Analisis Model Matematika Sistem dan Non

(1)

PRAKTIKUM PEMODELAN MATEMATIKA

SOLUSI UNTUK SISTEM PERSAMAAN DAN NONSISTEM DALAM PEMODELAN MATEMATIKA

Dosen Pengampu: Dr. Usman Pagalay, M.Si

Oleh:

Nurul anggraeni hidayati NIM. 14610002

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

(2)

DAFTAR ISI

1. Non System ... 1

1.1 PERSAMAAN YANG UMUM (LOGISTIK) ... 1

• Assumption ... 1

• Discretization ... 2

• Analytical Solution ... 4

• Comparison of Analytical Solution and Numerical Solution... 5

1.2 PERSAMAAN LAIN ... 9

• Discretization ... 10

• Analytical Solution ... 12

• Comparison of Analytical Solution and Numerical Solution... 13

2. Sistem ... 17

2.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR ... 17

• Solusi Sistem ... 18

• Bidang Fase ... 23

• Diskritisasi ... 24

• Perbandingan Solusi Analitik dan Numerik ... 26

2.2 SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR ... 33

• Solusi Sistem ... 33

• Bidang Fase ... 39

• Disktitisasi... 41

• Perbandingan Solusi Analitik dan Numerik ... 43

(3)

1. NON SISTEM

1.1 PERSAMAAN YANG UMUM (LOGISTIK) Source:

Mathematical Modelling with Case Studies Using Maple™ and MATLAB®

Third Edition

B.Barnes and G.R. Fulford Page 78

Exercises 3.10 3.2

Modelling the Spread of the technology.

Models for spread of technology are very similar to the logistic model for population growth. Let 𝑁(𝑡) be the number of ranchers who have adopted an

Where 𝑁𝑇 is the total population of ranchers. It is assumed that the rate of adoption is proportional to both the number who have adopted the technology and the fraction of the population of ranchers who have not adopted the technology.

According to Banks (1994), 𝑁𝑇 = 17.015, 𝑎 = 0.49, 𝑁0 = 141

• Assumption

1. Rate of adoption is proportional to both the number who have adopted the technology and the fraction of the population of ranchers who have not adopted the technology

𝑑𝑁

(4)

𝑁 : Number of ranchers who have adopted an improved pasture technology in Uruguay

𝑁𝑇 : Number of ranchers

Interpretation of the model will be written in Bahasa

(5)

Interpretation of the plot will be written in Bahasa

(6)

• Analytical Solution So general solution is

𝑵(𝒕) = 𝒄𝟏𝒆𝟎.𝟒𝟗𝒕(𝟏𝟕. 𝟎𝟏𝟓 − 𝑵(𝒕))

𝑁(0) = 𝑐1𝑒0.49𝑡(17.015 − 𝑁(0))

Substituting the value of 𝑁(0)

141 = 𝑐1𝑒0.49×0_{(17.015 − 141)} 141 = 𝑐1𝑒0_(−123.985)

141 = 𝑐1(−123.985)

𝑐1 =_{−123.985 = −1.137234343}141

(7)

➢ Maple

• Comparison of Analytical Solution and Numerical Solution 1. Analytical and Euler Method

➢ Metode Euler merupakan metode ➢ Maple

>

(8)

2. Analytical and Heun Method ➢ Manual

(9)

(10)

3. Analytical and Runge-Kutta Method ➢ Manual

(11)

• Interpretation

All of curve using discretization, analytical and numerical solutions are similar. Computations done by substitution the value of 𝑎 and 𝑁_𝑇, and the curve similar to general logistical curve.

1.2 PERSAMAAN LAIN

Source:

Differential Equations: a Modeling Approach Glenn Ledder

(12)

Perubahan banyaknya populasi y terhadap waktu t mengikuti pertumbuhan eksponensial dengan laju pertumbuhan 5 dan daya tampung 5.

(13)

Interpretation of the plot will be written in Bahasa

(14)

• Analytical Solution ➢ Manual

𝑑𝑦 𝑑𝑡 =

5 1 + 5𝑒−𝑦 1 + 5𝑒−𝑦_{𝑑𝑦 = 5 𝑑𝑡}

∫ 1 + 5𝑒−𝑦_{𝑑𝑦 = ∫ 5 𝑑𝑡}

(15)

• Comparison of Analytical Solution and Numerical Solution ➢ Analytical Solution and Euler Method

>

(16)

➢ Analytical Solution and Heun Method

(17)

(18)

(19)

2. SISTEM

2.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Source:

Persamaan Differensial Biasa

Model Matematika Fenomena Perubahan Kartono sebanding dengan kandungan zat 𝑥 sebanyak 2 satuan dan berkurang karena adanya kandungan zat 𝑦 sebanyak 3 satuan.

Persamaan Kedua

Perubahan banyaknya kandungan zat 𝑦 dalam tubuh terhadap waktu t sebanding dengan banyaknya kandungan zat 𝑦 dan berkurang karena adanya kandungan zat 𝑥 sebanyak 2 satuan.

(20)

𝑦̇ = −2𝑥 + 𝑦

(𝑥̇𝑦̇) = (−22 −31 ) ( 𝑥 𝑦)

• Solusi Sistem ➢ Manual

• Menentukan Nilai Eigen

Dimisalkan matriks 𝐴 = ( 2 −3

Didapatkan nilai eigen 4 dan -1 • Menentukan Eigen Vektor

(21)

(𝑣1_𝑣

• Solusi Khusus

(22)

Atau dapat juga dituliskan

𝑥(𝑡) = 2𝑒4𝑡_{+ 6𝑒}−1𝑡

𝑦(𝑡) = −3𝑒4𝑡_{+ 6𝑒}−1𝑡

(23)

(24)

➢ Interpretasi

(25)

Sedangkan kurva dengan garis berwarna hijau menunjukkan kandungan zat 𝑦 dalam tubuh. Terlihat dalam grafik, semakin bertambahnya waktu, kandungan zat 𝑦 semakin berkurang bahkan bernilai minus. Semakin bertambahnya waktu, tubuh akan kehilangan zat 𝑦 dan akhirnya kekurangan (karena bernilai minus). Berkurangnya kandungan zat 𝑦 dalam tubuh karena adanya pengaruh zat 𝑥 yang menyebabkan zat 𝑦 berkurang sebanyak 2 satuan per satuan waktu. Interpretasi ini juga berlaku untuk semua grafik hasil diskritisasi, analitik, dan numerik (runge kutta).

(26)

➢ Interpretasi Phase Portrait

Dari nilai eigen yang didapat dari cara manual maupun maple, didapat dua nilai eigen dengan tanda yang berbeda, dimana salah satu nilai eigennya positif, dan yang lain negative. Dari nilai eigen yang demikian, maka phase portraitnya akan membentuk saddle/pelana seperti ditunjukkan dalam grafik diatas dimana dalam hal ini kestabilannya bersifat tidak stabil.

• Diskritisasi

➢ Persamaan Pertama

𝑑𝑥

➢ Persamaan Kedua

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

2.2 SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR Source:

Different Equation with Boundary-Value Problem

Zill and Cullen banyaknya populasi 𝑁 sebanyak 0.5 satuan dan berkurang karena adanya interaksi populasi 𝑁dengan sesamanya sebanyak 1 satuan dan berkurang karena adanya interaksi populasi 𝑁 dengan populasi 𝑃 sebanyak 0.75 satuan.

Persamaan Kedua

Perubahan banyaknya populasi 𝑃 terhadap waktu 𝑡 sebanding dengan banyaknya populasi 𝑃 sebanyak 2 satuan dan berkurang karena adanya interaksi populasi 𝑃 dengan sesamanya sebanyak 1 satuan dan berkurang karena adanya interaksi populasi 𝑁 dengan 𝑃 sebanyak 0.75 satuan.

(36)

𝑁̇ = 𝑁(0.5 − 𝑁 − 0.75𝑃)

(37)

𝒅 𝒅𝒕 (

𝑵

𝑷) = (−𝟏. 𝟓 −𝟐)−𝟏 𝟎

Mencari nilai eigen dan eigen vektor 𝑨 − 𝑰𝒓 = 𝟎

(38)

(−𝟎. 𝟓 − 𝒓_𝟎 _{𝟏. 𝟔𝟐𝟓 − 𝒓) (}−𝟎. 𝟑𝟕𝟓 𝜺_𝜺𝟏 Mencari nilai eigen dan eigen vektor

(39)

(40)

➢ Interpretasi

(41)

berbeda seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, dengan populasi 𝑃 yang lebih mampu bertahan. Interpretasi ini juga berlaku untuk semua grafik hasil diskritisasi, linearisasi, dan numerik(euler, heun, runge kutta).

(42)

(43)

➢ Interpretasi

Dari perhitungan sebelumnya, baik secara manual maupun hasil perhitungan matlab, terdapat beberapa nilai eigen dengan nilai negatif maupun positif dengan 4 titik tetap. Dari titik tetap pertama, menghasilkan nilai eigen positif dengan eigen vector 0, jadi menjauhi titik tetap. Dari titik tetap kedua, menghasilkan nilai eigen positif dan negatif, jadi membentuk saddle. Dari titik tetap ketiga, menghasilkan nilai eigen negatif, jadi mendekati titik tetap. Dari titik tetap keempat, menghasilkan nilai eigen positif, jadi membentuk saddle.

• Disktitisasi ➢ Manual

• Persamaan Pertama 𝑑𝑁

𝑑𝑡 = 𝟎. 𝟓𝑵 − 𝑵𝟐− 𝟎. 𝟕𝟓𝑵𝑷

(44)

𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡)

ℎ = 0.5𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡)2− 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡) 𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡) = 0.5𝑁(𝑡)ℎ − 𝑁(𝑡)2_{ℎ − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)ℎ} 𝑁(𝑡 + ℎ) = 𝑁(𝑡) + 0.5𝑁(𝑡)ℎ − 𝑁(𝑡)2_{ℎ − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)ℎ}

𝑁𝑛+1 = 𝑁𝑛+ 0.5𝑁𝑛ℎ − 𝑁𝑛2ℎ − 0.75𝑁𝑛𝑃𝑛ℎ

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

Dari grafik yang dihasilkan ketiga metode terlihat bahwa error yang paling kecil adalah metode runge kutta, karena kurva analitik dan hasil metode runge kutta terlihat bersatu.

• Linearisasi

FIXED POINT 1

(52)

FIXED POINT 3

FIXED POINT 4

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)