• Tidak ada hasil yang ditemukan

2. PERSAMAAN NON-LINIER

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "2. PERSAMAAN NON-LINIER"

Copied!
15
0
0

Teks penuh

(1)

Metoda Numerik hal. 16

Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Jack la Motta

Bab

D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)

2.

PERSAMAAN NON-LINIER

Di dalam matematika aplikasi pencarian akar persamaan f(x)=0 sering dijumpai. Biasanya jawaban analitis dari persamaan diatas tidak ada, sehingga harus dicari jawaban numeriknya yang biasa dilaksanakan dengan metode iterasi.

2.1.

Metode Bagi Paruh (Bisection)

Jika terdapat suatu f(x) yang menerus ∈ [a,b] dan f(a)f(b) < 0, maka menurut Teorema 1.1 paling tidak f(x) mempunyai satu akar f(x) mempunyai satu akar

∈ [a,b].

Algoritma

Bisect(f, a, b, akar, ε) 1. Hitung c := (a+b)/2

2. Jika bc≤ε , maka akar:= c, dan ‘ exit’

3. Jika {tanda f(b)•tanda f(c)} i 0, maka a := c , jika tidak b := c

4. Kembali ke langkah nomor 1.

Definisi

Suatu deret hasil suatu iterasi {xn|nj0} dikatakan menuju ke titik dengan

derajat p j1 , jika

0

1 ≤ − ≥

xn+ cα xn p n

α

untuk beberapa nilai c>0. Jika p=1, deretnya disebut menuju ke titik secara linier. Pada kasus ini diperlukan nilai c<1; c disebut laju linier dari xn menuju .

Ada beberapa metode yang membutuhkan definisi yang agak berbeda dengan diatas yaitu 0 0 1 ≤ − ≥ −xn+ cnα x n α

(2)

Persamaan Non-Linier Buku kuliah

♦ Tingkat kelajuan metode bagi paruh dinyatakan dalam

) ( ) 2 1 ( b a cnn − − α

Gambar 5 Metoda Bagi Paruh untuk mencari akar

2.2.

Metode Newton

Deret Taylor: ... ) ( " ) ( 2 1 ) ( ' ) ( ) ( ) (x = f xn + xxn f xn + xxn 2 f xn + f

atau menurut Teorema 1.4

) ( " ) ( 2 1 ) ( ' ) ( ) ( ) ( 2 ξ f x x x f x x x f x f = n + − n n + − n

dengan ξ diantara xn dan x.

Jika akar dari f(x), salah satunya adalah α, maka

0 ) ( " ) ( 2 1 ) ( ' ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 2 = − + − + = = = ξ α α α f x x f x x f x f x f n n n n jadi ) ( ' ) ( " ) ( 2 1 ) ( ' ) ( 2 n n n n n x f f x x f x f x α ξ α = − − −

maka α dapat didekati dengan

y

x

y=f(x)

α

akar sesungguhnya yang akan dicari nilai awal b nilai c = ( a + b )/ 2 f(a)<0 f(b)>0 abaru abaru bbaru

metode ini diulang-ulang sampai abs (c-b) < ε c = ( a + b )/ 2 c = ( a + b )/ 2

(3)

Persamaan Non-Linier Buku kuliah

Metoda Numerik hal. 18

Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Jack la Motta

D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)

0 ) ( ' ) ( 1 = − ≥ + n x f x f x x n n n n dengan ‘errornya’ 0 ) ( ) ( ' 2 ) ( " 2 1 =− − ≥ − + x n x f f x n n n α ξ α

Untuk nilai n ∞, ξ α dan xn α, jadi

2 2 1 ) ( konstanta ) ( ) ( ' 2 ) ( " n n n x x f f x − × = − − = − + α α α α α

Sehingga metode Newton dikatakan mempunyai derajat kelajuan = 2

Gambar 6 Metoda Newton untuk mencari akar

Algoritma

Newton (f, df, x0, ε, akar, itmax, ierr)

1. Keterangan : df adalah f’(x), itmax adalah iterasi maximum, ierr adalah ‘error flag’

2. noiter:=1

3. penyebut:=df(x0)

4. jika penyebut = 0 maka ierr:=2, dan ‘exit’ 5. x1:= x0 - f(x0)/penyebut

6. jika |x1 – x0|iε, maka ierr:= 0, akar:= x1, dan ‘exit’ 7. jika noiter = itmax maka ierr:= 1, dan ’exit’

8. noiter:= noiter +1, x0:=x1, dan ulangi langkah 3.

y x y=f(x) x0 x1 grs singgung α

(4)

Persamaan Non-Linier Buku kuliah

2.3.

Metode Sekan

Dengan menggunakan sifat segitiga sebangun diperoleh

2 1 1 0 1 0 1) ( ) ( ) 0 ( x x x f x x x f x f CE CD BA BD − − = − − = Jadi ) ( ) ( ) ( 0 1 0 1 1 1 2 x f x f x x x f x x − − − = atau 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 1 ≥ − − = − − + n x f x f x x x f x x n n n n n n n

Gambar 7 Metoda Sekan untuk mencari akar

Metode sekan dapat dijabarkan dari metode Newton dimana

1 1) ( ) ( ) ( ' − − − − = n n n n n x x x f x f x f Derajat Konvergensi:

untuk metode Newton p = 2

untuk metode sekan p = ½(1+√5) = 1,618

untuk metode ‘bisection’ p = 1

y x y=f(x) x0 x1 α akar sesungguhnya nilai awal nilai awal x2 x3 B D E C A

(5)

Persamaan Non-Linier Buku kuliah

Metoda Numerik hal. 20

Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Jack la Motta

D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)

2.4.

Akar dari Persamaan Polinomial

p(x) = a0 + x(a1 + x(a2+…+x(an-1 + anx)…) (A)

atau

p(x) = a0 + a1x + a2x2+…+ anxn (B)

Pada Pers.(A) terdapat n perkalian & pertambahan, sedangkan dalam

Pers.(B) terdapat: (2n–1) perkalian & pertambahan. Oleh karena itu dalam pemrograman komputer lebih disukai bentuk dalam Pers.(A), karena lebih efisien. Pers. (A) jika ditulis dalam FORTRAN menjadi

p = a(n)

do 10 i = n,1,-1 10 p = p*x + a(i–1)

Untuk menghitung akar dari persamaan p(x) = 0 akan digunakan Metoda Newton. Untuk keperluan itu polinomial p(x) akan dimodifikasi sebagai berikut Disyaratkan: bn = an

bk = ak + zbk+1 , k = n–1, n–2,… , 0

Dari syarat ini p(x) dapat ditulis sebagai

p(x) = b0 + (xz)q(x) dengan q(x) = b1 + b2x +…+ bnx n-1

sehingga p’(x) = (xz)q’(x) + q(x) p’(z) = q(z)

Algoritma:

Polynew (a, n, x, ε, itmax, akar, b, ier)

1. Keterangan: a adalah vektor coef. dengan dimensi n, itmax adalah iterasi maksimum, b adalah vektor coef. dari polinomial yang baru, ier adalah indikator adanya error.

2. noiter: = 1

3. x: = x0 , bn:= c := an

4. Untuk k = n-1, …, 1, bk := ak+ zbk+1, c := bk + zc

5. b0:= a0 + zb1

6. Jika c = 0, ier := 2, dan ‘exit 7. x1:= x0 – b0/c

8. Jika ⏐x1 – x0⏐≤ε , ier :=0 ,akar:= x1, dan ‘exit’ 9. Jika noiter:= itmax, ier:= 1, dan ‘exit’

(6)

Persamaan Non-Linier Buku kuliah

(7)

Metoda Numerik hal. 22

Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Jack la Motta

Bab

D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)

3.

TEORI INTERPOLASI

Jika kita mempunyai satu set data:

(x0, y0) , (x1, y1), …, (xn, yn)

maka dalam bab ini akan di jelaskan bagaimana harus mencarti polinomial yang melalui, data di atas.

Jika polinomial ini ditulis sebagai:

p(x) = a0 + a1x +… + anxn

maka jika data diatas disubstitusikan akan didapat (n+1) persamaan dengan (n+1) variabel tidak diketahuinya yaitu:

n n n n n n n y x a x a a y x a x a a = + + + = + + + L M M L 1 0 0 0 0 1 0

Persamaan diatas jika diselesaikan akan menghasilkan a0, …, an sehingga

polinomial p(x) dapat dicari .

3.1.

Metoda Beda Terbagi Newton

Notasi yang digunakan:

[

]

[

] [

]

0 1 1 1 ... ... -x x ,x , x f ,x , x f , ... ,x ,x x f n n n n o − = Contoh Order 0: ƒ[x0] =ƒ[xn] Order 1:

[

]

[ ] [ ]

0 1 0 1 1 0, x x x f x f x x f − − = Order 2:

[

]

[

] [

]

0 2 1 0 2 1 2 1 0 , , , , x x x x f x x f x x x f − − = Order 3:

[

]

[

] [

]

0 2 1 0 3 2 1 3 2 1 0 , , , , , , x x x x f x x x f x x x x f − − =

(8)

Teori Interpolasi Buku kuliah

Rumus beda terbagi Newton:

pn(x) = ƒ[x0]+ (x3-x0)ƒ[x0,x1]+(x3-x0)(x-x1)ƒ[x0,x1]+… +(xx0)…(xxn-1)ƒ[x0,x1,…,xn]

Contoh: Kita buat tabel beda terbagi berdasarkan polinomial

ƒ(x) = x3 – 2x2 + 7x – 5 i xi f[xi] f[xi, xi+1] f2[ ] f3[ ] 0 0.0 -5.0 6 2 1 1 1.0 1.0 12 6 2 3.0 25.0 30 3 4.0 55.0 Keterangan:

( )

6 0 1 5 1 = − − − = A 12 1 3 1 25 = − − = B 30 3 4 25 55 = − − = C 2 0 3− = − = B A D 6 1 4 12 30 = − − = E 1 0 4− = − = E D F Contoh hitungan pn(x=0.5) = ?

p1(x) = -5 + (x-0)6 = 6x – 5 ∴p1 (0.5) = -2

p2(x) = -5 + (x-0)6 + (x-0)(x–1)2 = 2x2 + 4x – 5 p2 (0.5) = -2,5

p3(x) = -5 + (x-0)6 + (x-0)(x–1)2 +(x-0)(x-1)(x-3)1 = x3 – 2x2 + 7x – 5 ∴ p2 (0.5) = -15/8 = - 1.875

♦ Algoritma metoda beda terbagi Newton

Divdif (d, x , n)

1. Keterangan: d dan x adalah vektor f(xi) dan xi = 0,1,…,n. Pada saat ‘exit’ di

akan terisi oleh nilai f[x0,…,xi]

2. Kerjakan s/d langkah 4 untuk i = 1, 2 ,… ,n

3. Kerjakan sampai dengan langkah 4 untuk j = n, n-1, i

4. dj := (dj -dj-1) /(x-xj-1)

(9)

Teori Interpolasi Buku kuliah

Metoda Numerik hal. 24

Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Jack la Motta

D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)

Interp(d, x, t, p)

1. Keterangan: Pada awalnya d dan x adalah vektor dari ƒ[x0,…,xi] dan xi, i = 0,

1 , …, n. Pada saat ‘exit’ p akan berisi pn(t).

2. p := dn

3. Kerjakan s/d langkah 4 untuk i = n-1 , n--2, …, 0 4. p := di + (txi)p

5. ‘ exit’

3.2.

Interpolasi dengan tabel beda hingga

3.2.1.

Beda Maju

Notasi: Δƒ(xi) = ƒ(xi+1) - ƒ(xi) dengan xi = x0 + ih, i = 0, 1, 2, 3, …

Untuk r≥ 0,

Δr+1ƒ(z) = Δrƒ(z+h) - Δrƒ(z)

Δrƒ(z) disebut ‘ beda maju order r ,‘ Δ disebut ‘operator beda maju ‘

Contoh: Δ0ƒ(x) = ƒ(x)

Δƒ(x) = Δ0ƒ(z+h) - Δ0ƒ(z) = ƒ(x+h) - ƒ(x)

Δ2ƒ(x) = Δƒ(x+h) - Δƒ(x)

Contoh hitungan : Kita gunakan polinomial x3 – 2x2 + 7x – 5 dengan h = 1,0

i xi f(xi) Δ2ƒ Δ3ƒ Δ4ƒ 0 0.0 -5.0 6 2 6 0 1 1.0 1.0 8 8 6 2 2.0 9.0 16 14 3 3.0 25.0 30 4 4.0 55.0

Korelasi antara ‘beda maju’ dengan ‘ beda terbagi’

[

]

[ ] [ ]

h x f h x f h x f x x x f x f x x f , ( 0 ) ( 0) ( 0) 0 1 0 1 1 0 Δ = − + = − − =

(10)

Teori Interpolasi Buku kuliah

[

]

20 2 0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 2 1 0 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , h x f x x x x x f x f x x x f x f x x x f = Δ − − − − − − = Secara umum:

[

]

n n n h n x f x x x f ! ) ( ,..., , 0 1 0 Δ =

Akan dijabarkan rumus interpolasi ‘beda maju’ dari rumus interpolasi ‘beda terbagi’ Newton. Didefinisikan

h x x0

=

α yang menunjukkan letak titik x

terhadap x0. Jadi misalnya α = 1.6, maka x terletak pada jarak 6/10 dari x1 ke arah

x2.

Diinginkan rumus untuk:

(xx0) (xx1) … (xxk) dinyatakan dalam α xxj = x0 + αh – (x0 + jh) = (α-j)h Jadi (xx0) (xx1) … (xxk) = α(α -1)… (α -k)hk+1 sehingga n n n n h n f h n h f h h f h f x p ! ) 1 )...( 1 ( ... ! 2 ) 1 ( ) ( 0 2 0 2 2 0 0 Δ + − − + + Δ − + Δ + = α α α α α α

Jika didefinisikan koefisien binomial sbb:

! ) 1 )...( 1 ( k k k + − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛α α α α , k>0 dan 1 0⎟⎟= ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛α maka didapat rumus interpolasi ‘beda maju’ sbb:

h x x x f j x p j n j n 0 0 0 dengan ) ( ) ( ⎟⎟Δ = − ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

= α α Contoh hitungan: p(x=1.5) = ? 5 . 1 0 . 1 0 . 1 5 . 1 0 = − = − = h x x α 1) p1(x) = ƒ(x0) + αΔƒ(x0) = -5 + 1.5 (6) = 4 2) p2(x) = ƒ(x0) + αΔƒ(x0) + α(α-1)∆2f(x0)/2! = -5 + 1.5 (6) + 1.5 (0.5)2/2! = 4.75

(11)

Teori Interpolasi Buku kuliah

Metoda Numerik hal. 26

Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Jack la Motta

D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)

3.2.2.

Beda Mundur

Notasi: ∇ƒ(z) = ƒ(z) - ƒ(z-h) ∇r+1ƒ(z) = rƒ(z) - rƒ(z-h) rj1 Rumus interpolasinya 1 0 1 , dengan ) ( 1 ) ( 0 0 0 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− − − = ∇ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =

= α α α h x x x f j j x p j n j n i xi f(xi) 2ƒ ∇3ƒ ∇4ƒ -4 0.0 -5.0 6 2 6 0 -3 1.0 1.0 8 8 6 -2 2.0 9.0 16 14 -1 3.0 25.0 30 0 4.0 55.0 Contoh hitungan: p(x=3.5) = ? 5 . 0 0 . 1 0 . 4 5 . 3 0 − = − + = = h x x α 1) p1(x) = ƒ(x0) + (-α)∇ƒ(x0) = 55 + (-0.5) 30 = 40 2) p2(x) = p1(x) + (-α)(-α+1)∇2f(x0)/2! = 40 + (-0.5)(0.5)14/2! = 38.25 3) p3(x) = p2(x) + (-α)(-α+1) (-α+2)∇3f(x0)/3! = 38.25 + (-0.5)(0.5)(1.5)6/3! = 37.875

3.3.

Lagrange

Polinomial Lagrange dibentuk dengan fomulasi berikut:

( )

( ) ( )

i n i i n x L x f x p

= = 0

( )

≠ = = − − = n i j j i j j i i n x x x x x L 0 ,..., 1 , 0 Contoh:

( )

( )

( )

1 1 0 0 0 1 0 1 f x x x x x x f x x x x x pi − − + − − =

( ) (

(

)(

)(

)

) ( )

(

(

)(

)(

)

) ( )

(

(

)

)(

(

)

)

( )

2 2 1 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 0 2 0 1 0 2 1 2 f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p − − − − + − − − − + − − − − =

(12)

Teori Interpolasi Buku kuliah

Contoh: hitung p2

( )

x yang melalui titik-titik

(

0,15

) ( ) (

;1,1; 3,25

)

( ) (

(

)(

)(

)

)

(

(

)(

)(

)

)

3 3 4 3 0 1 0 3 1 2 2 0 1 0 2 1 0 + − = − − − − = − − − − = x x x x x x x x x x x x x L

( ) (

(

)(

)(

)

)

(

(

)(

)(

)

)

2 3 3 1 0 1 3 0 2 2 1 0 1 2 0 1 − − = − − − − = − − − − = x x x x x x x x x x x x x L

( ) (

(

)(

)(

)

)

(

(

)(

)(

)

)

6 1 3 0 3 1 0 2 1 2 0 2 1 01 2 x x x x x x x x x x x x x L = − − − − − = − − − − = Jadi p2

( )

x =L0

( ) ( )

x × −5 +L1

( ) ( )

x × 1 +L2

( ) ( )

x × 25 =2x2 +4x−5

3.4.

Beberapa fakta penting dari’beda terbagi’

1.

[

]

( )

( )

! ,..., , 1 0 m f x x x f m m ξ = untuk ξ∈X

{

x0,x1,...,xn

}

dimana X

{

x0,...,xm

}

artinya interval terkecil dimana x0,x1,...,xm tercakup!

Contoh:

[ ]

( )

( )

( )

0 0 0 ! 0 f x f x f = ξ =

[

,

]

( ) ( )

'

( )

ξ 0 1 0 1 1 0 f x x x f x f x x f = − − = ξ∈

[

x0,x1

]

[

]

'

( )

ξ 2 1 , , 1 2 0 x x f x f = ξ∈X

{

x0,x1,x2

}

2. Jika f

( )

x adalah polynomial derajad m, maka

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − > − = − < − − = 1 0 1 1 1 derajad polinomial , ,..., 0 m n m n a m n n m x x x f n m dengan

( )

1 0 1 1x ... a x a a x a x f = m m + m m− + + +

3. Kesalahan dalam interpolasi

( )

( ) (

)(

(

) (

)

)

( )

( )

x n n n f n x x x x x x x p x f 0 1 1 ξ ! 1 ... + + − − − = − dengan ξx∈Η

{

x0,....,xn,x

}

4. f

[

x x x

] [

f x x x x x

]

dx d n n, , ,..., , , ,..., 0 0 =

(13)

Metoda Numerik hal. 28

Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Jack la Motta

Bab

D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)

4.

INTEGRASI NUMERIS

4.1.

Rumus trapesium dan Simpson

Pada bab ini akan dibicarakan cara menghitung integral secara numeris dari

= b a f(x)dx I(f) dimana [a,b] berhingga

Gambar 8 Konsep integrasi trapesium

Rumus trapesium pada dasarnya adalah mendekati f(x) dengan garis lurus yang melalui (a,f(a)) dan (b,f(b))

[

( ) ( )

]

2 ) ( 1 f a f b a b f I = − − y x y=f(x) b y =p1(x) a (b,f(b)) (a,f(a))

(14)

Integrasi Numeris Buku kuliah Error:

[

abx

]

f b x a x b f a b a x a f b a b x x f x p x f , , ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 − − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − + − − − = −

ingat definisi ‘beda terbagi f[a,b,x]. Jadi ‘error’:

[

abx

]

dx f b x a x b f a f a b dx x f f E b a b a

− − = + − − = , , ) )( ( )] ( ) ( )[ ( 2 1 ) ( ) ( 1

dengan harga tengah integral, didapat:

[

]

) ( " 12 ) ( ] , [ ) ( 6 1 ) ( " 2 1 ) )( ( , , ) ( 3 3 1 η η η ξ ξ f a b b a a b f b a dx b x a x b a f f E b a − − = ∈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ≤ ≤ − − =

Jika interval [a,b] dibagi menjadi n pias sehingga untuk nj1, h = (b-a)/n dan

xj = a + jh, j = 0,1,…,n, didapat:

[

]

∑ ∫

= − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − = = = − n j j j j n j x x b a f h x f x f h f(x)dx f(x)dx I(f) j j 1 3 1 1 ) ( " 12 ) ( ) ( 2 1 η dengan xj-1injixj.

Sehingga integralnya dapat didekati dengan

1 2 1 ... 2 1 ) (f =h⎢⎣f0 + f1 + + f =1 + f⎥⎦ nIn n n

Kesalahan In(f) terhadap I(f) adalah

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = − = − =

= = n j j n j j n n f n n h f h f E f I f E 1 3 1 3 ) ( " 1 12 ) ( " 12 ) ( ) ( ) ( η η

(15)

Integrasi Numeris Buku kuliah

Metoda Numerik hal. 30

Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Jack la Motta

D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)

) ( " ) ( " 1 ) ( " 1 x f Max f n x f Min b x a n j j b x a≤ ≤ ≤

= η ≤ ≤ ≤ karena f”(x) menerus pada aixib, maka

η η η η ( " 12 ) ( ) ( " 12 ) ( ] , [ ) ( " 12 ) ( 2 3 2 3 f n a b f a b h b a f n h f En − − = − − = ∈ − =

Estimasi kesalahan asimtotis E~n(f)

− = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = = ∞ → = ∞ → ∞ → b a n j j n n j j n n n dx x f h f Limit h f Limit h f E Limit ) ( " 12 1 ) ( " 12 1 ) ( " 12 1 ) ( 1 1 2 η η maka

{

'( ) '( )

}

12 ) ( ~ 2 a f b f h f En ≡− − Definisi:

Jika En(f) adalah kesalahan eksak, sedangkan ( )

~

f

En adalah estimasi darinya, maka

) ( ~

f

En disebut estimasi kesalahan asimtotis dari En(f) jika:

1 ) ( ) ( ~ = ∞ → E f f E Limit n n n atau ( ) 0 ) ( ~ ) ( = − ∞ → E f f E f E Limit n n n n

4.1.1.

Rumus trapesium terkoreksi

Dengan menggunakanE~n(f), rumus trapesium dapat ditingkatkan menjadi:

{

'( ) '( )

}

12 2 1 ... 2 1 ) ( ~ ) ( ) ( 2 1 1 0 f b f a h f f f f h f E f I f CT n n n n n − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + + + = + = =

Gambar

Gambar 5 Metoda Bagi Paruh untuk mencari akar
Gambar 6 Metoda Newton untuk mencari akar
Gambar 7 Metoda Sekan untuk mencari akar
Gambar 8 Konsep integrasi trapesium

Referensi

Dokumen terkait

1) Pengawasan, yaitu dengan sistem administrasi yang terjaga dengan baik untuk mengontrol keluar masuknya material. Tugas ini juga menyangkut keamanan dari material,

Dalam training intensif selama 2 hari, Anda dan tim akan menguasai teknik pembuatan slide bisnis dengan cepat dan mudah sekaligus menerapkan teknik delivery efektif agar

Apakah ikon aplikasi Parental Control dapat disembunyikan tanpa diketahui oleh anak ketika menggunakan smartphone atau tablet sehingga anak tidak tahu bahwa anak

Berdasarkan percobaan yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa kadar Berdasarkan percobaan yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa kadar senyawa sulfadiazin yang diperoleh dengan

Lokasi penelitian ini di Madrasah Tsanawiyah Negeri salah satu sekolah Menengah Pertama di bawah naungan Kementerian Agama yang ada di Kecamatan Anjir Muara Kabupaten

Program kegiatan Kuliah Kerja Nyata (KKN) ini sangat memerlukan adanya  bimbingan yang memadai, tentunya kerjasama antara staf-staf dari Dinas Pertanian Kutai Kartanegara dan

El present treball ens descobreix el passat m i n er del nostre país en form a d'un ampli inventari argueològic.. Molera (La

Wan Abdullah Wan Mahmood 1989 sependapat dengan pengkaji sejarah Islam yang lain dengan menyatakan bahawa Rasulullah merupakan orang yang pertama sebagai guru dalam pendidikan