Kontrol Optimum. Prinsip Maksimum Pontryagin. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014

Kontrol Optimum

Prinsip Maksimum Pontryagin

Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB

Outline

Masalah kontrol optimum Prinsip maksimum Pontryagin

1 _Teorema 2 _Bukti

Masalah Kontrol Optimum

Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan peubah kontrol yang dapat mengendalikan suatu proses sedemikian sehingga memenuhi beberapa kendala …sik dan dalam waktu yang sama mengoptimumkan kriteria tertentu.

Masalah kontrol optimum dapat diselesaikan melalui dua pendekatan:

1 program dinamik (Bellman, 1957) 2 prinsip maksimum (Pontryagin, 1962)

Dalam kuliah ini akan dibahas penyelesaian masalah kontrol optimum melalui pendekatan prinsip maksimum.

Pendekatan prinsip maksimum banyak menggunakan teknik dalam kalkulus variasi.

MKV vs MKO

Perbedaan MKV dan MKO: Masalah Kalkulus Variasi:

opt J(x(t)) =

Z T

0

f(x(t),x˙(t),t)dt. Masalah Kontrol Optimum:

opt J(x(t)) = Z T 0 f(x(t),u(t),t)dt ˙ x(t) = g(x(t),u(t)),

baik dengan kendala ataukah tanpa kendala. Dengan kata lain, MKV merupakan bentuk khusus dari MKO, yaitu ketika g(x,u) =u.

Masalah Pemasaran melalui Iklan

Sumber: Sethi & Thompson (2006) Fungsional objektif: max c Z _∞ 0 (π( G) c(t))e rt dt. Fungsi kendala: ˙ G(t) = c(t) δG(t), G(0) = G0,

dengan π tingkat penerimaan (revenue) yang merupakan fungsi dari citra perusahaan (goodwill)G,c biaya produksi (iklan), danδ laju depresiasi. Masalah: menentukan besarnya biayau(t):=c(t)yang dikeluarkan untuk iklan sedemikian sehingga memaksimumkan tingkat keuntungan.

Masalah Pemeliharaan dan Pemanenan Ikan

Sumber: Sydsæter et al. (2008) Fungsional objektif: max u x(T)P(T,x(T))e rT Z T 0 cx(t)u(t)e rt dt . Fungsi kendala: ˙ x(t) = x(t)g(t,u(t)), x(0) = x0,

denganx(t)berat ikan pada saat t,P(t,x) harga ikan dengan beratx pada saat t,u(t) banyaknya pakan ikan yang digunakan, danc >0 biaya pakan ikan.

Masalah: menentukan banyaknya pakan ikan yang digunakanu(t)

Example

Tinjau sebuah masalah makroekonomi di mana sebuah indikator ekonomi y(t)ingin dikendalikan dengan kendali u(t) =y˙(t) sehingga mencapai level yang diinginkanyˆ dalam periode[0,T]. Pengendalian memerlukan biaya sehingga ingin diminimumkan fungsional

J(y) =R₀T (y yˆ)2+cu2 dt. De…nisikan x :=y yˆ sehingga

˙

x = y˙ =u,

x(T) = y(T) yˆ =yˆ yˆ =0. Masalah kalkulus variasi:

min J(x) = R₀T(x2+cx˙2)dt, x(0) = x0, x(T) =0.

Solution

Persamaan Euler memberikan:

2x 2cx¨ =0 _, x¨ 1_cx =0

, x(t) =Aert+Be rt, r = p1_c. Syarat batas menghasilkan:

x (t) = x0 erT _e rT h er(T t) e r(T t)i, sehingga y (t) = x (t) +yˆ, u (t) = x˙ (t).

Masalah Kontrol Optimum

Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan admissible control u (t)yang dapat mengendalikan sistem dinamik

˙

x(t) =g(x(t),u(t),t),

sedemikian sehingga mampu mengikuti admissible trajectory x (t)dalam interval waktu [0,T]dan mengoptimumkan fungsional objektif

J =S(x(T),T) +R₀Tf(x(t),u(t),t)dt.

Fungsi u (t)disebut kontrol optimum dan x (t)trajektori optimum.

Problem

MKO:

opt J = S(x(T),T) +R₀Tf(x(t),u(t),t)dt s.t. x˙(t) = g(x(t),u(t),t)

Prinsip Maksimum Pontryagin

Masalah kontrol optimum merupakan perluasan masalah kalkulus variasi.

Masalah kalkulus variasi muncul sejak zaman Euler dengan Persamaan Euler sebagai syarat perlu optimalitas (1744).

Teori kontrol optimum berkembang di tahun enampuluhan ketika sekelompok matematikawan Rusia, yaitu Pontryagin, Boltyanskii, Gamkrelidze, Mischenko (1962), merumuskan syarat perlu optimalitas bagi masalah kontrol optimum.

Prinsip Maksimum Pontryagin

Theorem (Prinsip Maksimum Pontryagin)

Perhatikan masalah kontrol optimum berikut:

opt J = S(x(T),T) +R₀Tf(x(t),u(t),t)dt s.t. x˙(t) = g(x(t),u(t),t)

x(0) = x0,

T dan x(T) belum ditentukan. De…nisikan fungsi hamilton (hamiltonian):

H(x,u,p,t):=f(x,u,t) +pg(x,u,t), dengan p merupakan "pengali lagrange" atau costate variable.

Theorem (Prinsip Maksimum Pontryagin)

Syarat perlu optimalitas diberikan oleh:

1 u(t)memaksimumkan H, yaitu

∂H

∂u =0,Hu =0.

2 x(t) dan p(t) memenuhi sistem persamaan diferensial berikut:

˙ x = ∂H ∂p ,x˙ =g(x,u,t), ˙ p = ∂H ∂x ,p˙ = Hx.

3 Syarat batas terpenuhi.

4 Syarat transversalitas berikut terpenuhi:

Bukti (Prinsip Maksimum Pontryagin)

Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus dapat ditulis:

S(x(T),T) =S(x0,0) + RT 0 d dtS(x(t),t)dt, sehingga J = S(x0,0) + RT 0 f(x,u,t) + dS(x,t) dt dt = S(x0,0) +R₀T f + ∂S ∂xx˙ + ∂S ∂t dt.

Karena S(x0,0)konstan maka suku tersebut dapat diabaikan dalam proses pengoptimuman, sehingga

J =R₀T f + ∂S

∂xx˙ + ∂S

Bukti (Prinsip Maksimum Pontryagin)

De…nisikan fungsional objektif imbuhan (augmented):

Ja =R₀TF(x,x˙,p,u,t)dt, dengan F = f + ∂S ∂xx˙ + ∂S ∂t +p(g x˙) = f +pg+∂S ∂xx˙ + ∂S ∂t px˙ = H+ ∂S ∂xx˙ + ∂S ∂t px˙.

Ingat kembali syarat perlu masalah Kalkulus variasi dengan T dan x(T)

tidak ditentukan:

Bukti (Prinsip Maksimum Pontryagin)

Terapkan pada δJa :

δJa =R₀T (Fx _dtd Fx˙)δx+Fuδu+Fpδp dt+ (Fx˙δx+ (F xF˙ x˙)δtjT =0. Dengan demikian syarat perlu optimalitas diberikan oleh:

1 _Fx d dtFx˙ =0 (persamaan Euler) 2 F_u =0 3 F_p =0 4 (F ˙ xδx+ (F xF˙ x˙)δtjT =0 (syarat transversalitas) Perhatikan bahwa: Fx _dtd Fx˙ = Hx+ ∂ ∂x(Sxx˙ +St) d dt(Sx p) = (Hx+Sxxx˙ +Stx) (Sxt+Sxxx˙ p˙) = Hx+p˙.

Bukti (Prinsip Maksimum Pontryagin)

Dengan demikian 1 F_x d dtFx˙ =0,Hx+p˙ =0,p˙ = Hx. 2 F_u =0,H_u =0. 3 _Fp =₀,_{Hp x˙} =₀,_x˙ =_g(_x,u,t) 4 Karena Fx_˙ = Sx p F xF˙ x_˙ = (H+Sxx˙ +St px˙) x˙ (Sx p) = H+St,

maka syarat transversalitas (Fx˙δx+ (F xF˙ x˙)δtjT =0 menjadi

Prinsip Maksimum Pontryagin

KondisiH(x ,u ,p ,t) H(x ,u,p,t) disebut "Prinsip Maksimum Pontryagin" dan dipenuhi oleh:

Hu = 0,

Huu < 0.

Dalam masalah maksimisasi dengan kontrol berbatas

umin u umax, jikaH =H(u)fungsi naik makau =umax dan jikaH =H(u)fungsi turun maka u =umin.

umin umax u

H

umin umax u

Prinsip Maksimum Pontryagin

Fungsi p disebut sebagai fungsi adjoin (mirip pengali lagrange) dan merupakan shadow price atau nilai marjinal dari J jika terjadi perubahan pada x0. dH dt = ∂H ∂t . Bukti: H = f(x,u,t) +pg(x,u,t) dH dt = fxx˙ +fuu˙ +ft+p(gxx˙ +guu˙ +gt) +pg˙ = (fx+pgx)x˙ + (fu+pgu)u˙ + (ft +pgt) +pg˙ = Hxx˙ +Huu˙ +Ht Hxx˙ = Ht.

Prinsip Maksimum Pontryagin

Jika S =0 maka syarat transversalitas

(Sx p)δxjT + (H+St)δtjT =0 berubah menjadi

p(T)δx(T) +H(T)δT =0.

Jika t0 danx(t0)juga tidak ditentukan maka syarat transversalitas harus juga dievaluasi di t =t0, yaitu

(Sx p)δxjt0,T + (H+St)δtjt0,T =0.

Prinsip Maksimum Pontryagin

Example

Selesaikan MKO berikut:

min J = R₀1(x+u2) dt s.t. x˙ = u

x(0) = 0 x(1) bebas.

Solution

MKO di atas dapat diubah menjadi MKV berikut: min J = R₀1(x+x˙2) dt

x(0) = 0 x(1) bebas.

Prinsip Maksimum Pontryagin

Solution (Pendekatan KV)

Persamaan Euler fx _dtd fx˙ =0 memberikan

1 2x¨ =0_,x(t) = 1₄t2+At+B.

Dari syarat batas x(0) =0 diperoleh B =0 sehingga x(t) = 1₄t2+At. Syarat batas alamiah fx˙jt=1 =0 memberikan

˙

x_jt=1 =0,(1₂t+Ajt=1 =0,A= 1₂, sehingga

Prinsip Maksimum Pontryagin

Solution (Pendekatan KO)

Fungsi hamilton MKO di atas ialah

H= (x+u2) +p( u) =x+u2 pu. Syarat perlu optimalitas Hu =0memberikan

2u p =0_,u(t) = 1₂p(t). Syarat perlu optimalitas p˙ = Hx = 1 memberikan

p(t) = t+A.

Syarat transversalitas p(T)δx(T) +H(T)δT =0 memberikan p(1) =0_,A=1_,p (t) = t+1.

Prinsip Maksimum Pontryagin

Diperoleh

u (t) = 1₂t+1₂,

x (t) = R ( 1₂t+1₂)dt = 1₄t2 1₂t+B.

Dengan memasukkan syarat batasx(0) =0 diperolehB =0 sehingga x (t) = 1₄t2 1₂t.

Fungsi Adjoin

Jika suatu MKO memiliki solusi optimal (x ,u )yang berpadanan dengan fungsi adjoinp maka nilai fungsional objektif optimalJ bergantung pada t0,x0,T,xT dan dinotasikan sebagai

J (t0,x0,T,xT) = RT

t0f(x ,u ,t)dt.

(Jika x(T)bebas maka J tidak bergantung padaxT).

Jika x0 berubah maka pada umumnyax danu juga berubah sepanjang interval [t0,T]. JikaJ terturunkan, maka berlaku

∂J (t0,x0,T,xT) ∂x0

=p(t0). Dari contoh sebelumnya denganx(0) =x0 diperoleh

J = R₀1(x +u 2)dt =R₀1(1₄t2 1₂t+x0+ ( ₂1t+1₂)2)dt

= x0 ₁₂1. sehingga ∂J