Kontrol Optimum. MKO dengan Horizon Takhingga, Syarat Cukup. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014

Kontrol Optimum

MKO dengan Horizon Takhingga, Syarat Cukup

Toni Bakhtiar

Departemen Matematika IPB

Outline

MKO dengan horizon waktu takhingga

1 Syarat perlu optimalitas 2 _{Masalah konsumsi optimum} 3 _{Model investasi}

Syarat cukup

1 Beberapa uji

2 Syarat cukup Mangasarian 3 _{Syarat cukup Arrow} 4 _{Model Eisner-Strotz}

Masalah Horizon Takhingga

Bentuk Umum

Bentuk umum MKO dengan horizon waktu takhingga diberikan oleh:

max J = R₀∞f(x, u)e rt dt s.t. ˙x = g(x, u)

x(0) = x0.

Masalah yang lazim muncul dalam MKO dengan horizon waktu takhingga ialah integral yang tidak konvergen.

Namun, dalam masalah mandiri dengan r >0, integral akan konvergen asalkan f(x, u) terbatas di atas. Alasannya, f(x, u)e rt _!0 ketika t _!∞.

Hampir semua hasil pada MKO dengan horizon waktu berhingga berlaku untuk horizon waktu takhingga (kecuali pada saat t _!∞).

Masalah Horizon Takhingga

Syarat Perlu Optimalitas

Prinsip maksimum Pontryagin:

Hu = 0,

˙

m mr = _Hx,

˙x = g . Masalah titik akhir tetap (x(T)…xed ):

x(0) = x0,

lim

t!∞x(t) = b.

Masalah titik akhir bebas (x(T)free): m(T)e rT =0_, lim

t!∞m(t)e

Masalah Horizon Takhingga

Syarat Perlu Optimalitas

Namun kondisi di atas tidak terlalu membantu dan tidak selalu benar, terutama limt!∞x(t) =b. Sebagai gantinya, diasumsikan bahwa

nilai steady state memberikan syarat batas optimal untuk x ketika t _!∞, yaitu: x(0) = x0, lim t_!∞x(t) = ¯x. Sistem dinamik ˙ m = mr _Hx ˙x = g

selalu bersifat saddle-point atau unstable-point.

Lintasan x(t) di sepanjang lintasan saddle bersifat monoton, yaitu x(t) tidak pernah berubah arah dalam mendekati titik steady state: naik, turun, ataukah konstan.

Masalah Horizon Takhingga

Example (Masalah Konsumsi Optimum) MKO: max J = R₀∞e rtln c dt s.t. ˙x = ρx c x(0) = x0 lim t_!∞x(t) = 0. Solution

Dari contoh sebelumnya diperoleh:

x(t) = (e

rt ₁₎

Ar e

Masalah Horizon Takhingga

Solution

Syarat x(0) =x0 memberikan B =x0, sehingga

x(t) = (e rt ₁₎ Ar e ρt _+x 0eρt = e (ρ r)t Ar eρt Ar +x0e ρt_.

Dengan asumsi ρ r <0 maka syarat limt!∞x(t) =0 memberikan

x0 = 1 Ar ,A= 1 rx0 .

Masalah Horizon Takhingga

Solution Jadi x (t) = x0e(ρ r)t, m (t) = Ae(r ρ)t ₌ e (r ρ)t rx0 , c (t) = 1 m (t) =rx0e (ρ r)t_.

Problem (Model Investasi)

Dengan K menyatakan stok modal dan I tingkat investasi:

max J = R₀∞e rt(K aK2 I2)dt s.t. K˙ = I δK

Masalah Horizon Takhingga (Model Investasi)

Solution

Peubah state: K , peubah kontrol: I . CVH diberikan oleh:

H =K aK2 I2+m(I δK).

Prinsip maksimum Pontryagin memberikan: HI =0, 2I+m=0,I = 1₂m. ˙ m mr = _HK ,m˙ mr = (1 2aK mδ) ,m˙ = (r+δ)m+2aK 1. ˙ K _{= H}m ,K˙ =I δK ,K˙ = 1₂m δK .

Dua syarat terakhir memberikan SPD:

˙ m ˙ K = r+δ 2a 1 2 δ m K + 1 0 .

Masalah Horizon Takhingga (Model Investasi)

Solution Nilai-nilai eigen: λ1,2= 1₂r 1₂ q r2_{+4(r δ+δ}2_+a).

Terlihat bahwa kedua nilai eigen berbeda tanda (saddle). Solusi SPD:

m(t) = Aeλ1t_+Beλ2t _+m¯ K(t) = λ1 δ r 2a Ae λ1t ₊λ2 δ r 2a Be λ2t_{+K ,}¯

dengan solusi steady state:

¯ m= δ δ(δ+r) +a, ¯ K = 1 2(δ(δ+r) +a).

Masalah Horizon Takhingga (Model Investasi)

Solution

Misalkan λ1 <0 dan λ2 >0. Agar kekonvergenan ke solusi steady state

terjamin, haruslah B =0, sehingga m(t) = Aeλ1t _+m¯

K(t) = λ1 δ r 2a Ae

λ1t _{+K .}¯

Dari nilai awal K(0) =K0 diperoleh A= 2a(K0 ¯ K) λ1 δ r , sehingga K (t) = (K0 K¯)eλ1t +K ,¯ m (t) = 2a(K0 K¯) λ1 δ r e λ1t_+m,¯ I (t) = a(K0 K¯) λ1 δ re λ1t₊ δ ¯K .

Syarat Cukup

Prinsip maksimum Pontryagin merupakan syarat perlu bagi optimalitas.

Hanya x(t)yang memenuhi syarat perlu yang mungkin dapat menyelesaikan suatu MKO.

Namun, prinsip maksimum Pontryagin tidak dapat mengatakan suatu kandidat x(t) optimal ataukah tidak.

Ingat kembali: untuk J =R₀Tf(x, ˙x, t)dt, variasi pertama dan kedua dide…nisikan sebagai:

δJ = R₀T(hfx+ ˙hf˙x)dt,

Syarat Cukup

Tinjau MKO berikut:

max J = R₀Tf(x, u, t) dt s.t. ˙x = g(x, u, t). Variasi kedua:

δ2J := 1₂R₀T(h2₁fxx +2h1h2fxu+h22fuu) dt.

De…nisikan fungsional objektif imbuhan (augmented objective functional ):

Ja :=R₀TF(x, u, p, t)dt,

dengan

F(x, u, p, t) = f(x, u, t) +p(t)[g(x, u, t) ˙x] = H(x, u, p, t) p(t)˙x.

Syarat Cukup

Karena Fxx =Hxx, Fxu =Hxu, dan Fuu =Huu, maka variasi kedua:

δ2Ja = 1₂ RT 0 (h 2 1Hxx +2h1h2Hxu+h22Huu)dt = 1₂R₀T h1 h2 Hxx Hxu Hxu Huu h1 h2 dt.

Diperoleh matriks Hess (Hessian):

H= Hxx Hxu

Hxu Huu .

Theorem

Kendali u merupakan ekstremum lokal bagi J jika Hu =0 dan

masalah maksimisasi: δ2Ja 0,H semide…nit negatif.

Syarat Cukup

Theorem

H semide…nit negatif,H konkaf dalam peubah (x, u).

H semide…nit positif ,H konveks dalam peubah(x, u).

Theorem

Misalkan f =f(x, y)fungsi yang terturunkan dua kali:

1 f konveks ,f_xx 0, f_yy 0, dan f_xxf_yy f2

xy 0.

2 f konkaf,f_xx 0, f_yy 0, dan f_xxf_yy f2

xy 0.

3 f_xx >0 dan f_xxf_yy f2

xy >0)f konveks sejati (strictly convex).

4 _fxx <_{0 dan fxxfyy f}2

xy >0)f konkaf sejati (strictly concave).

Syarat Cukup (Uji Determinan)

Jika f =f(x1, x2, . . . , xn)maka diperoleh matriks Hess H dan minor

utama Dk berikut: H= 2 6 6 6 4 f11 f12 f1n f21 f22 f2n .. . ... . .. ... fn1 fn2 fnn 3 7 7 7 5, Dk = f11 f12 f1k f21 f22 f2k .. . ... . .. ... fk 1 fk 2 fkk . dengan fij = _∂x∂f_i∂xj dan k =1, 2, . . . , n. Theorem

Diberikan fungsi multivariabel f =f(x1, x2, . . . , xn)dengan minor utama

Dk (k =1, 2, . . . , n).

1 f konveks ,D_k 0 untuk k =1, 2, . . . , n. 2 f konkaf, ( 1)kD_k 0 untuk k =1, 2, . . . , n.

Syarat Cukup

Theorem (Syarat Cukup Mangasarian) Tinjau MKO max J = R₀Tf(x, u, t) dt s.t. ˙x = g(x, u, t) x(0) = x0. Hamiltonian: H(x, u, p, t) =f(x, u, t) +p(t)g(x, u, t).

Jika H konkaf dalam peubah (x, u)maka PMP merupakan syarat cukup bagi maksimum J(x).

Jika H konveks dalam peubah (x, u)maka PMP merupakan syarat cukup bagi minimum J(x).

Syarat Cukup

Kebanyakan MKO dapat diselesaikan dengan syarat cukup Mangasarian. Namun demikian, beberapa model ekonomi memiliki fungsi hamilton yang tidak konkaf/konveks dalam peubah (x, u). Syarat cukup Arrow

merupakan bentuk lemah dari syarat cukup Mangasarian.

Theorem (Syarat Cukup Arrow) De…nisikan:

ˆ

H(x, p, t) =max

u₂U H(x, u, p, t).

Jika ˆH konkaf dalam peubah x maka PMP merupakan syarat cukup bagi maksimum J(x).

Jika ˆH konveks dalam peubah x maka PMP merupakan syarat cukup bagi minimum J(x).

Syarat Cukup

Example

Masalah jarak terpendek:

max J = R₀T (1+u2)1/2 dt s.t. ˙x = u

x(0) = x0, x(T) bebas.

Fungsi hamilton: H = (1+u2)1/2+pu. Kondisi prinsip maksimum Pontryagin:

Hu =0, 1₂(1+u2) 1/22u+p =0,p = p₁u_+u2.

˙p= Hx , ˙p=0,p(t) =A. Karena x(T)bebas maka harus

dipenuhi STV p(T) =0 berakibat A=0, sehingga p(t) =0 dan u(t) =0.

˙x =Hp , ˙x =u=0,x(t) =B. Syarat x(0) =x0 berakibat

Syarat Cukup

Karena H hanya bergantung pada u maka syarat cukup dilihat dari tanda Huu, yaitu Hu = u p 1+u2 )Huu = 1 (1+u2₎3/2 <0.

Karena H konkaf, maka x(t) =x0 solusi optimum (memaksimumkan H).

Jika kondisi Mangasarian sudah dipenuhi maka tidak ada keharusan untuk memeriksa kondisi Arrow. Namun, seandainya ingin diperiksa:

Hu =0, 1₂(1+u2) 1/22u+p =0,u =

p p

1 p2,

sehingga dengan menyubstitusikannya ke H diperoleh

ˆ H= s 1+ p 2 1 p2 + p2 p 1 p2 = p 1 p2_.

Model Eisner-Strotz

Tinjau MKO berikut:

max J = R₀T(π(K) C(I))e rt dt

s.t. K˙ = I K(0) = K0,

dengan π fungsi keuntungan yang bergantung pada besarnya modal K dan C adalah adjusment cost (biaya untuk memperbesar pabrik) yang bergantung pada investasi bersih I . Di sini, K merupakan variabel state dan I variabel kontrol. Diasumsikan,

π00(K) <0, C0(I) >0, C00(I) >0.

Fungsi hamilton H dan current-valued hamiltonian _H diberikan oleh: H = (π(K) C(I))e rt+pI ,

Model Eisner-Strotz

Kondisi prinsip maksimum:

1 H_I =0, C0(I) +m=0.

2 m˙ rm= H_K ,m˙ rm= _π0(K). 3 K˙ =I .

Dari kondisi (1) diperoleh

m=C0(I) >0₎m0(I) =C00(I) >0,

yang menunjukkan bahwa m merupakan fungsi monoton naik terhadap I , sehingga m fungsi satu-satu dan memunyai invers, yaitu

m 1_{= (C}0₎ 1 _{=: ψ. Dapat ditulis,}

I = ψ(m).

Syarat (2) dan (3) membentuk SPD:

˙

m = rm π0(K)

˙

Model Eisner-Strotz

Dengan menyelesaikan SPD secara serentak akan diperoleh solusi optimum m , K , dan I . Kondisi Mangasarian dapat diperiksa melalui matriks Hess:

H= HKK HKI

HIK HII =

π00(K)e rt 0

0 C00(I)e rt .

Karena D1 =π00(K)e rt <0 dan D2 = C00(I)π00(K)e 2rt >0, maka H

konkaf sejati terhadap (K , I). Kondisi Arrow: ˆ H =π(K) C(ψ(m)) +mψ(m). Diperoleh: ˆ HK =π0(K) )HˆKK =π00(K) <0,