SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

(1)

OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN

ALGORITMA GENETIKA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh:

Yolenta Asri Astuti Prany

NIM : 023114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

ABSTRAK

Secara umum, permasalahan optimasi dalam kehidupan sehari – hari lebih

sering menggunakan pemrograman linear, karena lebih mudah untuk diselesaikan

dari pada dengan menggunakan pemrograman tak linear. Karena pemrograman

tak linear selalu menimbulkan kesulitan dalam penanganan analitik dan numerik

(teknik konvensional), bahkan untuk fungsi dua variabel pun terkadang sulit untuk

diselesaikan. Algoritma Genetika merupakan salah satu teknik yang dapat dipilih

untuk menyelesaikan permasalahan pemrograman tak linear tersebut, karena

Algoritma Genetika merupakan teknik pencarian stokastik dengan sistem

pencarian berdasarkan mekanisme genetika dalam biologi.

Pada skripsi ini, generasi baru (anak) terbentuk dari rekombinasi dan mutasi

dengan menggunakan metode pemotongan satu titik. Pemilihan anak pada proses

rekombinasi atau mutasi dilakukan secara acak. Dari percobaan, solusi optimal

akan lebih mendekati dengan nilai konvensionalnya pada probabilitas rekombinasi

0.5 dengan probabilitas mutasi 0.08. Namun, probabilitas tersebut tidak mutlak,

karena Algoritma Genetika menggunakan teknik pencarian secara acak.

(7)

ABSTRACT

Generally, the optimization problems in daily life is more regular using the

linear programming, because it is easier to solved than nonlinear programming.

Because nonlinear programming are difficultly in analytic handling and numeric

(conventional technique), even for two variables function it is difficult to be

solved, sometimes. Genetic Algorithm are one of technique that could be chosen

to solved it, because Genetic Algorithm are stochastic search techniques based on

the mechanism of genetic on biology.

On this mini thesis, a new generation (offspring) formed of crossover or

mutation with one cut point method. Selection of new generation by crossover and

mutation conducted at random. According to the experiments, it is visible to get

the optimal solution close to a value by conventional with crossover probabilities

0.5 and mutation probabilities 0.08. But, that is not absolute, because the

searching technique of Genetic Algorithm are randomly.

(8)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Bapa di Surga dan Bunda Maria yang memberikan

kasih-Nya dan melimpahkan karunia-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat

diselesaikan. Skripsi ini disusun dalam rangka menyelesaikan pendidikan tingkat

Sarjana Strata Satu Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis dalam menyusun skripsi ini dari awal sampai akhir mendapatkan

dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini

penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1.

Bapak Ig. Aris Dwiatmoko, M.Si selaku Dekan Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2.

Bapak Drs. HJ Haris Sriwindono, M.Kom selaku Dosen Pembimbing I

dan Bapak Y.G Hartono, S.Si selaku Dosen Pembimbing II yang dengan

sabar telah banyak membimbing dan memberikan petunjuk dalam

penyusunan skripsi ini.

3.

Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan ilmu dan pengetahuan

selama masa perkuliahan.

4.

Staff fakultas MIPA terima kasih atas dorongan dan pelayanan yang telah

diberikan.

5.

Bapak dan Mama yang telah memberikan kasih, dorongan semangat, serta

doa yang melimpah selama kehidupanku di dunia ini.

(9)

6.

Abang dan adikku (Yacobus dan Ade (Nenek Lampir)) terima kasih untuk

“kata-kata” yang membuatku semakin termotivasi .

7.

Keluarga besarku yang tersebar di berbagai kota. Terima kasih atas doa

dan bantuan yang telah kalian berikan.

8.

T Agusta Dwi Handaru yang telah menambah warna dalam kehidupanku.

Terima kasih atas kesabaran dan cinta mu.

9.

Sahabat-sahabatku nan jauh di sana: Yulia, Maria, dan Uthe terima kasih

buat persahabatan, perhatian dan dukungannya.

10.

Teman-teman angkatan 2002: Ngq, Debby, Lia, Ika, Sari, Aan, Tato, Bani,

Lili, Taim, Ijup, Markus, Felix, Vida (Ipid), Retno, Priska, Galih, Aning,

Desy, Rita, Wuri, Deon, Cheea, Nunung, Dani , Palma, dan Asih. Esp.

Debby, Lia, dan Ijup yang selalu menemaniku ketika masa-masa

ngantukku dengan chating bersama.

11.

Teman-teman kostku (Wisma Lestari) esp. Lia, Kawat (thanks atas

printernya), M`Nchis, dan M`Mitha yang menjadi setan serta malaikat

ketika skripsi ini dibuat. Thanks untuk hari-hari ceria yang telah kita

lewati bersama.

12.

Teman seperjuanganku dalam menyusun skripsi (Ipid Manyiiit), terima

kasih atas bantuan dan perhatiannya.

13.

Teman-teman kost (tumpangan) ku, Ipid (namamu paling banyak

terucap…), Endra, Primtul, M`Lina, Ine, Maria, Lili. Terima kasih atas

tumpangannya, tanpa kalian entah bagaimana nasibku.

(10)

14.

Teman-teman KKN ku, yang berlomba-lomba untuk menyelesaikan

skripsi. Serta warga Caben. Terima kasih untuk dorongan dan semangat

yang telah kalian berikan.

15.

Teman-teman P3W Terima kasih untuk dorongan dan semangat yang telah

kalian berikan.

16.

Teman-Teman Pondok Baca Kota Baru, tempatku menghilangkan

kepenatan belajar. Teruslah berusaha mengembangkan Pondok Baca, upah

kalian besar di Surga.

17.

Semua pihak yang telah turut membantu hingga skripsi ini selesai yang

tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulis menyadari masih ada kekurangan, kekeliruan, dan masih jauh dari

sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat

membangun demi kemajuan yang akan datang.

Semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca.

Yogyakarta, Juli 2007

Penulis

(11)

xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii

HALAMAN PENGESAHAN... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v

ABSTRAK ... vi

ABSTRACT... vii

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI... xi

DAFTAR TABEL... xiv

DAFTAR GAMBAR……… xxi

BAB I PENDAHULUAN... 1

A. Latar Belakang. ... 1

B. Perumusan Masalah ... 4

C. Pembatasan Masalah ... 4

D. Tujuan Penulisan... 4

E. Metode Penulisan ... 5

F. Manfaat Penulisan... 5

(12)

xii

BAB II OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA... 7

A. Optimasi Fungsi Satu Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus ... 7

B. Optimasi Fungsi Beberapa Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus... 21

BAB III ALGORITMA GENETIKA... 50

A. Latar Belakang Biologi ... 50

B. Struktur Umum Algoritma Genetika... 51

C. Komponen-komponen Utama Algoritma Genetika. ... 56

1. Teknik Penyandian... 56

2. Prosedur Inisialisasi ... 57

3. Fungsi Evaluasi (fitness function) ... 58

4. Seleksi ... 59

4.1. Seleksi Roda Rolet ... 59

4.2. Seleksi Rangking... 60

4.3. Seleksi Turnamen... 61

5. Operator Genetika ... 62

5.1. Rekombinasi (crossover) ... 62

5.2. Mutasi... 63

(13)

xiii

BAB IV ALGORITMA GENETIKA UNTUK OPTIMASI

FUNGSI TANPA KENDALA... 66

BAB V PENUTUP... 112

A. Kesimpulan ... 112

B. Saran... 113

DAFTAR PUSTAKA ... 114

(14)

xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.2.1 Tabel Istilah dalam Algoritma Genetika ... 53 Tabel 3.3.1.1 Pemetaan nilai biner ke nilai real ... 57 Tabel 3.4.2.1 Contoh populasi dengan 5 kromosom yang diberi fitness

baru... 61 Tabel 4.1 Tabel nilai maksimum fungsi f

(

x₁,x₂

)

=x₁2+2x₁x₂+x₂2

dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 ... 70 Tabel 4.2 Tabel nilai maksimum fungsi f

(

x₁,x₂

)

=x₁2+2x₁x₂+x₂2

dengan probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 ... 71 Tabel 4.3 Tabel nilai maksimum fungsi

(

)

2

2 2 1 2 1 2

1,x x 2xx x

x

f = + +

(

x₁,x₂

)

=x₁2+2x₁x₂+x₂2

(

x₁,x₂

)

=x₁2+2x₁x₂+x₂2

(15)

xv

Tabel 4.6 Tabel nilai maksimum fungsi f

(

x₁,x₂

)

=x₁2+2x₁x₂+x₂2

dengan probabilitas rekombinasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 ... 75 Tabel 4.7 Tabel nilai maksimum fungsi

(

)

2

2 2 1 2 1 2

1,x x 2xx x

x

f = + +

(

x₁,x₂

)

=x₁2+2x₁x₂+x₂2

dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 ... 77

Tabel 4.9 Tabel nilai maksimum fungsi

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

f dengan probabilitas

rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1. 83

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 84

(

,

)

3 9 2 1

1 3 2 2 2 1 2

1 x = x x − x −x +

x

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(16)

xvi

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(

,

)

3 9 2 1

1 3 2 2 2 1 2

1 x = x x − x −x +

x

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

Tabel 4.16 Tabel nilai minimum fungsi

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(

,

)

3 9 2 1

1 3 2 2 2 1 2

1 x = x x − x −x +

x

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(17)

xvii

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(

,

)

3 9 2 1

1 3 2 2 2 1 2

1 x = x x − x −x +

x

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 ... 97

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1... 101

Tabel 4.26 Tabel nilai maksimum fungsi_f

( )

_x =_x₁_e−(x12+x22)_dengan

(18)

xviii

Tabel 4.27 Tabel nilai maksimum fungsi_f

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

Tabel 4.31 Tabel nilai maksimum fungsi _f

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

probabilitas mutasi 0.01 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5... 105

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

(19)

xix

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

(20)

xx

( )

(21)

xxi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1.1 Grafik f(x)= x3−x2−x+2... 8

Gambar 2.1.2 x* titik batas dari I atau f(x′ *)=0 ... 9

Gambar 2.1.3 Grafik fungsi f(x)=7x2−3x+5... 11

Gambar 2.1.4 Grafik fungsi pada selang tertutup [a, b]. ... 12

Gambar 2.1.5 Fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b]... 14

Gambar 2.1.6 Grafik fungsi f(x)=x2−4x+5... 20

Gambar 2.2.1 Grafik fungsi ( , )= 2 + 2 − − +1 y x y x y x f ... 33

Gambar 2.2.2 Grafik fungsi ( , ) 3 3 ₁ 12 ₂ 20 2 3 1 2 1 x =x +x − x − x + x f ... 47

Gambar 3.2.1. Ilustrasi Algoritma Genetika ... 54

Gambar 3.3.1.1 Representasi string bit ... 56

Gambar 3.3.1.2 Representasi panjang kromosom ... 57

Gambar 3.4.1.1 Contoh penggunaan metode seleksi roda roulette... 59

Gambar 3.5.1.1 Rekombinasi satu titik... 62

Gambar 4.1 Grafik fungsi f

(

x₁,x₂

)

= x₁2 +2x₁x₂+x₂2 ... 67

(22)

xxii

Gambar 4.3 Grafik terjadinya nilai maksimum

(

)

2

2 2 1 2 1 2

1,x x 2xx x

x

f = + + dengan probabilitas

rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1…... 71

(

)

2

2 2 1 2 1 2

1,x x 2xx x

x

rekombinasi 0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.. 72

(

)

2

2 2 1 2 1 2

1,x x 2xx x

x

(

)

2

2 2 1 2 1 2

1,x x 2xx x

x

(

)

2

2 2 1 2 1 2

1,x x 2xx x

x

(

)

2

2 2 1 2 1 2

1,x x 2xx x

x

rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1... 76 Gambar 4.9 Grafik terjadinya nilai maksimum

(

)

2

2 2 1 2 1 2

1,x x 2xx x

x

(23)

xxiii

Gambar 4.10 Grafik fungsi f

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂ −9x₂3−x₁2+1... 78

fungsi

(

,

)

3 9 2 1

1 3 2 2 2 1 2

1 x = x x − x −x +

x

f dengan

probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1... 83 Gambar 4.12 Grafik terjadinya nilai maksimum

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(

,

)

3 9 2 1

1 3 2 2 2 1 2

1 x = x x − x −x +

x

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(24)

xxiv

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

Gambar 4.18 Grafik terjadinya nilai minimum

fungsi

(

,

)

3 9 2 1

1 3 2 2 2 1 2

1 x = x x − x −x +

x

f dengan

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(

,

)

3 9 2 1

1 3 2 2 2 1 2

1 x = x x − x −x +

x

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(25)

xxv

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

(

,

)

3 9 2 1

1 3 2 2 2 1 2

1 x = x x − x −x +

x

(

x₁,x₂

)

=3x₁2x₂−9x₂3−x₁2+1

Gambar 4.27 grafik fungsi

(

₁ ₂

)

₁ ( 22) 2 1 ,x x e x x x

f = − + ... 99

Gambar 4.28 Grafik nilai maksimum fungsi _f

( )

Gambar 4.29 Grafik nilai maksimum fungsi

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

(26)

xxvi

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − +

dengan probabilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 ... 106

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − +

dengan probabilitas mutasi 0.02 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ... 107

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − +

(27)

xxvii

( )

_x =_x₁_e−(x12+x22)

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − +

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − + dengan

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − +

( )

_x =_x₁_e−(x12+x22)

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − +

( )

₁ ( 22) 2 1 x x

e x

f x = − +

(28)

BAB I

PENDAHULUAN

A.

Latar Belakang

Teori optimasi secara klasik dibangun dengan menggunakan

kalkulus diferensial untuk menentukan nilai minimum atau maksimum

(optimum) dari fungsi dengan kendala atau tanpa kendala. Untuk fungsi

tanpa kendala,

f

(

x)

harus memenuhi setiap

x

yang memenuhi

pembatas-pembatas:

x≥0

dimana

f

(

x

)

adalah fungsi yang bernilai real

dari

R

n

. Jika

ada beberapa atau semua fungsi dari

f

(

x

) adalah tidak linear

maka masalah

tersebut dikatakan pemrograman tak linear.

Secara matematis, suatu titik dikatakan pembuat maksimum apabila

terdapat suatu titik

x

*

=

(

x

₁*

,

x

*₂

,

x

*₃

,...,

x

_n*

)

yang memenuhi

,

atau pembuat minimum apabila

.

)

(

)

(

x

*

f

x

f

≥

)

(

)

(

x

*

f

x

f

≤

Secara umum, optimasi pemrograman tak linear selalu menimbulkan

kesulitan dalam penangan analitis dan numerik, dan lebih sulit dari

pemrograman linear. Walaupun dalam kasus dimana semua kendala adalah

linear dan hanya fungsi tujuannya yang tak linear, tetap saja sulit untuk

diselesaikan. Oleh sebab itu diperlukan teknik lain yang dapat

menyelesaikan masalah optimasi dalam pemrograman tak linear.

Algoritma Genetika tergolong dalam algoritma yang bersifat heuristik,

sehingga dapat memberikan banyak kemungkinan penyelesaian dan

memberikan pertimbangan untuk mengambil suatu keputusan.

(29)

Sejak tahun 1960, mulai berkembang perhatian dalam menirukan

kehidupan makhluk hidup untuk menyelesaikan masalah optimasi yang

sulit. Saat ini, terdapat tiga topik utama dalam penelitian yang menirukan

kehidupan makhluk hidup, yaitu Algoritma Genetika, Pemrograman

Evolusi, dan Strategi Evolusi. Diantara ketiga topik tersebut, yang paling

sering digunakan adalah Algoritma Genetika.

Algoritma Genetika banyak dipakai pada aplikasi bisnis, teknik,

maupun bidang keilmuan lainnya. Algoritma Genetika dapat dipakai untuk

mendapatkan solusi yang tepat untuk masalah optimasi yang kompleks dan

sulit diselesaikan.

Menurut Goldberg (1989) Algoritma Genetika adalah teknik

pencarian stokastik berdasarkan mekanisme seleksi alam dan sifat

genetika. Pada dasarnya, Algoritma Genetika merupakan implementasi

dari teori evolusi dan teori genetika yang dikemukakan oleh Darwin dalam

konsep biologi. Seperti proses evolusi di alam, Algoritma Genetika

umumnya terdiri dari tiga operator, yaitu operator reproduksi, operator

persilangan (

crossover

), dan operator mutasi. Suatu individu mempunyai

sifat tertentu ditentukan dengan susunan gen dalam kromosom individu

tersebut. Dalam Algoritma Genetika, teori genetika tersebut digunakan

untuk merepresentasikan setiap solusi dari masalah yang ada. Karena tiap

kromosom merupakan solusi dari masalah yang akan diselesaikan,

kromosom yang terbaik merupakan pendekatan dari solusi optimal dari

(30)

Darwin, dalam menyelesaikan suatu masalah, Algoritma Genetika

memulai pekerjaannya dengan sekumpulan solusi yang disebut populasi.

Setiap individu pada populasi disebut kromosom yang menggambarkan

suatu solusi dari masalah yang akan diselesaikan. Kromosom-kromosom

terus berkembang terus menerus yang disebut generasi. Pada setiap

generasi, kromosom dievaluasi dengan menggunakan alat ukur yang

disebut

fitness

(tingkat kesesuaian). Nilai

fitness

dari suatu kromosom

akan menunjukkan kualitas kromosom dalam populasi tersebut.

Kromosom yang terpilih membentuk kromosom baru, yaitu anak atau

keturunan (

offspring

) yang terbentuk dari gabungan dua kromosom

generasi sekarang yang bertindak sebagai induk (

parent

) dengan

menggunakan operator penyilangan (

crossover

) atau dengan mengubah

suatu kromosom dengan menggunakan operator mutasi. Generasi baru

dibentuk dengan cara menyeleksi nilai

fitness

dari kromosom induk dan

nilai

fitness

dari kromosom anak serta menghilangkan kromosom lainnya

sehingga ukuran populasi konstan. Setelah melalui beberapa generasi,

algoritma ini akan konvergen ke arah kromosom yang terbaik dengan

harapan kromosom tersebut merupakan solusi optimal dari masalah yang

diselesaikan.

Sistem pencarian untuk mendapatkan nilai yang paling optimum

pada Algoritma Genetika diharapkan dapat memberikan penyelesaian yang

terbaik, dan semakin memudahkan menyelesaikan masalah Optimasi

(31)

B.

Perumusan Masalah

Masalah yang akan dibahas pada skripsi ini adalah :

1.

Bagaimana cara Algoritma Genetika dalam mencari nilai optimum dari

masalah optimasi fungsi tanpa kendala?

2.

Bagaimana mendapatkan nilai optimum fungsi tanpa kendala dengan

menggunakan Algoritma Genetika?

C.

Pembatasan Masalah

Pembatasan mengenai optimasi fungsi tanpa kendala pada skripsi ini

hanya untuk program tak linear dengan dua variabel.

Penulis akan

menggunakan software aplikasi MATLAB untuk menyelesaikan masalah

optimasi tanpa kendala tersebut.

D.

Tujuan Penulisan

Skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk

memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang matematika. Selain itu

skripsi ini bertujuan untuk:

1.

Lebih memahami penerapan Algoritma Genetika dalam

menyelesaikan masalah optimasi fungsi tanpa kendala.

2.

Mendapatkan nilai yang paling optimum dari masalah optimasi

(32)

E.

Metode Penulisan

Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu

de-ngan menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, dan makalah-makalah yang

telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal baru.

F.

Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah semakin

memperdalam pemahaman akan Algoritma Genetika dalam

menyelesaikan masalah optimasi, terutama dalam menyelesaikan masalah

optimasi fungsi tanpa kendala, dan dapat mencari nilai optimum dengan

menggunakan Algoritma Genetika.

G.

Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

Pada Bab I dipaparkan mengenai latar belakang skripsi ini,

perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode

penulisan, dan manfaat penulisan.

BAB II OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA

Bab II dengan judul Optimasi Fungsi Tanpa Kendala terdiri atas dua

subbab. Dalam bab ini dibahas mengenai optimasi fungsi satu variabel

tanpa kendala dengan kalkulus dan optimasi fungsi beberapa variabel

(33)

BAB III ALGORITMA GENETIKA

Bab III dengan judul Algoritma Genetika terdiri atas empat subbab.

Dalam bab ini dibahas mengenai latar belakang biologi, struktur umum

Algoritma Genetika, dan komponen–komponen utama Algoritma

Genetika.

BAB

IV

OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN

ALGORITMA GENETIKA

Bab IV dengan judul Algoritma Genetika Untuk Optimasi Fungsi

tanpa kendala Tanpa Kendala merupakan inti permasalahan yang diangkat

dalam skripsi ini. Dalam bab ini akan diperlihatkan contoh – contoh

permasalahan optimasi tanpa kendala disertai dengan penyelesainnya

menggunakan teknik konvensional (kalkulus) dan dengan menggunakan

Algoritma Genetika.

BAB V PENUTUP

Bab V merupakan bab terakhir dalam skripsi ini. Bab ini berisi

kesimpulan dari skripsi ini dan saran yang diharapkan berguna untuk

perkembangan penelitian mengenai optimasi dengan Algoritma Genetika

(34)

7

BAB II

OPTIMISASI FUNGSI TANPA KENDALA

A. Optimisasi Fungsi Satu Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus Definisi 2.1.1

Misalkan f(x) adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada selang I.

(Selang I dapat terbatas atau tidak terbatas, tertutup atau terbuka, atau

setengah terbuka). Suatu titik x* di I adalah :

a. Pembuat minimum mutlak (global) untuk f(x) pada I jika f(x*)≤ f(x)

untuk setiap x di I;

b. Pembuat minimum mutlak tegas untuk f(x) pada I jika ( *) ( )

x f x

f < untuk

setiap x di I dan _x≠_x*_;

c. Pembuat minimum relatif (lokal) untuk f(x) jika ada bilangan positif δ

sedemikian hingga f(x*)≤ f(x) untuk setiap x di I dimana

δ

δ < < +

− *

*

x x

x ;

d. Pembuat minimum relatif tegas untuk f(x) jika ada bilangan positif δ

sedemikian hingga ( *) ( )

x f x

f < untuk setiap x di I dimana

δ

δ < < +

− *

* _x _x

x dan _x≠ _x*_;

e. Pembuat maksimum mutlak untuk f(x) pada I jika _f(_x*)≥ _f(_x)_untuk

setiap x di I;

f. Pembuat maksimum mutlak tegas untuk f(x) pada I jika f(x*)> f(x)

(35)

g. Pembuat maksimum relatif untuk f(x) jika ada bilangan positif δ

sedemikian hingga f(x*)≥ f(x) untuk setiap x di I dimana

δ

δ < < +

− *

*

x x

x ;

h. Pembuat maksimum relatif tegas untuk f(x) jika ada bilangan positif δ

sedemikian hingga f(x*)> f(x) untuk setiap x di I dimana

δ

δ < < +

− *

*

x x

x dan x≠ x*;

i. Titik kritis dari f(x) jika f′(x*) ada dan sama dengan nol.

Contoh 2.1.1

Gambar 2.1.1Grafik f(x)= x3 −x2−x+2

Pada gambar grafik di atas terlihat bahwa setiap x di [-3, 4]. Titik x* = -2

(36)

I y=f(x)

Titik batas dan maksimum

(f′(x*)≠0) pembuat

mini-mum f′(x*)=0

maksimum mutlak. Titik x* =

3 1

− adalah pembuat maksimum relatif tegas,

dan titik x* = 1 adalah pembuat minimum relatif tegas.▲

Teorema 2.1.1

Misalkan f(x) adalah fungsi yang terdiferensialkan pada selang I. Jika x*

adalah pembuat minimum relatif atau pembuat maksimum relatif pada f(x),

maka salah satu dari yang berikut berlaku:

i. x* adalah titik batas/akhir dari I

ii. f′(x*)=0.

x* x*

Gambar 2.1.2 x* titik batas dari I atau f(x′ *)=0

Bukti :

Misalkan x* adalah pembuat minimum relatif dari f(x) dan x* bukan titik dalam

dari I. Berdasarkan hipotesa f′(x∗) ada. Akan dibuktikan f′(x∗)= 0.

* *

* ( ) ( )

lim ) (

*

x x

x f x f x

f

x

x −

− =

′

(37)

Karena f(x*)≤f(x) untuk x mendekati x*, f(x) - f(x*) adalah tak negatif untuk

setiap x mendekati x*. Oleh karena itu, karena x – x* > 0 untuk x*< x, dan

x – x* < 0 untuk x*> x, dapat terlihat

0 ) ( ) (

* *

≥ −

− x x

x f x f

untuk x*< x,

dan

0 ) ( ) (

* *

≤ −

− x x

x f x f

untuk x*> x,

selama x mendekati x*. Berdasarkan persamaan (1) dan persamaan di atas

diperoleh 0f′(x*)≥ dan f′(x*)≤0. Hal ini membuktikan bahwa

0 )

( * =

′ x

f . Untuk x* pembuat maksimum relatif, bukti analog.■

Definisi 2.1.2

Bila x* suatu titik dalam daerah asal f dan bila f′(x*)=0 atau f′(x*) tidak

ada, maka x* dikatakan titik kritis dari f.

Contoh 2.1.2

Misalkan 5_f(_x)=7_x2−3_x+ _.

Maka f′(x)=14x−3. Ditentukan

0 )

( =

′ x f

0 3

14x− =

14 3 =

x .

(38)

Gambar 2.1.3 grafik fungsi f(x)=7x2 −3x+5

Maka f′(x)=14x−3. Ditentukan

0 )

( =

′ x

f

0 3

14x− =

14 3 =

x .

Titik kritis dari f(x) adalah ₁₄3 _.▲

Teorema 2.1.2 (Teorema Nilai Ekstrim)

Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai

mini-mum mutlak dan maksimini-mum mutlak pada selang [a, b].

(39)

f(c)

f(a)

a c d _b

•

Teorema nilai ekstrim dapat tercapai apabila terjadi pada:

i. Selang tertutup; dan

ii. Fungsi bersifat kontinu pada selang tersebut.

Jika kondisi (i) dan (ii) tidak terpenuhi, maka titik ekstrim belum tentu ada.

Jika domain suatu fungsi adalah selang tertutup, untuk menentukan ekstrim

mutlak, fungsi tersebut harus diuji tidak hanya pada titik kritis tapi juga pada

titik batas selang. Teorema titik kritis menjamin bahwa ekstrim mutlak terjadi

di dalam selang.

Gambar 2.1.4 Grafik fungsi pada selang tertutup [a, b].

Gambar 2.1.4 dapat dilihat bahwa titik batas selang terjadi pada x = a dan b,

sedangkan titik kritis terjadi pada x = c dan d. Nilai maksimum mutlak terjadi

pada titik kritis c, dan nilai minimum mutlak terjadi pada titik batas selang a.

Maka baik nilai maksimum mutlak atau minimum mutlak terletak dalam

(40)

Teorema 2.1.3 (Teorema Rolle)

Misalkan f adalah fungsi yang memenuhi syarat:

1. f kontinu pada selang tertutup [a, b].

2. f mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b).

3. f(a) = f(b) = 0.

Maka ada suatu c∈(a, b) sehingga f′(c)= 0.

Bukti :

Jika f(x) = 0 untuk semua x pada selang [a, b], maka f′(x) = 0 untuk semua x

pada (a, b), sehingga setiap bilangan di antara a dan b dapat diambil sebagai c.

Jika f(x) tidak nol untuk suatu x pada selang terbuka (a, b) dan karena f

kon-tinu pada selang tertutup [a, b], maka menurut teorema 2.1.2, f mempunyai

nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada [a, b]. Dari (3) diketahui

f(a) = 0 dan f(b) = 0. Selanjutnya f(x) tidak nol untuk suatu x pada (a, b). Maka

f akan mempunyai nilai maksimum mutlak yang positif untuk suatu c₁ pada

(a, b) atau mempunyai nilai minimum mutlak yang negatif di suatu c₂ pada

(a, b), atau dua-duanya terjadi. Jadi untuk c = c₁ atau c = c₂ atau

kedua-duanya, terdapat ekstrim mutlak di titik dalam selang [a, b]. Oleh karena itu

ekstrim mutlak f(c) juga ekstrim relatif. Karena f′(c) ada berdasarkan

(41)

A

B

a x _b x

y

•

y=g(x)

f(x)

Teorema 2.1.4 (Teorema Nilai Rata-Rata)

Misalkan f adalah fungsi yang memenuhi syarat:

1. f kontinu pada selang tertutup [a, b].

2. f mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b).

Maka ada suatu c∈(a, b) sehingga

a b a f b f c f − − = ′( ) ( ) ( ). Bukti :

Gambar 2.1.5 fungsi kontinu pada selang tertutup [a,b].

Misalkan fungsi f(x) untuk x∈[a,b] seperti ditunjukkan pada gambar 2.1.5

Fungsi g(x) adalah persamaan garis yang melalui titik A dan B. Dibentuk

fungsi s(x) yaitu s(x)= f(x)−g(x) untuk setiap x∈[a,b]. Karena garis ini

mempunyai kemiringan a b a f b f − − ( ) ) (

dan melalui (a, f(a)), maka bentuk titik

kemiringan untuk persamaannya adalah

) ( ) ( ) ( ) ( )

( x a

a b a f b f a f x g − − − =

− atau

) ( ) ( ) ( ) ( )

( x a

(42)

) ( ) ( )

(x f x g x

s = −

⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(x a)

a b a f b f a f x f x s − − − − − =

Perhatikan bahwa s(b) = s(a) = 0 dan bahwa untuk x dalam (a, b)

a b a f b f x f x s − − − ′ = ′( ) ( ) ( ) ( ).

Menurut teorema 2.1.2 fungsi s harus mencapai nilai maksimum atau nilai

minimum pada [a, b]. Jika kedua nilai tersebut adalah 0, maka s(x) secara

identik adalah 0 pada [a, b], akibatnya s′(x)=0 untuk semua x dalam (a, b).

Jika salah satu nilai maksimum atau minimum tidak sama dengan 0, maka

nilai tersebut tercapai pada suatu titik dalam c. Karena s(a) = s(b) = 0. Dan s

mempunyai turunan di setiap titik dari (a, b), sehingga menurut teorema 2.1.3

0 )

( =

′ c

s .

Karena diketahui terdapat suatu bilangan c dalam (a, b) yang memenuhi

0 )

( =

′ c

s , maka

(43)

Teorema 2.1.5

Misalkan )f(x), f′(x), f′′(x ada pada selang tertutup [a, b].

Jika x*, x adalah dua titik yang berbeda pada [a, b], maka terdapat titik z tepat

berada di antara x* dan x sehingga

2 * * * * ) ( 2 ) ( ) )( ( ) ( )

(x f x f x x x f z x x

f = + ′ − + ′′ − .

Bukti :

Misalkan suatu fungsi

2 * * * *₎ ₍ ₎₍ ₎ ₍ ₎ ( )

(x f x f x x x R x x

f = + ′ − + − …(2)

Pandang F(x),

2 * * * * ) ( ) )( ( ) ( ) ( )

(x f x f x f x x x R x x

F = − − ′ − − − …(3)

Maka dari (2) diperoleh F(x) = 0. Karena F(x) = 0, maka F(a) = F(b) = 0.

) ( ), ( ),

(x f x f x

f ′ ′′ kontinu pada selang tertutup [a, b], maka penjumlahan dan

pengurangan fungsi – fungsi (F(x)) tersebut juga kontinu pada selang tertutup

[a, b], dan

) ( 2 ) ( ) ( )

(x f x f x* R x x*

F′ = ′ − ′ − − …(4)

terlihat bahwa F(x) mempunyai turunan. Karena ketiga syarat dari teorema

Rolle dipenuhi, maka menurut teorema Rolle, terdapat bilangan z1 antara x dan

*

x (x< z₁< x*) sedemikian sehingga

0 )

( ₁ =

′ z

F …(5a)

Dari (4) diperoleh

0 )

( =

′ x

(44)

(5a) dan (5b) menunjukkan bahwa F′(x) memenuhi teorema Rolle dalam (x,

z1). Jadi terdapat bilangan z antara x dan z1 sedemikian sehingga F′′(z)=0,

dan dari (4) diperoleh F′′(x)= f′(x)−2R. Karena F′′(z)=0, maka

) (

2 1 _f _z

R= ′′ .

Substitusi R dalam (2), maka

2 * 2

1 * *

*

) )( ( )

)( ( ) ( )

(x f x f x x x f z x x

f = + ′ − + ′′ − .■

Definisi 2.1.1 merupakan cara untuk mengetahui apakah suatu titik x* di I

adalah minimum atau maksimum mutlak atau relatif di I. Namun pada definisi

2.1.1 tidak diketahui apakah memang benar titik x* tersebut adalah pembuat

minimum / maksimum mutlak tegas atau pembuat minimum / maksimum

relatif tegas. Oleh sebab itu diperlukan cara lain yang lebih baik, yaitu teorema

2.1.6, yang dapat menentukan apakah pembuat maksimum / minimum (baik

mutlak ataupun relatif) tersebut tegas atau tidak.

Teorema 2.1.6

Misalkan )f(x), f′(x),f ′′(x kontinu pada selang I dan x*∈I adalah titik kritis

dari f(x).

a. Jika f′′(x)≥0 untuk setiap x∈I, maka x* adalah pembuat minimum

mutlak dari f(x) di I.

b. Jika 0f ′′(x)> untuk setiap x∈I sedemikian hingga *

x

x≠ , maka x*

adalah Pembuat minimum mutlak tegas dari f(x) di I.

(45)

d. Jika 0f′′(x)≤ untuk setiap x∈I, maka x* adalah pembuat maksimum

mut-lak dari f(x) di I.

e. Jika f′′(x)<0 untuk setiap x∈I sedemikian hingga *

x

x≠ , maka x*

adalah Pembuat maksimum mutlak tegas dari f(x) di I.

f. Jika 0f′′(x*)< , maka x* adalah pembuat maksimum relatif tegas dari f(x).

Bukti :

Bukti (a): Jika x∈I dan x≠x*, maka berdasarkan teorema 2.1.5 dan hipotesa

)

(x*

f′ =0 menghasilkan

2 *

* ₍ ₎

2 ) ( ) ( )

(x f x f z x x

f − = ′′ − , …(6)

dimana z adalah titik yang berada tepat di antara x* dan x. Karena itu, jika

0 )

( ≥

′′ x

f untuk setiap x∈I, maka f(x)≥ f(x*) untuk setiap x∈I karena

0 2

) x

-(x * 2 _≥

untuk setiap x∈I.

Bukti (b): Jika x∈I dan x≠x*, maka berdasarkan teorema 2.1.5 dan hipotesa

)

(x*

2 * *

) ( 2

) ( ) ( )

(x f x f z x x

f − = ′′ − , …(7)

0 ) ( >

′′ x

f untuk setiap x∈I, maka f(x)> f(x*) untuk setiap x∈I karena

0 2

) x

-(x * 2

(46)

Bukti (c): Jika f ′′(x*)>0, kekontinuitas dari f ′′(x) mengimplikasikan bahwa

ada δ > 0 sehingga f′′(x) > 0 untuk setiap x∈I sedemikian hingga x* -δ < x

< x* + δ . Namun persamaan (7) menunjukkan bahwa f(x) > f(x*) untuk setiap

x∈I sedemikian hingga x≠ x*, x*−

δ

< x< x*+

δ

, dimana x* adalah satu -

satunya pembuat minimum relatif dari f(x).

Bukti (d): Jika x∈I dan x≠x*, maka berdasarkan teorema 2.1.5 dan hipotesa

)

(x*

2 * *

) ( 2

) ( ) ( )

(x f x f z x x

f − = ′′ − , …(8)

0 )

( ≤

′′ x

f untuk setiap x∈I, maka f(x)≤ f(x*) untuk setiap x∈I karena

0 ) ( )

(x − f x* ≤

f untuk setiap x∈I.

Bukti (e): Jika x∈I dan x≠x*, maka berdasarkan teorema 2.1.5 dan hipotesa

)

( *

x

2 * *

) ( 2

) ( ) ( )

(x f x f z x x

f − = ′′ − , …(9)

0 )

( <

′′ x

f untuk setiap x∈I, maka ( ) ( *)

x f x

f < untuk setiap x∈I karena

0 ) ( )

(_x − _f _x* ≤

(47)

Bukti (f): Jika f ′′(x*)<0, kekontinuitasan dari f ′′(x) mengimplikasikan

bahwa ada δ > 0 sehingga f′′(x) < 0 untuk setiap x∈I sedemikian hingga x*

-δ < x < x* + δ . Namun persamaan (9) menunjukkan bahwa f(x) < f(x*) untuk

setiap x∈I sedemikian hingga x≠ x*, x*−

δ

< x<x*+

δ

, dimana x* adalah

satu - satunya pembuat maksimum relatif dari f(x). ■

Contoh 2.1.3

Tentukan ekstrim mutlak dari fungsi f(x)=x2 −4x+5 pada selang [1,4].

Gambar 2.1.6 grafik fungsi f(x)= x2−4x+5.

i. Mencari titik kritis

0 )

( =

′ x

f

0 4

2x− =

2

= x

ii. Mengevaluasi f(x) pada titik akhir dan titik kritis

2 5 1 4 1 ) 1

( = 2− × + =

f

1 5 2 4 2 ) 2

( = 2 − × + =

(48)

5 5 4 4 4 ) 4

( = 2− × + =

f

Dari langkah 9, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum mutlak terjadi pada

titik (4, 5), dan nilai minimum mutlak terjadi pada titik (2,1).▲

B. Optimisasi Fungsi Beberapa Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus

Perluasan dari fungsi satu variabel adalah fungsi lebih dari satu variabel

den-gan mengkombinasikan beberapa teori kalkulus denden-gan aljabar linear. Oleh

sebab itu, untuk permulaan akan dibahas beberapa terminologi dan notasi.

Vektor pada Rn adalah pasangan terurut n-tupel x = (x1, x2, …, xn) dari

bilan-gan real xi yang disebut dengan komponen dari x. Vektor x = (x1, x2, …, xn)

disebut vektor baris, dan vektor

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

=

n x x x

M

2 1

x disebut vektor kolom.

Maka dapat dilihat bahwa fungsi f(x1, x2, …, xn) dari n variabel sebagai fungsi

f(x) dari vektor tunggal variabel x = (x1, x2, …, xn).

Definisi 2.2.1

Didefinisikan penjumlahan dari dua vektor x = (x1, x2, …, xn) dan y = (y1, y2,

…, yn) pada Rn dengan

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, …, xn+ yn),

dan perkalian dari x dan bilangan real λ dengan

(49)

Definisi 2.2.2

Jika x = (x1, x2, …, xn) dan y = (y1, y2, …, yn) adalah vektor-vektor di Rn,

maka perkalian titik atau perkalian dalam x•y didefinisikan sebagai

∑

=

= + + + =

• n

k k k n

ny x y

x y

x y x

1 2

2 1

1 ...

y

x .

Akibat 2.2.1

Perkalian titik adalah linear pada kedua variabel; yaitu,

), ( ) ( )

(

α

x+

β

y •z=

α

x•z +

β

y•z

) ( ) ( )

( y z x y x z

x•

α

+

β

=

α

• +

β

• ,

untuk semua vektor x, y, z pada Rn dan bilangan real

α

,

β

.

Bukti :

(

, , ,

)

( , , , )

)

(αx+βy •z= αx₁+βy₁ αx₂ +βy₂ K αx_n+βy_n • z₁ z₂ K z_n

(

)

(

)

(

)

(

αx₁+βy₁ .z₁+ αx₂ +βy₂ .z₂+ + αx_n+βy_n .z_n

)

= K

(

αx1.z1+βy1.z1+αx2.z2+βy2.z2 + +αxn.zn+βyn.zn

)

= K

(

) (

)

(

αx1.z1+αx2.z2+ +αxn.zn + βy1.z1+βy2.z2+ +βyn.zn

)

= K K

(

) (

)

(

x1.z1+x2.z2+ +xn.zn + y1.z1+y2.z2 + +yn.zn

)

= α K β K

) ( )

(x•z + y•z

=α β

(

n n

)

n y z y z y z

x x

x α β α β α β

β

α + = • + + +

•( y z) ( ₁, ₂,K, ) ₁ ₁, ₂ ₂,K,

x

(

)

(

)

(

)

(

x αy +βz +x αy +βz + +xn αyn+βzn

)

(50)

(

x1.αy1+x1.βz1+x2.αy2++x2.βz2 + +xn.αyn+xn.βzn

)

= K

(

x1.αy1+x2.αy2 + +xn.αyn+x1.βz1+x2.βz2+ +xn.βzn

)

= K K

(

) (

)

(

α x1.y1+x2.y2+ +xn.yn +β x1.x1+x2.βx2+ +xn.βxn

)

= K K

=α(x•y)+β(x•z).■

Definisi 2.2.3

Dua vektor x dan y adalah ortogonal jika x•y = 0.

Definisi 2.2.4

Norm atau panjang x pada vektor x = (x1, x2, …, xn) adalah fungsi real pada

Rn dengan syarat:

1. x ≥0 untuk setiap vektor di Rn.

2. x = 0 jika dan hanya jika x adalah vektor nol 0.

3. αx = α x untuk setiap vektor di Rn dan semua bilangan real α.

4. x+y ≤ x + y untuk semua vektor x, y di Rn (ketidaksamaan segitiga).

Contoh 2.2.1

x pada vektor x = (x1, x2, …, xn) adalah

2 / 1 2

/ 1 2 2

2 2

1 ... ) ( )

( x x

(51)

x

y Definisi 2.2.5

Untuk vektor tak nol x dan y di R2 atau R3, perkalian titik x•y secara umum

didefinisikan

θ

cos

y x y

x• = …(1)

dimana

θ

∈[0,

π

] adalah sudut antara x dan y.

θ

Untuk vektor x dan y di Rn dengan n > 3, formula (1) untuk perkalian titik

tetap dapat digunakan jika cos didefinisikan. Untuk θ x, y ∈ Rn didefinisikan

y x

cosθ = •

Teorema 2.2.1

Pertidaksamaan Cauchy – Schwarz untuk setiap vektor x dan y,

y x y x• ≤

Bukti :

Apabila x dan y adalah vektor nol, maka 0≤0, dimana hal tersebut adalah

benar untuk setiap x dan y. Jika x atau y (salah satunya) vektor tak nol, maka

dari persamaan (1) didapatkan

y x y

x y

(52)

karena cosθ ≤1 untuk setiap nilai pada θ.■

Pada pertidaksamaan Cauchy – Schwarz, −1≤cosθ ≤1 dan cosθ =1 jika

hanya jika terdapat satu vektor yang merupakan kelipatan vektor lainnya.

Definisi 2.2.6

Jika x dan y adalah vektor di Rn, panjang atau jarak d(x,y) di antara x dan y

didefinisikan sebagai:

2 1

1

2

) ( )

,

( ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋

= −

=

∑

=

n

i

i y

x

d x y x y

Definisi 2.2.7

Bola )B(x,r yang berpusat pada x dengan radius r adalah himpunan semua

vektor y di Rn, dimana jarak dari x kurang dari r, maka

{

R r

}

B(x,r)= y∈ n y−x < .

Definisi 2.2.8

Titik x pada sub himpunan D di Rn adalah titik dalam dari D jika terdapat r >

0, dimana bola B(x,r) dalam D. Bagian dalam Do pada D adalah himpunan

dari semua titik dalam dari D. Himpunan G di Rn terbuka jika Go =G, artinya,

(53)

tertutup jika F mencangkup setiap titik x sehingga terdapat barisan {x(k)} di F

dengan lim ( ) − =0

∞

→ x x

k

k .

Definisi 2.2.9

Himpunan D di Rn adalah terbatas jika terdapat suatu konstanta M > 0

se-hingga x <M untuk setiap x∈D, artinya, D adalah terbatas jika dan hanya

jika D termasuk dalam bola besar B(0, M) dengan pusat 0.

Contoh 2.2.1

Pada R2, himpunan F dengan komponennya adalah titik – titik tak

nega-tif, yaitu F =

{

x=(x₁,x₂)∈R2x₁≥0,x₂ ≥0

}

, adalah tertutup tapi tidak

terba-tas. Titik x = (x1, x2) pada F adalah titik dalam dari F jika dan hanya jika x1 >

0, x₂ >0 karena bola B(x, r) termasuk di dalam F walaupun r adalah bilangan

positif terkecil dari x1, x2.▲

Definisi 2.2.10

Misalkan f(x) adalah fungsi yang bernilai real didefinisikan pada sub

him-punan D di Rn. Titik x*di D adalah:

a Pembuat mi