SISTEM DINAMIK DISKRET. Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan

SISTEM DINAMIK DISKRET

Anggota Kelompok:

1. Inggrid Riana C.

2. Kharisma Madu B.

Kontinu

Diskret

Sistem

Dinamik

POKOK BAHASAN

SDD OTONOMUS 1-D LINEAR NON-LINEAR MULTI-D LINEAR NON-LINEAR NON-OTONOMUS

SISTEM OTONOMUS 1-D

Kestabilan Solusi Titik Tetap SDD Otonomus Linear 1-D Kestabilan Linearisasi

Solusi Jika Ada Titik Tetap

SDD Otonomus Non-Linear 1-D

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

𝑥_𝑛+1 = 𝑎𝑥_𝑛 + 𝑏, dengan 𝑛 = 0,1,2, …, 𝑥_𝑛 ∈ ℝ, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ . Bentuk Umum

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

Solusinya adalah 𝑥_𝑛 = 𝑥0 − 𝑏 1 − 𝑎 𝑎𝑛 + 𝑏 1 − 𝑎 , jika 𝑎 ≠ 1 𝑥₀ + 𝑏𝑛 , jika 𝑎 = 1 Solusi Sistem

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

Titik Tetap

Titik tetap dari 𝑥_𝑛+1 = 𝑎𝑥_𝑛 + 𝑏, adalah 𝑥∗ ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝑥∗ = 𝑎𝑥∗ + 𝑏, diperoleh 𝑥∗ = 𝑏 1 − 𝑎 , jika 𝑎 ≠ 1 𝑥₀, jika 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 0.

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

Proposisi 1.

Titik tetap dari 𝑥_𝑛+1 = 𝑎𝑥_𝑛 + 𝑏 ada jika dan hanya jika

𝑎 ≠ 1 atau 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 0 .

Proposisi 2.

Titik tetap dari 𝑥_𝑛+1 = 𝑎𝑥_𝑛 + 𝑏 tunggal jika dan hanya jika

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

Kestabilan Titik Tetap

Titik tetap 𝑥∗ dari 𝑥_𝑛+1 = 𝑓(𝑥_𝑛) adalah: • Stabil global (asimtotik) jika

lim

𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝑥

∗_{, ∀𝑥}

0 ∈ ℝ

• Stabil lokal (asimtotik) jika 𝑥∗ stabil lokal dan

lim

𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝑥 ∗_.

Proposisi 3.

Titik tetap dari 𝑥_𝑛+1 = 𝑎𝑥_𝑛 + 𝑏, stabil global jika dan hanya jika

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

Contoh 1. 𝑥_𝑛+1 = 3 4 𝑥𝑛 + 2 Solusi: 𝑥_𝑛 = 3 4 𝑛 𝑥₀ − 8 + 8 Titik Tetap: 𝑥∗ = 8 Kestabilan: 𝑎 = 3 4 < 1 → stabil

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

Contoh 2. 𝑥_𝑛+1 = −2𝑥_𝑛 + 2 Solusi: 𝑥_𝑛 = −2 𝑛 𝑥₀ − 2 3 + 2 3 Titik Tetap: 𝑥∗ = 2₃

SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D

𝑥 _𝑛+1 = 𝑓 𝑥 _𝑛 , dengan 𝑛 = 0,1,2, … . Bentuk Umum Solusinya adalah 𝑥 ₁ = 𝑓 𝑥 ₀ 𝑥 ₂ = 𝑓 𝑥 ₁ = 𝑓 𝑓 (𝑥 ₀) = 𝑓 2 𝑥 ₀ ⋮ 𝑥 _𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑥 ₀ Solusi Sistem

SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D

Titik Tetap

Titik tetap dari 𝑥_𝑛+1 = 𝑓 𝑥_𝑛 , adalah 𝑥∗ ∈ ℝ sedemikian sehingga

𝑥∗ = 𝑓 𝑥∗ .

Linearisasi

Hasil linearisasi: 𝑥_𝑛+1 = 𝑎𝑥_𝑛 + 𝑏,

SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D

Kestabilan Titik Tetap Proposisi 4.

Titik tetap dari 𝑥_𝑛+1 = 𝑓 𝑥_𝑛 , stabil lokal di sekitar titik tetap 𝑥∗ jika dan hanya jika

SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D

Contoh 𝑥_𝑛+1 = 3𝑥_𝑛 + 𝑥_𝑛2 − 𝑥_𝑛3 Titik Tetap: 𝑥₁∗ = 0 ∨ 𝑥₂∗ = −1 ∨ 𝑥₃∗ = 2 Kestabilan: 𝑓′(𝑥₁∗) = 𝑓′(0) = 3 > 1 → tidak stabil 𝑓′(𝑥₂∗) = 𝑓′ −1 = −2 > 1 → tidak stabil 𝑓′(𝑥₁∗) = 𝑓′(2) = −3 > 1 → tidak stabil

SISTEM OTONOMUS MULTI-D

Kestabilan Solusi Titik Tetap

SDD Otonomus Linear Multi-D

Kestabilan Linearisasi Solusi Titik Tetap SDD Otonomus Non-Linear Multi-D

dengan

𝑛 = 0,1,2, ….

Bentuk Umum

𝑥 _𝑛+1 = 𝐴𝑥 _𝑛 + 𝐵, 𝑥 _𝑛 ∈ ℝk

Titik Tetap

Titik tetap dari 𝑥 _𝑛+1 = 𝐴𝑥 _𝑛 + 𝐵, adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ𝑘 sedemikian sehingga 𝑥 ∗ = 𝐴𝑥 ∗ + 𝐵, diperoleh

𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵, jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.

Proposisi 5.

Titik tetap dari 𝑥 _𝑛+1 = 𝐴𝑥 _𝑛 + 𝐵, tunggal jika dan hanya jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0. Solusinya adalah 𝑥 _𝑛 = 𝐴𝑛 𝑥 ₀ − 𝐼 − 𝐴 −1𝐵 + 𝐼 − 𝐴 −1𝐵, jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0. atau 𝑥 _𝑛 = 𝐴𝑛 𝑥 ₀ − 𝑥 ∗ + 𝑥 ∗. Solusi Sistem

Diberikan SDD 𝑥 _𝑛+1 = 𝐴𝑥 _𝑛 + 𝐵, dengan nilai awal 𝑥 ₀.

Lemma 1. Jika matriks 𝐴_𝑛×𝑛 mempunyai 𝑛 nilai eigen real berbeda 𝜆₁, 𝜆₂, … , 𝜆_𝑛 maka ada matriks non singular 𝑄_𝑛×𝑛 sedemikian sehingga

𝐴 = 𝑄𝐷𝑄−1,

di mana 𝐷 matriks diagonal

𝐷 = 𝜆₁ 0 _{⋯ 0} 0 ⋮ 0 𝜆₂ ⋮ 0 ⋯ ⋱ ⋯ 0 0 𝜆_𝑛 , 𝑄 = 𝑣 ₁𝑣 ₂ ⋯ 𝑣 _𝑛 dan 𝐴𝑣 _𝑖 = 𝜆_𝑖𝑣 _𝑖, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Proposisi 6.

Sistem persamaan beda linear orde pertama non-homogen

𝑥 _𝑛+1 = 𝐴𝑥 _𝑛 + 𝐵,

dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda linear orde pertama homogen

𝑧 _𝑛+1 = 𝐴𝑧 _𝑛,

Proposisi 6.

Sistem persamaan beda linear orde pertama non-homogen

𝑥 _𝑛+1 = 𝐴𝑥 _𝑛 + 𝐵,

dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda linear orde pertama homogen

𝑧 _𝑛+1 = 𝐴𝑧 _𝑛,

di mana 𝑧 _𝑛 = 𝑥 _𝑛 − 𝑥 ∗ dan 𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Proposisi 7.

Solusi dari sistem persamaan beda linear orde pertama non-homogen

𝑥 _𝑛+1 = 𝐴𝑥 _𝑛 + 𝐵,

adalah

𝑥 _𝑛 = 𝑄𝐷𝑛𝑄−1 𝑥 ₀ − 𝑥 ∗ + 𝑥 ∗,

di mana 𝐷 adalah Jordan Matriks yang bersesuaian dengan 𝐴.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Kasus 2 (Nilai Eigen Real Kembar) Contoh

1. Uncoupled System

𝑥_𝑛+1 = 2𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛+1 = 2𝑦_𝑛,

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

2. Coupled System

𝑥_𝑛+1 = 2𝑥_𝑛 − 𝑦_𝑛, 𝑦_𝑛+1 = 𝑥_𝑛 + 4𝑦_𝑛,

dengan

𝑛 = 0,1,2, ….

Bentuk Umum

𝑥 _𝑛+1 = 𝐴𝑥 _𝑛 + 𝐵

Titik Tetap

Titik tetap dari 𝑥 _𝑛+1 = 𝐴𝑥 _𝑛 + 𝐵, adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝑥 ∗ = 𝐴𝑥 ∗ + 𝐵, diperoleh

𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵, jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Lemma 3. Jika matriks 𝐴_𝑘×𝑘 mempunyai 𝑘 2 nilai eigen kompleks berbeda 𝜇₁, 𝜇 ₁, 𝜇₂, 𝜇 ₂, ⋯ , 𝜇_{𝑘 2}, 𝜇 _{𝑘 2}

dimana 𝜇_𝑗 ≡ 𝛼_𝑗 + 𝑖𝛽_𝑗 dan 𝜇 _𝑗 ≡ 𝛼_𝑗 − 𝑖𝛽_𝑗, maka ada matriks non singular 𝑄_𝑘×𝑘 sedemikian sehingga

𝐴 = 𝑄𝐷𝑄−1,

di mana 𝐷 matriks blok

𝐷 = 𝛼₁ −𝛽₁ 𝛽₁ 𝛼₁ 0 00 0 0 0 0 0 𝛼₂ −𝛽₂ 𝛽2 𝛼2 … … ⋯ ⋯_{… …} … … 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 … … … … 𝛼_{𝛽𝑛 2}𝑛 2 −𝛽_{𝛼𝑛 2}𝑛 2 , 𝑄 = 𝑣 ₁𝑤₁ ⋯ 𝑣 _𝑖𝑤_𝑖 dan 𝐴𝑄 = 𝑄𝐷, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘.

Kemudian jika blok pertama pada matriks blok D diubah

dalam bentuk koordinat polar dimana 𝛼_𝑗 = 𝑟_𝑗 cos 𝜃_𝑗 dan

𝛽_𝑗 = 𝑟_𝑗 sin 𝜃_𝑗, maka : 𝛼_𝑗 −𝛽_𝑗 𝛽_𝑗 𝛼_𝑗 = 𝑟𝑗 cos 𝜃_𝑗 − sin 𝜃_𝑗 sin 𝜃_𝑗 cos 𝜃_𝑗 Lemma 6

𝑟_𝑗 cos 𝜃_{sin 𝜃}𝑗 − sin 𝜃𝑗

𝑗 cos 𝜃𝑗

𝑛

= 𝑟_𝑗𝑛 cos 𝑛𝜃_{sin 𝑛𝜃}𝑗 − sin 𝑛𝜃𝑗

𝑗 cos 𝑛𝜃𝑗

Teorema 3

Titik tetap dari 𝑥_𝑛+1 = 𝐴𝑥_𝑛 + 𝐵 dengan 𝐴 mempunyai 𝑘 2 pasang 𝜇₁, 𝜇 ₁, 𝜇₂, 𝜇 ₂, ⋯ , 𝜇_{𝑘 2}, 𝜇 _{𝑘 2} nilai eigen imajiner yang berbeda, dimana 𝜇_𝑗 ≡ 𝛼_𝑗 + 𝑖𝛽_𝑗 dan 𝜇 _𝑗 ≡ 𝛼_𝑗 − 𝑖𝛽_𝑗 stabil global (asimtotik) jika dan hanya jika

𝑟_𝑗 ≡ 𝛼_𝑗2 + 𝛽_𝑗2 1 2 < 1, ∀𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑘 2

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Diagram Phase

Sistem

𝑥_𝑛+1 = 𝛼𝑥_𝑛 − 𝛽𝑦_𝑛 𝑦_𝑛+1 = 𝛽𝑥_𝑛 + 𝛼𝑦_𝑛

mempunyai variasi perilaku bergantung pada nilai

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Orbit Periodik : 𝒓 = 𝟏

Spiral Masuk : 𝒓 < 𝟏

Spiral Keluar : 𝒓 > 𝟏

Searah Jarum Jam Berlawanan Arah Jarum Jam

Searah Jarum Jam

Searah Jarum Jam

Berlawanan Arah Jarum Jam

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Orbit Periodik : 𝒓 = 𝟏

Orbit periodik berlawanan arah jarum jam

Misalkan 𝑟 = 1, 𝛽 = 1 dan nilai awal 𝑥₀, 𝑦₀ = 1,0 .

Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh 𝑥₁, 𝑦₁ = 0,1 ,

𝑥₂, 𝑦₂ = −1,0 , 𝑥₃, 𝑦₃ = 0, −1 , dan 𝑥₄, 𝑦₄ = 1,0 . Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit periodik dan

berlawanan arah jarum jam.

𝑥_𝑛+1 = 𝛼𝑥_𝑛 − 𝛽𝑦_𝑛 𝑦_𝑛+1 = 𝛽𝑥_𝑛 + 𝛼𝑦_𝑛

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Orbit Periodik : 𝒓 = 𝟏

Orbit periodik searah arah jarum jam

Misalkan 𝑟 = 1, 𝛽 = −1 dan nilai awal 𝑥₀, 𝑦₀ = 1,0 . Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh

𝑥₁, 𝑦₁ = 0, −1 , 𝑥₂, 𝑦₂ = −1,0 , 𝑥₃, 𝑦₃ = 0, 1 , dan

𝑥₄, 𝑦₄ = 1,0 . Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit periodik dan searah jarum jam. Sebagai catatan, 𝛼

menentukan arah pergerakan.

𝑥_𝑛+1 = 𝛼𝑥_𝑛 − 𝛽𝑦_𝑛 𝑦_𝑛+1 = 𝛽𝑥_𝑛 + 𝛼𝑦_𝑛

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Contoh 1. Uncoupled System 𝑥_𝑛+1 = 2𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛+1 = 0.5𝑦_𝑛, di mana 𝑥 ₀ = 𝑥₀, 𝑦₀ .

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

2. Coupled System

𝑥_𝑛+1 = 𝑥_𝑛 + 0.5𝑦_𝑛, 𝑦_𝑛+1 = 𝑥_𝑛 + 1.5𝑦_𝑛,

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Contoh

1.

𝒓 = 𝟏, 𝜷 > 𝟎 𝑥_𝑛+1 = 𝑦_𝑛, 𝑦_𝑛+1 = −𝑥_𝑛, di mana 𝑥 ₀ = 𝑥₀, 𝑦₀ .

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Contoh 1 𝐴 = 0 1 −1 0 𝜆𝐼 − 𝐴 = 0 𝜆 −1 1 𝜆 = 0 𝜆2 + 1 = 0 𝜆2 = −1 𝜆_1,2 = ±𝑖 𝜇₁ = 𝑖 𝜇 ₁ = −𝑖 𝜆 = 𝑖 𝑖 −1 1 𝑖 𝑏1 ↔ 𝑏2 1𝑖 −1𝑖 𝑖𝑏1 + 𝑏2 1 𝑖0 0 𝑤 = 𝑖 −1 = 0−1 + 𝑖 10 𝑄 = 0 1 −1 0 𝑄−1 = 0 −11 0 𝜇₁ = 𝑖 𝜇 ₁ = −𝑖 maka 𝛼 = 0, 𝛽 = 1 𝜃 = tan−1 𝛽 𝛼 = tan−1 ∞ = 90 𝑟 = 𝛼2 _{+ 𝛽}2 _{= 0 + 1 = 1} 𝑥_𝑛+1 = 𝑦_𝑛, 𝑦_𝑛+1 = −𝑥_𝑛, 𝑥 ₀ = 𝑥₀, 𝑦₀

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

𝐷𝑛 = 1𝑛 cos 90𝑛 − sin 90𝑛

sin 90𝑛 cos 90𝑛 = cos 90𝑛 − sin 90𝑛sin 90𝑛 cos 90𝑛 𝑥 _𝑛 = 𝑄𝐷𝑛𝑄−1𝑥 ₀

= 0 1

−1 0 1 cos 90𝑛 − sin 90𝑛sin 90𝑛 cos 90𝑛 0 −11 0

𝑥₀ 𝑦₀ = cos 90𝑛 − sin 90𝑛 sin 90𝑛 cos 90𝑛 𝑥₀ 𝑦₀ 𝑥_𝑛+1 = 𝑦_𝑛, 𝑦_𝑛+1 = −𝑥_𝑛, 𝑥 ₀ = 𝑥₀, 𝑦₀ 𝑥_𝑛 = 𝑥₀ cos 90𝑛 − 𝑦₀ sin 90𝑛 𝑦_𝑛 = 𝑥₀ sin 90𝑛 + 𝑥₀ cos 90𝑛

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

2. 𝒓 > 𝟏, 𝜷 > 𝟎

𝑥_𝑛+1 = −𝑥_𝑛 + 𝑦_𝑛, 𝑦_𝑛+1 = −𝑥_𝑛 − 𝑦_𝑛,

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Contoh 2 𝐴 = −1 1 −1 −1 𝜆𝐼 − 𝐴 = 0 𝜆 + 1 −1 1 𝜆 + 1 = 0 (𝜆 + 1)2+1 = 0 𝜆2 + 2𝜆 + 2 = 0 𝜆_1,2 = −1 ± 𝑖 𝜇₁ = −1 + 𝑖 𝜇 ₁ = −1 − 𝑖 𝜆 = 𝑖 𝑖 −1 1 𝑖 𝑏1 ↔ 𝑏2 1𝑖 −1𝑖 𝑖𝑏1 + 𝑏2 1 𝑖0 0 𝑤 = 𝑖 −1 = 0−1 + 𝑖 10 𝑄 = 0 1 −1 0 𝑄−1 = 0 −11 0 𝜇₁ = −1 + 𝑖, 𝜇 ₁ = −1 − 𝑖 maka 𝛼 = −1, 𝛽 = 1 𝜃 = tan−1𝛽 𝛼 = tan−1 −1 = 135 𝑟 = 𝛼2 _{+ 𝛽}2 _{= 1 + 1 = 2} 𝑥_𝑛+1 = −𝑥_𝑛 + 𝑦_𝑛, 𝑦_𝑛+1 = −𝑥_𝑛 − 𝑦_𝑛, 𝑥 ₀ = 𝑥₀, 𝑦₀

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

𝐷𝑛 = 2𝑛 cos 135𝑛 − sin 135𝑛

sin 135𝑛 cos 135𝑛 = cos 135𝑛 − sin 135𝑛sin 135𝑛 cos 135𝑛

𝑥 _𝑛 = 𝑄𝐷𝑛𝑄−1𝑥 ₀ = 0 1 −1 0 2 𝑛 _{cos 135𝑛 − sin 135𝑛} sin 135𝑛 cos 135𝑛 0 −1 1 0 𝑥₀ 𝑦₀ = 2𝑛 cos 135𝑛 − sin 135𝑛 sin 135𝑛 cos 135𝑛 𝑥₀ 𝑦₀ 𝑥_𝑛 = 2𝑛𝑥₀ cos 135𝑛 − 2𝑛𝑦₀ sin 135𝑛 𝑦_𝑛 = 2𝑛𝑥₀ sin 135𝑛 + 2𝑛𝑥₀ cos 135𝑛 𝑥_𝑛+1 = −𝑥_𝑛 + 𝑦_𝑛, 𝑦_𝑛+1 = −𝑥_𝑛 − 𝑦_𝑛, 𝑥 ₀ = 𝑥₀, 𝑦₀

dengan

𝑛 = 0,1,2, ….

Bentuk Umum

𝑥 _𝑛+1 = 𝐴𝑥 _𝑛 + 𝐵

Titik Tetap

Titik tetap dari 𝑥 _𝑛+1 = 𝐴𝑥 _𝑛 + 𝐵, adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝑥 ∗ = 𝐴𝑥 ∗ + 𝐵, diperoleh

𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵, jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Lemma 4. Jika matriks 𝐴_𝑘×𝑘 mempunyai 𝑘 2 nilai eigen kompleks kembar, 𝜇, 𝜇 , 𝜇, 𝜇 , ⋯ , 𝜇, 𝜇

dimana 𝜇 ≡ 𝛼 + 𝑖𝛽 dan 𝜇 ≡ 𝛼 − 𝑖𝛽, maka ada matriks non singular 𝑄_𝑘×𝑘 sedemikian sehingga

𝐴 = 𝑄𝐷𝑄−1,

di mana 𝐷 matriks diagonal

𝐷 = 𝛼 −𝛽 𝛽 𝛼 0 00 0 1 0 0 1 𝛼 −𝛽 𝛽 𝛼 … … ⋯ ⋯_{… …} … … 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 … … … … 𝛼 −𝛽_{𝛽 𝛼} , 𝑄 = 𝑣 𝑤 ⋯ 𝑣 𝑤 dan 𝐴𝑄 = 𝑄𝐷, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

𝐷𝑛₌ 𝑟𝑛_{cos 𝑛𝜃 −𝑟}𝑛_{sin 𝑛𝜃} 𝑟𝑛_{sin 𝑛𝜃 𝑟}𝑛_{cos 𝑛𝜃} 0 0_{0 0} 𝑛𝑟𝑛−1_{cos 𝑛 − 1 𝜃 −𝑛𝑟}𝑛−1_{sin 𝑛 − 1 𝜃} 𝑛𝑟𝑛−1_{sin 𝑛 − 1 𝜃 𝑛𝑟}𝑛−1_{cos 𝑛 − 1 𝜃} 𝑟 𝑛_{cos 𝑛𝜃 −𝑟}𝑛_{sin 𝑛𝜃} 𝑟𝑛_{sin 𝑛𝜃 𝑟}𝑛_{cos 𝑛𝜃} … … ⋯ ⋯_{… …} … … 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑛 𝑛 − 1 𝑟𝑛−2_{cos 𝑛 − 2 𝜃} 2! − 𝑛 𝑛 − 1 𝑟𝑛−2_{sin 𝑛 − 2 𝜃} 2! 𝑛 𝑛 − 1 𝑟𝑛−2_{sin 𝑛 − 2 𝜃} 2! 𝑛 𝑛 − 1 𝑟𝑛−2_{cos 𝑛 − 2 𝜃} 2! 𝑛𝑟𝑛−1_{cos 𝑛 − 1 𝜃 −𝑛𝑟}𝑛−1_{sin 𝑛 − 1 𝜃} 𝑛𝑟𝑛−1_{sin 𝑛 − 1 𝜃 𝑛𝑟}𝑛−1_{cos 𝑛 − 1 𝜃} ⋱ ⋱_{⋱ ⋱} 0 0_{0 0} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ … … … … 𝑟 𝑛_{cos 𝑛𝜃 −𝑟}𝑛_{sin 𝑛𝜃} 𝑟𝑛_{sin 𝑛𝜃 𝑟}𝑛_{cos 𝑛𝜃} , 𝑥_𝑛+1 = 𝑛−1 𝑟𝑛−𝑘 𝑛_{𝑘 cos 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑥0} − sin 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑦₀ 𝑘=0 𝑦_𝑛+1 = 𝑛−1 𝑟𝑛−𝑘 𝑛_{𝑘 sin 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑥0} − cos 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑦₀ 𝑘=0

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Teorema 4

Titik tetap dari 𝑥_𝑛+1 = 𝐴𝑥_𝑛 + 𝐵 dengan 𝐴 mempunyai 𝑘 2 pasang

𝜇, 𝜇 , 𝜇, 𝜇 , ⋯ , 𝜇, 𝜇 nilai eigen imajiner kembar, dimana 𝜇 ≡ 𝛼 + 𝑖𝛽

dan𝜇 ≡ 𝛼 − 𝑖𝛽 stabil global jika dan hanya jika

SDD OTONOMUS NON-LINEAR

MULTI-D

𝑥 _𝑛+1 = 𝑓 𝑥 _𝑛 , dengan 𝑛 = 0,1,2, … . Bentuk Umum Solusinya adalah 𝑥 ₁ = 𝑓 𝑥 ₀ 𝑥 ₂ = 𝑓 𝑥 ₁ = 𝑓 𝑓 (𝑥 ₀) = 𝑓 2 𝑥 ₀ ⋮ 𝑥 _𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑥 ₀ Solusi Sistem

SDD OTONOMUS NON-LINEAR

MULTI-D

Titik Tetap

Titik tetap dari 𝑥 _𝑛+1 = 𝑓 𝑥 _𝑛 , adalah 𝑥∗ ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝑥 ∗ = 𝑓 𝑥 ∗ . Linearisasi Hasil linearisasi: 𝑥 _𝑛+1 = 𝑈𝑥 _𝑛 + 𝑉, dengan 𝑈 = 𝑓 ′ 𝑥 ∗ dan 𝑉 = 𝑓 𝑥 ∗ − 𝑓 ′ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ Kestabilan

SDD Linear 1D

Bentuk: 𝑥_𝑛+1 = 𝑎𝑥_𝑛 + 𝑏 Titik Tetap: 𝑥∗ = 𝑏

1−𝑎

Titik tetap 𝑥∗ stabil global ⟺ 𝑎 < 1

SDD Non-Linear 1D

Bentuk: 𝑥_𝑛+1 = 𝑓 𝑥_𝑛 Titik Tetap: 𝑥∗ = 𝑓 𝑥∗

Titik tetap 𝑥∗ stabil lokal ⟺ 𝑓′ 𝑥∗ < 1

KESIMPULAN

SDD Linear Multi-D

Bentuk: 𝑥 _𝑛+1 = 𝐴𝑥 _𝑛 + 𝐵

Titik Tetap: 𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵 Kestabilan untuk kasus 2-D:

Nilai Eigen Positif

• Stabil: 0 < 𝜆₁ < 𝜆₂ < 1. • Saddle: 0 < 𝜆₁ < 1 < 𝜆₂.

• Source: 1 < 𝜆₁ < 𝜆₂

1. Nilai Eigen Berbeda

Nilai Eigen Negatif

• Stabil (Osilasi Konvergen) : −1 < 𝜆₁ < 𝜆₂ < 0.

• Saddle (Osilasi Konvergen/Divergen) : 𝜆₁ < −1 < 𝜆₂ < 0. • Source (Osilasi Divergen) : 𝜆₁ < 𝜆₂ < −1

• Fokus (Stabil): 0 < 𝜆₁ = 𝜆₂ < 1.

• Fokus (Osilasi Konvergen): −1 < 𝜆₁ = 𝜆₂ < 0.

• Improper (Stabil): 0 < 𝜆 < 1. • Improper (Source): 𝜆 > 1. • Continuum Unstable: 𝜆 = 1.

2. Nilai Eigen Kembar

KESIMPULAN

• Periodik Tertutup: 𝑟 = 1.

1. 𝛽 > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam 2. 𝛽 < 0 Searah Jarum Jam

• Spiral Masuk (Stabil Asimtotik) : 𝑟 < 1.

1. 𝛽 > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam 2. 𝛽 < 0 Searah Jarum Jam

• Spiral Keluar (Tak Stabil) : 1 < 𝑟.

1. 𝛽 > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam 2. 𝛽 < 0 Searah Jarum Jam

SDD Non-Linear Multi-D

Bentuk: 𝑥 _𝑛+1 = 𝑓 𝑥 _𝑛 Titik Tetap: 𝑥 ∗ = 𝑓 𝑥 ∗

Kestabilan titik tetap 𝑥 ∗ sama seperti SDD Linear Multi-D