Jika ditinjau dari bentuk lintasannya, gerak sebuah benda dapat dibedakan atas
gerak lurus dan gerak lengkung. Gerak lurus adalah gerak yang lintasannya berbentuk garis lurus dan biasanya disebut gerak satu dimensi. Gerak lengkung adalah gerak yang lintasannya berbentuk garis lengkung, misalnya lingkaran, parabola, dan lain-lain. Pembahasan akan dititikberatkan pada persamaan gerak dan hubungannya satu sama lain. 2. MATERI
2.1. Gerak Lurus
Gerak lurus atau disebut juga gerak satu dimensi merupakan gerak benda yang lintasannya berbentuk garis lurus. Dalam mempelajari gerak lurus dapat dibayangkan sebuah bis yang bergerak pada jalan yang lurus meninggalkan sebuah halte. Untuk mempelajari gerak bis tersebut, kita membutuhkan suatu titik acuan O yang dalam hal ini kita ambil halte bus tersebut. Kedudukan bis setiap saat dapat dihitung dari titik acuan ini dengan sebuah koordinat seperti sumbu x. Jika kita amati gerak bis, adakalanya bis bergerak cepat dan adakalanya lambat. Untuk mendeskripsikan gerakan bis dengan baik, kita memerlukan tiga besaran pokok yaitu perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Berikut ini akan dibahas masing-masing besaran tersebut.
2.1.1. Perpindahan dan Jarak
Perpindahan dapat didefinisikan dengan perubahan posisi benda pada selang waktu tertentu. Misalnya sebuah mobil mengalami perpindahan sebesar Δx setelah bergerak selama selang waktu Δt, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1. Perpindahan merupakan perubahan posisi benda dalam selang waktu tertentu. Titik O adalah titik acuan.
Misalkan pada saat t1 mobil berada di x1 dan pada saat t2 mobil berada di x2. Ini berarti terjadi perubahan posisi mobil dari x1 ke x2 selama selang waktu dari t1 dan t2. Karena perpindahan mobil mempunyai besar dan arah, maka perpindahan merupakan besaran vektor, sedangkan besarnya perpindahan disebut dengan jarak. Perpindahan bis dapat diyatakan sebagai berikut
1
2 x
x
x
(2-1)Perpindahan tidak sama dengan panjang lintasan yang ditempuh. Hal ini dapat dilukiskan pada Gambar 2.2.
Gambar 2 .2. Panjang lintasan Perpindahan = Δx
t1 t2
x2 O
x1
x3 x2
22 Misalkan sebuah bis bergerak dari x1 ke x2 dan terus ke x3. Pada posisi x3 bis berbalik arah dan kembali ke posisi x2. Dalam hal ini panjang lintasan bis adalah jarak yang ditempuh bis dari x1 ke x3 dan kembali ke x2. Namun, perpindahan bis adalah dari x1 ke x2.
2.1.2. Kecepatan dan Kelajuan
Untuk melihat seberapa cepat benda berpindah dari x1 ke x2 kita harus membandingkan perpindahan benda dengan selang waktu yang dibutuhkan untuk menempuh perpindahan tersebut. Hasil perbandingan ini disebut kecepatan rata-rata. Nilai dari kecepatan dinamakan dengan kelajuan.
Misalkan pada t1 benda berada pada x1 dan pada saat t2 benda berada pada x2 seperti terlihat pada Gambar 2.1 di atas. Kecepatan rata-rata dapat dirumuskan sebagai berikut:
t x t
t x x v
1 2
1
2 (2-2)
Grafik perpindahan sebagai fungsi waktu diperlihatkan dalam Gambar 2.3.
Gambar 2.3. Grafik perpindahan sebagai fungsi waktu untuk menentukan kecepatan rata-rata.
Dalam Gambar 2.3, besar kecepatan rata-rata dilukiskan dengan sudut α, sehingga besarnya kecepatan rata-rata dinyatakan dengan:
t x tg
v
(2-3)
Kecepatan rata-rata tidak menggambarkan kecepatan benda sesungguhnya, melainkan hanya kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut. Sebagai ilustrasi, bila jarak dari kota Padang ke Padang Panjang adalah 72 km, ditempuh oleh sebuah bis dalam waktu 2 jam, maka kecepatan rata-rata bis adalah 36 km/jam. Ini tidak berarti bahwa kecepatan bis sepanjang perjalanan adalah 36 km/jam, sebab bis itu cenderung bergerak lebih cepat pada jalan yang lurus dan bergerak lebih lambat pada jalan yang menanjak. Hanya rata-ratanya saja yang berharga 36 km/jam .Bila dikaitkan dengan panjang lintasan yang ditempuh oleh benda selama gerakan, dikenal istilah laju rata-rata, yakni :
Laju tara-rata =
waktu satuan
lintasan panjang
Untuk mendapatkan gambaran gerak yang lebih rinci tentang kecepatan, kita harus meninjaunya dalam selang waktu yang lebih kecil. Makin kecil selang waktu yang ditinjau, makin teliti gambaran yang diperoleh.
Kecepatan sesaat
Kecepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata pada selang waktu yang sangat kecil atau mendekati nol. Besarnya kecepatan sesaat dapat dirumuskan sebagai berikut :
x1 x2
t1 t2
t Δt
Δx α
23
dt dx t x lim v
0
t
(2-4)
Gambar 2.4. Grafik perpindahan terhadap waktu untuk menentukan kecepatan sesaat. Kecepatan sesaat adalah kemiringan garis singgung kurva x terhadap t pada saat itu, seperti dilukiskan pada Gambar 2.4. Jadi:
t d
x d tg
v (2-5)
Satuan kecepatan adalah m/s. Contoh Soal 2.1
Grafik posisi terhadap waktu untuk sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu x ditunjukkan dalam Gambar 2.5.
Gambar 2.5. Kurva posisi terhadap waktu dari suatu partikel
a. Tentukanlah kecepatan rata-rata dalam interval waktu (i) 0 sampai 2 s, (ii) 0 sampai 4 s, (iii) 2 s sampai 4 s, (iv) 4 s sampai 7 s, dan (v) 0 sampai 8 s.
b. Tentukanlah kecepatan sesaat dari partikel pada saat: (i) t = 1 s, (ii) t = 3s, (iii) t = 4,5 s dan (iv) t = 7,5 s
x1 x2
t1
t dt
dx β
24 Penyelesaian:
a. Kecepatan rata-rata adalah perpindahan benda persatuan selang waktu yang dibutuhkan untuk menempuh perpindahan tersebut
(i). s m s m t x t t x x
v 5 /
0 2 0 10 1 2 1 2
(ii). m s
s m t x t t x x
v 1,2 /
0 4 0 5 1 2 1 2
(iii). m s
s s m m t t x x
v 2,5 /
2 4 10 5 1 2 1
2
(iv). m s
s s m m t t x x
v 3,3 /
4 7 5 5 1 2 1
2
(v). m s
s t x t t x x
v 0 /
0 8 0 0 1 2 1 2
b. Kecepatan sesaat.
Kecepatan sesaat adalah kemiringan garis singgung kurva x terhadap t pada saat itu.
(i)
t = 1s s m s
m
v 5 /
0 2 0 10 (ii). t = 3s
s m s
s m
v 2,5 /
2 4 10 5 (iii). t = 4,5s
0 4 5 5 5 s s m m v (iv). t = 7,5 s
s m s
s m
v 5 /
7 8 ) 5 ( 0
Tanda negatif (-) menyatakan arah dari kecepatan, dimana kecepatan ke berarah pada sumbu x negatif.
Contoh Soal 2.2:
Sebuah benda bergerak dengan posisi yang memenuhi persamaan x(t) = -2t2 +10t, dengan x dalam meter dan t dalam detik. Tentukan: a). Kecepatan rata-rata selama selang waktu dari 0 sampai 2 detik. b). kecepatan sesaat benda pada saat t = 2 detik.
Penyelesaian:
a). Kecepatan rata-rata: t x t t x x v 1 2 1 2
t1= 0 ↔x1 = -2(0)2 +10 (0) = 0
t2 = 2 ↔x2 = -2(2)2 +10 (2) = 12 m
jadi: s m s m t t x x
v 6 /
0 2 0 12 1 2 1 2
b). Kecepatan sesaat:
10 4 10 2 2 t dt t t d dt dx v25 v = -4 (2) + 10 = 2 m/s
2.1.3. Percepatan dan Perlajuan
Benda yang bergerak dengan kecepatan yang berubah dikatakan benda mengalami percepatan. Karena kecepatan adalah besaran vektor, maka perubahan kecepatan menyangkut perubahan besar kecepatan (laju), perubahan arah kecepatan, atau kedua-duanya. Percepatan adalah ukuran cepat atau lambatnya perubahan kecepatan. Misalkan bis pada Gambar 2.1 bergerak dengan kecepatan v1 pada saat t1 dan v2 pada saat t2, besarnya percepatan rata-rata adalah:
t v t
t v v a
1 2
1
2 (2-6)
Analogi dengan besar kecepatan sesaat, besar percepatan sesaat adalah besarnya perubahan kecepatan dalam selang waktu yang sangat kecil atau mendekati nol,
dt dv t v lim a
0 t
(2-7)
Gambar 2.6. Grafik kecepatan sebagai fungsi waktu
Pada Gambar 2.6, besar percepatan rata-rata dilukiskan dengan sudut β dan besar percepatan sesaat dilukiskan dengan sudut γ pada Gambar 2.4, sehingga
t v tg
dan
dt dv
tg (2-8)
Satuan percepatan adalah m/s2. Contoh Soal 2.3:
Grafik kecepatan terhadap waktu dari sebuah benda yang bergerak sepanjang sumbu x diperlihatkan dalam Gambar 2.7. (a) Plotlah grafik percepatan terhadap waktu. (b). Hitunglah percepatan rata-rata benda dalam interval waktu; 0 sampai 20 detik dan 5 sampai 15 detik.
v1 v2
t1 t2
t Δt
Δv
β γ
v
26 Gambar 2.7. Kurva kecepatan terhadap waktu
Penyelesaian:
(a). Percepatan adalah kemiringan grafik v terhadap t. Dari Gambar 2.7 diperoleh:
o t = 0 – 5 s; kemiringan grafik adalah: 0
0 5
) 8 ( 8
t v
jadi a = 0.
o t = 5 – 15 s; kemiringan grafik adalah: 1,6
5 15
) 8 ( 8
t v
jadi a = 1,6 m/s2
o t = 15 – 20 s; kemiringan grafik adalah: 0
0 5
8 8
t v
jadi a = 0.
Grafik percepatan terhadap waktu diperlihatkan dalam Gambar di bawah.
Gambar 2.8. Grafik percepatan terhadap waktu (b). Percepatan rata-rata,
1 2
1 2
t t
v v a
(i) dalam interval waktu, t = 0 sampai 20 detik.
2
1 2
1 2
/ 8 , 0 0 20
) 8 ( 8
s m t
t v v
a
(ii) dalam interval waktu t = 5 detik sampai 15 detik
2
1 2
1 2
/ 6 , 1 5 15
) 8 ( 8
s m t
t v v
a
27
2.1.4. Hubungan antara posisi, kecepatan dan percepatan
Jika perpindahan sebagai fungsi waktu, atau x = f(t), maka kecepatan dan percepatan dapat pula dinyatakan sebagai fungsi waktu, yakni berturut-turut v = f(t) dan a = f(t).
Persamaan kecepatan dan percepatan telah diungkap dalam persamaan (2.4) dan (2.7), yang menunjukkan bahwa kecepatan, v adalah turunan pertama dari posisi, x, sedangkan perepatan, a adalah turunan pertama dari kecepatan, v atau turunan kedua dari posisi, x.
Berdasarkan pers. (2-7) diperoleh hubungan percepatan dan kecepatan benda,
dv = a dt
Integralkan kedua ruas,
t
t v
v
adt dv
0 0
t
t
adt v
v
0
0
(2-9)
Persamaan (2.9) di atas berlaku secara umum untuk mencari hubungan antara kecepatan dan percepatan dari benda yang bergerak.
Bila percepatan konstan (a = konstan), maka: v = v0 + a (t-t0)
v= v0 + at (2-10)
dengan v adalah kecepatan saat t = t dan v0 adalah kecepatan saat t = t0 Dari persamaan (2.4) diperoleh hubungan posisi dengan kecepatan:
dt dx v
dx = v dt Integrasikan kedua ruas, dan subsitusi v = v0 + at.
t
t t
t x
x
dt at v vdt dx
0 0
0
)
( 0
(2-11)
Persamaan (2.11) di atas berlaku secara umum untuk mencari hubungan antara posisi dan kecepatan dari benda yang bergerak. Bila percepatan konstan, maka hasil integral di atas adalah:
x - x0 = v0t +21 at2 Jika pada t = t0, x = x0, maka:
x = x0 + v0t+21 at2 (2-12) Kembali ke persamaan (2.7),
dt dv a
dt a dv .
Kalikan kedua ruas dengan kecepatan, v,
dt
v
a
dv
v
.
Sebelumnya telah diketahui, bahwa v.dt = dx
dx
a
dv
v
.
Integralkan kedua ruas, dt
28
x
x v
v0 o
adx vdv
Bila percepatan konstan, maka diperoleh:
)
(
)
(
2 022 1
o
x
x
a
v
v
atau,v2 vo2 2a(xxo) (2-13)
Indeks o dalam persamaan di atas menyatakan keadaan awal. Gerak Lurus Beraturan dan Gerak Lurus Berubah Beraturan
Benda yang bergerak lurus dengan kecepatan konstan sepanjang geraknya, dinamakan gerak lurus beraturan. Apabila benda yang bergerak lurus dengan percepatan konstan dinamakan dengan gerak lurus berubah beraturan. Berdasarkan pembahasan sebelumnya, kita rangkumkan kembali persamaan gerak untuk benda yang bergerak lurus beraturan dan gerak lurus berubah beraturan seperti dalam tabel di bawah ini.
Gerak Lurus Beraturan Gerak Lurus Berubah Beraturan
0
konstan .
a v
t v
x x = x0 + v0t+
2 1 at2
v = v0 + at a = konstan
) (
2 2 2
o
o a x x
v
v
Contoh Soal 2.4.
Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v = 6t2 + 2t + 5 sepanjang sumbu x, di mana v dalam meter per detik dan t dalam detik. Pada t = 0 benda berada di titik x = 5m dari sumbu asal. Hitunglah : a). Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t = 2s dan t = 5s. b). Kecepatan pada saat t = 6s. c). Percepatan rata-rata dalam selang waktu t = 2s dan t = 5s. d). Percepatan pada saat t =6s. e). Jarak yang ditempuh setelah 15 s.
Penyelesaian :
a). Untuk menentukan kecepatan rata-rata harus ditentukan dulu persamaan untuk posisi benda,
vdt x
dt (
x
6t2 2t5)C 5t t
2t3 2
x
di mana C adalah konstanta. Untuk t = 0, x =5 m, maka C = 5, persamaan lintasan benda fungsi waktu
5t t
2t3 2 5
x
Untuk t1 =2s, maka x1 = 35 m, dan untuk t2 = 6s, diperoleh x2 = 305 m. Kecepatan rata-rata benda adalah
) / ( 90 2 5
35 305
1 2
1
2 m s
t t
x x
v
29 c). Untuk t1 =2 s, diperoleh v1 = 33 (m/s),
dan untuk t2 = 6 s, diperoleh v2 = 165 (m/s), percepatan rata-rata adalah :
2
1 2
1 2
s / m 44 2 5
33 165 t t
v v
a
d). Persamaan untuk percepatan setiap saat diperoleh dari (6t2 2t5)12t2
dt d dt dv a
Pada saat t = 6 s, maka a = 74 m/s2. e). Untuk t = 15 s, jarak yang ditempuh :
5.15 15
2.153 2 5
x
x = 7055 m
2.1.5. Pembahasan gerak lurus secara grafik
Kadang-kadang lebih mudah melukiskan posisi, kecepatan dan percepatan sebuah benda yang bergerak lurus dengan sebuah grafik. Gambar 2.9 melukiskan kecepatan benda terhadap waktu dari sebuah benda yang bergerak lurus.
Gambar 2.9.Grafik kecepatan sebagai fungsi waktu
Berdasarkan Gambar 2.9 dapat pula dilukis hubungan antara posisi dan percepatan sebagai fungsi waktu seperti diperlihatkan pada Gambar 2.10 dan Gambar 2.11.
2.10. G Grafik posisi terhadap waktu 2.11. Grafik percepatan terhadap waktu
Grafik yang melukiskan posisi sebagai fungsi waktu pada Gambar 2.10 adalah sebanding dengan luas yang diarsir pada Gambar 2.9. Sedangkan grafik yang melukiskan percepatan sebagai fungsi waktu pada Gambar 2.11 adalah sebanding dengan kemiringan garis (yaitu tangen β) pada Gambar 2.9. Ini berarti bila grafik suatu persamaan gerak diketahui, maka grafik untuk persamaan-persamaan gerak yang lain dapat dicari.
t t(s) v(m/s) v
v0
t t(s) x(m)
x0
x
t
t(s) a(m/s2)
30 Contoh Soal 2.5:
Sebuah mobil mainan yang bergerak dari titik O dengan laju awal 20 m/s, dipercepat selama 20 detik dengan percepatan 3 m/s2. Mobil-mobilan ini bergerak dengan laju konstan selama 10 detik, dan akhirnya diperlambat sampai berhenti 20 detik kemudian. Jika gerak mobil-mobilan dianggap lurus, tentukanlah : a). Panjang lintasan yang dilalui mobil-mobilan. b). Gambarkan grafik laju mobil-mobilan terhadap waktu. c). Gambarkan grafik panjang lintasan yang ditempuh mobil-mobilan terhadap waktu.
Penyelesaian:
a. Panjang lintasan yang ditempuh mobil selama 20 detik pertama adalah x1 = vo t + 12at2,
x1 = 20.20 + 21 .3. 202,
x1 = 1.000 m.
Selama 10 s berikutnya benda bergerak dengan laju konstan sebesar v = vo + a t,
v = 20 + 3.20 v = 80 m/s.
Panjang lintasan yang ditempuh mobil selama 30 s ini adalah x2 = v.t atau
x2 = 80.10 x2 = 800 m.
Selanjutnya selama 20 detik berikutnya, benda diperlambat sampai berhenti dengan perlambatan yang diperoleh dari persamaan :
v = vo - a t, 0 = 80 - a. 20, a = 4 m/s2.
Panjang lintasan yang ditempuh sebelum berhenti adalah x3 = vo t - 12at2,
x3 = 80.20 - 21.4. 202, x3 = 800 m.
Dengan demikian panjang lintasan total yang ditempuh mobil selama gerakan adalah: x = x1 + x2 + x3,
x = 1.000 m + 800 m + 800 m, x = 2.600 m.
b. Grafik laju sebagai fungsi waktu dapat digambarkan sebagai berikut :
v (m/s) 80
10 20 30 40 50 t (s)
Untuk :
t = 0, vo = 20 m/s. t = 20 s, v = 80 m/s, t = 30 s, v = 80 m/s, t = 50 s, v = 0
31 c. Grafik panjang lintasan yang ditempuh fungsi waktu dapat digambarkan dengan menghitung panjang lintasan yang ditempuh benda setiap selang waktu tertentu, misalnya setiap 5 detik seperti diperlihatkan dalam tabel berikut:
t (s) x = panjang lintasan (m) t (s) x = panjang lintasan (m)
0 0 25 x = 1.000+ 80.5 = 1.400
5 x = 20.5 + 12.3. 52 =
137,5
30 x = 1.000 + 80.10 = 1.800 10 x = 20.10 + 21.3. 102 =
450
35 x = 1.800 + 80.5 - 21.4. 52 =
2.150 15 x = 20.15 + 21.3. 152 =
637,5
40 x = 1.800 + 80.10 - 21.4. 102 =
2.400 20 x = 20.20 + 21.3. 202 =
1.000
45 x = 1.800 + 80.15 - 21.4.152 =
2.550
50 x = 1.800 + 80.20 -
2
1.4.202 =
2.600
Selanjutnya grafik panjang lintasan fungsi waktu dapat digambarkan berdasarkan data pada tabel di atas, yaitu:
2.1.6. Gerak Jatuh Bebas
Salah satu contoh gerak lurus dengan percepatan konstan adalah gerak benda jatuh bebas dengan hambatan udara diabaikan. Benda akan mengalami percepatan konstan yaitu percepatan gravitasi, disimbol g. Besarnya percepatan gravitasi di dekat permukaan Bumi adalah sekitar 9,8 m/s2. Secara umum, istilah benda jatuh bebas, tidak selalu merujuk kepada benda yang di jatuhkan dari keadaan diam. Tetapi, setiap benda yang bergerak bebas dan hanya dipengaruhi oleh gravitasi saja, dikatakan benda yang bergerak jatuh bebas. Dengan demikian, benda yang dilemparkan ke atas juga termasuk dalam gerak benda jatuh bebas.
Persamaan gerak benda jatuh bebas diturunkan dari persamaan gerak lurus dengan percepatan konstan atau gerak lurus berubah beraturan, yaitu:
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Waktu (detik)
P
an
ja
n
g
l
in
ta
sa
n
(
m
32 y = y0 + v0t+21 at2
v = v0 + at
) (
2 2 2
o
o a x x
v
v
a = g = konstan Contoh Soal 2.6:
Sebuah bola golf dijatuhkan dari keadaan diam dari puncak gedung yang tinggi. Abaikan hambatan udara dan hitunglah posisi dan kecepatan bola saat 1, 2 dan 3 detik setelah dijatuhkan.
Penyelesaian:
Pilih titik acuan pada titik dipuncak gedung dimana bola dijatuhkan, dan arah ke atas sebagai arah positif. Dengan demikian; y0 = 0, v0 = 0 dan a = -g = -9,8 m/s2.
o Posisi bola setiap saat:
y = y0 + v0t+21at2 = 0 + 0 + ½ (-g) t2 y = - ½ gt2
Posisi bola memiliki arah sumbu y negatif. saat t = 1 s ==> y = - ½ (9,8 m/s2)(1s)2 = - 4,9 m saat t = 2 s ==> y = - ½ (9,8 m/s2)(2s)2 = - 19,6 m saat t = 3 s ==> y = - ½ (9,8 m/s2)(3s)2 = - 44,1 m
o Kecepatan bola setiap saat:
v = v0 + at = 0 + (-g)t v = -gt
saat t = 1 s ==> v = -(9,8 m/s2) (1s) = - 9,8 m/s saat t = 2 s ==> v = -(9,8 m/s2) (2s) = - 19,6 m/s saat t = 3 s ==> v = -(9,8 m/s2) (3s) = - 29,4 m/s 2.2. Gerak Lengkung
Gerak lengkung merupakan gabungan dari beberapa gerak lurus. Gerak lengkung dapat juga merupakan gerak dua dimensi dan tiga dimensi. Berikut ini akan dibahas perpindahan, kecepatan, dan percepatan dari gerak lengkung. Untuk selanjutnya, pembahasan gerak lengkung dinyatakan dalam notasi vektor.
Posisi
Misalkan sebuah benda titik bergerak dari A ke B, membentuk lintasan berupa garis lengkung seperti yang dilukiskan pada Gambar 2.12. Pada saat t, posisi benda berada di A dinyatakan oleh vektor posisi:
kˆ z j
ˆ
y i
ˆ
x OA
r
sedangkan pada saat t’ posisi benda berada di B dinyatakan oleh vektor posisi: kˆ
' z j
ˆ
' y i
ˆ
' x OB '
r
33 Gambar 2.12. Lintasan pada gerak lengkung
Dari Gambar 2.12 dapat dilihat bahwa jarak AB menunjukkan perpindahan benda dari posisi rke posisi r', sehingga:
kˆ ) z z ( j ˆ ) y y ( i ˆ ) x x ( r ) kˆ z j ˆ y i ˆ x ( ) kˆ z j ˆ y i ˆ x ( r r r AB
Jadi perpindahan dinyatakan dengan vektor perpindahan sebagai berikut: kˆ z j ˆ y i ˆ x
r
(2.14)
Kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat. Kecepatan rata-rata benda dinyatakan
k t y j t y i t x t r
v ˆ ˆ ˆ
(2-15) dan kecepatan sesaat benda t dinyatakan
dt r d t r lim v 0 t (2-16)
Untuk Δt mendekati nol, titik B berimpit dengan titik A, sehingga kecepatan sesaat v
, merupakan garis singgung pada kurva seperti pada Gambar 2.13. Kecepatan sesaat dapat dirumuskan kˆ dt dz j ˆ dt dy i ˆ dt dx dt r d
v
atau kˆ v j ˆ v i ˆ v
v x y z (2-17)
di mana
dt dx vx ,
dt dy vy ,
dt dz vz . Besarnya kecepatan sesaat total benda ditentukan oleh
2 z 2 y 2
x v v
v
v . (2-18)
34 Arah vektor kecepatan dapat ditentukan terhadap masing-masing sumbu sebagai berikut:
v v cos x
,
v v cos y ,
v v cos z
. (2-19)
Perubahan vektor kecepatan baik arah maupun besarnya menunjukkan bahwa benda mengalami percepatan. Arah vektor kecepatan searah garis singgung seperti dilukiskan pada Gambar 2.13.
Gambar 2.13. Kecepatan pada gerak lengkung
Pada titik A vektor kecepatan benda adalah v dan pada titik B vektor kecepatan adalah v'. Vektor perubahan kecepatan benda yang bergerak dari titik A ke B dalam selang waktu tertentu dapat dinyatakan v vv.
Percepatan rata-rata dan percepatan sesaat.
Perubahan vektor kecepatan dalam selang waktu disebut percepatan rata-rata dan dirumuskankan sebagai
t v a
atau dalam komponen-komponen vektor:
k t v j t v i t v
a x ˆ y ˆ z ˆ
(2-20)
Percepatan sesaat benda titik itu dapat ditulis
dt v d t v lim a
0 t
k dt dv j dt dv i dt dv dt
v d
a x ˆ y ˆ z ˆ
atau,
kˆ a j ˆ a i ˆ a
a x y z (2-21)
Komponen kecepatan untuk masing-masing sumbu adalah :
dt dv
a x
x ,
dt dv ay y ,
dt dv
a z
z
Besarnya percepatan total benda ditentukan : x
z
y B
A
35
2 z 2 y 2
x a a
a
a (2-22)
Dari rumus-rumus di atas dapat disimpulkan hubungan antara perpindahan, kecepatan dan percepatan gerak lengkung sebagai berikut:
Posisi : rxiˆyjˆzkˆ
Kecepatan : k
dt dz j dt dy i dt dx dt
r d
v ˆ ˆ ˆ
Percepatan : k
dt dv j dt dv i dt dv dt
v d
a x ˆ y ˆ z ˆ
Aplikasi gerak lengkung pada bidang datar hanyalah memperhitungkan sumbu x dan sumbu y saja. Contoh gerak lengkung yang akan dibahas dalam bab ini adalah gerak melingkar dan gerak parabola.
Contoh Soal 2.7
Sebuah benda yang bergerak memiliki koordinat x dan y sebagai berikut: x = 18 t
y = 4t– 4,9 t2
x dan y dinyatakan dalam meter sedangkan t dalam detik. (a). Tuliskanlah posisi benda menggunakan vektor satuan. (b). Carilah kecepatan benda setiap saat.
(c). Carilah percepatan benda setiap saat.
(d). Carilah kecepatan rata-rata dalam selang waktu 0 sampai 5 detik. (e). Carilah percepatan rata-rata dalam selang waktu 0 sampai 5 detik Penyelesaian:
(a) Posisi: rxiˆ yˆj18tiˆ
4t4,9t2
ˆj (b) Kecepatan benda setiap saat:
j dt
t t d i dt
t d j dt dy i dt dx dt
r d
v ˆ ˆ 18 ˆ 4 4,9 ˆ
2
m s m s t
j is m
v(18 / )ˆ 4 / (9,8 / 2) ˆ (c) Percepatan benda setiap saat.
m s i m s m s t j
dt d dt
v d
a (18 / )ˆ 4 / (9,8 / 2) ˆ
j s m a(9,8 / 2)ˆ
(d) Kecepatan rata-rata dalam selang waktu 0 sampai 5 detik Saat t = 0 ==> r0 18(0)iˆ
4(0)4,9(0)2
ˆj0
Saat t = 5 s ==> r5 18(5)iˆ
4(5)4,9(5)2
jˆ90iˆ102,5ˆj
Kecepatan rata-rata:
s m j i
s r r t r v
5
0 )
ˆ
5 , 102
ˆ
90 ( 0 5
0
5
36
i j
m sv 18ˆ20,5ˆ /
(e) Percepatan rata-rata dalam selang waktu 0 sampai 5 detik
Saat t = 0 ==>v0 (18m/s)iˆ
4m/s(9,8m/s2)(0)
ˆj(18m/s)iˆ(4m/s)ˆj
Saat t = 5 s ==> v5 (18m/s)iˆ
4m/s(9,8m/s2)(5s)
ˆj
m s m s
j m s i m s ji s m
v5 (18 / )ˆ 4 / (49 / ˆ(18 / )ˆ(45 / )ˆ
Percepatan rata-rata: 0 5 0 5 s v v t v a
j s m s j s m i s m j s m i s ma (8,2 / )ˆ
5 ˆ ) / 4 ( ˆ ) / 18 ( ˆ ) / 45 ( ˆ ) / 18 ( 2
Contoh Soal 2.8
Sebuah partikel mula-mula berada di titik asal, bergerak dengan kecepatan awal i
s m v0 (5 / )ˆ
dan percepatan a(3m/s2)ˆj
. Carilah (a). Posisi dan kecepatan partikel setiap saat. (b). Carilah koordinat partikel saat 2 detik. (c) Carilah laju partikel pada saat 2 detik.
Penyelesaian: Saat awal:
j i r0 (0)ˆ(0)ˆ
i s m v0 (5 / )ˆ
Dari soal terlihat percepatan partikel adalah konstan yakni: a (3m/s )ˆj
2
(a) Posisi partikel setiap saat:
2 2 2
0
0 (3 / )ˆ
2 1 ˆ ) / 5 ( 0 2 1 t j s m t i s m t a t v r
r
j t s m i t s m
r(5 / ) ˆ(1,5 / 2) 2ˆ Keceapatan partikel setiap saat:
t a v v 0
j t s m i s m
v(5 / )ˆ(3 / 2)ˆ
(b) Koordinat partikel saat 2 detik j s s m i s s m
r(5 / )(2 )ˆ(1,5 / 2)(2 )2 ˆ
j m i m
r(10 )ˆ(6 )ˆ j
y i x r ˆ ˆ
Jadi koordinat partikel adalah: (x,y) = (10m, 6m) (c) Laju partikel pada saat 2 detik
j s s m i s m
v(5 / )ˆ(3 / 2)(2 )ˆ j s m i s m
v(5 / )ˆ(6 / )ˆ Laju partikel:
37 2.2.1. Gerak Melingkar
Gerak melingkar dapat didefinisikan sebagai gerak benda pada lintasan berupa keliling lingkaran, baik lingkaran penuh atau tidak penuh. Dalam gerak melingkar, jarak benda ke suatu titim acuan, yang merupakan titik pusat lingkaran selalu tetap. Pada gerak melingkar, arah kecepatan selalu menyinggung lintasan, yang berarti pada gerak melingkar kecepatan selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran. Dalam pembahasan ini, akan ditinjau gerak melingkar beraturan dan gerak melingkar berubah beraturan.
Berdasarkan Gambar 2.14, posisi benda yang bergerak melingkar setiap saat dapat dilukiskan sebagai berikut
j R i R
r cosˆ sinˆ (2-24)
dengan θ adalah sudut yang dibuat vektor posisi benda terhadap sumbu x, dan R adalah jari-jari lingkaran.
Gambar 2-14. Ilustrasi partikel yang melakukan gerak melingkar
Perhatikan bahwa dalam hal ini R adalah konstan, tetapi vektor satuannya merupakan fungsi dari waktu. Bila sudut θ dinyatakan dalam radian, maka panjang busur s dapat dinyatakan sebagai
s = θ R (2-25)
Kecepatan benda setiap saat diberikan oleh
dt j i j R
d R
i dt d R dt d d
r d dt
r d
v ˆ sin ˆ cos ˆ(sin ˆcos ˆ)
dengan
dt d
(2-26)
disebut besar kecepatan sudut.
Dalam koordinat polar, kecepatan linier benda dapat ditulis
ˆ R
v (2-27)
Percepatan benda dapat diperoleh dengan mendiferensiasi pers. (2-27) terhadap waktu dt d j R i R j
R i R dt
d d
v d dt d d
v d dt
v d
a
( cos ˆ sin ˆ) ( sin ˆ cos ˆ)
2
dengan
s
θ
R
38 dt
d
(2-28)
disebut percepatan sudut dengan satuan radian/s2. Dalam koordinat polar percepatan benda dapat ditulis
v r
a
2 (2-29)
Perhatikan bahwa percepatan benda terdiri dari dua bagian, yaitu bagian dalam arah radial menuju ke pusat lingkaran disebut dengan percepatan sentripental asp dan bagian yang menyinggung lingkaran disebut percepatan tangensial at.
r R v r R r
asp ˆ ˆ
2 2
2
ˆ ˆ
R v at
Bila kita rangkumkan hasil-hasil di atas, maka gerak melingkar dalam koordinat polar secara umum dapat dinyatakan dengan
rRrˆ R ˆ v
a2RrˆRˆ
(2-30)
di mana rˆ dan ˆ adalah vektor posisi arah radial dan tangensial dalam koordinat polar. Dalam kasus benda bergerak melingkar tanpa percepatan sudut α = 0, maka dikatakan benda melakukan gerak melingkar beraturan dengan laju tetap v = ωR karena ω adalah konstan. Bila waktu untuk menempuh satu putaran (perioda) kita nyatakan dengan T, maka panjang lintasan yang ditempuh benda dalam waktu ini adalah s = vT = 2ωR. Jadi:
T R v 2 atau
T
2 (2-31)
Untuk benda bergerak melingkar beraturan, percepatan yang ada hanyalah percepatan sentripental (karena α = 0, sehingga at = 0). Perubahan kecepatan yang ada hanyalah perubahan arah. Jadi dapat kita simpulkan bahwa percepatan sentripental adalah percepatan yang mengubah arah kecepatan, tetapi tidak mengubah besar kecepatan. Arah percepatan tegak lurus terhadap kecepatan.
Bila benda bergerak melingkar dengan percepatan sudut tetap, maka dikatakan benda melakukan gerak melingkar berubah beraturan. Persamaan geraknya serupa dengan yang berlaku pada gerak lurus berubah beraturan, yakni
α = konstan ω = ωo + α t
o 2 2 1
ot t
) (
2 o
2 o
2
(2-32)
39 Contoh Soal 2.9
Sebuah batu gerinda memiliki percepatan sudut konstan α sebesar 3 rad/s. Batu gerinda mulai berputar dari keadaan diam. Jari-jari gerinda adalah 0,5 m. Jika gerinda berputar, maka setelah 2 detik tentukanlah :a). pergeseran sudut gerinda. b). laju sudut batu gerinda. c). laju linier atau laju tangesial gerinda. d). percepatan tangensial gerinda. e). percepatan sentripental sebuah noda yang terletak di tepi batu gerinda
Penyelesaian:
Pada saat t = 0, kita ketahui, ω0 = 0 dan misalkan θo = 0, maka pada saat t = 2 s
a). 12 2
o
o t t
θ0012(3rad/s2).(2s)2 6rad = 0,96 putaran
b). o t
ω 02(rad/s2).3s6 rad/s c). v = ω R
v = (6 rad/s) x 0,5 m =3 m/s d). aT = αR
aT =(3 rad/s2) x 0,5 m= 1,5 m/s2 as=v2/R=ω2R
as =( 6 rad/s)2x 0,5 m = 18 m/s2 2.2.2. Gerak Peluru
Gerak sebuah peluru dipengaruhi oleh percepatan gravitasi g dengan arah vertikal ke bawah. Pada arah horizontal percepatannya sama nol. Misalkan sebuah peluru ditembakan dengan kecepatan awal vo dan arah membentuk sudut elevasi θ terhadap garis horizontal. Lintasan peluru dapat dilihat pada Gambar 2-15 di mana ymaks dan R berturut-turut adalah titik tertinggi dan titik terjauh yang dapat dicapai oleh peluru.
Gambar 2.15. Lintasan gerak peluru. Secara umum, persamaan gerak peluru dalam arah sumbu-x adalah
x = v0 cos θ t vx = vx0 cos θ
ax = 0
(2-33) dan dalam arah sumbu y adalah
y= vosin θ t- 12gt2
40 ay = - g
posisi, kecepatan dan percepatan peluru setiap saat dapat ditulis
j
ˆ
y
i
ˆ
x
r
j
ˆ
v i
ˆ
v v x y
j
ˆ
a i
ˆ
a a x y
(2-35)
Benda mencapai titik tertinggi pada saat vy = 0, sehingga waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi adalah
g v t osin
(2-36) Dengan demikian dapat pula ditentukan titik tertinggi yang dapat dicapai peluru
g v ymaks o
2 sin2
2
(2-37)
sedangkan jarak terjauh secara horizontal yang dapat dicapai peluru adalah x = vocos θ t’,
di mana t’ adalah waktu yang ditempuh peluru untuk sampai di tanah (t’=2t), sehingga, g
v
x o
2 2 sin
2
(2-38)
Dengan mengeliminir harga t pada pers. (2-33) ke (2-34) didapatkan persamaan lintasan peluru:
x xtg
v g y
o
2
2
) cos (
2 (2-39)
yang menunjukkan bahwa lintasan peluru berbentuk parabola terbuka ke bawah. Inilah sebabnya kenapa gerak peluru disebut gerak parabola. Bandingkanlah dengan sebuah persamaan kuadrat:
y = ax2 + bx + c
yang menghasilkan sebuah grafik berbentuk parabola. Apa arti tanda negatif pada persamaan (2-39)? Apa pula artinya bila c = 0 ?
Contoh Soal 2.10
Sebuah bola dilemparkan dari tanah dengan sudut elevasi 53o dengan kecepatan awal 50 m/s. Tentukanlah : a). Kapan benda mencapai tinggi maksimum b). Tentukanlah tinggi maksimum yang dicapai bola. c). Tentukan kapan dan di mana bola mencapai tanah kembali. d). Tentukan posisi, dan kecepatan bola ( besar dan arah ) setiap detik.
Penyelesaian: Anggap g = 10 m/s2
a. Waktu untuk mencapai titik tertinggi,
g v t osin
41 =
10 53 sin 50
t = 4 detik b. Titik tertinggi,
g v
y o
maks
2 sin2
2
=
10 . 2
) 8 , 0 ( 502 2
ymaks = 80 m
c. Waktu untuk mencapai tanah kembali sama dengan 2 x waktu untuk mencapai tinggi maksimum, jadi
t’ = 8 detik,
Bola mencapai tanah kembali pada jarak mendatar sejauh R = vocos α t’,
= 50 cos 53o. 8, R = 240 m
d. Posisi benda setiap saat dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan x = vocosθ t, dan y = vosinθt - 2
2 1gt ,
sedangkan kecepatan bola setiap detik dapat ditentukan dengan persamaan vx = voxcosθ dan vy = vosinθ -gt.
Besar kecepatan ditentukan oleh persamaan 2
y 2
x v
v
v .
dengan arah kecepatan (β) ditentukan persamaan β = arc tg
x y
v v
,
Misalkan kita cari untuk 8 detik pertama, semua data posisi dan kecepatan bola disusun dalam tabel berikut ini
waktu (t )
Posisi kecepatan
x ( m) y (m) vx (m/s) vy (m/s) v (m/s) β
0 0 0 30 40 50 53o
1 30 35 30 30 42,4 45o
2 60 60 30 20 36 33,7o
3 90 75 30 10 31,6 18,4o
4 120 80 30 0 30 0o
5 150 75 30 - 10 31,6 - 18,4o
6 180 60 30 - 20 36 - 33,7o
7 210 35 30 - 30 42,4 - 45o
8 240 0 30 - 40 50 - 53o
Contoh Soal 2.11
42 adalah 1 km, berapa ketinggian maksium lintasan peluru dari tanah dan jangkauan maksimum peluru?
Penyelesaian:
Sudut elevasi peluru menurut pilot;θ = 370 Ketinggian awal peluru yo = 1 km = 1000 m Laju pesawat (arah horizontal) u = 200 m/s Laju awal peluru terhadap pesawat wo = 400 m/s. Komponen kecepatan awal peluru terhadap pesawat:
s m s m w w s m s m w w o oy o ox / 240 ) 5 / 3 ( 400 37 sin ) / 400 sin / 320 ) 5 / 4 ( 400 37 cos ) / 400 cos
Komponen kecepatan awal peluru terhadap tanah: s m w v s m s m s m u w v oy oy ox ox / 240 / 520 / 200 / 320
Waktu yang diperlukan peluru untuk mencapai puncak lintasan s s m ms g v
tm oy 24
/ 10 240 2
Ketinggian maksimum lintasan yang dicapai peluru:
2 2
2 0
0 v .t 12g.t 1000m (240m/s)(24s) 12(10m/s )(24s)
y
ym y m m
m ym 3880
Untuk menentukan jangkauan maksimum peluru, diperlukan waktu untuk mencapai tanah (ketika y = 0) yaitu:
2 0
0 v .T 12g.T 0 1000 240.T 12(10).T
y
y y
Diperoleh persamaan kuadrat dalam T. 0
200 48
2
T
T ,
Solusi persamaan kuadrat di atas adalah:
) 1 .( 2 ) 200 )( 1 ( 4 ) 48 ( ) 48 ( 2 2 , 1 T Diperoleh T1 = 51,85 s, dan T2 = -3,85 s
Karena waktu haruslah positif, maka diambil T = T1 = 51,85 s. Jangkauan maksimum peluru adalah:
m s s m T v
R 0x. 520 / 51,85 26,96
REFERENSI
P.A. Tipler. 1998. Fisika untuk sains dan teknik, Terjemahan, Erlangga. Jakarta. p. 21-80. H.D. Young dan R.A. Freedman, 2008. University Physics. 12th Edition. Addison Wesley.
