APLIKASI BASIS L2 LAGUERRE PADA INTERAKSI TOLAK MENOLAK ANTARA ATOM TARGET HIDROGEN DAN POSITRON
Ade S. Dwitama
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Ade S. Dwitama (G74104051). APLIKASI BASIS L2 LAGUERRE PADA INTERAKSI TOLAK MENOLAK ANTARA ATOM TARGET HIDROGEN DAN POSITRON. Dibimbing Oleh Dr. Agus Kartono.
ABSTRAK
Hamiltonian atom hidrogen akan menghasilkan hubungan rekursif polinomial Pollaczek. Akar-akar dari polinomial Pollaczek tersebut berhubungan dengan eigen energi dari Hamiltonian atom hidrogen. Perhitungan akar-akar polinomial Pollaczek dilakukan dengan metode Birge-Vieta. Energi kontinu dihasilkan oleh akar polinomial Pollaczek yang berada pada interval [-1,+1], sementara spektrum energi diskret akan dihasilkan oleh akar-akar diluar selang tersebut.
Hasil – hasil yang diperoleh dari perhitungan numerik menunjukkan beberapa kecenderungan terhadap spektrum energi setelah dilakukan perubahan pada jumlah basis dalam rentang 5 – 20 dan parameter λ dalam rentang 0,4 – 6. Diperlihatkan bahwa semakin besar nilai parameter λ dan jumlah basis, nilai energi maksimum akan semakin besar, sehingga untuk mendapatkan energi maksimum yang bernilai maksimum, diperlukan pemilihan jumlah basis dan nilai parameter λ yang maksimum pula. pada energi minimum, peningkatan nilai parameter λ untuk jumlah basis yang sama akan meningkatkan nilai energi minimum, sedangkan penambahan jumlah basis akan menurunkan nilai energi minimum untuk nilai parameter yang sama.
Distribusi energi di sekitar 0 eV memberikan suatu gambaran mengenai kuat lemahnya interaksi tolak-menolak yang terjadi antara inti atom target hidrogen dan positron, dimana apabila positron memiliki distribusi spektrum energi yang bernilai di sekitar 0 eV, maka dapat disimpulkan bahwa interaksi yang sangat kuat terjadi antara inti atom target hidrogen dan positron. Hal ini juga berarti bahwa inti atom target hidrogen dan positron cukup dekat. Sebaliknya, ketika positron memiliki spektrum energi yang cukup besar maka interaksi yang terjadi merupakan interaksi yang lemah, yang berarti pula bahwa jarak antara inti target hidrogen dan positron masih cukup jauh.
Kata kunci : square integrable, L2 basis function, attractive and repulsive coulomb potentials, pollaczek polynomials.
APLIKASI BASIS L2 LAGUERRE PADA INTERAKSI TOLAK MENOLAK ANTARA ATOM TARGET HIDROGEN DAN POSITRON
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh: Ade S. Dwitama
G74104051
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul : Aplikasi Basis L2 Laguerre pada Interaksi Tolak Menolak antara Atom Target Hidrogen dan Positron
Nama : Ade Sevianto Dwitama NRP : G74104051 Menyetujui, Pembimbing Dr. Agus Kartono NIP. 132 232 003 Mengetahui,
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. Drh. Hasim, DEA NIP. 131 578 806
iv
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 21 september 1987 dari pasangan Effendi dan M. Lidyawati. Penulis merupakan putra kedua dari dua bersaudara. Penulis menyelesaikan masa studinya di SD Negeri Bitung Jaya I Tangerang selama enam tahun, kemudian melanjutkan ke SLTP Negeri 8 Tangerang selama tiga tahun, dan kemudian melanjutkan kembali ke SMA Negeri 7 Tangerang selama tiga tahun. Penulis lulus dari SMA Negeri 7 Tangerang pada tahun 2004 dan pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan sarjana strata satu di Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi asisten praktikum Fisika Komputasi untuk mahasiswa Fisika tahun ajaran 2007-2008. Penulis juga aktif dalam organisasi kemahasiswaan sebagai anggota departemen psdm HIMAFI IPB tahun 2004/2005, anggota departemen syiar SERUM-G IPB tahun 2004/2005, dan anggota departemen sains SERUM-G IPB tahun 2005/2006.
v
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kekuatan dan kesabaran kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi di Departemen Fisika IPB.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi ini, kepada kedua orangtua beserta saudara penulis yang telah mendo’akan dan menyemangati penulis, kepada Bapak Dr. Agus Kartono yang telah membimbing dan mengarahkan penulis dalam menyelesaikan skripsi ini, kepada seluruh Dosen Departemen Fisika IPB yang telah memberikan banyak ilmu yang bermanfaat, kepada seluruh staf Departemen Fisika IPB atas bantuannya, kepada keluarga besar fisika 39, 40, 41, 42, 43 atas kebersamaan dan kenangannya, kepada Romzi, Farid, Amin dan Fajrin yang telah memberikan dukungan, informasi dan tempat yang nyaman selama penyelesaian skripsi, dan kepada seluruh sahabat penulis yang tidak dapat disebutkan satu-persatu.
Demikian skripsi ini dibuat, semoga dapat bermanfaat bagi kita semua. Kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan untuk menyempurnakan skripsi ini. Semoga Allah SWT senantiasa melimpahkan rahmat dan karunianya untuk kita semua. Amiin.
Bogor, November 2008 Penulis
vi
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK ... i
HALAMAN JUDUL ... ii
LEMBAR PENGESAHAN ... iii
RIWAYAT HIDUP ... iv
KATA PENGANTAR ... v
DAFTAR ISI ... vi
DAFTAR TABEL ... vii
DAFTAR GAMBAR ... vii
DAFTAR LAMPIRAN ... vii
PENDAHULUAN ... 1
Latar Belakang ... 1
Tujuan Penelitian ... 1
TINJAUAN PUSTAKA ... 1
Hamburan Pada Fisika Partikel ... 1
Diskretisasi Hamiltonian Coulomb Tolak Menolak ... 1
Metode Birge-Vieta ... 4
METODE PENELITIAN ... 4
HASIL DAN PEMBAHASAN ... 4
Pengaruh variasi jumlah basis dan λ (parameter interaksi) terhadap energi maksimum ... 6
Pengaruh variasi jumlah basis dan λ (parameter interaksi) terhadap energi minimum ... 7
Distribusi energi disekitar 0 eV ... 8
KESIMPULAN ... 8
DAFTAR PUSTAKA ... 9
vii
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 1. Akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 0 dibandingkan
dengan polinomial Ultraspherical pada N = 5 ... 5 Tabel 2. Akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 0 dibandingkan
dengan polinomial Ultraspherical pada N = 10 ... 5 Tabel 3. Akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 0 dibandingkan
dengan polinomial Ultraspherical pada N = 20 ... 5 Tabel 4. Akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 1 dan λ = 1,0 beserta
energi yang berkaitan pada N = 5 ... 5 Tabel 5. Akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 1 dan λ = 1,0 beserta
energi yang berkaitan pada N = 10 ... 6 Tabel 6. Akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 1 dan λ = 1,0 beserta
energi yang berkaitan pada N = 20 ... 6 Tabel 7. Energi maksimum pada jumlah basis tertentu dengan beberapa nilai
parameter λ ... 6 Tabel 8. Energi minimum pada jumlah basis tertentu dengan beberapa nilai
parameter λ ... 7 Tabel 9. Distribusi energi disekitar 0 eV untuk beberapa parameter λ, dalam
jumlah basis tertentu ... 8 DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 1. Kecenderungan yang terjadi pada energi maksimum akibat
variasi jumlah basis dan λ ... 6 Gambar 2. Kecenderungan yang terjadi pada energi minimum akibat
variasi jumlah basis dan λ ... 7 DAFTAR LAMPIRAN
Halaman Lampiran 1. Program penghitung akar Pollaczek ... 11 Lampiran 2. Nilai Akar dan Energi Hasil Perhitungan Numerik ... 16
PENDAHULUAN Latar Belakang
Hamburan merupakan suatu proses fisika yang umum terjadi, dimana beberapa hamburan menghasilkan radiasi, seperti cahaya atau partikel bergerak. Hamburan juga bisa diartikan sebagai perubahan arah atau energi partikel karena bertumbukan atau berinteraksi dengan partikel lain, dengan suatu atom atau dengan suatu sistem.
Peristiwa hamburan dapat dipergunakan untuk mendapatkan informasi mengenai interaksi yang terjadi antara sebuah partikel dengan partikel penembak. Contohnya, apabila terdapat sebuah atom hidrogen, yang telah kehilangan elektronnya, ditembak dengan sebuah positron, maka akan terjadi interaksi tolak-menolak antara positron dan atom target hidrogen. Interaksi tolak-menolak ini selanjutnya dapat dipergunakan untuk menjelaskan peristiwa hamburan.
Hubungan antara matriks nilai eigen dari diskretisasi L2 pada operator dengan
spektrum kontinu dan Gaussian Quadrature
dibahas untuk energi kinetik radial dan untuk attractive dan repulsive Coulomb Hamiltonian. Ditunjukkan bahwa dikretisasi pada energi kinetik radial dalam basis tipe Laguerre memberikan polinomial Ultraspherical, sedangkan diskritisasi pada basis tipe Oscillator menghasilkan polinomial Laguerre. Diskritisasi Laguerre dari Coulomb problem menghasilkan polinomial Pollaczek pada kasus repulsive, dan polinomial Pollaczekyang dimodifikasi pada kasus attractive. (Yamani, Reinhardt,1975)
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah memberikan suatu gambaran mengenai hasil yang dperoleh dalam menyelesaikan persoalan interaksi tolak-menolak yang terjadi antara atom target hidrogen dan positron dengan menggunakan basis L2 Laguerre. Dalam
perhitungan didapatkan hasil yang dapat dipergunakan untuk menjelaskan interaksi tolak-menolak yang terjadi dan dapat dibandingkan dengan solusi eksak maupun hasil eksperimen.
TINJAUAN PUSTAKA Hamburan pada Fisika Partikel
Didalam fisika partikel, hamburan berkenaan dengan pembelokan partikel sub atomik, yang merupakan proses sentral
untuk banyak eksperimen. Pada eksperimen hamburan, target dari suatu material ditembak dengan pancaran partikel (khususnya elektron, proton atau neutron) dan jumlah partikel yang muncul di berbagai arah dapat dihitung. Distribusi ini menunjukkan informasi tentang interaksi yang berada di antara target dan partikel yang terpancar.
Berdasarkan tipe interaksi di antara partikel terpancar dan target, proses hamburan dibedakan menjadi hamburan elastik dan inelastik. Pada proses hamburan elastik, partikel terpancar dan target dibiarkan utuh dan hanya momentumnya yang dapat berubah. Pada proses hamburan inelastik, partikel target tereksitasi. Contohnya jika nukleus ditembak neutron, dapat terjadi eksitasi ke resonansi inti tertentu. Pada hamburan inelastik, target (dan kadang kala partikel terhambur) hancur dan partikel yang sama sekali baru dapat tercipta. Secara matematis, para ilmuwan menggambarkan hamburan dengan parameter tumbukan (yang menggambarkan seberapa dekat partikel terpancar datang ke target jika partikel tersebut bergerak lurus) dan sudut pembelokan (yang menggambarkan sudut dimana partikel muncul relatif dengan arah semula). Distribusi dari sudut pembelokkan digambarkan oleh fungsi yang dikenal sebagai penurunan penampang melintang (differential cross section), yang berhubungan dengan arah tiga dimensi dimana partikel muncul dari sinar datang dimana partikel tersebut berasal.
Diskritisasi Hamiltonian Coulomb tolak menolak
Hamiltonian Coulomb untuk interaksi tolak menolak dapat diungkapkan sebagai berikut
(1) dimana koefisien l, ,dan r secara berturut-turut merupakan bilangan kuantum orbital, nomor atom, dan jarak antara inti target atom dan partikel penembak. Hamiltonian pada persamaan (1) akan berkaitan dengan energi sebagai suatu nilai eigen. Keterkaitan itu dapat diungkapkan sebagai berikut
2
(2) dengan
(3) Untuk mendapatkan nilai eigen energi pada persamaan nilai eigen (2) dan koefisien ekspansi ( ) digunakan diagonalisasi matriks atau integrasi, dengan syarat bahwa
(4) dengan
(5) Persamaan (5) merupakan fungsi basis
square integrable tipe Laguerre, dengan parameter λ merupakan parameter interaksi antara inti target atom hidrogen dengan partikel penembak. Fungsi basis ini diperoleh dengan menyelesaikan Hamiltonian (1).
Persoalan nilai eigen diatas dapat diselesaikan dengan menggunakan hubungan ortogonalitas polinomial Laguerre
(Boas,1983)
(6) beberapa hubungan rekursif polinomial Laguerre (Boas,1983)
(7)
(8)
serta rumus differensiasi berikut ini
(Sansone,1959)
(9) Pensubstitusian persamaan Hamiltonian (1) ke dalam persamaan (4) dan pengubahan variable akan memberikan
(10) dengan
(11) Persamaan (10) dan (11) dapat diselesaikan sebagai suatu persoalan integral, sehingga diperoleh
(12) dengan
(13) Persamaan (12) dapat dituliskan menjadi
(14) Dengan melakukan penyederhanaan pada persamaan (14) akan diperoleh
