OPTIMASI BIAYA OPERASIONAL KERETA API DALAM
SISTEM LOOP LINE MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN
INTEGER TAKLINEAR
NOVARIA YUSRI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Optimasi Biaya
Operasional Kereta Api dalam Sistem Loop Line Menggunakan Pemrograman
Integer Taklinear adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013
Novaria Yusri
NIM G54080015
ABSTRAK
NOVARIA YUSRI. Optimasi Biaya Operasional Kereta Api dalam Sistem Loop
Line Menggunakan Pemrograman Integer Taklinear. Dibimbing oleh AMRIL
AMAN dan FARIDA HANUM.
Besarnya
permintaan
yang
menyebabkan
terjadinya
penumpukan
penumpang di beberapa stasiun merupakan permasalahan utama yang dihadapi
oleh PT KAI Commuter Jabodetabek (KCJ). Salah satu cara untuk memecahkan
permasalahan ini adalah dengan menentukan rute dan frekuensi perjalanan kereta
api yang tepat. Dalam karya ilmiah ini disajikan model pemrograman integer
taklinear untuk menentukan rute dan frekuensi perjalanan kereta api tiap rute
dengan biaya yang optimal. Model ini diimplementasikan pada jaringan rel
Jabodetabek yang disederhanakan. Faktor-faktor yang menjadi parameter pada
model ini mencakup demand penumpang, kapasitas kereta, maksimum perjalanan
tiap rute, dan biaya operasional. Dalam membangun model, pada tahap awal
dilakukan identifikasi semua persyaratan yang harus dipenuhi, selanjutnya semua
persyaratan itu diformulasikan menjadi bentuk persamaan atau pertidaksamaan
linear. Untuk menguji keabsahan model dilakukan pemeriksaan atas sejumlah
skenario. Solusi model diperoleh dengan menggunakan software LINGO 11.0.
Kata kunci: frekuensi perjalanan, pemrograman integer taklinear, rute, sistem
loop line
ABSTRACT
NOVARIA YUSRI. Optimization of Train Operating Costs in Loop Line Systems
Using Nonlinear Integer Programming. Supervised by AMRIL AMAN and
FARIDA HANUM.
High demand for transportation that causes passenger’s congestion in some
stations is one of the main problems faced by PT KAI commuter Jabodetabek
(KCJ). This problem can be solved by determining optimal routes and frequencies
of the trains. This paper presents a model to determine routes and travelling
frequency for each route in order to minimize the total cost. The problem is
modelled as a nonlinear integer programming. This model is implemented in
Jabodetabek railway network that have been simplified. The parameters of the
model include the demand of passengers, the capacity of trains, maximum
travelling of train for each route, and operational costs. Developing model is
started with identification of all the requirements of the system. All of the
requirements then are formulated as linear equalities or inequalities. Ensuring the
validity of model is done via solving several scenarios using the model. The
solution of the model is obtained using LINGO 11.
Keywords: integer nonlinear programming, loop line systems, route, travelling
frequency
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
OPTIMASI BIAYA OPERASIONAL KERETA API DALAM
SISTEM LOOP LINE MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN
INTEGER TAKLINEAR
NOVARIA YUSRI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Optimasi Biaya Operasional Kereta Api dalam Sistem Loop Line
Menggunakan Pemrograman Integer Taklinear
Nama
: Novaria Yusri
NIM
: G54080015
Disetujui oleh
Dr Ir Amril Aman, MSc
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah
Optimasi Biaya Operasional Kereta Api dalam Sistem Loop line Menggunakan
Pemrograman Integer Taklinear.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Ir Amril Aman, MSc dan Dra
Farida Hanum, MSi selaku pembimbing yang telah banyak memberi saran. Selain
itu, ungkapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada Drs Prapto Tri Supriyo,
MKom selaku dosen penguji. Ungkapan terima kasih disampaikan kepada papa
dan ibu atas segala kasih sayang, dukungan, kepercayaan, kesabaran, dan doanya.
Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada keluarga yang selalu
mendoakan, seluruh dosen atas ilmu yang diberikan, staf pegawai, teman-teman
Matematika 45 dan 46, teman-teman Cempaka B, teman-teman Pondok Cahaya
dan teman-teman Hikapemaka Bogor atas bantuannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2013
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Istilah dalam Perkeretaapian
2
Integer Programming (IP)
3
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3
Deskripsi Masalah
3
Formulasi Masalah
4
STUDI KASUS
6
Formulasi Model Matematika
8
Pengujian Model
10
SIMPULAN DAN SARAN
17
Simpulan
17
Saran
17
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
DAFTAR TABEL
1 Rute
7
2 Realisasi demand penumpang terangkut Skenario 1
11
3 Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 1
11
4 Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 2
13
5 Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 3
14
6 Frekuensi perjalanan setiap rute Skenario 4
15
7 Banyaknya penumpang di kereta untuk setiap segmen Skenario 4
16
DAFTAR GAMBAR
1 Perlintasan sebidang
2
2 Jaringan rel kereta
6
3 Segmen
8
4 Rute kereta yang dihasilkan Skenario 1
11
5 Rute kereta yang dihasilkan Skenario 2
12
6 Rute kereta yang dihasilkan Skenario 3
13
7 Rute kereta yang dihasilkan Skenario 4
15
DAFTAR LAMPIRAN
1 Data hipotetik demand penumpang dari stasiun asal ke stasiun tujuan
18
2 Syntax program pada Lingo 11.0
19
3 Detail hasil komputasi Lingo 11.0 Skenario 1
24
4 Detail hasil komputasi Lingo 11.0 Skenario 2
25
5 Detail hasil komputasi Lingo 11.0 Skenario 3
26
6 Realisasi demand penumpang terangkut Skenario 3
28
7 Detail hasil komputasi Lingo 11.0 Skenario 4
30
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Jakarta merupakan ibu kota negara Indonesia. Kota ini memiliki lapangan
pekerjaan yang cukup banyak sehingga tidak hanya penduduk ibu kota saja yang
bekerja di kota ini melainkan warga sekitar Jakarta seperti Tangerang, Depok,
Bekasi, dan Bogor. Mobilitas penduduk sangat tinggi sehingga dibutuhkan alat
transportasi darat yang efisien dan efektif.
Salah satu alat transportasi yang digunakan adalah kereta api. Peraturan
Pemerintah Nomor 69 Tahun 1998 tentang Prasarana dan Sarana Kereta Api
menyebutkan bahwa moda transportasi kereta api memiliki karakteristik dan
keunggulan khusus. Beberapa keunggulan dari kereta api adalah kemampuannya
dalam mengangkut baik penumpang maupun barang secara massal, hemat energi,
hemat dalam penggunaan ruang, memiliki faktor keamanan yang tinggi, tingkat
pencemaran yang rendah, serta lebih efisien untuk angkutan jarak jauh.
PT KAI Commuter Jabodetabek (KCJ) adalah salah satu anak perusahaan di
lingkungan PT KERETA API (Persero) yang melayani wilayah Jabodetabek. Saat
ini PT KCJ menggunakan KRL dengan sistem loop line yang membagi perjalanan
menjadi 6 rute. Berdasarkan keterangan PT KCJ, 6 rute tersebut ialah Jakarta
Kota-Bogor, Jakarta Kota-Jatinegara, Jakarta Kota-Tanjung Priok, Parung
Panjang-Tanah Abang, Duri-Tangerang, dan Jakarta Kota-Bekasi. Pada sistem ini
dikenal adanya stasiun transit yang berfungsi melanjutkan perjalanan menuju
stasiun lain yang terletak pada rute yang berbeda. Pada kenyataannya, masih
terdapat beberapa permasalahan yang dihadapi oleh KCJ. Salah satunya
penumpukan penumpang di beberapa stasiun, terutama pada pagi dan sore hari
yang merupakan waktu pergi dan pulang kerja. Selain itu, masih terdapat
beberapa penumpang yang naik di atap gerbong sehingga dapat membahayakan
keselamatan para penumpang.
Permasalahan ini dapat diatasi dengan menambah jumlah kereta api atau
menambah frekuensi perjalanan kereta. Penambahan jumlah kereta membutuhkan
biaya yang jauh lebih besar dibandingkan dengan penambahan frekuensi
perjalanan kereta sehingga untuk mengatasi masalah tersebut biasanya dilakukan
dengan cara menambah frekuensi perjalanan kereta api tiap rute. Penentuan rute
dilakukan terlebih dahulu agar diperoleh hasil yang optimal. Permasalahan ini
dapat dimodelkan dengan integer nonlinear programming. Data yang digunakan
pada karya ilmiah ini adalah data hipotetik.
Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan rute dan frekuensi perjalanan
kereta api yang digunakan untuk setiap rute agar diperoleh biaya operasional yang
minimum menggunakan integer nonlinear programming.
LANDASAN TEORI
Untuk membuat model optimasi biaya operasional kereta api diperlukan
pemahaman
mengenai
beberapa
istilah dalam perkeretaapian, integer
programming (IP).
Istilah dalam Perkeretaapian
Sistem Loop Line
Menurut Novena dan Widiyanto (2011) sistem loop line ialah sistem dalam
perkeretaapian sehingga penumpang tidak hanya bergerak dari titik keberangkatan
ke titik tujuan tetapi berputar dahulu ke stasiun lain. Pada sistem ini, dikenal
adanya stasiun transit yang berfungsi sebagai tempat peralihan untuk melanjutkan
perjalanan menuju stasiun lain yang terletak pada rute yang berbeda. Misalkan
penumpang dari Bogor ingin menuju Stasiun Bekasi. Stasiun Bogor berada pada
Rute Bogor-Jakarta Kota, sedangkan Stasiun Bekasi berada pada Rute Jakarta
Kota-Bekasi. Penumpang tersebut terlebih dahulu harus naik kereta di Stasiun
Bogor yang melintasi Rute Jakarta Kota-Bogor lalu berhenti di Stasiun Manggarai
(stasiun transit). Dari Stasiun Manggarai, penumpang tersebut akan melanjutkan
perjalanan menggunakan kereta api yang melintasi Rute Jakarta Kota-Bekasi dan
turun di Stasiun Bekasi.
Setiap rute terdiri dari beberapa segmen. Segmen ialah jalan rel yang
menghubungkan suatu stasiun dengan stasiun berikutnya yang berdekatan.
Misalkan Stasiun Ancol berdekatan dengan Stasiun Tanjung Priok. Jadi segmen
ialah jalan rel yang menghubungkan Stasiun Ancol dan Stasiun Tanjung Priok.
Jalur Ganda
Menurut D’Ariano (2008) jalur ganda ialah dua jalur yang dapat digunakan
kereta api dengan arah yang sama atau berlawanan.
Perlintasan Sebidang dan Headway
Menurut Peraturan Direktur Jenderal Perhubungan Darat Nomor 770
tentang Pedoman Teknis Perlintasan Sebidang antara Jalan dengan Jalur Kereta
Api, perlintasan sebidang ialah perpotongan sebidang antara jalur kereta api
dengan jalan. Perlintasan sebidang membuat headway perjalanan kereta tidak bisa
diminimumkan. Headway ialah selang waktu keberangkatan antara satu kereta api
dengan kereta api berikutnya.
Integer Programming (IP)
Menurut Winston (2004) integer programming merupakan suatu
pemrograman linear yang sebagian atau semua variabel yang digunakan
merupakan integer taknegatif. Ada 3 jenis IP, yaitu:
1 Pure integer programming (PIP), jika suatu IP menggunakan semua variabel
yang berupa integer.
2 Mixed integer programming (MIP), jika suatu IP menggunakan sebagian saja
variabel yang integer.
3 0-1 IP, jika suatu IP menggunakan variabel 0 atau 1.
Pemrograman taklinear tidak jauh berbeda dengan pemrograman linear yang
terdiri atas fungsi objektif dan kendala umum. Perbedaannya adalah pemrograman
taklinear memiliki paling sedikit satu fungsi taklinear yang bisa menjadi fungsi
objektif atau kendalanya. Model pemrograman matematika taklinear dengan
variabel keputusannya berupa integer disebut model integer nonlinear
programming (INLP).
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Deskripsi Masalah
Rute kereta api membentuk jaringan yang terdiri dari stasiun dan jalur. Jalur
yang digunakan ialah jalur ganda untuk setiap rute. Setiap rute memiliki stasiun
awal keberangkatan dan stasiun akhir pemberhentian. Kereta berangkat dari
stasiun awal dan berhenti di setiap stasiun yang dilewatinya sampai di stasiun
akhir pemberhentian. Kereta tersebut akan kembali lagi menuju stasiun awal
keberangkatan. Arah kereta yang bergerak dari stasiun awal keberangkatan
menuju stasiun akhir pemberhentian dinamakan Arah 1, sedangkan Arah 2
merupakan arah kereta yang bergerak dari stasiun akhir pemberhentian menuju
stasiun awal keberangkatan. Setiap rute memiliki beberapa segmen yang
menghubungkan satu stasiun dengan satu stasiun berikutnya.
Pada jaringan kereta api dikenal adanya stasiun transit yang berfungsi
sebagai tempat peralihan untuk melanjutkan perjalanan menuju stasiun lain yang
terletak pada rute yang berbeda. Penumpang yang turun di stasiun transit ialah
penumpang transit dan penumpang yang tujuan akhirnya stasiun tersebut.
Penumpang transit akan melanjutkan perjalanan menggunakan kereta yang
berbeda menuju stasiun yang diinginkan, sedangkan penumpang yang turun di
suatu stasiun (kecuali stasiun transit) merupakan penumpang yang tujuan akhirnya
ialah stasiun tersebut.
Jaringan rel kereta api Jabodetabek memiliki 63 stasiun, 6 rute serta 5
stasiun transit yaitu Manggarai, Duri, Tanah Abang, Kampung Bandan, Jatinegara
(Kompas 2011). PT KCJ memiliki 454 unit gerbong kereta Commuter dan 188
unit gerbong Ekonomi. Setiap kereta Commuter dan setiap kereta Ekonomi terdiri
dari 8 gerbong. Berdasarkan keterangan dari PT KCJ, kapasitas untuk setiap
gerbong adalah 150 orang (60 orang duduk, 90 orang berdiri) sehingga kapasitas
kereta adalah 1200 orang.
Untuk membatasi permasalahan, maka digunakan beberapa asumsi, yaitu:
1
tidak ada kereta yang mengalami kerusakan,
2
kecepatan kereta konstan,
3
tidak ada gangguan di perjalanan,
4
perlintasan sebidang tidak diperhatikan,
5
jaringan rel kereta yang digunakan ialah jaringan rel Jabodetabek yang telah
disederhanakan dan kereta hanya berjalan di dalam jaringan rel tersebut,
6
jalur yang digunakan adalah jalur ganda,
7
hanya satu jenis kereta yang digunakan, yaitu Commuter,
8
banyaknya kereta yang tersedia selalu mencukupi kebutuhan,
9
hanya 20 stasiun yang dibahas dan hanya terdapat 3 stasiun transit, yaitu
Manggarai, Jatinegara, dan Tanah Abang,
10
stasiun-stasiun untuk setiap rute telah ditetapkan sehingga analisis hanya
dibatasi untuk pemilihan rute saja,
11
tempat penumpang yang disediakan di kereta harus lebih besar dari 90%
demand penumpang yang ada pada setiap segmen. Artinya kereta tidak
selalu terisi 100%, sehingga masih ada tempat yang disediakan untuk
mengantisipasi jika ada penambahan demand penumpang,
12
untuk menghindari terjadinya penumpukan penumpang, maka minimum
90% demand penumpang harus diangkut dari setiap stasiun asal ke setiap
stasiun tujuan.
Formulasi Masalah
Berdasarkan data dan analisis yang didapatkan, maka dapat dibuat formulasi
masalah tersebut ke dalam bentuk integer nonlinear programming (INLP). Bentuk
formulasi masalah tersebut ialah sebagai berikut.
Indeks
𝑖,𝑗 = stasiun; 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑁
𝑘 = rute; 𝑘 = 1,2, … , 𝐾
𝑣, u = arah; 𝑣, 𝑢 = 1,2
w = segmen;
𝑤 = 1,2, … , 𝐿
Parameter
𝑄
𝑖𝑗= demand penumpang dari stasiun asal i ke stasiun tujuan j
𝑆
𝑤= demand penumpang yang ingin melewati segmen w
𝑏𝑖𝑎𝑦𝑎
𝑘= biaya perjalanan pada rute
𝑘
𝐶
𝑘= biaya pemeliharaan rute
𝑘
kap = kapasitas satu kereta
𝑚𝑎𝑘𝑠
𝑘= maksimum frekuensi perjalanan pada rute
𝑘
M = bilangan positif yang nilainya relatif besar
Variabel Keputusan
𝐷
𝑖𝑗= realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j
𝑦
𝑤= banyaknya penumpang di kereta pada segmen w
𝐹
𝑘𝑣= frekuensi perjalanan kereta pada rute
𝑘 dan arah 𝑣
𝑓𝑟
𝑤= frekuensi perjalanan kereta pada segmen w
𝑓𝑟𝑒𝑞
𝑘= frekuensi perjalanan kereta pada rute k
x
k=
1, jika rute 𝑘 digunakan
0, selainnya
Himpunan
𝐴
𝑤= himpunan pasangan stasiun (i,j) yang melewati segmen w
𝐵
𝑤= himpunan pasangan rute k dan arah v, yaitu (k,v), yang melewati segmen
w
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan biaya operasional
dengan mengatur frekuensi perjalanan kereta api yang dikalikan dengan biaya
perjalanan untuk satu kali perjalanan pada setiap rute dan biaya pemeliharaan
pada setiap rute jika rute tersebut digunakan. Fungsi objektif masalah ini ialah:
Minimumkan (
2𝑣=1 𝐾𝑘=1𝑏𝑖𝑎𝑦𝑎
𝑘× 𝐹
𝑘𝑣+
𝐾𝑘=1𝐶
𝑘× 𝑥
𝑘)
Kendala
Kendala pada permasalahan ini ialah sebagai berikut :
1 Realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j minimal 90% dari demand.
90% 𝑄
𝑖𝑗≤ 𝐷
𝑖𝑗≤ 𝑄
𝑖𝑗, 𝑖 = 1,2, … , 𝑁, 𝑗 = 1,2, … , 𝑁.
2 Jumlah penumpang di kereta pada segmen w ialah akumulasi dari realisasi
demand yang terangkut dari setiap stasiun asal i ke setiap stasiun tujuan j.
𝑦
𝑤−
𝑁𝐷
𝑖𝑗𝑖=1 𝑁
𝑗 =1
= 0, (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴
𝑤, 𝑤 = 1,2, … , 𝐿.
3
Banyaknya penumpang di kereta pada segmen w merupakan minimum dari
demand penumpang yang ingin melewati segmen w dan total kapasitas
kereta.
𝑦
𝑤= min {𝑆
𝑤, (𝑘𝑎𝑝×𝑓𝑟
𝑤)} , 𝑤 = 1,2, … , 𝐿.
4
Banyaknya tempat yang disediakan untuk penumpang di kereta, harus lebih
besar atau sama dengan 90% demand penumpang yang ingin melewati
segmen w.
90% 𝑆
𝑤≤ 𝑘𝑎𝑝 × 𝑓𝑟
𝑤, 𝑤 = 1,2, … , 𝐿.
5
Jika terdapat perjalanan kereta pada suatu rute maka rute tersebut
digunakan.
𝐹
𝑘𝑣– M
𝑥
𝑘≤ 0,
𝑘 = 1,2, … , 𝐾, 𝑣 = 1,2.
6 Kereta harus bolak-balik sehingga frekuensi perjalanan kereta pada rute k
selalu sama untuk semua arah.
𝐹
𝑘𝑣− 𝐹
𝑘𝑢= 0, 𝑘 = 1,2, … , 𝐾, 𝑣 = 1,2, 𝑢 = 1,2, 𝑣 ≠ 𝑢.
7
Frekuensi perjalanan kereta untuk setiap rute tidak boleh melebihi frekuensi
perjalanan maksimum.
𝐹
𝑘𝑣≤ 𝑚𝑎𝑘𝑠
𝑘 2𝑣=1
, 𝑘 = 1,2, … , 𝐾.
8 Frekuensi perjalanan kereta untuk setiap rute ialah akumulasi perjalanan dari
semua arah.
𝐹
𝑘𝑣 29
Frekuensi perjalanan kereta pada segmen w ialah akumulasi dari semua
frekuensi perjalanan kereta pada rute 𝑘 dan arah v yang melewati segmen w.
𝑓𝑟
𝑤−
𝐾𝐹
𝑘𝑣𝑘=1 2
𝑣=1
= 0, (𝑘, 𝑣) ∈ 𝐵
𝑤, 𝑤 = 1,2, … , 𝐿.
10 Kendala ketaknegatifan memastikan bahwa:
Realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j, lebih besar atau sama dengan nol.
𝐷
𝑖𝑗≥ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑁, 𝑗 = 1,2, … , 𝑁.
Frekuensi perjalanan kereta pada rute k, lebih besar atau sama dengan nol.
𝑓𝑟𝑒𝑞
𝑘≥ 0, 𝑘 = 1,2, … , 𝐾.
Frekuensi perjalanan kereta pada segmen w, lebih besar atau sama dengan
nol.
𝑓𝑟
𝑤≥ 0 𝑤 = 1,2, … , 𝐿.
Frekuensi perjalanan kereta pada rute k dan arah v, lebih besar atau sama
dengan nol.
𝐹
𝑘𝑣≥ 0, 𝑘 = 1,2, … , 𝐾, 𝑣 = 1,2.
Jumlah penumpang di kereta pada segmen w harus lebih besar atau sama
dengan nol.
𝑦
𝑤≥ 0, 𝑤 = 1,2, … , 𝐿.
11 Kendala biner:
𝑥
𝑘∈{0,1}, 𝑘 = 1,2, … , 𝐾.
STUDI KASUS
Keterangan:
Gambar 2 Jaringan rel kereta
1
Jakarta Kota
2
Gambir
3
Manggarai
4
Tanjung Barat
5
Depok
6
Bogor
7
Jatinegara
8
Klender Baru
9
Bekasi
10 Pasar Senen
11 Ancol
12 Tanjung Priok
13 Sudirman
14 Tanah Abang
15 Serpong
16 Parung Panjang
17 Duri
18 Kali Deres
19 Tangerang
20 Rajawali
6
1
5
4
3
2
7
20
10
11
12
8
9
13
14
17
15
16
18
19
Misalkan jaringan rel kereta memiliki 20 stasiun dengan 38 segmen.
Gambar jaringan dapat dilihat pada Gambar 2. Angka di setiap simpul atau
verteks menyatakan stasiun. Lingkaran yang berwarna merah menyatakan stasiun
awal keberangkatan atau stasiun akhir pemberhentian. Misalkan Stasiun 1, 6, 9,
19, 20 ialah stasiun awal keberangkatan dan Stasiun 6, 9, 12, 16, 19, 20 ialah
stasiun akhir pemberhentian.
Jaringan tersebut memiliki 16 rute yang dapat dilihat di Tabel 1. Perjalanan
kereta dimulai dari stasiun awal keberangkatan sampai ke stasiun akhir
pemberhentian kemudian kembali ke stasiun awal keberangkatan untuk setiap
rutenya. Pada setiap rute, kereta harus berhenti di setiap stasiun yang ada pada
rute tersebut secara berurutan. Data biaya perjalanan untuk 1 kali perjalanan pada
setiap rute, data biaya pemeliharaan untuk setiap rute, data maksimum perjalanan
kereta yang dapat dilakukan untuk setiap rute merupakan data hipotetik yang
terdapat pada Tabel 1. Kereta beroperasi pada pukul 05:00-22:00 yaitu selama 17
jam (1020 menit). Maksimum perjalanan untuk setiap rute ialah lama kereta
beroperasi dibagi headway (6 menit) yaitu 170.
Tabel 1 Rute
Rute
Stasiun yang dilewati
Biaya 1 kali
perjalanan
(dalam ribu
rupiah)
Biaya
pemeliharaan
(dalam ribu
rupiah)
Maksimum
perjalanan
1
1,2,3,4,5,6
9.766
55.000
170
2
1,2,3,13,14,15,16
9.615
54.000
170
3
1,2,3,13,14,17,18,19
10.233
57.000
170
4
1,2,3,7,8,9
6.838
38.000
170
5
1,2,3,7,10,20
6.569
37.000
170
6
1,11,12
2.340
13.000
170
7
6,5,4,3,13,14,17,18,19
15.992
90.000
170
8
6,5,4,3,13,14,15,16
15.374
86.000
170
9
6,5,4,3,7,10,20
12.327
69.000
170
10
6,5,4,3,7,8,9
12.596
70.000
170
11
9,8,7,10,20
6.589
37.000
170
12
9,8,7,3,13,14,15,16
12.153
68.000
170
13
9,8,7,3,13,14,17,18,19
12.876
72.000
170
14
20,10,7,3,13,14,15,16
11.849
66.000
170
15
20,10,7,3,13,14,17,18,19
12.606
70.000
170
16
19,18,17,14,15,16
11.442
64.000
170
Setiap segmen dilewati oleh kereta yang bergerak melalui rute yang berbeda
pada arah tertentu. Dalam jaringan rel kereta ini terdapat 38 segmen seperti
terlihat pada Gambar 3.
Penumpang di dalam kereta yang melewati suatu segmen, merupakan
penumpang yang stasiun asalnya berada sebelum segmen tersebut dan stasiun
tujuannya berada setelah segmen tersebut. Demand penumpang yang ingin
melewati Segmen 1 diperoleh dengan cara menjumlahkan demand penumpang
dari Stasiun asal 12, 11, 1 dan stasiun tujuannya adalah semua stasiun yang ada
pada jaringan kereta (kecuali Stasiun 12, 11, 1). Penghitungan demand
penumpang yang ingin melewati segmen-segmen lain diperoleh dengan cara yang
sama.
Gambar 3 Segmen
Formulasi Model Matematika
Dalam studi kasus ini terdapat 20 stasiun, 38 segmen, serta 16 rute dan
kapasitas kereta adalah 1200 orang.
Indeks
𝑖,𝑗 = stasiun; 𝑖, 𝑗 = 1,2, … ,20
𝑘 = rute; 𝑘 = 1,2, … ,16
𝑣, u = arah; 𝑣, 𝑢 = 1,2
w = segmen;
𝑤 = 1,2, … ,38
Parameter
𝑄
𝑖𝑗= demand penumpang dari stasiun asal i ke stasiun tujuan j
𝑆
𝑤= demand penumpang yang ingin melewati segmen w
𝑏𝑖𝑎𝑦𝑎
𝑘= biaya perjalanan pada rute
𝑘
𝐶
𝑘= biaya pemeliharaan rute
𝑘
kap = kapasitas satu kereta
𝑚𝑎𝑘𝑠
𝑘= maksimum frekuensi perjalanan pada rute 𝑘
𝑀 = bilangan positif yang nilainya relatif besar dalam kasus ini, M =100000
Variabel Keputusan
𝐷
𝑖𝑗= realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j
𝑦
𝑤= banyaknya penumpang di kereta pada segmen w
𝐹
𝑘𝑣= frekuensi perjalanan kereta pada rute 𝑘 dan arah v
𝑓𝑟
𝑤= frekuensi perjalanan kereta pada segmen w
𝑓𝑟𝑒𝑞
𝑘= frekuensi perjalanan kereta pada rute k
x
k=
1, jika rute 𝑘 digunakan
0, selainnya
Himpunan
𝐴
𝑤= himpunan pasangan stasiun (i,j) yang melewati segmen w
𝐵
𝑤= himpunan pasangan rute k dan arah v, yaitu (k,v), yang melewati segmen
w
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan biaya operasional
dengan mengatur frekuensi perjalanan kereta api yang dikalikan dengan biaya
perjalanan untuk satu kali perjalanan pada setiap rute dan biaya pemeliharaan
pada setiap rute jika rute tersebut digunakan. Fungsi objektif masalah ini ialah:
Minimum (
2𝑣=1 16𝑘=1𝑏𝑖𝑎𝑦𝑎
𝑘× 𝐹
𝑘𝑣+
16𝑘=1𝐶
𝑘× 𝑥
𝑘)
Kendala
Kendala pada permasalahan ini ialah sebagai berikut :
1
Realisasi demand penumpang yang terangkut dari stasiun asal i ke stasiun
tujuan j minimal 90% dari demand.
90% 𝑄
𝑖𝑗≤ 𝐷
𝑖𝑗≤ 𝑄
𝑖𝑗, 𝑖 = 1,2, … ,20, 𝑗 = 1,2, … ,20.
2
Jumlah penumpang di kereta pada segmen w ialah akumulasi dari realisasi
demand yang terangkut dari setiap stasiun asal i ke setiap stasiun tujuan j.
𝑦
𝑤−
20𝐷
𝑖𝑗𝑖=1 20
𝑗 =1
= 0, (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴
𝑤, 𝑤 = 1,2, … ,38.
3
Banyaknya penumpang di kereta pada segmen w merupakan minimum dari
demand penumpang yang ingin melewati segmen w dan total kapasitas
kereta.
𝑦
𝑤=min {𝑆
𝑤, (𝑘𝑎𝑝×𝑓𝑟
𝑤)} , 𝑤 = 1,2, … ,38.
4
Banyaknya tempat yang disediakan untuk penumpang di kereta, harus lebih
besar atau sama dengan 90% demand penumpang yang ingin melewati
segmen w.
90% 𝑆
𝑤≤ 𝑘𝑎𝑝 × 𝑓𝑟
𝑤, 𝑤 = 1,2, … ,38.
5
Jika terdapat perjalanan kereta pada suatu rute maka rute tersebut
digunakan.
𝐹
𝑘𝑣– M
𝑥
𝑘≤ 0,
𝐾 = 1,2, … ,16, 𝑣 = 1,2.
6
Kereta harus bolak-balik sehingga frekuensi perjalanan kereta pada rute k
selalu sama untuk semua arah.
𝐹
𝑘𝑣− 𝐹
𝑘𝑢= 0, 𝑘 = 1,2, … ,16, 𝑣 = 1,2 𝑢 = 1,2, 𝑣 ≠ 𝑢.
7
Frekuensi perjalanan kereta untuk setiap rute tidak boleh melebihi frekuensi
perjalanan maksimum.
𝐹
𝑘𝑣 2𝑣=1
≤ 𝑚𝑎𝑘𝑠
𝑘, 𝑘 = 1,2, … ,16.
8
Frekuensi perjalanan kereta untuk setiap rute ialah akumulasi perjalanan
dari semua arah.
𝐹
𝑘𝑣 2𝑣=1
− 𝑓𝑟𝑒𝑞
𝑘= 0, 𝑘 = 1,2, … ,16.
9
Frekuensi perjalanan kereta pada segmen w ialah akumulasi dari semua
frekuensi perjalanan kereta pada rute 𝑘 dan arah v yang melewati segmen w.
𝑓𝑟
𝑤−
16𝐹
𝑘𝑣𝑘=1 2
