commit to user
ESTIMASI RASIO MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI DAN KORELASI PADA PRODUKSI KACANG TANAH DI PROVINSI
JAWA TENGAH
Ramadhani Kusuma Putra, Isnandar Slamet, dan Mania Roswitha
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Surakarta
Abstrak. Estimasi rasio adalah salah satu metode yang efisien untuk mengestimasi rata-rata populasi. Estimasi rasio akan baik digunakan jika korelasi dari variabel bantu dan variabel penelitian bernilai positif. Variabel bantu yang digunakan pada penelitian ini dimodifikasi dengan menambahkan koefisien regresi dan korelasi. Penambahan ko-efisien regresi dan korelasi bertujuan untuk meningkatkan ketelitian dari hasil estimasi sehingga rata-rata kuadrat sesatan yang dihasilkan akan menjadi lebih kecil. Peneliti-an ini bertujuPeneliti-an untuk mengkaji ulPeneliti-ang estimasi rasio menggunakPeneliti-an koefisien regresi dPeneliti-an korelasi serta menurunkan rata-rata kuadrat sesatan dari estimasi tersebut dengan meng-gunakan pendekatan deret Taylor. Selanjutnya, estimasi rasio ini akan dimeng-gunakan untuk mengestimasi produksi total kacang tanah di Provinsi Jawa Tengah. Metode pengambil-an sampel produksi kacpengambil-ang tpengambil-anah di Provinsi Jawa Tengah tahun 2013 ypengambil-ang digunakpengambil-an adalah metode pengambilan sampel acak sederhana. Hasil estimasi yang didapatkan de-ngan estimasi rasio ini adalah sebesar 277.402,816 ton.
Kata Kunci : estimasi rasio, rata-rata kuadrat sesatan, sampel acak sederhana, kacang
tanah
1. Pendahuluan
Kacang tanah merupakan salah satu komoditi tanaman pangan yang memiliki prospek sangat baik, meningkatnya permintaan seiring dengan banyaknya produk-produk makanan yang menjadikan kacang tanah sebagai bahan baku membuat ke-tersediaan kacang tanah menjadi hal yang penting (Makmur [5]). Besarnya peluang untuk meningkatkan produksi kacang tanah juga dikarenakan tingginya permintaan utama dunia yaitu dari Amerika, China dan Argentina, maupun permintaan dalam negeri yang sangat baik, untuk itu diperlukan produksi dalam skala besar. Kacang tanah yang bernama latin Arachis hypogaea merupakan tanaman polong-polongan yang mengandung zat-zat yang penting bagi kesehatan tubuh. Kacang tanah kaya akan lemak, memiliki kandungan protein yang tinggi bahkan jauh lebih tinggi dari protein pada daging, telur dan kacang soya serta berbagai vitamin dan zat besi. Dengan keunggulan-keunggulan yang dimiliki, sangat memungkinkan untuk kacang tanah bisa diproduksi secara luas di berbagai daerah di Provinsi Jawa Tengah yang memiliki karakter tanah dan cuaca yang beragam.
Dalam melakukan produksi berskala besar, informasi digunakan sebagai acu-an dalam hal pengambilacu-an keputusacu-an. Salah satu cabacu-ang ilmu matematika yacu-ang
commit to user
dapat digunakan untuk menganalisis data menjadi sebuah informasi adalah statis-tika. Secara luas, statistika dapat diartikan sebagai ilmu yang mempelajari ten-tang mengumpulkan, menganalisis, menyajikan dan mengambil keputusan (Supran-to [11]). Adanya data memungkinkan untuk mengetahui berbagai macam informasi, namun penyajiannya juga harus secara tepat agar memiliki arti yang mudah dipaha-mi oleh setiap orang sehingga statistika yang medipaha-miliki peran untuk membantu dalam pengambilan keputusan dapat diterapkan dalam semua bidang ilmu dan kehidupan manusia.
Pengumpulan data dibagi dalam dua cara yaitu sensus dan survei. Sensus adalah cara pengumpulan data dimana seluruh elemen populasi diselidiki satu per satu. Data yang diperoleh dari hasil sensus disebut data sebenarnya (true value). Sedangkan survei adalah cara pengumpulan data dimana yang diselidiki adalah ele-men dari suatu populasi yang disebut sampel. Data yang diperoleh dari hasil survei merupakan nilai perkiraan dan diharapkan dapat mewakili populasi (estimate va-lue) (Supranto [11]). Dibandingkan dengan sensus, pengumpulan data dengan cara survei membutuhkan biaya yang lebih sedikit, waktu yang lebih singkat dan tenaga yang lebih ringan.
Pada dasarnya metode pengambilan sampel dibagi menjadi dua, yaitu pe-ngambilan sampel secara acak (probability sampling ) dan pepe-ngambilan sampel yang ditentukan (non probability sampel ). Pengambilan sampel secara acak sendiri meli-puti acak sederhana, acak stratifikasi dan kluster sederhana (Cochran [3]). Dalam penelitian ini digunakan pengambilan sampel acak sederhana karena merupakan dasar dari metode pengambilan sampel lainnya. Pada pengambilan sampel acak sederhana setiap unsur dari populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk di-pilih sebagai anggota sampel. Pengambilan sampel bertujuan menganalisis empat karakteristik dari populasi yaitu rata-rata populasi, populasi total, proporsi dan rasio. Rasio adalah perbandingan dari rata-rata atau total dari dua variabel. Me-nurut Subramani dan Kumarapandiyan [10], ketika variabel penelitian berkorelasi positif dengan variabel bantu, estimasi rasio dapat meningkatkan ketelitian apabila digunakan untuk mengestimasi rata-rata populasi.
Pengembangan estimasi rasio telah banyak dilakukan dengan modifikasi yang sesuai dengan estimasi rasio yang ditemukan pertama kali oleh Cochran [3]. Ray dan Singh [8] mengembangkan estimasi rasio dengan menambahkan koefisien regre-si, Singh dan Taylor [9] memodifikasi estimasi rasio menggunakan koefisien korelaregre-si,
commit to user
kemudian Kadilar dan Cingi [4] melakukan penggabungan dari estimasi rasio meng-gunakan koefisien regresi dan korelasi.
Pada penelitian sebelumnya, Purnomosari [7] telah mengkaji ulang estima-si raestima-sio menggunakan koefiestima-sien variaestima-si variabel bantu dan regreestima-si robust pada pe-ngambilan sampel acak sederhana. Penelitian ini menggunakan regresi robust untuk mengurangi dampak negatif dari adanya outlier pada data. Outlier adalah titik-titik data yang mempunyai sesatan besar (Chatterjee [2]), adanya outlier berpotensi memunculkan permasalahan salah satunya adalah sesatan menjadi besar. Penelitian lainnya mengenai estimasi rasio dilakukan oleh Trisnawati [12], estimasi rasio yang digunakan dimodifikasi dengan menambahkan koefisien regresi dan koefisien kurto-sis yang selanjutnya diterapkan untuk mengestimasi luas lahan kritis total di Pulau Jawa. Penelitian mengenai kacang tanah pernah dilakukan sebelumnya oleh Ma-sese [6], pada penelitiannya MaMa-sese menganalisis faktor-faktor yang mempengaruhi produksi kacang tanah dengan menggunakan analisis fungsi Cobb-Douglas.
Penelitian ini mengkaji ulang estimasi rasio menggunakan koefisien regresi dan korelasi pada pengambilan sampel acak sederhana. Estimasi ini kemudian diterap-kan pada produksi kacang tanah di Provinsi Jawa Tengah tahun 2013. Berdasarditerap-kan data dari Badan Pusat Statistik [1], Provinsi Jawa Tengah merupakan salah satu penghasil kacang tanah yang cukup besar di Indonesia, sehingga informasi mengenai produksi kacang tanah dinilai cukup penting.
2. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penlitian ini adalah studi literatur beserta pe-nerapannya. Dalam studi literatur dilakukan penurunan ulang rata-rata kuadrat sesatan dari estimasi rasio menggunakan koefisien regresi dan korelasi. Setelah dila-kukan studi literatur, selanjutnya estimasi rasio ini diterapkan pada produksi total kacang tanah di Provinsi Jawa Tengah pada tahun 2013. Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diambil dari Badan Pusat Statistik [1]. Populasi yang diguna-kan adalah seluruh kecamatan penghasil kacang tanah di Provinsi Jawa Tengah yang berjumlah 119 kecamatan. Alasan digunakannya kecamatan sebagai populasi ada-lah penyebaran data dari tiap-tiap kecamatan akan lebih merata jika dibandingkan dengan data dari tiap-tiap kabupaten. Dari populasi yang sudah ditentukan, dila-kukan pengambilan sampel dengan metode acak sederhana. Setelah mendapatkan ukuran sampel yang sesuai, kemudian dihitung estimasi rata-rata produksi kacang
commit to user
tanah di Provinsi Jawa Tengah dan dihitung rata-rata kuadrat sesatan dari estimasi rasio menggunakan koefisien regresi dan korelasi.
3. Hasil dan Pembahasan
Kadilar dan Cingi [4] mengusulkan estimasi rasio menggunakan koefisien re-gresi dan korelasi untuk mengestimasi rata-rata populasi variabel penelitian Y pada pengambilan sampel acak sederhana. Estimasi ini dirumuskan sebagai berikut
¯ ypr = ¯ y + b( ¯X− ¯x) ¯ x + ρ ( ¯X + ρ) = ˆRpr ¯ Xpr, (3.1)
dengan ¯y adalah rata-rata sampel variabel penelitian, ρ korelasi variabel bantu dan variabel penelitian, b koefisien regresi, ¯x rata-rata sampel variabel bantu, ¯X rata-rata populasi variabel bantu.
Estimasi pada persamaan (3.1) mempunyai rata-rata kuadrat sesatan yang diperoleh dengan menurunkan persamaan tersebut menggunakan pendekatan deret Taylor [13] dengan f ( ¯X, ¯Y ) = Rpr dan f (¯x, ¯y) = ˆRpr sehingga diperoleh
Rpr ≈ ˆRpr+ ( ∂ ∂ ¯x[ ¯ y + b( ¯X− ¯x) ¯ x + ρ ]| ¯X, ¯Y )(¯x− ¯X) + ( ∂ ∂ ¯y[ ¯ y + b( ¯X− ¯x) ¯ x + ρ ]| ¯X, ¯Y ) (¯y− ¯Y ) ˆ Rpr− Rpr = ( − ¯Y − b ¯X− b ¯X + b ¯X− bρ ( ¯X + ρ)2 )(¯x− ¯X) + ¯ y− ¯Y ¯ X + ρ) = −(Y + b( ¯¯ X + ρ) ( ¯X + ρ)2 )(¯x− ¯X) + ¯ y− ¯Y ¯ X + ρ),
dengan ˆRpr − Rpr adalah sesatan dari estimasi rasio menggunakan koefisien regresi
dan korelasi, sehingga kuadrat sesatannya menjadi
( ˆRpr − Rpr)2 = (−( ¯ Y + b( ¯X + ρ) ( ¯X + ρ)2 )(¯x− ¯X) + ¯ y− ¯Y ¯ X + ρ) 2 = (Y + b( ¯¯ X + ρ) ( ¯X + ρ+)2 ) 2(¯x− ¯X)2− 2(Y + b( ¯¯ X + ρ) ( ¯X + ρ)3 )(¯x− ¯X)(¯y− ¯Y ) +(y¯¯− ¯Y X + ρ) 2 .
commit to user
Dengan menggunakan sifat harga harapan matematis maka rata-rata kuadrat sesatannya adalah sebagai berikut
E[( ˆRpr− Rpr)2] = E[( ¯ Y + b( ¯X + ρ) ( ¯X + ρ)2 ) 2 (¯x− ¯X)2− 2( ¯ Y + b( ¯X + ρ ( ¯X + ρ)3 ) (¯x− ¯X)(¯y− ¯Y )] + (y¯¯− ¯Y X + ρ) 2 = (Y + β( ¯¯ X + ρ) ( ¯X + ρ)2 ) 2S2 ¯ x− 2( ¯ Y + β( ¯X + ρ) ( ¯X + ρ)3 )S¯x¯y+ S2 ¯ y ( ¯X + ρ)2.
Berdasarkan persamaan (3.1) ¯ypr = ˆRprX¯pr, dengan demikian rata-rata
kua-drat sesatan dari estimasi rasio menggunakan koefisien korelasi adalah sebagai ber-ikut RKS(¯ypr) = ( ¯X + ρ)2E[( ˆRpr− Rpr)2] = ( ¯X + ρ)2(( ¯ Y + β( ¯X + ρ) ( ¯X + ρ)2 ) 2S2 ¯ x− 2( ¯ Y + β( ¯X + ρ) ( ¯X + ρ)3 )S¯x¯y) + S 2 ¯ y ( ¯X + ρ)2 = ( ¯Y + β( ¯X + ρ)) 2 ( ¯X + ρ)2 S 2 ¯ x − 2( ¯ Y + β( ¯X + ρ) ¯ X + ρ )Sx¯¯y + S 2 ¯ y = 1− f n ( ( ¯Y + β( ¯X + ρ))2 ( ¯X + ρ)2 S 2 X − 2( ¯ Y + β( ¯X + ρ) ¯ X + ρ )SXY + S 2 Y) = 1− f n (( ¯ Y ¯ X + ρ) 2+ 2β Y¯ ¯ X + ρ + β 2)S2 X − 2( ¯ Y ¯ X + ρ + β)SXY + S 2 Y) = 1− f n ((R 2 pr+ 2βRpr+ β2)SX2 − 2(Rpr+ β)SXY + SY2) = 1− f n (R 2 prS 2 X − ρ 2S2 Y + S 2 Y) = 1− f n (R 2 prS 2 X + S 2 Y[1− ρ 2]).
Setelah dilakukan penurunan persamaan (3.1), terbukti bahwa rata-rata kua-drat sesatan dari estimasi rasio menggunakan koefisien regresi dan korelasi adalah sebagai berikut RKS(¯ypr)≈ 1− f n (R 2 prS 2 X + S 2 Y[1− ρ 2 ]), dengan f = Nn, N adalah ukuran populasi, n ukuran sampel, S2
X variansi variabel
bantu dan S2
Y variansi variabel penelitian.
Estimasi rasio menggunakan koefisien regresi dan korelasi diterapkan untuk mengestimasi produksi total kacang tanah di Provinsi Jawa Tengah pada tahun 2013 menggunakan sampel acak sederhana. Pada pengambilan sampel acak sederhana,
commit to user
menurut Yamane [14] ukuran sampel yang digunakan ditentukan dari n = n0 1 + n0 N , (3.2) dengan n0 = z2sˆ2 d d2x¯ dan ˆ Sd2 = ∑n′ i=1(xi− rxi) 2 n′− 1 ,
dengan N adalah ukuran populasi, n ukuran sampel, n0 ukuran sampel dengan
pengembalian, n′ ukuran sampel awal, z reliabilitas, d ketelitian, ˆs2
d variansi dari d,
r rasio sampel. Untuk menentukan ukuran sampel yang digunakan, diambil sampel awal n′ = 50 dan reliabilitas z = 1, 96 dengan ketelitian yang berbeda beda yaitu 0,20; 0,22 dan 0,25. Ukuran sampel ditentukan dengan persamaan (3.2) sehingga diperoleh Tabel 1 sebagai berikut
Tabel 1. Ukuran Sampel
Ketelitian Ukuran Sampel
0, 25 28
0, 22 35
0, 20 41
Berdasarkan ukuran sampel pada Tabel 1, selanjutnya dihitung nilai estimasi produksi total kacang tanah di Provinsi Jawa Tengah dengan sampel yang diam-bil secara acak sederhana sehingga diperoleh ringkasan data seperti pada Tabel 2 berikut
Tabel 2. Hasil Estimasi
Ukuran Sampel Produksi
(n) Total RKSˆ
28 317.515, 246 38.032, 54 35 294.127, 373 29.180, 52 41 277.402, 816 23.998, 85
Hasil simulasi pengambilan sampel data produksi kacang tanah di Provinsi Jawa Tengah dengan n = 41, 35, 28 menunjukan bahwa semakin besar sampel yang digunakan nilai estimasinya memiliki rata-rata kuadrat sesatan yang paling kecil. Dari data pada Tabel 2 dapat disimpulkan bahwa semakin besar sampel yang diambil maka hasil estimasinya akan semakin baik. Pada penelitian ini ukuran sampel 41 digunakan karena memiliki rata-rata kuadrat sesatan yang lebih baik dan dinilai sudah cukup untuk mewakili populasi yang berjumlah 199 kecamatan. Dari hasil
commit to user
perhitungan dapat disimpulkan bahwa produksi total kacang tanah di Provinsi Jawa Tengah adalah sebesar 277.402,816 ton untuk keseluruhan area produksi kacang tanah di Provinsi Jawa Tengah.
4. Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan dapat diambil kesimpulkan sebagai berikut. (1) Estimasi rasio menggunakan koefisien regresi dan korelasi dirumuskan
seba-gai ¯ ypr = ¯ y + b( ¯X− ¯x) ¯ x + ρ ( ¯X + ρ), dengan rata-rata kuadrat sesatan
RKS(¯ypr)≈ 1− f n (R 2 prS 2 X + S 2 Y[1− ρ 2 ]).
(2) Hasil estimasi produksi total kacang tanah di Provinsi Jawa Tengah tahun 2013 dengan ukuran sampel 41 adalah 277.402,816 ton.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Badan Pusat Statistika. Kabupaten Dalam Angka 2014. www.bps.go.id, diakses pada 11 Januari 2015.
[2] Chatterjee, S. and B. Price. Regression Analysis by Example. John Wiley, New York, 2 edition, 1991.
[3] Cochran, W. G. Sampling Techniques. John Wiley and Sons, New York, 1977.
[4] Kadilar, C. and H. Cingi. New Ratio Estimators using Correlation Coefficient. Inter Stat, pages 1–11, 2006.
[5] Makmur, G.S. Tanaman Pangan. 2011. Diakses dari http://duniatanaman.com/tanaman-pangan.html. 29 Oktober 2014 pukul 20.50.
[6] Masese, Z. Analisis Produksi dan Pendapatan Usahatani Kacang Tanah di Desa Pondan Keca-matan Lamala Kabupaten Banggai. Fakultas Pertanian, Universitas Tompotika, Luwuk, 2011. [7] Purnomosari, I. Estimasi Rasio pada pengambilan Sampel Acak Sederhana Menggunakan Ko-efisien Variasi Variabel Bantu dan Regresi Robust. Skripsi, Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2014.
[8] Ray, S.K. and R.K. Singh. Difference Cum Ratio Type Estimators. Journal of Indian Statis-tical Association, 19:147–151, 1981.
[9] Singh, H.P. and R. Tailor. Use of Known Correlation Coefficient in Estimating the Finite Population Mean. Statistics in Transition, 6:555–560, 2003.
[10] Subramani, J. and G. Kumarapandiyan. A Class of Almost Unbiased Modified Rasio Estima-tors for Population Mean with Known Population Parameters. Elixir Statistics, 44:7411–7415, 2012.
[11] Supranto, J. Statistik Teori dan Aplikasi. Erlangga, Jakarta, 1 edition, 2000.
[12] Trisnawati, I. Penduga Rasio Menggunakan Koefisien Regresi dan Kurtosis pada Luas La-han Kritis Di Pulau Jawa. Skripsi, Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2014.
[13] Wolter, K.M. Introduction To V Variance Estimation. Springer-Verlag, New York, 1985. [14] Yamane, T. Elementary Sampling Theory. Pretice-Hall, New Jersey, 1967.
