fasor, impedansi, dan kaidah rangkaian.pdf

(1)

Analisis

Rangkaian Listrik

Jilid 1

Sudaryatno Sudirham

(2)

BAB 12

Fasor, Impedansi, dan Kaidah

Rangkaian

Dalam teknik energi listrik, tenaga listrik dibangkitkan, ditransmisikan, serta dimanfaatkan dalam bentuk sinyal sinus dengan frekuensi 50 atau 60 Hz. Dalam teknik telekomunikasi, sinyal sinus dimanfaatkan dalam selang frekuensi yang lebih lebar, mulai dari beberapa Hz sampai jutaan Hz. Sejalan dengan itu, kita memerlukan suatu cara analisis khusus untuk menanganni persoalan rangkaian listrik yang melibatkan sinyal sinus dalam keadaan mantap, yang kita sebut analisis arus bolak-balik keadaan mantap. Analisis rangkaian dengan sinyal sinus telah pernah kita lakukan dengan menyatakan sinyal sinus sebagai fungsi waktu atau dengan kata lain kita melakukan analisis di kawasan waktu. Mulai bab ini kita akan melakukan analisis di kawasan fasor . Dalam analisis ini, sinyal sinus kita nyatakan dalam bentuk fasor . Dengan sinyal sinus dinyatakan dalam fasor, pernyataan-pernyataan elemen rangkaian pun menjadi khusus pula. Kita katakan bahwa rangkaian yang biasa kita nyatakan dalam waktu, kita transformasikan menjadi rangkaian dalam fasor. Setelah ditransformasikan, kita melakukan analisis di mana semua besaran dan karakteristik elemen dinyatakan dalam fasor. Dengan bekerja dalam fasor, kita terhindar dari persamaan rangkaian yang dikawasan waktu berbentuk persamaan integro-diferensial.

Pernyataan sinyal sinus ke dalam bentuk fasor dilakukan melalui forrmulasi bilangan kompleks. Untuk mengingat kembali mengenai bilangan kompleks ini, ulasan singkat mengenai bilangan kompleks

diberikan pada Lampiran III.

Bab ini akan kita awali dengan pembahasan pengertian fasor dan operasi fasor, impedansi, dan dilanjutkan dengan pembahasan tentang kaidah-kaidah rangkaian di kawasan fasor.

Setelah mempelajari bab ini, kita akan

•

mampu menyatakan sinyal sinus ke dalam bentuk fasor.

•

memahami konsep impedansi di kawasan fasor.

(3)

12.1. Fasor Dan

12.1. Fasor Dan ImpedansiImpedansi

12.1.1. Pernyataan Fasor dari Sinyal Sinus dan Operasi Fasor 12.1.1. Pernyataan Fasor dari Sinyal Sinus dan Operasi Fasor Kita mengenal pernyataan suatu bilangan kompleks yang berbentuk

x j x

e jx

=

cos

+

sin (12.1) Dengan menggunakan hubungan ini maka sinyal sinus dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponensial kompleks, yaitu

jx

jx _x _e

e

x Re dan sin Im

cos

=

(12.2)

dengan Re dan Im masing-masing menunjukkan bahwa yang dimaksudkan adalah bagian riil dan bagian imajiner dari bilangan kompleks e jx. Jika kita tetapkan bahwa hanya bagian riil dari bilangan kompleks e jx saja yang kita ambil untuk menyatakan sinyal sinus maka sinyal y= Acos(

ω

t +

θ

) dapat kita tulis sebagai

t j j t j j t j _Ae _e _Ae _e Ae t A y

=

cos(

ω

+

θ

)

=

Re (ω+θ)

=

Re θ ω

=

θ ω (12.3) tanpa harus menuliskan keterangan Re lagi.

Jika kita bekerja pada suatu frekuensi

ω

tertentu untuk seluruh sistem, maka faktore jωt pada pernyataan fungsi sinus (12.3) tidak perlu dituliskan lagi. Kita dapat menyatakan fungsi sinus cukup

dengan mengambilbesardan sudut fasa-nyasaja. Jadi

θ

=

θ

+

ω

=

_A _t _Ae j

v cos( ) dinyatakandengan VV sinus

sinyal (12.4)

Pernyataan sinyal sinus dengan bilangan kompleks ini kita sebut

fasor (dalam buku ini ditulis dengan huruf besar dan tebal) . Jadi dengan notasi fasor, kita hanya memperhatikan amplitudo dan sudut fasanya saja dengan pengertian bahwa frekuensinya sudah tertentu. Karena kita hanya memperhatikan amplitudo dan sudut fasa saja, maka fasor dapat kita tuliskan dengan menyebutkan besarnya dan

sudut fasanya. Jadi penulisan fasor dalam bentuk yang kita sebut bentuk polar adalah

θ

∠

=

Ae θ j VV A V V ditulissebagai (12.5)

Fasor VV

₌

A

_∠

_θ

dapat kita

gambarkan dalam bidang kompleks, seperti terlihat pada Gb.12.1.

V V | A|

θ

Im Re Gb.12.1. Fasor. V V

(4)

Panjang fasor adalah nilai mutlak dari amplitudo A. Penulisan fasor dalam bentuk polar, dapat diubah ke bentuk sudut-siku, yaitu :

(

cos

θ

+

sin

θ

)

=

θ

∠

=

A A j V V (12.6)

Sebaliknya, dari pernyataan dalam bentuk sudut-siku dapat diubah ke bentuk polar













∠

+

=

+

=

− a b b a jb a 2 2 tan 1 V V (12.7)

Transformasi timbal balik antara pernyataan dalam bentuk sudut-siku dan bentuk polar, memudahkan kita dalam melakukan operasi-operasi fasor yang akan kita lihat berikut ini.

12.1.2. Operasi Fasor 12.1.2. Operasi Fasor Perkalian Fasor.

Perkalian Fasor. Perkalian fasor mudah dilakukan bila fasor dituliskan dalam bentuk polar.

) ( maka dan Jika 2 1 2 1

θ

+

θ

∠

=

θ

∠

=

θ

∠

=

AB B A B B A A C C B B A A (12.8) ) ( maka dan menuliskan kita jika karena difahami, mudah ini Hal 2 1 ) ( ₁ ₂ 2 1 2 1

θ

+

θ

∠

=

θ + θ θ θ θ θ AB ABe Be Ae Be Ae j j j j j C C B B A A Pembagian Fasor.

Pembagian Fasor. Pembagian fasor mudah dilakukan bila fasor dituliskan dalam bentuk polar.

) ( maka dan Jika 2 1 2 1 2 1

θ

−

θ

∠

=

θ

∠

θ

∠

=

θ

∠

=

θ

∠

=

B A B A B A B B A A D D B B A A (12.9) ) ( maka dan menuliskan kita Jika difahami. mudah juga ini Hal ) ( 1 2 2 1 1 2 1

θ

−

θ

∠

=

θ − θ θ − θ θ θ θ A e A e e A Ae Be Ae j j j j j j D D B B A A

(5)

Penjumlahan dan Penguran

Penjumlahan dan Pengurangan Fasor.gan Fasor. Operasi penjumlahan ataupun pengurangan lebih mudah dilakukan jika kita menuliskan fasor dalam bentuk sudut-siku.

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

_











−

∠

−

+

−

=

+

−

+

=

−

=













+

∠

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

− − 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 tan tan maka dan Jika a a b b b b a a jb a jb a a a b b b b a a b b j a a jb a jb a B B A A D D B B A A C C B B A A (12.10)

(

)

(

1

(

)

2

)

1 2 2 1 2 1 2 1 sin sin cos cos sin sin cos cos maka dan Jika

θ

−

θ

+

θ

−

θ

=

−

=

θ

+

θ

+

θ

+

θ

=

+

=

θ

∠

=

θ

∠

=

B A j B A B A j B A B A B B A A D D B B A A C C B B A A (12.11)

Fasor egatif dan Fasor Konjugat.

Fasor egatif dan Fasor Konjugat. Jika dituliskan dalam bentuk sudut-siku, nilai negatif fasor adalah negatif dari masing-masing komponen riil dan imajiner.

maka Jika 1 1 1 1 jb a jb a

−

=

−

+

=

A A A A

Fasor konjugat dari AA ditulis ∗ A A .. maka Jika 1 1 * 1 1 jb a jb a

−

=

+

=

A A A A

Dalam bentuk polar,

(

)

(

180

)

dan 180 maka Jika * o o

θ

−

∠

=

−

θ

∠

=

+

θ

∠

=

−

θ

∠

=

A A A A A A A A A A (12.12) A A A A ∗ A A

θ

Im Re

Gb.12.2. Fasor dan negatifnya serta konjugatnya

A A

(6)

Fasor Dengan Sudut Fasa

Fasor Dengan Sudut Fasa 9090oo dan 0 dan 0oo.. Bentuk sudut-siku dari fasor dengan sudut 90odan 0oadalah

0 ; 90 ; 90 o o o C C jB B jA A

=

∠

=

−

=

−

∠

=

∠

=

C C B B A A (12.13) COTOH-12.1:

COTOH-12.1: Ubahlah pernyataan sinyal sinus berikut ini ke dalam fasor dengan bentuk polar maupun bentuk sudut-siku dan lakukanlah operasi-operasi fasor yang diminta.

) 90 1000 cos( 3 ) ( d). 1000 cos 4 ) ( c). ) 30 500 cos( 15 ) ( b). ) 45 500 cos( 10 ) ( a). o 2 1 o 2 o 1

−

=

−

=

+

=

−

=

t t i t t i t t v t t v 2 2 2 1 1 1 * 2 2 2 * 1 1 1 2 1 3 Z ; Z g). ; f). e). II V V II V V II V V II V V II II II

=

+

=

S S Penyelesaian : Penyelesaian :

a). Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku adalah

07 , 7 07 , 7 ) 45 sin( 10 ) 45 cos( 10 atau 45 10 o o 1 o 1 j j

−

=

−

+

−

=

−

∠

=

V V V V

b). Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku adalah 5 , 7 99 , 12 ) 30 sin( 15 ) 30 cos( 15 atau 30 15 o o 2 o 2 j j

=

+

=

∠

=

V V V V

c). Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku adalah 4 ) 0 sin( 4 ) 0 cos( 4 atau 0 4 o ₁ o o 1

=

−

∠

II

=

−

j

=

−

II

d). Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku adalah 3 ) 90 sin( 3 ) 90 cos( 3 atau 90 3 o ₂ o o 2

=

∠

−

II

=

−

+

j

−

=

−

j II

(7)

e). Fasor hanya dapat dijumlahkan jika frekuensinya sama. Karena kedua arus dalam soal e) ini berfrekuensi sama maka fasornya dapat kita jumlahkan II₃

=

II₁

+

II₂

=

−

4

−

j3. Hasil penjumlahan ini dapat kita ubah kembali dalam bentuk polar

menjadi o 1 2 2 3 5 216,9 4 3 tan ) 3 ( ) 4 (



=

∠











−

∠

−

+

−

=

− II f). S ₁

=

VV₁II₁*

=

(10

∠

−

45o)

×

(

−

4

∠

0o)

=

−

40

∠

−

45o o o o * 2 2 2

=

VV II

=

(15

∠

30 )

×

(3

∠

90 )

=

45

∠

120 S g). 2.5 45 ; 0 4 45 10 _o o o 1 1 1

=

−

∠

−

∠

−

∠

=

II V V Z o o o 2 2 2 5 60 90 3 30 15

₌

_∠

₋

∠

=

II V V Z COTOH-12.2:

COTOH-12.2: Ubahlah pernyataan fasor dari sinyal sinus berikut ini ke pernyataan sinus di kawasan waktu.

rad/detik. 1000 pada , mA 180 10 5 15 c). rad/detik. 1000 sudut frekuensi pada V, 40 30 b). Hz 50 siklus frekuensi pada V, 45 150 a). o 2 o 1

=

ω

∠

+

=

ω

+

=

−

∠

=

j j II V V V V Penyelesaian : Penyelesaian :

a). Sinyal ini mempunyai amplitudo 150 V, dan sudut fasa

−

45o. Frekuensi siklusnya 50 Hz yang berarti frekuensi sudutnya

ω

= 2

π

×

50 = 314 rad/detik. Jadi di kawasan waktu sinyal ini adalah v₁(t )

=

150cos(314t

−

45o) V

b). Amplitudo sinyal ini adalah V _m

=

302

+

402

=

50 V dan sudut fasanya 1 53,1o 30 40 tan

=

θ

− _{. Karena}

_ω

_{= 1000}

rad/detik, maka pernyataan sinyal ini di kawasan waktu adalah v₂(t )

=

50cos(1000t

+

53,1o)

(8)

c). Sinyal ini dinyatakan dalam fasor dan merupakan jumlah dari dua sinyal, satu dalam bentuk sudut siku dan yang lain dalam bentuk polar. Jika dinyatakan dalam bentuk sudut siku, sinyal ini menjadi

mA 5 5 0 10 5 15 180 sin 10 180 cos 10 5 15 o o j j j j j

+

=

+

−

+

=

+

=

II

Amplitudo dan sudut fasanya adalah

o 1 2 2 45 5 5 tan ; mA 07 , 7 5 5

+

=

φ

=

− m I

Karena diketahui

ω

= 1000 rad/detik, maka ) 45 1000 cos( 07 , 7 ) (t

=

t

+

o i

12.2. Resistansi, Reaktansi, Impedansi 12.2. Resistansi, Reaktansi, Impedansi

Dengan fungsi sinus dinyatakan dalam fasor, maka kita akan mendapatkan hubungan-hubungan tegangan dan arus pada elemen-elemen pasif sebagai berikut.

Resistor.

Resistor.Jika arus pada resistor adalah

) ( ) cos( ) (

=

_Rm

ω

+

θ

=

_Rm j ωt +θ R t I t I e i

maka tegangannya adalah

) ( ) ( ) ( θ + ω

=

t j Rm R R t Ri t RI e v

Jika dinyatakan dalam fasor maka

R R RII

V

=

(12.14)

Hubungan arus dan tegangan resistor tetap seperti yang tel;ah kita kenal selama ini, dengan faktor proporsionalitas R yang kita sebut

(9)

Induktor.

Induktor.Untuk induktor, jika arus induktor adalah

) ( ) cos( ) (

=

_Lm

ω

+

θ

=

_Lm j ωt +θ L t I t I e i

maka tegangan induktor adalah

) ( ) ( ) ( ( ) ) ( θ + ω θ + ω

ω

=

_m j t t j Lm L L j L I e dt e I d L dt t di L t v

Dalam bentuk fasor,

L j Z L X Z jX L j L L L L L L L L

ω

=

ω

=

ω

=

dan : dengan II II II V V (12.15)

Jadi dengan pernyataan sinyal dalam fasor, hubungan tegangan dan arus induktor tidak lagi berbentuk hubungan diferensial, melainkan berbentuk linier dengan faktor proporsionalitas sebesar Z L = jX L;

X

L kita sebutreaktansi induktif , Z L kita sebut impedansi induktor

Kapasitor.

Kapasitor. Untuk kapasitor, jika tegangan kapasitor adalah

) ( ) cos( ) (

=

_Cm

ω

+

θ

=

_Cm j ωt +θ C t V t V e v

maka arus kapasitor adalah

) ( ( ) ( ( ) ) ( θ + ω θ + ω

ω

=

j t Cm t j Cm C C j C V e dt e V d C dt dv C t i

yang dalam bentuk fasor dapat kita tuliskan sebagai

C j Z C X Z jX C j C j C j C C C C C C C C C C C

ω

−

=

ω

=

ω

−

=

ω

=

ω

=

dan 1 : dengan 1 atau II II II II V V V V II (12.16)

Seperti yang kita peroleh pada induktor, hubungan tegangan dan arus kapasitor tidak lagi berupa hubungan integral, melainkan berupa hubungan linier dengan faktor proporsionalitas sebesar Z C =

jX C _;_XC _{kita sebut} _{reaktansi kapasitif}_, _ZC _{kita sebut} _impedansi

(10)

12.3. Kaidah-Kaidah Rangkaian I

12.3. Kaidah-Kaidah Rangkaian Impedansimpedansi

12.3.1. Hubungan Seri dan Kaidah Pembagi Tegangan 12.3.1. Hubungan Seri dan Kaidah Pembagi Tegangan

Tegangan total pada R dan L yang terhubung seri dengan

i(t )= I me j( ωt +θ) adalah

(

)

( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( θ + ω θ + ω θ + ω

ω

+

=

ω

+

=

+

=

t j m t j m t j m L R RL e I L j R e LI j e RI t v t v t v

Dalam bentuk fasor,

(

)

II V

V_RL_seri

=

R

+

j

ω

L (12.17)

Perbandingan antara tegangan dan arus pada resistor dan induktor yang terhubung seri disebutimpedansi dari hubungan seri ini, yaitu

L j R

Z _RL_seri

=

+

ω

_(12.18)

Dengan cara yang sama kita dapat memperoleh impedansi hubungan seri RCdan LC sebagai

1 ; 1 C j R C j R Z C j R seri RC seri RC

ω

−

=

ω

+

=













ω

+

=

II V V (12.19)













ω

−

ω

=

ω

+

ω

=













ω

+

ω

=

C L j C j L j Z C j L j seri LC seri LC 1 1 ; 1 II V V (12.20)

Hubungan seri tidak terbatas hanya dua elemen tetapi bisa lebih, sehingga terbentuklah hubungan seri beberapa impedansi. Secara umum impedansi total dari beberapa impedansi yang terhubung seri adalah n seri total seri total seri total Z Z Z Z Z Z

+

⋅

+

=

3 2 1 II V V (12.21)

Dalam hubungan seri dari beberapa impedansi, tegangan pada impedansi ke k adalah VV_k

=

II Z _k; sedangkanII Z _total_seri

=

VV_total_seri

(11)

total seri total k k Z Z V V V V

=

×

(12.22)

12.3.2. Hubungan Paralel dan Kaidah Pembagi Arus 12.3.2. Hubungan Paralel dan Kaidah Pembagi Arus

Dua atau lebih impedansi yang terhubung paralel akan bertegangan sama. Jika tegangan ini adalah VV maka arus pada impedansi ke k

adalah V V V V II _k k k Y Z

=

(12.23)

denganY k = 1/ Z k disebutadmitansi.

Arus total dalam hubungan paralel adalah

V V V V II II total n k k n k k total

₌

_Y

₌

_Y

∑

=1 =1 (12.24) dengan n n k k total Z Z Z Y Y 1 1 1 2 1 1

+

⋅

+

=

∑

= (12.25)

Dari (12.23) dan (12.24) diturunkan kaidah pembagi arus

total total k k k Y Y Y VV II II

=

(12.26)

12.3.3. Impedansi Secara Umum 12.3.3. Impedansi Secara Umum

Secara umum impedansi dapat kita tuliskan

) ( ) (

ω

+

ω

=

R jX Z _(12.27)

Bagian riil adalah resistansi dan bagian imajiner adalah reaktansi. Kedua bagian ini mungkin merupakan fungsi dari frekuensi

ω

. Reaktansi yang bernilai positif merupakan reaktansi induktif , sedang yang bernilai negatif merupakan reaktansi kapasitif . Sebagai contoh, impedansi dari induktor yang terhubung seri dengan kapasitor yang terparalel dengan resistor adalah

(12)

( )













+

ω

−

ω

+

ω

=

ω

+

ω

+

ω

=

+ 1 1 ) / 1 ( ) / 1 ( 2 2 2 // RC C R L j RC R C j R C j R L j Z _L _R _C

Perhatikan bahwa bagian riil maupun bagian imajiner merupakan fungsi dari frekuensi

ω

. Jadi baik resistansi maupun reaktansi dari impedansi secara umum merupakan fungsi frekuensi.

Perhatian :

Perhatian : Walaupun impedansi merupakan pernyataan yang berbentuk kompleks, akan tetapiimpedansi

bukanlah fasor . Impedansi dan fasor merupakan dua pengertian dari dua konsep yang berbeda.

 Fasor adalah pernyataan dari sinyal sinus  Impedansi adalah pernyataan elemen.

Walaupun impedansi bukan fasor, namun karena keduanya berupa pernyataan kompleks, maka operasi-operasi fasor dapat diterapkan pada keduanya. Sebagai contoh kita ambil hubungan seri RL :

1 1 1 2 2 seri ( ) tan

=

∠

λ

ω

∠

ω

+

=

ω

+

=

R j L R L − L Z Z _RL

Jika fasor tegangan VV_s

=

V ₁

∠

θ

₁ diterapkan pada hubungan seri RL

ini, maka arus yang mengalir adalah

(

1 1

)

1 1 1 1 1 seri ₁

λ

−

θ

∠

=

λ

∠

θ

∠

=

Z V Z V Z RL s RL V V II (12.28)

Secara singkat, impedansi elemen dan hubungan arus-tegangan elemen adalah sebagai berikut.

C C L L R R C L R C j L j R C j Z L j Z R Z II V V II V V II V V

ω

=

ω

=

ω

=

ω

=

1 ; ; 1 ; ; (12.29)

Secara singkat dapat kita katakan bahwa :

Secara singkat dapat kita katakan bahwa : dengan menyatakan sinyal sinus ke dalam bentuk fasor, maka perbandingan antara tegangan elemen dan arus elemen merupakan suatu besaran kompleks yang kita sebut impedansi di kawasan fasor. Dengan

(13)

tegangan dan arus elemen menjadi mirip dengan relasi hukum Ohm di kawasan waktu. Kaidah-kaidah rangkaian di kawasan waktu berlaku juga di kawasan fasor.

COTOH-12.3:

COTOH-12.3: Arus yang melalui induktor 0,5 H adalah

i L(t )=0,4cos(1000t ) A. Tentukanlah: a) impedansi induktor; b)

Fasor tegangan pada induktor; c) bentuk gelombang tegangan pada induktor.

Penyelesaian : Penyelesaian :

a). Impedansi induktor adalah Z L = j

ω

L. Dalam contoh ini

ω

=

1000, jadi

Ω

=

×

=

j 1000 0,5 j500 Z _L

b). Fasor tegangan induktor adalah fasor arus kali impedansinya. Karena arus dinyatakan di kawasan waktu, kita ubah dulu pernyataan arus ini ke kawasan fasor menjadi

A 0 4 , 0

∠

o

=

L

II . Tegangan induktor adalah

V 90 200 0 4 , 0 90 500 0 4 , 0 ) 500 ( o o o o

∠

=

∠

×

∠

=

∠

×

=

Z _L _L j L II V V

c). Bentuk gelombang tegangan pada induktor yang dimaksudkan di sini adalah pernyataan di kawasan waktu dari tegangan induktor. Dari hasil b) dengan mudah kita nyatakan V ) 90 1000 cos( 200 ) (t

=

t

+

o v_L Pemahaman: Pemahaman:

Fasor tegangan dan fasor arus pada induktor berbeda fasa

sebesar 90o.Tegangan

mendahului arus dengan sudut

90o.

COTOH-12.4:

COTOH-12.4: Arus yang melalui kapasitor sebesar 50 pF adalah

iC (t )=0,5cos(106 t ) mA. Tentukanlah: a) impedansi kapasitor; b)

fasor tegangan pada kapasitor; c) bentuk gelombang tegangan pada kapasitor. II L L V V L L Re Im _tegangan_tegangan mendahului mendahului arus arus9090oo A A L II

(14)

Penyelesaian : Penyelesaian : V. ) 90 10 cos( 10 ) ( c). V 90 10 ) 0 10 5 , 0 ( ) 90 10 20 ( b). k 20 ) 10 50 ( 10 1 a). o 6 o o 3 o 3 12 6

−

=

∠

−

∠

×

−

∠

×

=

Ω

−

=

×

−

=

ω

=

− − t t v Z j j C j Z C C C C C II V V Pemahaman: Pemahaman:

Fasor tegangan dan fasor arus pada induktor berbeda fasa sebesar 90o. Tegangan mendahului arus dengan sudut

90o.

COTOH-12.5:

COTOH-12.5:Suatu beban diberi tegangan

v(t ) = 120cos(314t +10o) V.

Arus yang mengalir adalah i(t )= 5cos(314t +40o) A. Carilah impedansi beban tersebut.

Tegangan dan arus dalam fasor adalah

A 40 5 dan V 10 120

∠

o

=

∠

o

=

II V V

Impedansi beban adalah:

Ω

−

=

−

+

−

=

Ω

−

∠

=

∠

=

12 8 , 20 ) 30 sin( 24 ) 30 cos( 24 30 24 40 5 10 120 o o o j j Z _B II V V Pemahaman : Pemahaman :

Kita mengetahui bahwa impedansi induktor adalah Z L= j

ω

L dan

impedansi kapasitor adalah Z C =

−

j/

ω

C . Dari sini kita lihat

bahwa sesuatu impedansi yang komponen imajinernya positif akan bersifat induktif sedangkan jika komponen imajinernya negatif akan bersifatkapasitif .

IICC V VCC Re Im arus arus mendahului mendahului tegangan tegangan 90 90oo C V V C II

(15)

Dalam contoh-12.5. ini impedansi beban mempunyai komponen imajiner negatif. Jadi beban bersifat kapasitif. Pada beban kapasitif ini sudut fasa arus lebih besar dari sudut fasa tegangan. Kita katakan bahwa

arus mendahului

tegangan atau arus

leading terhadap

tegangannya. Gambar fasor arus dan tegangan pada beban adalah seperti di samping ini.

COTOH-12.6:

COTOH-12.6:Suatu beban diberi tegangan

v(t ) = 120cos(314t +20o) V

Arus yang mengalir adalah i(t )= 5cos(314t

−

40o) A. Carilah impedansi beban tersebut.

Ω

+

=

+

=

Ω

∠

=

−

∠

=

8 , 20 12 ) 60 sin( 24 ) 60 cos( 24 60 24 40 5 20 120 o o o o o j j Z _B II V V Pemahaman : Pemahaman :

Dalam contoh ini komponen imajiner impedansi beban bernilai positif. Beban bersifat induktif. Pada beban yang bersifat induktif sudut fasa arus lebih kecil dari sudut

fasa tegangan. Fasor arus ketinggalan dari tegangan atau arus lagging terhadap tegangan. Fasor tegangan dan fasor arus dalam contoh ini digambarkan seperti di bawah ini.

II VV Re Im arusarus mendahului mendahului tegangan tegangan

−

II V V Re Im arus arus tertinggal dari tertinggal dari tegangan tegangan

−

(16)

COTOH-12.7:

COTOH-12.7:Tegangan sumber pada rangkaian di samping ini adalah

v s(t )=250cos500tV.

a). Tentukan fasor arus pada rangkaian.

b). Tentukan fasor tegangan di tiap elemen.

c). Gambarkan fasor tegangan sumber dan elemen.

d). Nyatakan bentuk gelombang arus dan tegangan elemen. Penyelesaian :

Penyelesaian :

Untuk bekerja di kawasan fasor, rangkaian ini kita transformasikan menjadi rangkaian impedansi dan sumbernya dinyatakan dalam fasor. Impedansi elemen dan tegangan sumber menjadi . 0 250 25 10 50 500 ; 100 10 20 500 ; 100 o 3 6

∠

=

Ω

=

×

=

Ω

−

=

×

−

=

Ω

=

− − s L C R j j Z j j Z Z V V

Rangkaian di atas menjadi seperti berikut

a). Impedansi total rangkaian adalah

Ω

−

∠

=

−

∠

+

=

Ω

−

=

+

−

=

− 87 , 36 125 100 75 tan ) 75 ( ) 100 ( 75 100 25 100 100 o 1 2 2 j j j Z _tot

Arus pada rangkaian adalah

A 36,87 2 87 , 36 125 0 250 _o o o

∠

=

−

∠

=

tot s Z V V II

b). Dengan menggunakan kaidah pembagi tegangan, tegangan di tiap elemen dapat dengan mudah dihitung.

100

Ω

+

−

j100

Ω

j25

Ω

V V s= 250

∠

0oV 100

Ω

+

−

20 F 50mH v s

(17)

V 26,87 1 0 5 0 250 87 , 36 125 90 25 V ,13 3 5 200 0 250 87 , 36 125 90 100 V 36,87 200 0 250 87 , 36 125 100 o o o o o o o o o o o

∠

=

∠

−

∠

=

−

∠

=

∠

−

∠

−

∠

=

∠

=

∠

−

∠

=

s tot L L s tot C C s tot R R Z Z Z Z Z Z V V V V V V V V V V V V c). Gambar fasor

tegangan sumber dan tegangan-tegangan elemen adalah seperti di bawah ini. Perhatikanlah bahwa fasor-fasor tegangan ini memenuhi HTK L R C s VV VV VV V V

=

+

d). Bentuk gelombang arus dan tegangan elemen adalah

V ) 26,87 1 500 cos( 0 5 ) ( V ) ,13 3 5 500 cos( 200 ) ( V ) 36,87 500 cos( 200 ) ( A ) 87 , 36 500 cos( 2 ) ( o o o o

+

=

−

=

+

=

+

=

t t v t t v t t v t t i L C R Pemahaman : Pemahaman :

Tegangan di setiap elemen dapat pula dicari dengan mengalikan arus dan impedansinya.

V 26,87 1 0 5 87 , 36 2 90 25 V ,13 3 5 200 87 , 36 2 90 100 V 36,87 200 87 , 36 2 100 o o o o o o o o

∠

=

∠

×

∠

=

−

∠

=

∠

×

−

∠

=

∠

=

∠

×

=

II V V II V V II V V L L C C R R Z Z Z Sesuai dengan HTK, VV_s

=

VV_C

+

VV_R

+

VV_L Diagram fasornya adalah seperti di samping ini. V V L V V R V V s Re Im V VC

−

V V L = jX L II V V s = VVC + V V R + V V L Re Im II

−

− −

− − − −

(18)

Perhatikanlah bahwa

 fasor VV_R

=

RII_L sejajar II

 fasor VV_C

=

−

jX _CII tegak lurus pada II , pergeseran sudut

fasa

₋

90

o

.

 fasor VV_L

=

jX _LII tegak lurus pada fasor II dengan

pergeseran sudut fasa + 90o.

COTOH-12.8:

COTOH-12.8:Arus sumber pada rangkaian di bawah ini adalah

i s(t )=50cos1000tmA.

a). Tentukan fasor tegangan kapasitor. b). Tentukan fasor arus di tiap cabang.

c). Gambarkan fasor arus sumber dan arus cabang dan tegangan kapasitor.

d). Gambarkan fasor tegangan kapasitor, tegangan resistor dan induktor.

Dengan

ω

= 1000, maka impedansi elemen dan fasor arus sumber adalah . 0 50 ; 400 4 , 0 1000 ; 500 10 2 1000 ; 300 o 6

∠

=

Ω

=

×

=

Ω

−

=

×

−

=

Ω

=

− s L C R j j Z j j Z Z II

Transformasi rangkaian ke kawasan fasor adalah seperti di bawah ini:

300

Ω

2

µ

F

0,4 H

(19)

a). Admitansi dari kedua cabang yang diparalel masing-masing adalah S 10 16 10 12 ) 3 / 4 ( tan 500 1 400 300 1 ; S 10 2 500 1 4 4 1 3 − − − −

×

−

×

=

∠

=

+

=

×

=

−

=

j j Y j j Y RL C Admitansi total : S 4 , 18 10 65 , 12 10 4 10 12 S 10 16 10 12 10 2 o 4 4 4 4 4 3

∠

×

=

×

+

×

=

×

−

×

+

×

=

+

=

− − − − − − j j j Y Y Y _tot _C _RL

Tegangan pada kapasitor (yang sama dengan tegangan pada

Rdan L seri) adalah

V 4 , 18 5 , 39 4 , 18 10 65 , 12 0 10 50 _o 4 o 3

−

∠

=

∠

×

∠

×

=

− − tot s C Y II V V

b). Arus di tiap cabang adalah

mA ,6 1 6 9 7 90 500 4 , 18 5 , 39 500 4 , 18 5 , 39 _o o o o 1

=

∠

−

∠

−

∠

=

−

∠

=

j Z _C C V V II mA 5 , 71 79 1 , 53 500 4 , 18 5 , 39 400 300 4 , 18 5 , 39 o o o o 2

−

∠

=

∠

−

∠

=

+

−

∠

=

j Z Z _RL C RL RL VV V V II 300

Ω

−

j500

Ω

j400

Ω

50

∠

0o mA 1 II II2

(20)

c). Gambar fasor arus sumber dan arus cabang adalah seperti di samping ini :

Perhatikan bahwa: 1 2 II II II

=

+

s ; 1 II 90o mendahului VVC ; 2 II tertinggal dari VVC .

d). Gambar fasor tegangan kapasitor, resistor dan induktor adalah seperti di bawah ini :

II2 Re Im V VC V V R= RII2 VV L= jX LII2

−

II s II2 II1 Re Im V VC

−

(21)

Soal-Soal

1. Nyatakanlah sinyal-sinyal sinus berikut ini kedalam fasor dan gambarkanlah diagram fasornya.

3 1 6 3 1 5 2 1 4 o 3 o 2 1

f).

e).

d).

)

45 cos(

50 c).

)

90 cos(

75 b).

cos

100 a).

v

t

v

t

v

t

v

+

=

−

=

ω

+

=

+

=

−

ω

=

ω

=

2. Nyatakanlah fasor-fasor berikut ini kedalam sinyal di kawasan waktu, jika frekuensi adalah 300 rad/s.

2 1 4 2 1 3 o 2 o 1 d). c). 60 30 b). 30 60 a). V V V V V V V V V V V V V V V V

−

=

+

=

−

∠

=

∠

=

3. Tuliskanlah fasor-fasor pada soal 2 ke dalam bentuk sudut siku VV =

=a + jb.

4. Tuliskanlah fasor-fasor berikut ke dalam bentuk polar V =V = A

∠θ

.

2 1 4 2 1 3 2 1 d). c). 4 4 b). 6 3 a). V V V V V V V V V V V V V V V V

−

=

+

=

−

=

+

=

j j

5. Jika VV = 3 + j4 dan II = 2 + j2, berapakah

II V V II V V

=

Z S ; b). a). *

Tuliskan S maupun Z dalam bentuk polar maupun bentuk sudut siku.

6. Sebuah resistor 50

Ω

dihubungkan seri dengan induktor 20 mH. a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000 rad/s.

b). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000 rad/s.

c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz. 7. Sebuah resistor 50

Ω

dihubungkan seri dengan kapasitor 1

µ

F. (a)

Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000 rad/s; (b) Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000 rad/s; (c) Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz.

(22)

8. Sebuah resistor 50

Ω

dihubungkan paralel dengan kapasitor 200 nF.

a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000 rad/s.

c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz. 9. Sebuah resistor 50

Ω

dihubungkan paralel dengan induktor 50

mH.

a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000 rad/s.

c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz. 10. Pada hubungan seri antara resistor 50

Ω

dengan induktor 50 mH

diterapkan tegangan 10cos1000t V. Berapakah arus yang mengalir ? Gambarkan diagram fasornya.

11. Pada hubungan paralel antara resistor 1 k

Ω

dengan kapasitor 0,2

µ

F diterapkan tegangan 40cos1000t V. Berapakah arus yang mengalir di masing-masing elemen ? Gambarkan diagram fasornya.

12. Pada hubungan seri antara resistor 400

Ω

dengan induktor 2 H, diterapkan tegangan 380cos300t V. Berapakah tegangan di masing-masing elemen ? Gambarkan diagram fasornya.

13. Pada rangkaian berikut, hitunglah impedansi yang terlihat dari terminal A-B, jika frekuensi adalah 1000 rad/s.

50

Ω

A B 0,1H 20

Ω

40 F 20 F

(23)

14. Pada rangkaian berikut, hitunglah impedansi yang terlihat dari terminal A-B, jika frekuensi adalah 1000 rad/s.

15. Pada rangkaian berikut, hitunglah impedansi yang terlihat dari terminal A-B, jika frekuensi adalah 50Hz.

A B 200

Ω

10 F 1H 10 F A B 1,2k

Ω

20 F 0,3H 1,6H

(24)