Teori Himpunan Elementer

(1)

Teori Himpunan Elementer

Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016

MZI

Fakultas Informatika Telkom University

FIF Tel-U

(2)

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:

1 Discrete Mathematics and Its Applications, Edisi 7, 2012,olehK. H. Rosen

(acuan utama).

2 _{Discrete Mathematics with Applications , Edisi 4, 2010,}_oleh _{S. S. Epp}_. 3 Mathematics for Computer Science. MIT, 2010, olehE. Lehman, F. T.

Leighton, A. R. Meyer.

4 Slide kuliah Matematika Diskret 1 (2012) di Fasilkom UI oleh B. H. Widjaja. 5 _{Slide kuliah Matematika Diskrit di Telkom University oleh B. Purnama.}

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke<pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.

(3)

Bahasan

1 Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan

3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian

5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan

7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi

(4)

Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan

Bahasan

1 Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan

2 Beberapa Himpunan Bilangan

3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn

4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian

5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa

6 Operasi Himpunan

7 Produk Kartesius

8 Prinsip Inklusi-Eksklusi

9 Partisi Himpunan

(5)

De…nisi dan Notasi Himpunan

Himpunan merupakan objek matematika yang sangat penting dan digunakan pada seluruh kajian matematika dan ilmu komputer modern.

De…nisi

Sebuah himpunan adalah kumpulan objek-objekberbedayangtak terurut.

Objek-objek dalam himpunan tersebut disebut sebagaielemen, anggota,atau

unsurhimpunan. Dalam hal ini, himpunan tersebut dikatakanmemuatatau

mengandungelemen-elemennya. Dari de…nisi himpunan:

Duplikasi elemen dalam suatu himpunan tidak diperhatikan. Urutan kemunculan elemen tidak diperhatikan.

(6)

De…nisi dan Notasi Himpunan

De…nisi

Duplikasi elemen dalam suatu himpunan tidak diperhatikan.

(7)

De…nisi dan Notasi Himpunan

De…nisi

Duplikasi elemen dalam suatu himpunan tidak diperhatikan. Urutan kemunculan elemen tidak diperhatikan.

(8)

Notasi Himpunan

Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital: A; B; C; : : : ; X; Y; Z, atau dengan indeks jika perlu, seperti: A1; A2; : : : ; X1; X2; : : :.

Anggota himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil: a; b; c; : : : x; y; z, atau dengan indeks jika perlu, seperti: a1; a2; : : : ; x1; x2; : : :.

Notasi_{x 2 A}menyatakan bahwaxadalah anggota A,atau dengan perkataan lainAmemuat x.

Notasi_{x 62 A}menyatakan bahwaxbukan anggota A,atau dengan perkataan lainAtidak memuat x.

Notasi_{; atau ?}atau _fgmenyatakanhimpunan kosong/ himpunan hampa, yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota.

Dengan demikian proposisi matematika_{x 2 ; selalu bernilai F}dan proposisi matematika_{x 62 ; selalu bernilai T.}

(9)

Contoh Himpunan

Contoh

Misalkan

A = fsemar; gareng; petruk; bagongg, B = f inn; 10;p3

2; rey , C = f9; f9g ; ff9ggg. Kita memiliki:

semar 2 A, gareng 2 A, arjuna 62 A, f inn 2 B, han 62 B, luke 62 B,

(10)

Contoh Himpunan

Contoh

Misalkan

semar 2 A, gareng 2 A, arjuna 62 A,

f inn 2 B, han 62 B, luke 62 B,

(11)

Contoh Himpunan

Contoh

Misalkan

(12)

Contoh Himpunan

Contoh

Misalkan

(13)

Contoh

Kita memiliki:

himpunan empat bilangan prima positif pertama:

f2; 3; 5; 7g, himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: f1; 3; 5; 7; 9g, himpunan 100 bilangan genap positif pertama: f2; 4; 6; : : : ; 200g, himpunan bilangan bulat: f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g.

(14)

Contoh

Kita memiliki:

himpunan empat bilangan prima positif pertama: f2; 3; 5; 7g, himpunan lima bilangan ganjil positif pertama:

f1; 3; 5; 7; 9g, himpunan 100 bilangan genap positif pertama: f2; 4; 6; : : : ; 200g, himpunan bilangan bulat: f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g.

(15)

Contoh

Kita memiliki:

himpunan empat bilangan prima positif pertama: f2; 3; 5; 7g, himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: f1; 3; 5; 7; 9g, himpunan 100 bilangan genap positif pertama:

f2; 4; 6; : : : ; 200g, himpunan bilangan bulat: f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g.

(16)

Contoh

Kita memiliki:

himpunan empat bilangan prima positif pertama: f2; 3; 5; 7g, himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: f1; 3; 5; 7; 9g, himpunan 100 bilangan genap positif pertama: f2; 4; 6; : : : ; 200g, himpunan bilangan bulat:

(17)

Contoh

Kita memiliki:

himpunan empat bilangan prima positif pertama: f2; 3; 5; 7g, himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: f1; 3; 5; 7; 9g, himpunan 100 bilangan genap positif pertama: f2; 4; 6; : : : ; 200g, himpunan bilangan bulat: f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g.

(18)

Contoh

Misalkan A1= fa; bg, A2= fa; fa; bgg, A3= fb; fa; fa; bggg. Kita memiliki:

1 _A

1 memuat dua anggota,

yaitu a dan b,

2 A

2 memuat dua anggota, yaitu a dan fa; bg,

3 _A

3 memuat dua anggota, yaitu b dan fa; fa; bgg.

Akibatnya: 1 a 2 A 1, b 2 A1, 2 _{a 2 A} 2, A12 A2, b 62 A2, 3 b 2 A 3, A22 A3, a 62 A3, A162 A3.

Contoh tersebut memperlihatkan bahwa sebuah himpunan bisa jadi merupakan anggota dari himpunan lain. Anggota himpunan juga dapat berupa himpunan.

(19)

Contoh

1 _A

1 memuat dua anggota, yaitu a dan b,

2 A

yaitu a dan fa; bg,

3 _A

(20)

Contoh

1 _A

2 A

3 _A

yaitu b dan fa; fa; bgg. Akibatnya: 1 a 2 A 1, b 2 A1, 2 _{a 2 A} 2, A12 A2, b 62 A2, 3 b 2 A 3, A22 A3, a 62 A3, A162 A3.

(21)

Contoh

1 _A

2 A

3 _A

(22)

Contoh

1 _A

2 A

3 _A

(23)

Contoh

1 _A

2 A

3 _A

(24)

Contoh

1 _A

2 A

3 _A

(25)

Cara Mende…nisikan dan Menulis Himpunan

Himpunan dapat direpresentasikan dengan:

1 menggunakan daftar:

1 A = fx1; x2; : : : ; xnguntuk himpunan dengan berhingga banyaknya anggota;

2 A = fx1; x2; : : :guntuk himpunan dengan tak berhingga banyaknya anggota. Tanda “. . . ” digunakan untuk menunjukkan bahwa pola untuk anggota himpunan tersebut sudah jelas.

2 menggunakan notasi pembangun himpunan (set builder notation) dengan

suatu predikat tertentu

1 A = fx j P (x)gatauA = fx : P (x)g

2 A = fx 2 S j P (x)gatauA = fx 2 S : P (x)g,dalam hal ini S adalah

himpunan lain dalam konteks pembicaraan yang membatasi elemen-elemen dari himpunan yang dinotasikan.

3 Kadang-kadang S berupahimpunan universalatauhimpunan semesta

(26)

Contoh Notasi Pembentuk Himpunan

Contoh

Misalkan:

1 A = fw j w bilangan bulat positif yang kurang dari 10g,

2 _{B = fx j P (x) g dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30,} 3 C = fy j P (y)g dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi

10,

4 _{D = fz j z faktor prima positif dari 12g.}

Maka: 1 A = f1; 2; 3; : : : ; 8; 9g, 2 _{B = f21; 23; 25; 27; 29g,} 3 C = f1; 2; 5; 10g, 4 _{D = f2; 3g.}

(27)

Contoh Notasi Pembentuk Himpunan

Contoh

Misalkan:

10,

Maka: 1 A = f1; 2; 3; : : : ; 8; 9g, 2 _{B =} f21; 23; 25; 27; 29g, 3 C = f1; 2; 5; 10g, 4 _{D = f2; 3g.}

(28)

Contoh Notasi Pembentuk Himpunan

Contoh

Misalkan:

10,

Maka: 1 A = f1; 2; 3; : : : ; 8; 9g, 2 _{B = f21; 23; 25; 27; 29g,} 3 C = f1; 2; 5; 10g, 4 _{D = f2; 3g.}

(29)

Contoh Notasi Pembentuk Himpunan

Contoh

Misalkan:

10,

Maka:

1 A = f1; 2; 3; : : : ; 8; 9g, 2 _{B = f21; 23; 25; 27; 29g,}

(30)

Contoh Notasi Pembentuk Himpunan

Contoh

Misalkan:

10,

Maka:

1 A = f1; 2; 3; : : : ; 8; 9g, 2 _{B = f21; 23; 25; 27; 29g,} 3 C = f1; 2; 5; 10g, 4 _{D = f2; 3g.}

(31)

Beberapa Himpunan Bilangan

Bahasan

1 Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan

6 Operasi Himpunan

7 Produk Kartesius

(32)

Beberapa Himpunan Bilangan

Himpunan bilangan asli/ himpunan bilangan natural: dinotasikan denganN, N,

atau_{N .} Dalam kuliah iniN = f1; 2; 3; : : :g. Meskipun demikian,banyak referensi ilmu komputer yang mende…nisikan N = f0; 1; 2; 3; : : :g.

Himpunan bilangan cacah: dinotasikan dengan_N0, N0,atauN0. Dalam kuliah

iniN0= f0; 1; 2; 3; : : :g.

Setiap anggota himpunan bilangan asli juga anggota himpunan bilangan cacah.

Himpunan bilangan bulat: dinotasikan denganZ, Z,atau_Z,dide…nisikan sebagai

Z = f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g.

Setiap anggota himpunan bilangan cacah juga anggota himpunan bilangan asli.

Himpunan bilangan bulat positif dinotasikan dengan Z+_{atau Z} >0, kita

memiliki Z+= f1; 2; 3; : : :g. Himpunan bilangan bulat positif sama dengan himpunan bilangan asli, sehingga Z+= N.

(33)

Beberapa Himpunan Bilangan

iniN0= f0; 1; 2; 3; : : :g.

Z = f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g.

Himpunan bilangan bulat positif dinotasikan dengan Z+_{atau Z} >0, kita

memiliki Z+= f1; 2; 3; : : :g. Himpunan bilangan bulat positif sama dengan himpunan bilangan asli, sehingga Z+= N.

(34)

Beberapa Himpunan Bilangan

iniN0= f0; 1; 2; 3; : : :g.

Z = f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g.

Himpunan bilangan bulat positif dinotasikan dengan Z+ _{atau Z} >0, kita

memiliki Z+_{= f1; 2; 3; : : :g. Himpunan bilangan bulat positif sama dengan}

(35)

Himpunan bilangan rasional: dinotasikan denganQ, Q,atau_Q, dide…nisikan sebagaiQ := ab j a; b 2 Z dan b 6= 0 .

Karena pada himpunan tidak terdapat duplikasi elemen, Q juga dapat dide…nisikan sebagai_{Q :=} a

b j a 2 Z, b 2 N, dan FPB (a; b) = 1 .

Setiap bilangan bulat m dapat ditulis dalam bentuk m

1. Jadi setiap anggota

himpunan bilangan bulat juga anggota himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional positif dinotasikan dengan Q+ _{atau Q}

>0.

Himpunan bilangan real (bilangan nyata): dinotasikan dinotasikan denganR, R,

atau_R. Himpunan bilangan real mencakup seluruh bilangan yang “dapat diukur secara kontinu”.

Himpunan_{bilangan real mencakup himpunan seluruh bilangan rasional (Q)}

dan himpunan seluruh bilangan irasional.

Himpunan bilangan real positif dinotasikan dengan R+ _{atau R} >0.

Himpunan bilangan kompleks: dinotasikan denganC, C,atau _{C, dide…nisikan}

sebagai C := a + bi j a; b 2 R dan i2₌ ₁ _.

Setiap bilangan real dapat ditulis dalam bentuk a + 0i. Jadisetiap anggota himpunan bilangan real juga anggota himpunan bilangan kompleks.

(36)

b j a 2 Z, b 2 N, dan FPB (a; b) = 1 .

>0.

Himpunan bilangan kompleks: dinotasikan denganC, C,atau _{C, dide…nisikan}

sebagai C := a + bi j a; b 2 R dan i2₌ ₁ _.

Setiap bilangan real dapat ditulis dalam bentuk a + 0i. Jadisetiap anggota himpunan bilangan real juga anggota himpunan bilangan kompleks.

(37)

b j a 2 Z, b 2 N, dan FPB (a; b) = 1 .

>0.

(38)

Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn

Bahasan

6 Operasi Himpunan

7 Produk Kartesius

9 Partisi Himpunan

(39)

Himpunan Semesta (Universal)

Himpunan Semesta (Univeral)

Himpunan semesta/ himpunan universal merupakan himpunan yang berisi semua objek yang sedang kita tinjau. Himpunan semesta/ himpunan universal biasa ditulis denganS atau U . Himpunan semesta/ himpunan universal dapat berbeda-beda,bergantung pada batasan objek yang kita tinjau.

Contoh

1 Misalkan kita memakai himpunan universal U = fx j (x 2 N) ^ (x 100)g,

ini berarti kita hanya meninjau bilangan asli yang tidak lebih dari 100. Kita tidak boleh meninjau bilangan lain di luar U , contohnya 1, 101, ataupun 1₂,

(40)

Diagram Venn

Diagram Venn merupakan ilustrasi gra…s dari keterkaitan antara beberapa himpunan ditinjau terhadap himpunan semesta tertentu.

Misalkan kita memiliki himpunan semesta

U = f j termasuk 26 huruf dalam alfabet standarg dan

V = f j huruf vokal dalam alfabet standarg. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah

(41)

Diagram Venn

Diagram Venn merupakan ilustrasi gra…s dari keterkaitan antara beberapa himpunan ditinjau terhadap himpunan semesta tertentu.

Misalkan kita memiliki himpunan semesta

U = f j termasuk 26 huruf dalam alfabet standarg dan

V = f j huruf vokal dalam alfabet standarg. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah

(42)

Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = fx j (x 2 N) ^ (x 8)g, A = f1; 2; 3; 5g, dan B = f2; 5; 6; 8g. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah

U

1 ₂

5

3

6

8

4

7 A

B

(43)

Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = fx j (x 2 N) ^ (x 8)g, A = f1; 2; 3; 5g, dan B = f2; 5; 6; 8g. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah

U

1 ₂

5

3

6

8

4

7 A

B

(44)

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian

Bahasan

3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian

6 Operasi Himpunan

7 Produk Kartesius

9 Partisi Himpunan

(45)

Kesamaan Himpunan

De…nisi (Kesamaan Himpunan)

Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis denganA = B,apabila A dan B

memuat elemen-elemen yang sama. Selain itu, A dan B tidak sama dan ditulis dengan A 6= B.

A = B jika & hanya jika (jikka) formula logika predikat_{8x (x 2 A $ x 2 B)} bernilai benar.

Contoh

Misalkan:

A = f1; 2; 3; 4; 6; 12g,

B = fx j x faktor positif dari 12g, C = f1; 2; 3g,

D = f1; 2; 2; 3; 3; 3g.

(46)

Kesamaan Himpunan

De…nisi (Kesamaan Himpunan)

Contoh

Misalkan:

A = f1; 2; 3; 4; 6; 12g,

D = f1; 2; 2; 3; 3; 3g. Maka kita memiliki:

(47)

Kesamaan Himpunan

De…nisi (Kesamaan Himpunan)

Contoh

Misalkan:

A = f1; 2; 3; 4; 6; 12g,

(48)

Himpunan Bagian

De…nisi (Himpunan Bagian)

Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian/ subhimpunan/ subset dari B, ditulis denganA B,apabilasetiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Selanjutnya B dikatakan superset dari A dan ditulis denganB A.

A B jikka formula logika predikat_{8x (x 2 A ! x 2 B)}bernilai benar.

De…nisi (Himpunan Bagian Sejati)

Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian sejati/ subhimpunan sejati/ subset sejati (proper subset) dari B, ditulis denganA B atau_{A B,} apabila

A B tetapi A 6= B.

A B jikka formula logika predikat_{8x (x 2 A ! x 2 B) ^ 9x (x 2 B ^ x 62 A)} bernilai benar.

(49)

Himpunan Bagian

De…nisi (Himpunan Bagian)

De…nisi (Himpunan Bagian Sejati)

A B tetapi A 6= B.

(50)

Himpunan Bagian

De…nisi (Himpunan Bagian)

De…nisi (Himpunan Bagian Sejati)

A B tetapi A 6= B.

(51)

Himpunan Bagian

De…nisi (Himpunan Bagian)

De…nisi (Himpunan Bagian Sejati)

A B tetapi A 6= B.

(52)

Himpunan Bagian

De…nisi (Himpunan Bagian)

De…nisi (Himpunan Bagian Sejati)

A B tetapi A 6= B.

(53)

Diagram Venn untuk hubungan A B dapat diilustrasikan sebagai berikut.

U

(54)

Contoh

Misalkan: A = f1; 2; 3; 4; 5g, B = f1; 2; 3; 4g, C = fx j (x 2 N) ^ (x + 5 < 10)g, ; = fg. Maka:

1 ; A, ; B, ; C, dan ; ;, serta ; A, ; B, ; C, tetapi tidak

benar bahwa ; ;,

2 _B _Adan B _A, karena 5 2 A tetapi 5 62 B,

3 C A, C A(karena 5 2 A tetapi 5 62 C), C B, dan B C(karena

B = C).

Contoh

(55)

Contoh

benar bahwa ; ;,

B = C).

Contoh

(56)

Contoh

benar bahwa ; ;,

B = C).

Contoh

(57)

Contoh

benar bahwa ; ;,

(58)

Lebih Jauh Tentang Kesamaan Himpunan & Himpunan

Bagian

Teorema

Untuk setiap himpunan A berlaku:

1 ; A;

2 A A.

Bukti

Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Teorema

Apabila A dan B adalah dua himpunan, makaA = B jika & hanya jikaA B

danA B.

Bukti

(59)

Teorema

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku: jika A B dan B C, maka

A C.

Bukti

(60)

Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian

Latihan

Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah.

1 f1; 3; 5g = f3; 5; 1g T F 2 f1; 3; 5g = f1; 3; 3; 3; 5; 5; 5; 5; 5g T F 3 _{f1; f1g ; ff1ggg = f1g} _T _F 4 f1g f1; f1gg T F 5 _{; = f;g} _T _F Solusi:

Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena himpunan f1; f1g ; ff1ggg memuat tiga anggota, yaitu 1, f1g, dan ff1gg; sedangkan f1g hanya memuat satu anggota, yaitu 1. Nomor 4: T, karena 1 2 f1g dan 1 2 f1; f1gg. Nomor 5: F, karena ; tidak memuat anggota apapun;

(61)

Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian

Latihan

Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan.

Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena himpunan f1; f1g ; ff1ggg memuat tiga anggota, yaitu 1, f1g, dan ff1gg; sedangkan f1g hanya memuat satu anggota, yaitu 1. Nomor 4: T, karena 1 2 f1g dan 1 2 f1; f1gg. Nomor 5: F, karena ; tidak memuat anggota apapun;

(62)

Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian

Latihan

Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan.

Nomor 3: F, karena himpunan f1; f1g ; ff1ggg memuat tiga anggota, yaitu 1, f1g, dan ff1gg; sedangkan f1g hanya memuat satu anggota, yaitu 1. Nomor 4: T, karena 1 2 f1g dan 1 2 f1; f1gg. Nomor 5: F, karena ; tidak memuat anggota apapun;

(63)

Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian

Latihan

Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena

Nomor 4: T, karena 1 2 f1g dan 1 2 f1; f1gg. Nomor 5: F, karena ; tidak memuat anggota apapun;

(64)

Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian

Latihan

Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena himpunan f1; f1g ; ff1ggg memuat tiga anggota, yaitu 1, f1g, dan ff1gg; sedangkan f1g hanya memuat satu anggota, yaitu 1. Nomor 4: T, karena 1 2 f1g dan 1 2 f1; f1gg.

Nomor 5: F, karena ; tidak memuat anggota apapun; sedangkan f;g memuat satu anggota, yaitu ;.

(65)

Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian

Latihan

Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena

(66)

Latihan: Hubungan antar Dua Himpunan

Latihan

Isilah tempat yang telah disediakan dengan: =, , _{, 2, 3, atau X jika hubungan} =; ; _{; 2; 3 tidak dapat ditentukan.}

(1) _f;g _ffgg (2) _; _f0g (3) _{f;; f;gg} _f;g (4) _f1g _{ff1g ; ff1gg ; fff1gggg} (5) _ffgg _fg (6) _f;g _f0g

(67)

Solusi Latihan

1 Karena ; = fg, maka f;g = ffgg.

2 _{Karena ;} _A_{untuk sembarang himpunan A, maka ;} _f0g.

3 Karena ; 2 f;g dan ; 2 f;; f;gg, maka f;g f;; f;gg, atau f;; f;gg f;g.

Kita juga dapat mengatakan bahwa f;; f;gg 3 f;g karena f;g adalah anggota dari f;; f;gg. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan 3.

4 _{f1g 2 ff1g ; ff1gg ; fff1gggg.}

5 Karena ffgg 3 fg dan ffgg fg, maka ada dua jawaban benar, yaitu 3 dan

.

6 f;g adalah himpunan yang memuat tepat satu anggota, yaitu himpunan

kosong. Himpunan f0g juga himpunan yang memuat tepat satu anggota, yaitu 0. Jelas bahwa f;g 6= f0g, dengan perkataan lain tidak terdapat hubungan =; ; _{; 2; 3 antara f;g dan f0g.}

(68)

Solusi Latihan

.

(69)

Solusi Latihan

3 Karena ; 2 f;g dan ; 2 f;; f;gg, maka f;g f;; f;gg, atau f;; f;gg f;g. Kita juga dapat mengatakan bahwa f;; f;gg 3 f;g karena f;g adalah anggota dari f;; f;gg. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan 3.

.

(70)

Solusi Latihan

.

(71)

Solusi Latihan

5 Karena ffgg 3 fg dan ffgg fg, maka ada dua jawaban benar, yaitu 3 dan .

(72)

Solusi Latihan

.

6 f;g adalah himpunan yang memuat tepat satu anggota, yaitu himpunan kosong. Himpunan f0g juga himpunan yang memuat tepat satu anggota, yaitu 0. Jelas bahwa f;g 6= f0g, dengan perkataan lain tidak terdapat hubungan =; ; _{; 2; 3 antara f;g dan f0g.}

(73)

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa

Bahasan

6 Operasi Himpunan

7 Produk Kartesius

(74)

Kardinalitas Himpunan (Berhingga)

De…nisi

Misalkan A adalah sebuah himpunan:

Adikatakan himpunanberhingga(…nite set) jikkaAmemuat tepat n anggota,untuk suatubilangan bulat tak negatif n;

dalam hal ini,ndikatakan sebagai kardinalitas dari A,dan dinotasikan dengan_{jAj, n (A),}atau #A,

Adikatakan himpunantak berhingga(in…nite set) jikkaAbukan himpunan berhingga.

Contoh

Jika A = fm 2 N j m < 10 dan m ganjilg, maka jAj =

5. j;j = 0, jf;gj = 1, jff;ggj = 1, jf;; f;g ; ff;gggj = 3. N, Z, Q, R, C adalah contoh himpunan tak berhingga.

(75)

Kardinalitas Himpunan (Berhingga)

De…nisi

Contoh

Jika A = fm 2 N j m < 10 dan m ganjilg, maka jAj = 5.

0, jf;gj = 1, jff;ggj = 1, jf;; f;g ; ff;gggj = 3. N, Z, Q, R, C adalah contoh himpunan tak berhingga.

(76)

Kardinalitas Himpunan (Berhingga)

De…nisi

Contoh

Jika A = fm 2 N j m < 10 dan m ganjilg, maka jAj = 5. j;j = 0, jf;gj =

1, jff;ggj = 1, jf;; f;g ; ff;gggj = 3. N, Z, Q, R, C adalah contoh himpunan tak berhingga.

(77)

Kardinalitas Himpunan (Berhingga)

De…nisi

Contoh

Jika A = fm 2 N j m < 10 dan m ganjilg, maka jAj = 5.

1, jf;; f;g ; ff;gggj = 3. N, Z, Q, R, C adalah contoh himpunan tak berhingga.

(78)

Kardinalitas Himpunan (Berhingga)

De…nisi

Contoh

Jika A = fm 2 N j m < 10 dan m ganjilg, maka jAj = 5. j;j = 0, jf;gj = 1, jff;ggj = 1, jf;; f;g ; ff;gggj =

3. N, Z, Q, R, C adalah contoh himpunan tak berhingga.

(79)

Kardinalitas Himpunan (Berhingga)

De…nisi

Contoh

(80)

Ekuivalensi Dua Buah Himpunan

De…nisi

Dua buah himpunan A dan B dikatakan ekuivalen, ditulis A B, bila kardinalitasnya sama. Bila A dan B berhingga, maka A B _{bila jAj = jBj.}

Contoh

Himpunan A = f1; 2; 3; 4g dan B = f2; 4; 6; 8g memenuhi sifat A 6= B tetapi A B _{karena jAj = jBj = 4.}

(81)

Himpunan Kuasa (Power Set)

De…nisi

Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa(power set) dari A adalah himpunan yanganggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan2A_{, P (A),}_atau _{} (A)}_.

Contoh

P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg. P (f0; 1; 2g) = f

;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; f0; 1; 2gg . P (;) = f;g .

P (f;g) = f;; f;gg .

(82)

Himpunan Kuasa (Power Set)

De…nisi

Contoh

P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg. P (f0; 1; 2g) = f;;

f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; f0; 1; 2gg . P (;) = f;g .

P (f;g) = f;; f;gg .

(83)

Himpunan Kuasa (Power Set)

De…nisi

Contoh

P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg. P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ;

f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; f0; 1; 2gg . P (;) = f;g .

P (f;g) = f;; f;gg .

(84)

Himpunan Kuasa (Power Set)

De…nisi

Contoh

P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg.

P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ;

f0; 1; 2gg . P (;) = f;g .

P (f;g) = f;; f;gg .

(85)

Himpunan Kuasa (Power Set)

De…nisi

Contoh

P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; f0; 1; 2gg . P (;) = f

;g . P (f;g) = f;; f;gg .

(86)

Himpunan Kuasa (Power Set)

De…nisi

Contoh

P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; f0; 1; 2gg . P (;) = f;g .

P (f;g) = f

;; f;gg .

(87)

Himpunan Kuasa (Power Set)

De…nisi

Contoh

P (f;g) = f;;

f;gg .

(88)

Himpunan Kuasa (Power Set)

De…nisi

Contoh

P (f;g) = f;; f;gg . P (f;; f;gg) = f

(89)

Himpunan Kuasa (Power Set)

De…nisi

Contoh

P (f;g) = f;; f;gg .

(90)

Himpunan Kuasa (Power Set)

De…nisi

Contoh

P (f;g) = f;; f;gg . P (f;; f;gg) = f;; f;g ;

(91)

Himpunan Kuasa (Power Set)

De…nisi

Contoh

P (f;g) = f;; f;gg .

(92)

Himpunan Kuasa (Power Set)

De…nisi

Contoh

P (f;g) = f;; f;gg .

(93)

Teorema

Jika A adalah suatu himpunan dengan_{jAj = n,}maka_{jP (A)j = 2}A _{= 2}n_.

Bukti

Bukti dapat diperoleh melalui induksi matematika dan diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

(94)

Operasi Himpunan

Bahasan

5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan

7 Produk Kartesius

9 Partisi Himpunan

(95)

Operasi Himpunan

Beberapa Operasi Himpunan Standar

De…nisi

Misalkan A dan B adalah dua himpunan, maka

1 Gabungan(union) dari A dan B, dinotasikan denganA [ B,dide…nisikan

sebagai_{A [ B := fx j x 2 A atau x 2 Bg}atau

A [ B := fx j (x 2 A) _ (x 2 B)g;

2 Irisan(intersection) dari A dan B, dinotasikan denganA \ B,dide…nisikan

sebagai_{A \ B := fx j x 2 A dan x 2 Bg}atau

A \ B := fx j (x 2 A) ^ (x 2 B)g;

Jika A \ B = ;, maka A dan B dikatakansaling lepas (disjoint)dan dapat ditulisA==B.

3 Selisih(di¤erence) dari A dan B, dinotasikan dengan_{A n B, A r B,}atau

A B, dide…nisikan sebagai_{A r B := fx j x 2 A dan x 62 Bg}atau

(96)

Operasi Himpunan

De…nisi

Jika A ditinjau pada himpunansemesta pembicaraan S,maka komplemen dari A,

dinotasikan denganA0, AC_{, A,}_atau _{S r A,}_{dide…nisikan sebagai}

(97)

Operasi Himpunan

A

_{[ B}

Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A [ B = fx 2 U : (x 2 A) _ (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A [ B diilustrasikan sebagai berikut.

(98)

Operasi Himpunan

A

_{[ B}

Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A [ B = fx 2 U : (x 2 A) _ (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A [ B diilustrasikan sebagai berikut.

(99)

Operasi Himpunan

Contoh

Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x 10g, A = f1; 2; 3; 4g, B = f3; 4; 5; 6g, maka:

1 _{A [ B =}

f1; 2; 3; 4; 5; 6g.

2 _{A [ ; = f1; 2; 3; 4g.} 3 A [ S = S.

(100)

Operasi Himpunan

Contoh

1 _{A [ B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.} 2 A [ ; =

f1; 2; 3; 4g.

(101)

Operasi Himpunan

Contoh

1 _{A [ B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.} 2 A [ ; = f1; 2; 3; 4g. 3 A [ S =

(102)

Operasi Himpunan

Contoh

1 _{A [ B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.} 2 A [ ; = f1; 2; 3; 4g. 3 A [ S = S.

(103)

Operasi Himpunan

A

_{\ B}

Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A \ B = fx 2 U : (x 2 A) ^ (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A \ B diilustrasikan sebagai berikut.

(104)

Operasi Himpunan

A

_{\ B}

Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A \ B = fx 2 U : (x 2 A) ^ (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A \ B diilustrasikan sebagai berikut.

(105)

Operasi Himpunan

Contoh

Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x 10g, A = f1; 2; 3; 4g, B = f3; 4; 5; 6g, C = f5; 6; 7; 8g, maka:

1 A \ B =

f3; 4g.

2 _{B \ C = f5; 6g.}

3 A \ C = ;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 C).

Akibatnya kita dapat menulis A==C (A dan C saling lepas/ disjoint).

4 A \ B \ C = ;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi

(x 2 A) ^ (x 2 B) ^ (x 2 C). Perhatikan bahwa: (A \ B) \ C = f3; 4g \ f5; 6; 7; 8g = ; dan

A \ (B \ C) = f1; 2; 3; 4g \ f5; 6g = ;. Kita tidak dapat menulis A==B==C karena A dan B tidak saling lepas, begitu pula dengan B dan C.

5 _{A \ ; = ;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 ;). Nilai}

kebenaran dari x 2 ; selalu F.

6 _{A \ S = A, karena jika x 2 A \ S maka x memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 S),}

(106)

Operasi Himpunan

Contoh

1 A \ B = f3; 4g. 2 _{B \ C =}

f5; 6g.

(107)

Operasi Himpunan

Contoh

1 A \ B = f3; 4g. 2 _{B \ C = f5; 6g.} 3 A \ C =

;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 C). Akibatnya kita dapat menulis A==C (A dan C saling lepas/ disjoint).

(108)

Operasi Himpunan

Contoh

1 A \ B = f3; 4g. 2 _{B \ C = f5; 6g.}

4 A \ B \ C =

;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 B) ^ (x 2 C). Perhatikan bahwa: (A \ B) \ C = f3; 4g \ f5; 6; 7; 8g = ; dan

(109)

Operasi Himpunan

Contoh

1 A \ B = f3; 4g. 2 _{B \ C = f5; 6g.}

5 _{A \ ; =}

;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 ;). Nilai kebenaran dari x 2 ; selalu F.

(110)

Operasi Himpunan

Contoh

1 A \ B = f3; 4g. 2 _{B \ C = f5; 6g.}

6 _{A \ S =}

A_{, karena jika x 2 A \ S maka x memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 S),} akibatnya haruslah x 2 A, sehingga diperoleh A \ S = A.

(111)

Operasi Himpunan

Contoh

1 A \ B = f3; 4g. 2 _{B \ C = f5; 6g.}

(112)

Operasi Himpunan

A r B

Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki

A r B = fx 2 U : (x 2 A) ^ (x 62 B)g = fx 2 U : (x 2 A) ^ : (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A r B diilustrasikan sebagai berikut.

(113)

Operasi Himpunan

A r B

Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki

A r B = fx 2 U : (x 2 A) ^ (x 62 B)g = fx 2 U : (x 2 A) ^ : (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A r B diilustrasikan sebagai berikut.

(114)

Operasi Himpunan

Contoh

Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x 10g, A = f1; 2; 3; 4g, B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 A r B = f1; 2; 3; 4g r f3; 4; 5; 6g = f1; 2g. 2 B r A = f3; 4; 5; 6g r f1; 2; 3; 4g = f5; 6g. 3 _{S r A = fx 2 N : x} _{10g r f1; 2; 3; 4g = fx 2 S : (x 2 S) ^ (x 62 A)g =} f5; 6; 7; 8; 9; 10g = AC_. 4 A r S = f1; 2; 3; 4g r fx 2 N : x 10g = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 S)g = ;. 5 _{A r ; = f1; 2; 3; 4g r ; = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 ;)g = f1; 2; 3; 4g, karena} x 62 ; selalu bernilai T. 6 ; r A = ; r f1; 2; 3; 4g = fx 2 S : (x 2 ;) ^ (x 62 A)g = ;, karena x 2 ; selalu bernilai F.

(115)

Operasi Himpunan

Contoh

Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x 10g, A = f1; 2; 3; 4g, B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 A r B = f1; 2; 3; 4g r f3; 4; 5; 6g = f1; 2g. 2 _{B r A =} f3; 4; 5; 6g r f1; 2; 3; 4g = f5; 6g. 3 _{S r A = fx 2 N : x} _{10g r f1; 2; 3; 4g = fx 2 S : (x 2 S) ^ (x 62 A)g =} f5; 6; 7; 8; 9; 10g = AC_. 4 A r S = f1; 2; 3; 4g r fx 2 N : x 10g = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 S)g = ;. 5 _{A r ; = f1; 2; 3; 4g r ; = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 ;)g = f1; 2; 3; 4g, karena} x 62 ; selalu bernilai T. 6 ; r A = ; r f1; 2; 3; 4g = fx 2 S : (x 2 ;) ^ (x 62 A)g = ;, karena x 2 ; selalu bernilai F.