PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK GANDA DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA
MASALAH REGULASI OPTIMAL
HASBY ASSIDIQI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik Ganda dan Karakterisasi Parameter Pada Masalah Regulasi Optimal adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis.
Bogor, Juli 2008 Hasby Assidiqi
NRP G551060311
ABSTRACT
HASBY ASSIDIQI. Modelling of the Double Inverted Pendulum Systems and Characterization Parameter on Optimal Regulation Problems. Under Supervision of TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO.
The inverted pendulum systems are standard problems in the area of control systems. Demonstration of concepts in linear control such as the stabilization systems is often useful. Illustrating some of the ideas in nonlinear control is also useful. In this work, the inverted pendulum systems on optimal regulation problem in terms of the plant parameters are characterized. First, the single and double inverted pendulum systems are modeled. Then the analytical expressions for the optimal regulation problem where minimized the control input are derived.
For both pendulums, the energy will be optimal if the length of pendulum is longer. If pendulum in systems which given is longer, then systems will be easy stable or other. Double inverted pendulum system is generally harder to be controlled than the single one
Keywords: inverted pendulum systems, optimal regulation problems.
RINGKASAN
HASBY ASSIDIQI. Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik Ganda dan Karakterisasi Parameter pada Masalah Regulasi Optimal. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO.
Pendulum adalah suatu benda atau disebut bandul yang bisa digerakkan ke kanan dan ke kiri dengan melewati sebuah titik yang berulang-ulang. Pendulum merupakan suatu sistem atau alat yang dapat digunakan untuk menjelaskan konsep-konsep penting seperti kesetimbangan atau lainnya.
Sistem pendulum terbalik merupakan masalah standar di dalam teori pengendalian yang digunakan di laboratorium untuk menjelaskan konsep-konsep pengendalian linear seperti kestabilan sistem. Selain itu, sistem pendulum terbalik juga banyak digunakan untuk mengilustrasikan beberapa ide di dalam sistem pengendalian yang taklinear. Pada dasarnya tujuan utama dari sistem pendulum terbalik adalah menjaga kesetimbangan pendulum dalam posisi tegak atau vertikal dengan mengaplikasikan sebuah gaya dorong (input) pada motor.
Pada karya tulis ini, kita akan merekonstruksi pemodelan sistem pendulum terbalik tunggal dan ganda dan melakukan karakterisasi parameter sistem pendulum terbalik pada masalah regulasi optimal.
Pemodelan sistem pendulum terbalik berdasarkan pada persamaan Euler- Lagrange yang berturut-turut terdiri atas 2 buah dan 3 buah persamaan differensial linear untuk sistem pendulum terbalik tunggal dan ganda. Selanjutnya dari model yang diperoleh dialihkan ke dalam fungsi transfer, yaitu fungsi yang meghubungkan output sistem dengan input sistem dengan menggunakan sifat transformasi Laplace untuk syarat awalnya bernilai nol. Selanjutnya pole dan zero dari fungsi transfer didefinisikan untuk mencirikan kestabilan sistem. Kemudian kita mengkarakterisasi parameter pendulum pada sistem yang akan dikendalikan (plant) dengan menggunakan ekpresi analitik untuk masalah regulasi optimal, yaitu meminimumkan fungsi input kendalinya.
Adapun hasil karakterisasi parameter pendulum untuk sistem pendulum terbalik tunggal dan ganda menunjukan bahwa energi regulasi minimum dari input kendalinya mudah dioptimal jika panjang pendulum diberikan semakin panjang atau sebaliknya. Selain itu, semakin panjang pendulum yang diberikan terhadap sistem, maka sistem semakin mudah untuk stabil atau sebaliknya.
Selanjutnya juga memperlihatkan bahwa pengendalian sistem pendulum terbalik ganda lebih sulit dikendalikan dibandingkan dengan sistem pendulum terbalik tunggal.
Kata kunci: sistem pendulum terbalik, masalah regulasi optimal.
©Hak cipta milik IPB, tahun 2008
Hak cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK GANDA DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA
MASALAH REGULASI OPTIMAL
HASBY ASSIDIQI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
Judul Tesis : Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik Ganda dan Karakterisasi Parameter pada Masalah Regulasi Optimal
Nama : Hasby Assidiqi
NRP : G551060311
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc Ketua
Drs. Ali Kusnanto, M.Si Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
Dekan Sekolah Pascasarjana
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
Tanggal Ujian: 4 Juli 2008 Tanggal Lulus:
PRAKATA
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan segala rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik Ganda dan Karakterisasi Parameter pada Masalah Regulasi Optimal.
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini masih banyak terdapat kekurangan, hal ini karena peengetahuan yang dimiliki oleh penulis sangat terbatas.
Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar- besarnya kepada yang terhormat:
1. Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc, dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si selaku pembimbing dan pendidik, pengajar yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan, arahan, nasehat serta motivasi kepada penulis.
2. Bapak Dr. Jaharuddin, MS selaku penguji, pendidik dan pengajar yang telah memberikan saran dan kritikannya kepada penulis.
3. Depag RI yang telah membiayai Sekolah Pascasarjana pada Institut Pertanian Bogor periode 2006-2008.
4. Ketua Departemen, ketua Program Studi, dan seluruh staf pengajar serta staf administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang turut membantu proses penyelesaian tesis ini.
5. Kepala sekolah dan seluruh staf pengajar MTs. An-Nuriyyah Banjarmasin yang turut mendo’akan dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan tesis ini.
6. Kedua orang tua yang senantiasa mendo’akan penulis disetiap waktu dalam menyelesaikan tesis ini.
7. Seluruh teman-teman yang turut membantu penyelesaian tesis ini.
Penulis do’akan semoga segala bantuan, bimbingan dan pengarahan yang diberikan mendapat ganjaran yang berlipat ganda dari Allah SWT, dan semoga tesis ini bermanfaat bagi kita semua. Amin.
Bogor, Juli 2008
Hasby Assidiqi
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Banjarmasin pada tanggal 19 Oktober 1982 dari ayah Muchtar A Karim dan ibu Siti Barkah. Penulis merupakan putra ke tiga dari tujuh bersaudara.
Pendidikan sarjana ditempuh di jurusan pendidikan Matematika, Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan PGRI Banjarmasin Kal-Sel, lulus tahun 2005.
Selama kuliah di STKIP-PGRI Banjarmasin, penulis telah menjadi staf pengajar di MTs. An-Nuriyyah (Th.2002) dan SMK Swadaya (Th.2005) dan mendapat kesempatan mengikuti beberapa pelatihan antara lain: Pelatihan praktek mengajar guru inti tambahan (Th. 2002), pelatihan terintegrasi berbasis kompetensi guru mata pelajaran fisika (Th. 2004), pelatihan workshop Kepala Madrasah Tsanawiyah angkatan 111 se-Kalimantan Selatan (Th.2005), pelatihan dan sertifikasi guru SMK mata pelajaran matematika (Th. 2005). Selanjutnya kesempatan untuk melanjutkan ke Program Magister pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor diperoleh pada tahun 2006 melalui beasiswa Departemen Pendidikan Agama Republik Indonesia.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ... xi
DAFTAR LAMPIRAN ... xii
I. PENDAHULUAN... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan Penelitian... 2
II. TEORI DASAR ... 3
2.1 Transformasi Laplace ... 3
2.2 Eksistensi Transformasi Laplace... 3
2.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace ... 4
2.4 Pelinearan Model Taklinear ... 5
2.5 Persamaan Ruang Keadaan ... 6
2.6 Fungsi Transfer, Diagram Blok, Pole dan Zero ... 7
2.7 Kestabilan Sistem ... 9
2.8 Sistem Umpanbalik ... 10
2.9 Masalah Regulasi Optimal ... 11
III. PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK ... 12
3.1 Sistem Pendulum Terbalik Tunggal ... 12
3.2 Sistem Pendulum Terbalik Ganda ... 15
IV. MASALAH REGULASI OPTIMAL... 20
4.1 Analisis Kestabilan... 20
4.1.1 Sistem Pendulum Terbalik Tunggal ... 20
4.1.2 Sistem Pendulum Terbalik Ganda ... 20
4.2 Karakterisasi Parameter Pendulum... 21
4.2.1 Sistem Pendulum Terbalik Tunggal ... 24
4.2.2 Sistem Pendulum Terbalik Ganda ... 26
V. SIMULASI MODEL ... 28
VI. KESIMPULAN ... 30
DAFTAR PUSTAKA... 31
LAMPIRAN ... 33
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Diagram blok hubungan antara input dan output... 8
2 Sistem pengendalian dengan umpanbalik ... 10
3 Sistem pengendalian dengan umpanbalik pada masalah regulasi ... 11
4 Sistem pendulum terbalik tunggal ... 12
5 Sistem pendulum terbalik ganda ... 15
6 Sistem pendulum terbalik tunggal terhadap posisi motor ... 28
7 Sistem pendulum terbalik ganda terhadap posisi motor... 29
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Bukti Teorema 1 s.d 4 ... 34
2 Bukti Teorema 5 ... 36
3 Bukti Teorema 6 ... 39
4 Rekonstruksi model sistem pendulum terbalik tunggal... 41
5 Penurunan Transformasi Laplace untuk Sistem Pendulum Terbalik Tunggal... 44
6 Penurunan Fungsi Transfer untuk Sistem Pendulum Terbalik Tunggal... 45
7 Analisis Kestabilan untuk Sistem Pendulum Terbalik Tunggal... 46
8 Rekonstruksi model sistem pendulum terbalik ganda ... 47
9 Penurunan Transformasi Laplace untuk Sistem Pendulum Terbalik Ganda... 51
10 Penurunan Fungsi Transfer untuk Sistem Pendulum Terbalik Ganda... 53
11 Analisis Kestabilan untuk Sistem Pendulum Terbalik Ganda... 46
12 Penurunan ekspresi analitik untuk satu buah pole p takstabil dan dua buah zero z z1, 2 non-minimum phase... 59
13 Penurunan ekspresi analitik untuk dua buah pole p p1, 2 takstabil dan dua buah zero z z1, 2 non-minimum phase ... 62
14 Penurunan karakterisasi parameter pendulum pada sistem pendulum terbalik tunggal ... 65
15 Penurunan karakterisasi parameter pendulum pada sistem pendulum terbalik ganda... 74
16 Penguraian parameter a b c d*, *, *, * ... 77
17 Penguraian parameter dan * ... 78
