p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392
KAJIAN MODEL FRAKSIONAL PROSES DIFUSI
Siwi Tri Rahayu Universitas Jenderal Soedirman
53siwi@gmail.com
Bambang Hendriya Guswanto Universitas Jenderal Soedirman
Niken Larasati
Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT. This research discusses the derivation of the model and fundamental solution of subdiffusion equation. Subdiffusion equation model is derived from master equation obtained from Continuous Time Random Walk (CTRW) prosess using Caputo fractional derivative and the Probability Density Function (PDF) of waiting time of particle jump which is nonpoissonian. When the waiting time probability density is Poissonian, we obtain the normal diffusion equation. The movement of particle in normal diffusion process is characterized by the pattern of Mean Square Displacement (MSD) which is linear with respect to time t. While in subdiffusion process, MSD is nonlinear with respect to time, that is t, 0 1. The fundamental solution of subdiffusion equation model is restricted to the . The derivation of the model and fundamental solution of subdiffusion equation is done using Laplace transform and Fourier transform.
Keywords: diffusion equation, subdiffusion equation, Laplace transform, Fourier transform, fundamental solution.
ABSTRAK. Penelitian ini mengkaji penurunan model dan penyelesaian fundamental persamaan subdifusi. Model persamaan subdifusi diturunkan dari master equation yang diperoleh dari proses Continuous Time Random Walk (CTRW) dengan menggunakan turunan fraksional Caputo dan Probability Density Function (PDF) untuk waktu tunggu terjadinya lompatan partikel yang berdistribusi nonpoissonian. Ketika PDF untuk waktu tunggu berdistribusi Poissonian, maka diperoleh persamaan difusi biasa. Pergerakan partikel pada proses difusi biasa ditandai dengan pola Mean Square Displacement (MSD) yang bersifat linier terhadap waktu t. Sementara itu pergerakan partikel pada proses subdifusi mengikuti pola MSD yang bersifat nonlinier terhadap waktu t untuk0 1. Penyelesaian fundamental dari model persamaan subdifusi yang diperoleh, dibatasi hanya untuk variabel . Penurunan dan penyelesaian model persamaan subdifusi dilakukan dengan menggunakan transformasi Laplace dan transformasi Fourier.
Kata kunci: persamaan difusi, persamaan subdifusi, transformasi Laplace, transformasi Fourier, solusi fundamental
1. PENDAHULUAN
Difusi merupakan perpindahan zat yang terjadi karena adanya gerak acak molekul zat dan adanya perbedaan konsentrasi zat (Jorgensen, 2001). Proses menyebarnya gas ammonia (NH3) di udara, terlarutnya oksigen (O2) ke dalam air,
atau penyebaran secara merata dari beberapa tetes pewarna makanan yang dimasukkan ke dalam wadah berisi air merupakan beberapa contoh proses difusi. Pada umumnya, zat yang berdifusi bergerak dari daerah yang konsentrasinya tinggi ke daerah yang konsentrasinya rendah (Giancoli, 2001). Selain itu, hasil pergerakan mikroskopis dari kumpulan partikel pada sel, bakteri, bahan kimia, hewan, dan sebagainya, di mana masing-masing partikel biasanya bergerak secara acak dan menyebar di sekitarnya juga dapat disebut sebagai proses difusi (Murray, 2002). Pergerakan-pergerakan partikel ini dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan matematika.
Dalam bidang statistika, Mean Squared Displacement (MSD) adalah ukuran yang biasa digunakan pada proses pergerakan acak (random walk). Salah satunya pada persamaan difusi yang dapat ditentukan sesuai dengan pola dari MSD. Proses difusi dapat dimodelkan dengan persamaan
( , ) ( , ), n, 0,
t
q x t D q x t x t
dengan D adalah koefisien difusi dan ∆ adalah operator turunan ke dua terhadap
variabel ruang x. Persamaan di atas dinamakan sebagai persamaan difusi biasa, di mana pergerakan partikel mengikuti pola
2 , , ( ) ~ t 0 x t t dengan 2 ( )
x t adalah MSD pada saat t. Persamaan di atas menggambarkan proses difusi secara umum, tetapi terdapat beberapa proses difusi yang tidak dapat lagi dimodelkan dengan persaman tersebut.
Beberapa penelitian menunjukkan bahwa terdapat beberapa pola pergerakan partikel yang tidak dapat dimodelkan dengan persamaan difusi biasa, seperti dispersi pada akuifer yang heterogen (Adams dkk, 1992), penyebaran ion pada suatu eksperimen kolom (Hatano dkk, 1998), difusi air tanah (Laffaldano
dkk, 2005), dan penyebaran kontaminan pada formasi geologi (Berkowitz dkk, 2006). Berbeda dengan proses difusi biasa, proses-proses di atas mengikuti pola
2
( ) ~ , 0 1.
x t t
Proses ini dinamakan subdifusi yang dapat dimodelkan dengan persamaan
( , ) ( , ), n, 0,
t
D q x t Dq x t x t
dengan 0 1, D adalah koefisien subdifusi, dan Dt adalah operator turunan fraksional tipe Caputo orde yang didefinisikan dengan
, ( ) ( ) ( ) . (1 ) t a t a t D f t D f d
Berdasarkan uraian tersebut, penulis tertarik untuk mengkaji penurunan model dan penyelesaian persamaan subdifusi tersebut.
Berdasarkan latar belakang di atas, diperoleh rumusan masalah yaitu bagaimana penurunan dan penyelesaian model persamaan subdifusi. Batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah model diturunkan dari proses
Continuous Time Random Walk (CTRW), turunan fraksional yang digunakan
adalah turunan fraksional Caputo, dan penyelesaian model persamaan subdifusi dibatasi hanya untuk variabel . Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan model dan penyelesaian persamaan subdifusi yang dapat dimanfaatkan untuk menjelaskan proses-proses difusi yang tidak dapat dimodelkan secara baik oleh persamaan difusi biasa.
2. METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka, yaitu dengan mengkaji materi dari berbagai sumber seperti buku, jurnal atau skripsi yang berkaitan dengan penelitian ini. Penelitian ini dilakukan untuk mengkaji penurunan model dan penyelesaian persamaan subdifusi. Model diturunkan dari proses CTRW untuk membentuk persamaan yang disebut sebagai master equation melalui penggunaan transformasi Laplace dan Fourier. Master equation ini mengandung Probability Density Function (PDF) dari waktu tunggu dan arah lompatan yang terlibat dalam proses CTRW tersebut. Pada proses CTRW ini,
waktu tunggu terjadinya lompatan yang digunakan berdistribusi Poissonian yang menghasilkan persamaan difusi biasa dan berdistribusi nonpoissonian yang menghasilkan persamaan subdifusi.
Untuk menyelesaikan persamaan subdifusi ini, transformasi Laplace dan Fourier juga mempunyai peran penting. Persamaan subdifusi dikonversi bentuknya terlebih dahulu melalui kedua transformasi tersebut. Kemudian, dengan bantuan pasangan transformasi Laplace dari fungsi Mittag-Leffler dan pasangan transformasi Fourier dari fungsi Wright, penyelesaian fundamental persamaan subdifusi dapat diperoleh.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada hasil dan pembahasan ini, dibahas mengenai model persamaan subdifusi dan penyelesaian fundamental dari model tersebut.
3.1 Penurunan Model Subdifusi
Teori CTRW merupakan teori yang berkaitan dengan pergerakan acak partikel. Pergerakan acak suatu partikel di yang mengalami serangkaian lompatan dipengaruhi oleh waktu tunggu terjadinya lompatan dan arah lompatan. Waktu tunggu terjadinya lompatan terdistribusi secara independen dan identik. Misalkan ( ),t t 0 adalah PDF untuk waktu tunggu terjadinya lompatan pada saat t dan T x y( , ) adalah PDF untuk arah lompatan dari titik y ke x. Oleh karena itu, waktu tunggu terjadinya lompatan dari titik y pada saat ke titik x pada saat
t, mempunyai PDF (t). Selain itu diasumsikan bahwa
( , ) ( ).
T x y T xy
Sesuai dengan asumsi dasar pada proses CTRW, distribusi dari waktu tunggu dan arah lompatan saling independen. Keduanya memenuhi kondisi normalisasi
0 ( )t dt 1
dan
nT x dx( ) 1.Selanjutnya, misalkan Q x tk( , ) merupakan peluang bersyarat partikel mencapai x pada saat t setelah k langkah dengan posisi awal x0 dan t0. Untuk x0 dan t 0, maka
1 0
( , ) t n ( ) ( ) ( , ) .
k k
Q x t
t T xy Q y dydOleh karena itu, partikel yang mencapai x pada saat t mempunyai PDF sebagai berikut. 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) . n n k k t k k t Q x t Q x t Q x t t T x y Q y dyd Q x t t T x y Q y dyd
Karena Q x t0( , ) merupakan fungsi Delta Dirac, yaitu
0( , ) ( ) ( ), Q x t x t maka 0 ( , ) ( ) ( ) t n ( ) ( ) ( , ) . Q x t x t
t T xy Q y dydSelanjutnya, misalkan q x t( , ) merupakan peluang partikel berada pada posisi x dan pada saat t dengan posisi awal x0 dan t0, maka
0
( , ) t ( , ; ) ( , ) ,
q x t
t x Q x ddengan ( , ; )t x merupakan PDF dari partikel yang mencapai x pada saat t
dan tidak melompat dalam sisa waktunya (t). Perhatikan bahwa
( , ; )t x (t ), dengan 0 ( ) ( ) 1 t ( ) t t r dr r dr
yang berarti bahwa partikel tidak melompat dalam interval waktu (0,t). Oleh karena itu,
0 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) n n n t t t t r t t r q x t t Q x d t x r T x y Q y r dydr d t x t r d T x y Q y r dydr t x t r d T x y Q y r dydr
0 ( ) ( )t x t n(t ) (T x y q y) ( , ) dyd.
(1)Dengan menggunakan transformasi Laplace dan Fourier untuk f t( ) dang x( ), ℒ 0 ( ) st ( ) , f s e f t dt
ˆ { ( )}g x g k( )
neik x g x dx( ) , F maka diperoleh ( ) ˆ ˆ ( ) ( , ) 1 ˆ( , ) ( .) q k s s s s q k s T k (2)Jika kedua ruas persamaan (2) dibagi dengan 1( ),s maka
ˆ ˆ ( ) ( , ) ( ) ˆ( , ) 1 ) 1 . ( ( ) 1 s q k s T k s q k s s s Jika ( ( , ) ) ( 1 ) s s H s maka ˆ( , ) ( ).ˆ ( ˆ( , ) 1 ) ( ) 1 q k s H s s q k s T k s
Jika kedua ruas dikurangi dengan
ˆ( , ) ( ) , 1 ( ) q k s s s maka
1 ˆ ˆ ˆ ( , ) ( ) ˆ( , ) ( ) q k s T k ( , ) . q k s H s q k s s (3)Invers transformasi Laplace dan Fourier dari persamaan (3) adalah
0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) .
( , ) ( , 0) tH t q x nT x y q y dy d
q x t q x
(4)Persamaan (4) disebut sebagai master equation.
Ketika PDF dari waktu tunggu ( )t adalah Poissonian, yaitu
( ) , t e t 0, t0,
maka transformasi Laplace dari ( )t adalah
( ) 1 . 1 s s
Oleh karena itu,
1 ( ) 1 ( ) ( ) H s s s s
dan H t( )1 . Dengan demikian, persamaan (4) menjadi
0 ( , ) 0 ( ) ( , ) 1 1 ( , ) ( , 0) t t n . q x t q x q x d T x y q y dyd
0 1 ( ) ( , ) ( , ) . n t T x y q y q x dyd
(5) Turunan pertama terhadap t dari persamaan (5) adalah( )[ ( , 1 ( , ) n ) ( , )] t q x t T y x q y t q x t dy
2 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (| | ) . 1 2 nT y x y x q x t y x q x t y x dy
Diasumsikan bahwa
, T x T x ( ) 0, nx T x dxi
1 i n, 2 ( ) ( ) , n i j ij x x x T x dx n
1i j, n, maka diperoleh
2 ( ) ( , ) ( , ) (1) . 2 t x q x t q x t n Untuk x 0, diperoleh persamaan
( , ) ( , ).
t
q x t D q x t (6)
Persamaan (6) disebut persamaan difusi, dengan koefisien difusi
2 ( ) , 2 x D n
dan ∆ adalah operator turunan kedua terhadap variabel ruang x.
Selanjutnya, persamaan subdifusi diperoleh dari master equation pada persamaan (4) dengan PDF untuk waktu tunggu ( )t adalah nonpoissonian, yaitu
1 , ( )t t E t , (7)dengan E , adalah fungsi Mittag-Leffler
, 0 ( ) , ( ) n n z E z n
, 0, z . Transformasi Laplace dari persamaan (7) adalah1 ( ) , 1 s s sehingga ( ) 1 ( ) 1 ( ) H s s s s dan 1 1 ( ) . ( ) t H t
Dengan demikian, persamaan (4) menjadi
1 0 ( , ) ( , ) 1 ( ) ( , ) ( , 0) ( ) ( ) n t t q x t q x T x y q y q x dyd
( , ) ( ,
1 ) ) ( , n t q y J T x y q x dy
(8)dengan Jt merupakan integral fraksional Riemman-Lioufille, yaitu
1 , ( ) ( ) ( ) , , ( ) t a t a t J f t f d t a
0
1, a0,Karena turunan fraksional Riemann-Liouville, yaitu
, ( ) ( ) ( ) , , (1 ) t a t t a t f t D f d t a
Dmerupakan invers kiri dari Jt, maka
1 ( , ) ( , 0) ( ) ( , ) ( , ) . (1 ) n t t q x t q x T x y q y q x dy
DBerdasarkan hubungan antara turunan fraksional Riemann-Liouville D dan t turunan fraksional Caputo Dt, yaitu
, , ( ) ( ) ( ) ( ), (1 ) a t a t t a D f t f t f a D ta, maka diperoleh
1 ( , ) n ( ) ( , ) ( , ) . t D q x t T x y q y q x dy
(9)Ketika x 0, persamaan (9) dapat ditulis sebagai ( , ) ( , ), t q x t D D q x t (10) dengan 2 ( ) . 2 x D n
Persamaan (10) disebut model persamaan subdifusi dengan D merupakan koefisien subdifusi.
3.2 Penyelesaian Fundamental
Penyelesaian fundamental dari model persamaan subdifusi pada penelitian ini dibatasi hanya untuk variabel dengan D 1. Jadi, penyelesaian
fundamental dari model persamaan subdifusi adalah penyelesaian dari persamaan ( , ) ( , ), t D q x t q x t ,t0, (11) dengan ( , 0) ( ). q x x
Transformasi Laplace dan Fourier dari persamaan (11) adalah 1 2 ˆ( , ) . ( ) s q k s s k (12)
Dengan memanfaatkan pasangan transformasi Laplace dari fungsi Mittag-Leffler dan pasangan transformasi Fourier dari fungsi M-Wright, yaitu
1 ( t ) s , s c E c s c L atau 1 1 ( ), s E ct s c L
2 / 2 1 , ( ) 2M x t E k t F atau 1
( 2 )
1 /2
, , 2 E k t M x t F maka diperoleh
/2 1 ( , ) , 2 q x t M x t 2 2 2,1 2 1 ( ), 2t W x t (13) dengan, 0 ( ) , ! ( ) n n z W z n n
1, .Persamaan (3.13) merupakan penyelesaian fundamental dari persamaan subdifusi. Jika 1, maka persamaan tersebut menjadi fungsi Gaussian
2 4 1 ( , ) , 2 x t q x t e t yang merupakan penyelesaian dari persamaan difusi biasa. Pergerakan partikel pada proses difusi biasa mengikuti pola
2
0,
( ) ~t, t
x t
sedangkan MSD pada proses subdifusi mengikuti pola
2 ( ) ~ , 0 1, x t t dengan 2 ( ) x t
adalah MSD pada saat t.
4. KESIMPULAN DAN SARAN
Model persamaan difusi diturunkan dari proses CTRW melalui transformasi Laplace dan Fourier, sehingga menghasilkan master equation. Ketika PDF dari waktu tunggu berdistribusi Poissonian, diperoleh model persamaan difusi biasa dengan pergerakan partikel pada proses ini mengikuti pola MSD yang linier terhadap waktu t. Sementara itu, ketika PDF dari waktu tunggu berdistribusi nonpoissonian, diperoleh model persamaan subdifusi dengan pergerakan partikel pada proses subdifusi ini mengikuti pola MSD yang bersifat nonlinier terhadap waktu t untuk 0 1. Penyelesaian fundamental dari model persamaan
subdifusi diperoleh dengan memanfaatkan pasangan transformasi Laplace fungsi Mittag-Leffler dan pasangan transformasi Fourier fungsi M-Wright yang dibatasi hanya untuk variabel .
Penulis menyarankan agar penelitian selanjutnya mengkaji tentang penyelesaian fundamental persamaan subdifusi untuk variabel ruang . Penelitian lebih lanjut juga dapat mengkaji penurunan model dan penyelesaian fundamental dari proses difusi anomali yang lain, yaitu super difusi.
Proses-proses difusi anomali dapat dikaji secara numerik. Oleh karena itu, penulis juga menyarankan untuk membahas tentang kajian numerik proses difusi anomali.
DAFTAR PUSTAKA
Adams E.E. dan Gelhar L. W., Field Study of Dispersion in a Heterogeneous
Aquifer 2. Spatial Moments Analysis, Water Resources Research, 28(12)
(1992). 3293-3307.
Berkowitz B., Cortis A., Dentz M., dan Scher H., Modeling Non-Fickian
Transport In Geological Formations as a Continuous Time Random Walk.
Reviews of Geophysics, 44 RG2003, (2006), 1-49.
Giancoli, D.C., Fisika, Alih Bahasa: Yuhilza Hanum, Jilid 1, Edisi ke-6, Penerbit Erlangga, 2001.
Hatano Y. and Hatano N., Dispersive Transport of Ions in Column Experiments:
An Explanation of Long-tailed Profiles, Water Resources Research, 34(5)
(1998), 1027-1033.
Jorgensen, S.E., Fundamental of Ecological Modelling, Third Edition. Elsevier, 2001.
Laffaldano G., Caputo M., and Martino S., Experimental and Theoretical Memory
Diffusion of Water in Sand. Hydrol. Earth Sys. Sci. Discuss., 2 (2005).
1329-1357.
Murray, J.D., Mathematical Biology, I: An Introduction, Third Edition, Springer-Verlag, (2002).
